2023-2024學(xué)年江西省高二年級上冊期中小練卷數(shù)學(xué)模擬試題2（含答案）

2023-2024學(xué)年江西省高二上冊期中小練卷數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)Z=+3(i為虛數(shù)單位)的共輸復(fù)數(shù)五=()

3-11-1

A.1-iB.1+iC.l+2iD.l-2i

【正確答案】D

【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得解.

【詳解】依題意得z=字?+“2d：)=1+2i,所以三=j2i.

3-1(l-i)(l+i)

故選：D.

2.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,3),Z2=-2+i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)生的虛部為().

z?

777.7.

A.-B.—C.—iD.—i

5555

【正確答案】B

根據(jù)題意，先得到4=l+3i,再由復(fù)數(shù)的除法運算求出五，即可得出其虛部.

【詳解】因為復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,3),所以z=l+3i,

又Zz=-2+i,

所以五=二=(1+3。(-2-，)=_2+,+6>3__乂=」_匕

z2-2+i(-2+z)(-2-z)4+1555，

7

因此其虛部為

故選：B.

本題主要考查求復(fù)數(shù)的虛部，考查復(fù)數(shù)的除法運算，涉及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題型.

3.已知4-2,0),8(4,4)兩點到直線/:3》-分+1=0的距離相等，貝lja=()

9

29

A.B.2-C.2或-8D.2或;

【正確答案】D

【分析】分A(-2,0),8(4,“)在/:3x-4y+1=0的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.

【詳解】(1)若4—2,0),8(4,。)在/:3萬一4)，+1=0的同側(cè)，

,,3,a39

則nil砥B=&=1，所CC1以>2=彳，?=

4O42

(2)若A(-2,0),3(4,a)在/:3x-4y+l=0的異側(cè),

貝ijA(-2,0),8(4,a)的中點(1,葭)在直線/:3x-4y+1=0上，

所以4—2。=0解得。=2,

故選:D.

4.已知圓(x-l)2+(y-2)2=2022關(guān)于直線ar+外一1=0(">0)對稱，則,+上的最小值為

ab

()

A.3+2應(yīng)B.3-2&C.6D.9

【正確答案】A

【分析】由題意可得直線過圓心，從而可得。力的關(guān)系式，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即

可得出答案.

【詳解】解：由圓的方程知：圓心(1,2),

?.?由題意，直線"+勿-1=0(刈乂))過圓的圓心，

/.a+2b-\(ab>0),易知：0<a<l,0<Z><—,

2

>

=(a+26)fl+ll=3+-+—>3+2.1--—=3+2^,

ab\ab)ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng):="，即"=0-1€(0,1)力="正€(0一)時取等號，

ba22

.,.-+7的最小值為3+2&-

ab

故選：A.

5.設(shè)尸是橢圓|^+三=1上一點，M、N分別是兩圓：(X+4?+V=1和(x-4)2+y2=1上

的點，則歸叫+|尸川的最小值和最大值分別為()

A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12

【正確答案】C

先依題意判斷橢圓焦點與圓心重合，再利用橢圓定義以及圓的性質(zhì)得到最大值和最小值即

可.

【詳解】如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為A(Y,。),8(4,0),恰好是橢圓的兩

個焦點,由橢圓定義知|酬+|陽=2。=10,

連接MP8分別與圓相交于M,N兩點,此時|PM|+|PN|最小，最小值為歸A|+|陽-2R=8；

連接以，PB并延長，分別與圓相交于M,N兩點,此時|PM|+|PN|最大，最大值為

附+閥+2R=12.

故選：C.

本題考查了橢圓的定義，考查了圓外的點到圓上的點的距離最值問題，屬于中檔題.

6.(2017新課標(biāo)全國卷I文科)設(shè)A,B是橢圓C：《+￡=1長軸的兩個端點，若C上存

3m

在點M滿足/AM8=120。，則m的取值范圍是

A.(0,11[9,+8)B.(0,x/3][9,+oo)

C.(0,1]I4,4^o)D.(0,百]I[4,+oo)

【正確答案】A

【詳解】當(dāng)0VzM＜3時，焦點在x軸上，要使C上存在點M滿足NAMB=120,則

—>tan60=A/3即~Y=26，得0<〃?41;當(dāng)機＞3時，焦點在＞軸上，要使c上

b

則…S即等5得…，故〃，的取

存在點"滿足ZAMB=120,

值范圍為(0,l]U[9,e),選A.

