2023屆臺州市重點中學第二學期高三數(shù)學試題期末試卷

2023屆臺州市重點中學第二學期高三數(shù)學試題期末試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的單調函數(shù)的是（）

A./(x)=ln(|%|+l)B.f(x)=x-'

2、(x<0)

X2+2x,(尤之0)

D./(%)=<0,(x=0)

—x2+2x,(x<0)

r2v2

2.已知橢圓］■+方=1（。>〃>0）的左、右焦點分別為"、鳥，過”的直線交橢圓于A，B兩點,交y軸于點M,

若&、M是線段A3的三等分點，則橢圓的離心率為（）

A.-B.—C.巫D.—

2255

3.已知函數(shù)/（月=85（蛆+夕）/>0,0<8<、）的最小正周期為萬，且滿足,f（x+e）=/（0—x）,則要得到函

數(shù)“X）的圖像，可將函數(shù)g（x）=sin@x的圖像（）

A.向左平移2個單位長度B.向右平移力個單位長度

C.向左平移三個單位長度D.向右平移三個單位長度

1212

4.若（2x+2）的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)〃的值為（）

A.7B.6C.5D.4

5.已知復數(shù)z滿足z（l+i）=l—i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.-iB.iC.1D.T

6.函數(shù)〃力=力不的部分圖像大致為（）

A.

7.[lx2--J=j的展開式中有理項有（）

A.3項B.4項C.5項D.7項

8.公比為2的等比數(shù)列｛4｝中存在兩項品，a,滿足斯4=32q2,則工+士的最小值為（

n)

mn

95413

A.B.

73310

9.設拋物線C:y2=2Px（p>0）的焦點為F,拋物線C與圓。'：f_g?=3交于M,N兩點，若|MN|=卡，則

MNF的面積為（）

A拒n3?3V2n3垃

A.——B.—C?-------D.------

8884

10.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛,

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了（）

A.96里B.72里C.48里D.24里

11.已知雙曲線。:0-[=1（。>0力>0）的左、右焦點分別為￡,F,,點尸是C的右支上一點，連接與y軸交

ab

于點M,若忻a=2|OM|（0為坐標原點），PFt-LPF2,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±3xB.y=±#>xC.y-±2xD.y=±0x

12.我國古代有著輝煌的數(shù)學研究成果，其中的《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，

有豐富多彩的內容，是了解我國古代數(shù)學的重要文獻.這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期.某中學

擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時期專著的概率為（）

3749

A.—B.—C.—D.—

510510

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為〃的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后,

半球的大圓面、水面均與容器口相平，則〃的值為.

TT

14.已知平面向量a,b，c滿足|a|=l,g1=2,a,/?的夾角等于不，且（a-tf）?（萬一c）=0，則IdI的取值

范圍是.

15.在四棱錐P-ABCD中，Q46是邊長為26的正三角形，ABCO為矩形，AD=2,PC=PO=05.若四棱

錐P-ABCD的頂點均在球。的球面上，則球。的表面積為

16.已知a=log030.2,/?=log20.2,則a+b.ab（填“>"或"=”或"v”）.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

丁+/

17.（12分）已知印-1,0）,與（1,0）分別是橢圓C:=l,（a>〃>0）的左焦點和右焦點，橢圓C的離心率為

好,4B是橢圓C上兩點，點M滿足8加=!區(qū)4.

52

⑴求C的方程；

⑵若點〃在圓d+y2=i上，點。為坐標原點，求。403的取值范圍.

18.（12分）已知/（x）=xhu與有兩個不同的交點A,B,其橫坐標分別為再，%（%<當）.

