離散型隨機變量及其分布列高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修三

7.2離散型隨機變量及其分布列

求隨機事件的概率時，我們往往需要為隨機試驗建立樣本空間，并會涉及樣本點和隨機事件的表示問題.類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對應(yīng)關(guān)系，如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數(shù)集之間建立某種對應(yīng),將不僅可以為一些隨機事件的表示帶來方便,而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機試驗.

有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值有關(guān)系，我們可以直接與實數(shù)建立對應(yīng)關(guān)系.例如，擲一枚骰子，用實數(shù)m(m=1、2、3、4、5、6)表示“擲出的點數(shù)為m”;又如，擲兩枚骰子，樣本空間為Ω={(x，y)|x、y=1、2、…、6}，用x+y表示“兩枚骰子的點數(shù)之和”，樣本點(x，y)就與實數(shù)x+y對應(yīng).一、探究新知

類似地，擲一枚硬幣，可將試驗結(jié)果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；隨機調(diào)查學(xué)生的體育綜合測試成績，可將等級成績優(yōu)、良、中等、及格、不及格分別賦值5、4、3、2、1；等等.

有些隨機試驗的樣本點與數(shù)值沒有直接關(guān)系，我們可以根據(jù)問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值.例如，隨機抽取一件產(chǎn)品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結(jié)果，它們與數(shù)值無關(guān).如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個試驗的樣本點與實數(shù)就建立了對應(yīng)關(guān)系.

對于任何一個隨機試驗,總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應(yīng).

即通過引人一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化.因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性.一、探究新知一、探究新知

考察下列隨機試驗及其引入的變量:

試驗1:

從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù);

試驗2:

拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止,變量Y表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應(yīng)的?變量X、Y有哪些共同的特征?

對于試驗1,如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”,用0和1構(gòu)成的長度為3的字符串表示樣本點，則樣本空間

Ω1={000,001,010,011,100,101,110,111}.各樣本點與變量X的值的對應(yīng)關(guān)系如右圖所示.11111010110001101000100032212110Ω1X一、探究新知

考察下列隨機試驗及其引入的變量:

試驗1:

從100個電子元件(至少含3個以上次品)中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數(shù);

試驗2:

拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止,變量Y表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應(yīng)的?變量X、Y有哪些共同的特征?

對于試驗2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”,則樣本空間

Ω2={，th,tth,ttth,…}，Ω2包含無窮多個樣本點.

各樣本點與變量Y的值的對應(yīng)關(guān)系如右圖所示.…ttthtththh…4321Ω2Yh……………h(huán)…………h(huán)………h(huán)……tttt

在上面兩個隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng).變量X、Y有如下共同點:

(1)取值依賴于樣本點；

(2)所有可能取值是明確的.二、隨機變量

一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng),我們稱X為隨機變量．

試驗1中隨機變量X的可能取值為0、1、2、3，共有4個值；試驗2中隨機變量Y的可能取值為1、2、3、…，有無限個取值，但可以一一列舉出來.

可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量.

通常用大寫英文字母表示隨機變量,例如X、Y、Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x、y、z.

隨機變量的概念是俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫(Che-byshev，1821—1894)在19世紀中葉建立和提倡使用的.

現(xiàn)實生活中還有大量不是離散型隨機變量的例子.

例如，種子含水量的測量誤差X1；某品牌電視機的使用壽命X2；測量某一個零件的長度產(chǎn)生的測量誤差X3.這些都是可能取值充滿了某個區(qū)間、不能一一列舉的隨機變量.本節(jié)我們只研究取有限個值的離散型隨機變量.

不難發(fā)現(xiàn)，隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集.隨機變量的取值X(ω)隨著試驗結(jié)果ω的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機事件.三、探究新知

現(xiàn)實生活中，離散型隨機變量的例子有很多.例如，某射擊運動員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X，它的可能取值為0、1、2、…、10；某網(wǎng)頁在24h內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y，它的可能取值為0、1、2、…；等等

你能再舉出一些離散型隨機變量和不是離散型的隨機變量的例子嗎?

根據(jù)問題引入合適的隨機變量，有利于我們簡潔地表示所關(guān)心的隨機事件，并利用數(shù)學(xué)工具研究隨機試驗中的概率問題.

例如，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，X表示擲出的點數(shù)，則事件“擲出m點”可以表示為{X=m}(m=1、2、3、4、5、6)，事件“擲出的點數(shù)不大于2”可以表示為{X≤2}，事件“擲出偶數(shù)點”可以表示為{X=2}∪{X=4}∪{X=6}，等等.由擲出各種點數(shù)的等可能性，可得三、條件概率

這一規(guī)律可以用下表表示：X123456P

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1、x2、…、xn，則稱X取每一個值xi的概率

P(X=xi)=Pi(i=1，2，…，n)為X的概率分布列，簡稱分布列.

與函數(shù)的表示法類似，離散型隨機變量的分布列也可以用表格表示(如下左表)，還可以用圖形表示.例如，下右圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖.四、分布列Xx1x2…xnPp1p2…pnPXO234561

根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量分布列具有下述兩個性質(zhì):

(1)pi≥0(i=1，2，…，n)

(2)p1+p2+…+pn=1

利用分布列和概率的性質(zhì)，可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率.例如，在擲骰子試驗中，由概率的加法公式得，事件“擲出的點數(shù)不大于2”的概率為

P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=四、分布列

類似地,事件“擲出偶數(shù)點”的概率為P({X=2}∪{X=4}∪{X=6})=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)五、精典例題例1一批產(chǎn)品中次品率為5%，隨機抽取1件，定義

求X的分布列.五、精典例題

對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗,用A表示“成功”，

表示“失敗”，定義

如果P(A)=p，則P(

)=1-p，那么X的分布列如下表所示.

則稱X服從兩點分布或0—1分布.

實際上，X為在一次試驗中成功(事件A發(fā)生)的次數(shù)(0或1).像購買的彩券是否中獎，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，都可以用兩點分布來描述.X01P1-pp例2某學(xué)校高二年級有200名學(xué)生,他們的體育綜合測試成績分5個

等級，每個等級對應(yīng)的分數(shù)和人數(shù)如下表所示.五、精典例題等級不及格及格中等良優(yōu)分數(shù)12345人數(shù)2050604030

從這200名學(xué)生中任意選取1人，求所選同學(xué)分數(shù)X的分布

列，以及P(X≥4).例3一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺.如果從

中隨機挑選2臺,求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列.五、精典例題六、課堂小結(jié)1.隨機變量：

2.概率分布列：

一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都

有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng),我們稱X為隨機變量．

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1、x2、…、xn，

則稱X取每一個值xi的概率

P(X=xi)=Pi(i=1，2，…，n)

為X的概率分布列，簡稱分布列.Xx1x2…xnPp1p2…pn

可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為

離散型隨機變量.

通常用大寫英文字母表示隨機變量,例如X、Y、

Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x、y、z.六、課堂小結(jié)3.離散型隨機變量分布列的性質(zhì)：

4.兩點分布：

(1)pi≥0(i=1，2，…，n)

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