點睛:本題設(shè)置的是一道以橢圓知識為背景的求參數(shù)范圍的問題.解答問題的關(guān)

鍵是利用條件確定的關(guān)系，求解時充分借助題設(shè)條件ZAMB=120轉(zhuǎn)化為

60=6,這是簡化本題求解過程的一個重要措施，同時本題需要對方程中

的焦點位置進(jìn)行逐一討論.

7.設(shè)"，死是雙曲線當(dāng)卡=1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3閘=5附|,則

△P4用的面積等于()

A.24B.155/2C.12&D.30

【正確答案】A

【分析】先利用題給條件及雙曲線定義求得寫的三邊長，進(jìn)而求得心的面積

【詳解】由3附=5附可得閘=引用

丫2“27

又尸是是雙曲線寧-三■=1上的一點，則|尸耳|-上均=§上用=4,

則|尸61=6,歸4|=10,又由閭=8

則|「鳥"IE閭2=|尸制之,則「心，丹心

則△Pf；g的面積等于;山周.但周=gx6x8=24

故選：A

8.設(shè)耳（-2,0）,瑪（2,0）,“（不力滿足|孫卜|峭|=2,且x?+y2=4,則瑪”的面

積為（）

39

A.3B.-C.9D.-

22

【正確答案】A

【分析】依題意可得N耳知入=90。，再利用勾股定理得到|嗎『+|叫『=16,將

|M用-|Mg|=2兩邊平方，即可得到IMIJM用，最后根據(jù)面積公式計算可得；

【詳解】解：依題意N相隼=90。，陽閭=4,

所以|M用2+阿瑪「=忻名「=16,

又（|M用一眼用）2=4,BP|M/<|2+|M^|2-2|M/<|-|M^|=4,

所以|用/訃|叫卜6,

所以以匕蟲=；|“耳卜|嶼|=3；

故選：A

二、多選題

9.若復(fù)數(shù)z滿足z（l—2i）=10,則（）

A.z=2-4/

B.z-2是純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限

D.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角a的終邊上，則sina=f

【正確答案】AB

,、1010(1+2/)

【分析】先由z1-2i=10得z=7==八'=2+4/,然后逐項分析判斷即可得答

l-2z(l-2z)(l+2z)

案

,、1010(1+2/)

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足zl-2i=10,可得復(fù)數(shù)z=r=7i，八七=2+4"所

1-2/(1-2/)(1+2/)

以z=2-4i,故選項A正確;

z-2=4，是純虛數(shù)，故選項8正確；

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(2,4)位于第一象限，故選項C錯誤;

因為z=2+4f在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的(2,4)在角a的終邊上，所以sina==~故選項。

錯誤,

故選：AB.

10.已知圓（x-l）2+（y_l）2=4與直線x+/ny_/n_2=0,則（）

A.直線與圓必相交B.直線與圓不一定相交

C.直線與圓相交所截的最短弦長為2石D.直線與圓可以相切

【正確答案】AC

【分析】求出直線經(jīng)過的定點A,根據(jù)定點與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系,

結(jié)合幾何知識可知當(dāng)直線與過定點A和圓心的直線垂直時，弦長有最小值，由此可求出答案.

【詳解】由題意，圓(x-l)2+(y-l)2=4的圓心C(L1),半徑r=2,

直線2=。變形得x—2+/n(y—1)=0,得直線過定點A(2,l),

22

V|CA|=>/(2-1)+(1-1)=1<2,

，直線與圓必相交，故A對，B、D錯;

由平面幾何知識可知，當(dāng)直線與過定點A和圓心的直線垂直時，弦長有最小值,

此時弦長為262一=2百，故C對;

故選：AC.

22

11.已知雙曲線C:——r+二v一=1(0<%<1),則()

9-kk-\

A.雙曲線C的焦點在x軸上

B.雙曲線C的焦距等于4&

c.雙曲線c的焦點到其漸近線的距離等于7n

雙曲線C的離心率的取值范圍為",平)

D.

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，對各選項逐一分析即可得答案.