（1）求實數(shù)。的取值范圍；

/c、f13Q+2+^3

（2）求證：ae+l<x2-x1<-----------

19.（12分）某公司生產的某種產品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產部門當年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司年

的相關數(shù)據如下表所示：

年份20112012201320142015201620172018

年生產臺數(shù)（萬臺）2345671011

該產品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5

年返修臺數(shù)（臺）2122286580658488

181X8

部分計算結果：無=dZ%=6,y=wZ）'，=4,（毛一元）~=72,

X/=1芯/=1z=l

88

—a=18.045,之（為一元）（為一歹）=34.5

i=\i=l

年返修臺數(shù)

注:年返修率=

年生產臺數(shù)

(1)從該公司年的相關數(shù)據中任意選取3年的數(shù)據，以《表示3年中生產部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求J的分布列和

數(shù)學期望；

(2)根據散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據，試用剩下的數(shù)據求出年利潤》(百萬元)關于年

生產臺數(shù)x(萬臺)的線性回歸方程(精確到0.01).

附：線性回歸方程)，=/*+4中，刃a=y-bx.

一乃一2/尸

20.(12分)已知｛4｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，｛q｝的前"項和為S"，滿足q=3,4=1,^+$2=1。，

a5-2b2=a3.

(1)求數(shù)列｛q｝和低｝的通項公式;

為奇數(shù),.

(2)令%，數(shù)列｛%｝的前"項和?；，求心.

b?,〃為偶數(shù)

21.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè)，實現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流，政府決定在A市與B市之間建一條直達公路，中

間設有至少8個的偶數(shù)個十字路口，記為2加，現(xiàn)規(guī)劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概

率均為二

(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數(shù)據如下所示：

A市居民8市居民

喜歡楊樹300200

喜歡木棉樹250250

是否有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性;

(2)若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有X個路口種植楊樹，求X的分布列以及數(shù)學期望;

(3)在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數(shù)為M,求證：3M..m(m-l)(m-2).

n(ad-bc)2

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

22.(10分)qABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ccosB—Z?si/C=O,cosA=cos2A.

(1)求C;

(2)若a=2,求，一ABC的面積S",

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

對選項逐個驗證即得答案.

【詳解】

對于A,F(—x)=ln(|f|+l)=ln(W+l)=〃x),.?./(%)是偶函數(shù),故選項A錯誤；

對于3,〃X)=XT=L定義域為{X|X#0},在R上不是單調函數(shù)，故選項8錯誤；

X

對于C,當x>()時，—x<0,/(—X)=—(―x)+2(—x)=-x?-2x=-(X2+2x)=—/(x)；

當X<()時，-x>0,x)=(―x)+2(—x)=X?-2x=—(―x?+2x)=—/(X)；

又x=0時，/(-0)=-/(0)=0.

綜上,對xeR,都有〃T)=-〃X),.?.“X)是奇函數(shù).

又X20時，/(力=丁+2%=(1+1)2-1是開口向上的拋物線，對稱軸x=—1,.?./(X)在［0,+?))上單調遞增,

?."(X)是奇函數(shù)，.??/(x)在R上是單調遞增函數(shù)，故選項C正確；

對于O,在(一8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞增，但/(-l)=g>/(l)=-g,.??/(X)在R上不是單

調函數(shù)，故選項O錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)的基本性質，屬于基礎題.

2、D

【解析】

根據題意，求得A例,8的坐標，根據點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程，即可求得結果.

【詳解】

由已知可知，M點為Af；中點，6為中點，

故可得叫+/=2加=0,故可得4=c；

2v2b1b2

代入橢圓方程可得三c■+解得幺，不妨取以=￡-,

2r=1,y=±

a~b~aa

故可得A點的坐標為

(h2}

則，易知點坐標-2c,一~^~

M0.—2a3

I)l2。J

將B點坐標代入橢圓方程得/=502,所以離心率為好,

5

故選：D.

【點睛】

本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據題意求得A點的坐標，屬中檔題.

3、C

【解析】

依題意可得0=2,且是/(*)的一條對稱軸，即可求出。的值，再根據三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得;

【詳解】

TT

解：由已知得60=2,%是/(X)的一條對稱軸，且使f(x)取得最值，貝!|3。=也，(p=~,

/(x)=cosf2x+j=cos，g(x)=sin2x=cos(2x-'1),

故選：c.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的性質以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎題.

4、C

【解析】

由二項式系數(shù)性質，(“+〃)”的展開式中所有二項式系數(shù)和為2"計算.