【詳解】解：對A：因為0<大<1,所以9-Z>(),

22

所以雙曲線C:」----匚=1(0<%<1)表示焦點在工軸上的雙曲線，故選項人正確；

9一k\-k

對B：由A知a"=9—廳=1—A,所以c?=儲+0?=]0—2北，所以c=J10—2Z,

所以雙曲線C的焦距等于2c=2710^21(0<1),故選項B錯誤;

22

對C：設(shè)焦點在X軸上的雙曲線C的方程為土方=1(“>0/>0),焦點坐標(biāo)為(土c,o),則

漸近線方程為y=±2》，即加士ay=0,

a

所以焦點到漸近線的距離d==b,

所以雙曲線c：3——匕=KO<憶<1)的焦點到其漸近線的距離等于^/n,故選項c正

9一%\-k

確；

Q1n

因為。<%<1,所以1<2，故選項D正確.

故選：ACD.

12.在長方體ABC。-44GA中，|/叫=|A0|=1，|M|=2,動點尸在體對角線上（含

端點），則下列結(jié)論正確的有（）

A.當(dāng)P為中點時，NAPC為銳角

B.存在點P,使得8R_L平面APC

c.|M+|pq的最小值26

D.頂點8到平面4PC的最大距離為克

2

【正確答案】ABD

【分析】如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=當(dāng)尸為8。中

PA-PC

點時,根據(jù)cos/APC=可同判斷cosZAPC得符號即可判斷A；當(dāng)平面APC,則

BDJARBDJCP,則有［求出幾，即可判斷B；當(dāng)8。，AP,8A，CP時,

I0

|AP|+|PC|取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點8到平面APC的距離，分析

即可判斷D.

【詳解】解：如圖，以點。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

^BP=ABDI（O<A<1）,

則A（l,0,0）,3（1,1,0）,C（0,1,0）,。（0,0,2）,

則BD、=（-1,-1,2）,故而=4BR=（-2,-A,2A）,

則AP=AB+BP=(0,1,0)+(-A,-2,2A)=(-2,1-A,22),

CP=CB+BP=(1,0,0)+(-2,-2,2A)=(1-2,-2,2A),

對于A,當(dāng)P為中點時,

則AP=CP=

-

則抬=Q，-；，-Tpc=4*?-1

所以cosZAPC=可因=卜。,

所以/"C為銳角，故A正確;

當(dāng)BQJ平面APC,

因為AP,CPu平面APC,所以3。J_AP,BDt1CP,

BD.AP=A+A-1+4A=0I

則1,解得;1=一,

8DtCP=A-\+A+4A=06

故存在點戶，使得BQ，平面APC,故B正確;

對于C,當(dāng)時，|A"+|PC|取得最小值,

由B得，此時2=，,

6

1515

則"=-,,)CP=

663,1663

所以網(wǎng)=|CP卜粵，

即HH+|PC|的最小值為普，故c錯誤;

對于D,AB=(0,l,0),AC(-l』,0),

設(shè)平面APC的法向量〃=(x,y,z),

〃AC=-x+y=0

則有，

n-AP=-2x+(l-2)+22z=0,

可取“(2/1,2424-1),

ABn\

則點B到平面APC的距離為網(wǎng)底(4民〃

|?|712/12-42+1，

當(dāng)；1=0時，點B到平面4PC的距離為0,

當(dāng)0<241時，

-42+1

當(dāng)且僅當(dāng)兀=；時，取等號，

所以點8到平面APC的最大距離為正，故D正確.

X

三、填空題

13.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2-1二（〃€/?）是純虛數(shù)，則。=________.

2-1

【正確答案】5

根據(jù)分母實數(shù)化，化簡原復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得到復(fù)數(shù)的實部為零虛部不為零,

由此求解出。的值.

【詳解】；2一旦=2-“（2+0=2-生，

lU'"J2-i（2-/）（2+/）55

又：復(fù)數(shù)2一六（i）是純虛數(shù),

2——=0,J3.——0,a=5.

故答案為.5

14.寫出與圓/+丁=1和(彳-3)2+(>-4)2=16都相切的一條直線的方程

【正確答案】一93+5=或>>=7口_=25或尸_1

442424

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】［方法一］:

顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+加+c=0,

于是不手二］，"7^=4

故=］+/①，13+4"陰4cl.于是3+的+c=4r或3+4Z>+c=-4c,

24

b=----b=-

再結(jié)合①解得L[/?=0產(chǎn)7r3

255，

C一——___c—/"?—-._

73

所以直線方程有三條，分別為x+l=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=().