【詳解】

l^2x+^的二項展開式中二項式系數(shù)和為2"，2"=32,.?.〃=5.

故選：C.

【點睛】

本題考查二項式系數(shù)的性質，掌握二項式系數(shù)性質是解題關鍵.

5、D

【解析】

根據復數(shù)z滿足z(l+i)=l-i,利用復數(shù)的除法求得工，再根據復數(shù)的概念求解.

【詳解】

因為復數(shù)Z滿足+=

川“10-02

所以Z=——；=/'.、/—T-=-I,

1+z+

所以Z的虛部為一1.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查復數(shù)的概念及運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

6、A

【解析】

根據函數(shù)解析式，可知/(x)的定義域為xwR,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出/(—x)=/(x),貝U/(x)為偶

函數(shù)，可排除C,。選項，觀察A,8選項的圖象，可知代入x=0,解得/(0)>0,排除3選項，即可得出答案.

【詳解】

EE、F

解：因為〃r/尤\)=彳C1OS聲X，

所以的定義域為xwR,

則/(一)=竺四=至

.??/(x)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，排除c,。選項，

且當x=0時，/(0)=1>0,排除8選項，所以A正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進行排除.

7、B

【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出x的指數(shù)為整數(shù)時，?的個數(shù)，即可求解.

【詳解】

207r

&=(-1)2“0》3?0<r<10,

當r=0,3,6,9時，7；+1為有理項，共4項.

故選:B.

【點睛】

本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關鍵，屬于基礎題.

8、D

【解析】

根據已知條件和等比數(shù)列的通項公式，求出加，“關系，即可求解.

【詳解】

ama?=42"+”2=32^2^m+n=7,

/1451413

當/77=1,〃=6時，一+—,當根=2,〃=5時，——F—=一,

mn3mn10

14414io

當根=3,〃=4時，一+—=一,當優(yōu)=4,〃=3時，一+一=一,

mn3mn12

wc21411Mz乙…1425

當根=5,〃=2時，——F—=一,當加=6,〃=1時，一+一=一,

mn5mn6

14口3J3

—I■一最小值為二?

mn1()

故選:D.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式，注意優(yōu),〃為正整數(shù)，如用基本不等式要注意能否取到等號，屬于基礎題.

9、B

【解析】

由圓C過原點，知例,N中有一點M與原點重合，作出圖形，由|C'M=|C'N|=G，|MN|=八，得C'MLC'N,

IT

從而直線MN傾斜角為一，寫出N點坐標，代入拋物線方程求出參數(shù)"，可得/點坐標，從而得三角形面積.

4

【詳解】

由題意圓C'過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為M，如圖，

由于|C'M|=|C'N|=6，|削|="，：.C'M±C'N,:.NCMN=gNNQx=（,

???點N坐標為（百，百），代入拋物線方程得（百）J2pxG，p=2,

2

,Y，0)，SA”支訓*W4冬百=1.

4Z24o

故選：B.

【點睛】

本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發(fā)現(xiàn)原點。是其中一個交點，從而AWC是等腰直角三角形，于是可得N

點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解.

10、B

【解析】

人每天走的路程構成公比為;的等比數(shù)列，設此人第一天走的路程為4,計算％=192,代入得到答案.

【詳解】

由題意可知此人每天走的路程構成公比為;的等比數(shù)列，設此人第一天走的路程為q,

則L」=379,解得"=192,從而可得%=192XL=96.6=192X上=24,故電一出=96-24=72.

I2\27

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.

11、C

【解析】

利用三角形AOM耳與AP與尸相似得|P耳|=2|尸閭，結合雙曲線的定義求得a,〃,c的關系，從而求得雙曲線的漸近線

方程。

【詳解】

設耳(―c,0),8(c,0),

由1Kq=2|OM|,AOM6與相似，

2,即附|=2附|,

\OM\

又因為|P耳1Tp圖=2a,

所以歸用=4”，|P閭=2%

所以4c2=16/+4/,即。2=5。2,〃2=4。2,

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2x.

故選：C.

【點睛】

本題考查雙曲線幾何性質、漸近線方程求解，考查數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。

12、D

【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學文化”校本課程學習內容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結果.