(填一條即可)

［方法二］:

設(shè)圓/+/=1的圓心0(0.0),半徑為4=1,

圓(x-3>+(y-4)2=16的圓心C(3,4),半徑弓=4,

則|OC|=5=4+4，因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+l=0符合題意;

又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和Y+/=1相減可得方程3x+4y—5=0,

即為過兩圓公共切點的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為4x-3y=0,

4

直線OC與直線x+l=0的交點為

設(shè)過該點的直線為y+：=&(x+D,則卜4―,解得k=三，

3行」24

從而該切線的方程為勿-24)，-25=0.(填一條即可)

［方法三］:

圓/+>2=［的圓心為0(0,0),半徑為1,

圓(x—3)-+(y—4廠=16的圓心。］為(3,4),半徑為4，

兩圓圓心'總叵為J32+4?=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖，

433

當(dāng)切線為/時，因為&四=§,所以勺=-^，設(shè)方程為丁=一11+'">°)

I-=1535

。到/的距離d=~「丁，解得r=：,所以/的方程為y=-尸+=,

口+而444

當(dāng)切線為加時，設(shè)直線方程為丘+y+p=o,其中P>O,%<o,

4=17

2k=-一725

y/l+k24

y一X

=一

由題意1解得，2-4-

25一

伙+4+p\_24

4P=24

y/\+k2

當(dāng)切線為〃時，易知切線方程為k-1,

故y3仙5或y7“一五25或L|.

2

15.直線，〃與橢圓千+^=1交于P/,P2兩點，線段戶上2的中點為尸，設(shè)直線，"的斜率為

%/（&/#））,直線OP的斜率為左2,則大永2的值為.

【正確答案】-J

利用點差法可求解.

【詳解】設(shè)4（方S），￡（%,當(dāng)），中點，（々，幾），

V

+y2

2=1

=1

則滿足＜2兩式相減得（…葉…）+（%一%）（y+%）=o，

V+y2

2

整理得;1sA即;?比=0,即4+匕/,=0,

2xi—x2x{+x22x1-x2x02'

j.k^=---.

故答案為「!

2

思路點睛：本題考查中點弦斜率問題，一般采用點差法建立關(guān)系，即先設(shè)兩交點坐標(biāo)，代入

曲線方程，兩式相減利用平方差公式化簡，即可得出直線斜率與中點關(guān)系.

16.已知片，尸2分別是雙曲線C：3-鼻=1的左右焦點，雙曲線C的右支上一點。滿足

a'b'

|OQ|=|O制，O為坐標(biāo)原點，直線匕。與該雙曲線的左支交于P點，且「0=2片尸，則雙曲

線C的漸近線方程為.

【正確答案】y=±2x

【分析】設(shè)|。用=加，由題可知|PQ|=??，歸用=/〃.再根據(jù)雙曲線定義求出|。段，|空|,

然后在Rt△耳。尸2和Rtj。鳥中利用勾股定理有|°耳『+血用2=山閭2,

用2=1尸用2,即可化簡得出b=2a,從而得解.

o1

設(shè)|Q￡|=m,則|尸。|=(桃，|W|=g*由雙曲線的定義知，|。耳|一|。閭=24，

\PF2\-\PF]\^2a,：.\QF2\=m-2a,\PF^m+2a.又|0。|=|0耳|=g忻吊|,

.??4鑿=90。.在Rt△耳Q6中，有|。月『+|0段2=恒桂，...1+("L2ay=4c2①.在

RtPQ瑪中,有|PQ「+|°R「=|尸/葉，二+(m-2a)2=(gm+2a)②，由②化簡可得

m=4a,將其代入①中，得20a2=4/=4(/+叫，即Z?=2a,

：?雙曲線的漸近線方程為y=±?x=±2x.

a

故y=±2x.

四、解答題

17.已知圓C的圓心在直線y=gx上，且過圓C上一點"(1,3)的切線方程為y=3尤.

(I)求圓C的方程；

(H)設(shè)過點M的直線/與圓交于另一點N,以MN為直徑的圓過原點，求直線/的方程.

【正確答案】(I)(x-4)2+(y-2)2=10(II)y=-2x+5

【分析】(I)由題意，過M點的直徑所在直線方程為y-3=-g(x-l)，再聯(lián)立

y-3=--(x-1)

「?求得圓心坐標(biāo)為(4,2),再求得半徑即得圓的方程.(H)先求得直線ON方

1

y——x

程為y=一$

，由，-3可得N點坐標(biāo)為(3,-1),再利用兩點式寫出直線

(X-4)2+(^-2)2=10

1的方程.

【詳解】(I)由題意，過M點的直徑所在直線方程為y-3=-；(x-l)

y-3=-*-i)r=4

-；解得v=2'???圓心坐標(biāo)為(4,2)

y=—x

I2

半徑,=（4-1）2+（2—3）2=10

.?.圓C的方程為(x-4)，+(y-2)2=10

(II):以MN為直徑的圓過原點，LON

乂MM=3kON=——

,直線ON方程為y=—

,1

y=——x

由3,可得N點坐標(biāo)為(3,T)

(X-4)2+(^-2)2=10

，直線MN方程為52■=:二

3+11-3

即直線/的方程為y=-2x+5

本題主要考查直線和圓的方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識

的掌握水平和分析推理計算能力.

22

18.已知橢圓C：二+與=1的左、右焦點分別為B,F,且點B到橢圓C上任意

ab2

一點的最大距離為3,橢圓C的離心率為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在斜率為一1的直線/與以線段B七為直徑的圓相交于A,B兩點，與橢圓相交

于C,D,且禺=串，若存在，求出直線/的方程：若不存在，說明理由.

【正確答案】⑴二+《=1⑵存在，y=-x土走

433

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)E，K的坐標(biāo)分別為(-GO),(c，0),由橢圓的幾何性質(zhì)可得

a+c=3

?Cl,解可得。、C的值，計算可得6的值，將其代入橢圓的方程即可得答案；

-=一

a2

(2)假設(shè)存在斜率為T的直線/,設(shè)其方程為丁=一1+機，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系

數(shù)的關(guān)系分析，用機表示陶=苧，計算可得加的值，分析可得結(jié)論.

【詳解】(1)根據(jù)題意，設(shè)A,尸2的坐標(biāo)分別為(-C.0),(C,0),

a+c=3

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得C1,

一=一

42

解得。=2,。=1,則/=〃2一/=3,

故橢圓C的方程為￡+*=1.

43

(2)假設(shè)存在斜率為T的直線/,那么可設(shè)為y=-x+m,

則由(1)知K，&的坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),可得以線段片行為直徑的圓為丁+丁=1,

圓心(0,0)到直線/的距離"=號<1,得|間<0,

|AB|=2yJ\-d2=2,1-與二夜x,2-濟(jì),

22

—廠+—y=1

聯(lián)立,43得7X2—8加+4>-12=0,

y=—x+m

設(shè)C(x，y),D(X2,%)，

則△=(8m)2-4x7(4/-12)=336-48m2=48(7-/)>0,

2r4/7z2-12

得tn<7,%+/=,XjX2=----------------------,

卬=何…|=必傳匚而科=&X秒湃L半="即券,反目?

解得機2=1<2,得根=土也.

33

即存在符合條件的直線/:y=-x土#.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了運算能力，屬于中檔題.

19.如圖，在四棱錐P—ABCQ中，底面ABC。是4長為的正方形，側(cè)面孫。，底面ABC。,

M為％的中點，B4=PD=Vi0.

(1)求證：PC〃平面BMD；

(2)求二面角"一8￡＞一尸的大小.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)30

【分析】⑴連接AC交3￡＞于M連接MN.由三角形中位線知MN〃PC即得證；

(2)取AO的中點O,連接OP,ON.說明OP、OD、ON兩兩相互垂直，則分別以。4ON、

OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-町z利用向量法即可求出二面角的

大小.

【詳解】(1)連接AC交8。于N,連接MN.

在正方形ABC。中，ACcBD=N,

.?.N是AC的中點.

又M是4P的中點，

...MN是△APC的中位線，MN//PC,

二PC〃平面BMD,

(2)取40的中點O,連接OP,ON.