【詳解】

《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《緝古算經》，這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝

時期.記這5部專著分別為4c,d,e,其中”,仇。產生于漢、魏、晉、南北朝時期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)

學文化”校本課程學習內容，基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種情況，所選2部專著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有根,共9種情況，所以所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為尸=0=二.故選D.

n10

【點睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的

關鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；（2）樹狀圖法：適合于較

為復雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先（A，笈），（4，不）~.（4，&）,

再（4,耳），（4,4）.….（&,紇）依次⑷,即（怎（4,紇）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、次

【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.

【詳解】

設圓錐的底面半徑為廣，體積為丫，半球的體積為匕，水（小圓錐）的體積為匕，如圖

則OA=r,OC=LOB=2,3E=/z,所以6。=寸，2xr=VP77xl，解得戶=§，

22

所以丫=—/rrX2=-7V,V,=—TT,V2=—^x（—）xh=」■兀h，,

39132329

Qo1

由丫=匕+匕，得x乃=;乃+三乃川，解得//=次.

939

故答案為：啦

【點睛】

本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.

14.-----------------.-------------------

【解析】

llc2+l

計算得到la+81=J7，cz=^\c\cosa-\,解得cosa=)r，根據三角函數(shù)的有界性計算范圍得到答案.

【詳解】

_JI

由（a-c）?（〃一c）=（）可得c2=（a+b）?c—a-0=la+ZjHc\cosa-lx2cos—=\a+h1*1c\cosa-T,a為a+b

與C的夾角.

再由（a+bI=ci"+b~+2ci*b=l+4+2x1x2cos—=7可得la+bl=>/7>

_c2+1

C2=v7Ic\cosa-1,解得cosa-r-,,

V-\<cosa<\,即卜『一5mi+i'a解得">Wmiw”；，

幣-拒近+百

故答案為

-2-，-2-

【點睛】

本題考查了向量模的范圍，意在考查學生的計算能力，利用三角函數(shù)的有界性是解題的關鍵.

15、287r

【解析】

做AO中點產，8c的中點G,連接PF,PG,FG,由已知條件可求出PE=3,PG=J?，運用余弦定理可求

NPEG=120,從而在平面PFG中建立坐標系，則P,￡G以及△小。的外接圓圓心為。|和長方形ABC。的外接

圓圓心為儀在該平面坐標系的坐標可求，通過球心。滿足。。，尸￡。。2即可求出。的坐標，從而可求球

的半徑，進而能求出球的表面積.

【詳解】

解：如圖做AO中點R,8C的中點G,連接PF,PG,FG,由題意知

PFA.AD,PGA.BC,則PP=26xsin60=3,PG=J22-3=M

2

設的外接圓圓心為a,則a在直線。/上且p。=-PF

設長方形ABCD的外接圓圓心為02,則02在FG上且尸。2=GO].設外接球的球心為。

32+?2-191

在XPFG中，由余弦定理可知cosNPFG=-----------=一一，/.NPFG=120.

2x3x22

在平面PFG中，以尸為坐標原點，以FG所在直線為x軸，以過尸點垂直于x軸的直

線為y軸，如圖建立坐標系，由題意知，。在平面PFG中且。。|，「尸,。。2

3>/3

設O（l,y）,則。卜；，用，「一|，孚，因為°。一刊"所以

3

1+2

2

故答案為：284.

本題考查了幾何體外接球的問題，考查了球的表面積.關于幾何體的外接球的做題思路有：一是通過將幾何體補充到長

方體中，將幾何體的外接球等同于長方體的外接球，求出體對角線即為直徑，但這種方法適用性較差；二是通過球的

球心與各面外接圓圓心的連線與該平面垂直，設半徑列方程求解；三是通過空間、平面坐標系進行求解.

16、＞

【解析】

注意到。＞1,人＜0,故只需比較L+，與1的大小即可.

ab

【詳解】

由已知，a>l,b<09故有必.又由一+-=logo20.3+logo22=logo20-6<l,

ab

故有a+b>ah.

故答案為：＞.

【點睛】

本題考查對數(shù)式比較大小，涉及到換底公式的應用，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)三+工=1；(2)

54~7~~57

【解析】

（1）根據焦點坐標和離心率，結合橢圓中。，"C,的關系，即可求得。，氏C的值，進而得橢圓的標準方程.

（2）設出直線AB的方程為丫=履+加，由題意可知M為|A6|中點.聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理表示出

%+%2，%1%2,由判別式/＞0可得弘2+4＞m2；由平面向量的線性運算及數(shù)量積定義，化簡0406可得

OAOB=1-^AB2,代入弦長公式化簡；由中點坐標公式可得點M的坐標，代入圓的方程/+y2=],化簡可得

2

/（20/-8）

+41,代入數(shù)量積公式并化簡，由換元法令r=公+1,代入可得OA-OB=l-20x

in2（5I）（2559），

25/+16

1-----..../（20/-8）

再令s=-及。=5-2s,結合函數(shù)單調性即可確定25的取值范圍，即確定.的取值范圍，

t9（y+一+50（5/-l）（25r-9）

因而可得。06的取值范圍.

【詳解】

2

r2

（1）6（T，0）,&（1,0）分別是橢圓C：0+彳y=1,（。＞/?＞0）的左焦點和右焦點,

則c=l,橢圓C的離心率為好,

5

則e二￡二!二—，解得a—9

aa5

所以廬=/_。2=5-1=4>

所以C的方程為匕+.=1.

54

（2）設直線AB的方程為尸區(qū)+，”，點〃滿足8M=gBA,則M為|AB|中點，點加在圓Y+,2=［上，設

A（石,加,5（孫必），

y=kx+m

聯(lián)立直線與橢圓方程f2化簡可得卜%2+4b2+10km+5m2-20=0,

一+—=

54

-10k”5謂一20

所以的+%25A2+4'''5^2+4

222

貝!]△=（10也?廣一4x（5左2+4）x（5m-20）>0,化簡可得5k+4>m，

而OA.OB=（OM+M4）.（OM+

=OM2+OMMB+MAOM+MAMB

.22

=OM-MB

=1.*

X]+尢2_-5km左（X]+%2）+2。_4m

M為|A8|中點，則”~l~=7^,yM=2=K7

2

5廬+4

點M在圓V+y2=i上，代入化簡可得加2

25火2+16

,左2+15&2+4-謂

所以。4。8=1-丁x80x

2~

+4

,2+1)00/+12)

=l-20x

(5/+4)(25尸+16)

r(20/-8)

令02+I,則。AO8d20x(」)(25‘9)'

120r-8)

令s=1,0<sK1,貝(]20—8s

(5r-l)(25r-9)(5-5)(25-95)

4(5-25)

-(5-5)(25-9.v)

令o=5—2s,ow[3,5),貝!|s=3^^,

4(5-2s)_16__16

所以(5-5)(25-95)=(5+助(5+9⑹=菰汽%，

CD

2s16(±3_

因為/(。)=9。+—+50在。e[3,5)內單調遞增，所以"十5。右125'16

CO

即，史：一8)(上3

(5/-1)(25/-9)(2516

r(20r-8)11

所以OAO8=1-20X~~^e——

7(51)(25.9)47)

【點睛】

本題考查了橢圓的標準方程求法，直線與橢圓的位置關系綜合應用，由韋達定理研究參數(shù)間的關系，平面向量的線性

運算與數(shù)量積運算，弦長公式的應用及換元法在求取值范圍問題中的綜合應用，計算量大，屬于難題.

18、(1)I-j?0；(2)見解析

【解析】

(D利用導數(shù)研究/(x)=xlnr的單調性，分析函數(shù)性質，數(shù)形結合，即得解；

11((\

(2)構造函數(shù)g(x)=-x-xlax,k(x)=-----(x-D-xlnx可證得：-x>xlnx,-----(x-l)>xlnxxe-,1

e-1e-1\e

1

分析直線〉=一工,y與尸

從左到右交點的橫坐標，/(X)在x=e-3,x=l處的切線即得解.