在，.皿>中，PA=PD,。是AO的中點,

，OP1AD,

又平面幺￡>_L平面4BCD,OPu平面以。，平面必￡>c平面ABC。=AD,

QP_L平面ABCD

在正方形4BCO中，O,N分別是A。、8。的中點，

二ONLAD,

：.0P,OD,ON兩兩相互垂直，分別以。。，ON,OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

P(0,0,布)，。(2,0,0),B(-2,4,0),A/(-1,0,—)>

2

ADM=(-3,0,^).DP=(-2,0,76),￡>B=(-4,4,0).

設(shè)平面MBD的一個法向量“=(x,y,z),

一3x+多=0,

則

一4x+4y=0,

取x=l,得“=（1,1,庭），

4=（1,1,遙）是平面MB。的一個法向量：

同理，%=（"6血）是平面PBQ的一個法向量，

/\ixG+ixG+#x&6

"''|，M同J-+F+（府X5（6）2+（6）2+詆22

設(shè)二面角M-3￡>-P的大小為（9,

由圖可知，COS0—COS<Yly>〃2>=^^，且。為銳角，

???6=30。，

故二面角M—的大小是30。.

22__

20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知等軸雙曲線6言-卓=1（。>0,〃>0）過點（△⑹

（1）求雙曲線的方程；

（2）已知點4（61）,斜率為女的直線/與雙曲線交于RQ兩點（不同于點A）,且

kAP+kAQ=^>求證直線/過定點?

【正確答案】（l）/-y2=l

（2）證明見解析

【分析】（1）由題意。多，代入點求解即可;

（2）設(shè)/:y=H+m,聯(lián)立直線和雙曲線，用坐標(biāo)表示+原。=血，結(jié)合韋達(dá)定理，可得

m=-&&+1或〃/=1,分析即得解.

【詳解】（1）由等軸雙曲線知。

又過點（6,后），所以號窄?=1,

2

解之得。=6=1,

所以雙曲線的方程為/-/=1

(2)Vil:y=kx+m,^(^,^)，2(^2,)?2),

,器；得（"）F2協(xié)一31=0,

聯(lián)立

當(dāng)1一二*0$>0時，x+羽二義二,中,二一”「二1,

\-k2\-k'

又因為勤+的廣技即力》+隹3=&，

kx,+m-\kx^+m-\rr

即=r+Rr=?

（2%―挺）玉入2_（0%—機一1）（石+x2）-2\f2m=0

化簡得力+（揚：-2）〃?-揚:+1=0解得根=_及4+1或加=1,

當(dāng)機=-0女+1,直線方程為y=履-&Z+1=%（%-上）+1,過定點（四』）,與重合，不

成立，舍去;

當(dāng)，"=1,直線方程為＞=丘+1,恒過點（0,1）.

22

21.已知橢圓E:\+方=1（。＞人＞0）,耳、6為其左右焦點，牛區(qū)為其上下頂點，四邊形

《用用2的面積為2.點尸為橢圓E上任意一點，以尸為圓心的圓（記為圓P）總經(jīng)過坐標(biāo)原

點。.

（I）求橢圓E的長軸44的最小值，并確定此時橢圓E的方程；

（2）對于（1）中確定的橢圓E,若給定圓耳：（x+l『+y2=3,則圓尸和圓K的公共弦MN

的長是否為定值？如果是，求|用明的值；如果不是，請說明理由.

【正確答案】（1）長軸A4的最小值為20，此時橢圓￡的方程為與+尸=1;（2）2.

【分析】（1）利用四邊形”46當(dāng)?shù)拿娣e求得2歷=2,利用基本不等式求得A4的最小值,

同時求得橢圓的方程.（2）設(shè)出戶點坐標(biāo)，代入橢圓方程，得到尸點兩個坐標(biāo)的關(guān)系式.求得

圓尸的方程和圓K的方程，兩者作差求得公共弦所在直線方程，求得圓心到公共弦的距離，

由此求得弦長|同為定值.

【詳解】解:⑴依題意四邊形耳與入々的面積為2歷,，2反=2,

因為長軸A&=2a=27^7/220元=2五，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時取“=”

此時a=y/l,

故長軸A4的最小值為2立，此時橢圓E的方程為y+/=l.

（2）設(shè)點產(chǎn)5,為）為橢圓E上任意一點，則亨+為2=1=靖=1號.

22

圓P的方程為：（工一與