【詳解】

(1)設函數(shù),f(x)=xlnx,

/'(x)=l+lnx,

令/<x)>O,x>L,令/[x)<O,O<x<，

ee

故在。：)單調遞減，在e，E)單調遞增,

,.?》->0+時/(%)-0；/(1)=0；X-”時/(x)—+OO

(2)①過點(0,0),仁，一皆的直線為丁=—,

貝！|令g(x)=-x_xlnr,

g'(x)=_2-lnx

ng(x)m”=g(e*)，g(x)min>min.O,g^-j=0

((1^

=>-x>xlarxe\0,-,

IVe))

②過點(l，o),，，-J的直線為y=?(x—l),

貝！Jh^x)=——-(x-l)-xlnx

hfCx)-----lnr-1>0=/z(x)在上單調遞增

e—1

=>/?(x)>/z(x-l)>xlorxe

③設直線卜=_》，y=」一(x—l)與y=a

e—1

從左到右交點的橫坐標依次為毛=一。，x4=a(e-l)+l,

由圖知W~x\>Z一七=4e+l.

④/(工)在犬=0-3,x=l處的切線分別為y=-2x—e-3,y=x-\,同理可以證得

_((\\

x-1<x\nxxe-2x-e-3<x\nxXG0,—

Il打

記直線y=。與兩切線和/z(x)從左到右交點的橫坐標依次為天，%/，%，

-3

e3。+2—e

x<x-X=(/Q+1、)--—--Q-----

2652

【點睛】

本題考查了函數(shù)與導數(shù)綜合，考查了學生數(shù)形結合，綜合分析，轉化劃歸，邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.

19、(1)見解析；(2)y=0.48x+1.27

【解析】

(1)先判斷得到隨機變量4的所有可能取值，然后根據古典概型概率公式和組合數(shù)計算得到相應的概率，進而得到分

布列和期望.(2)由于去掉2015年的數(shù)據后不影響的值，可根據表中數(shù)據求出￡；然后再根據去掉2015年的數(shù)據

后所剩數(shù)據求出a即可得到回歸直線方程.

【詳解】

(1)由數(shù)據可知，2012,2013,2016,2017,2018五個年份考核優(yōu)秀.

由題意J的所有可能取值為0,1,2,3,

P—O)W=《，

r'C215

p("l)

c356

(S')C；5628

故J的分布列為:

0123

115155

P

56562828

15

所以魅=0xJ-+l>,"+2x”+3二二---.

565628288

(2)因為/=亍=6,所以去掉2015年的數(shù)據后不影響G的值,

亍)(乂一刃=34.5

所以2

Zg)2fX0.48.

6x8-64x8-329

又去掉2015年的數(shù)據之后±=

y-7--T

-29345

所以&=亨一版=N—tx6al.27,

772

從而回歸方程為：9=0.48x+1.27.

【點睛】

求線性回歸方程時要涉及到大量的計算,所以在解題時要注意運算的合理性和正確性，對于題目中給出的中間數(shù)據要

合理利用.本題考查概率和統(tǒng)計的結合,這也是高考中常出現(xiàn)的題型，屬于基礎題.

20、(1)區(qū),=2〃+1,以=2"，(2)71=^-+1L

2"2〃+13

【解析】

(D設｛《,｝的公差為4,｛d｝的公比為4,由基本量法列式求出d,q后可得通項公式;

(2)奇數(shù)項分一組用裂項相消法求和，偶數(shù)項分一組用等比數(shù)列求和公式求和.

【詳解】

(1)設｛q｝的公差為d,｛2｝的公比為9,由4+$2=10,%-22=生?得：

q+6+d-10\d=2

解得《

3+4d-2q-3+2d9=2

4=3+2（〃-1）=2〃+1,b“=2"T

（2）由q=3,=2〃+l得S“=〃（〃+2）,

211,

“為奇數(shù)時，％=不=-------r,〃為偶數(shù)時，*=2"T,

n〃+2

二4“=（。1+。3++。2,1）+（。2+C4++。2“）

=叫）+-）++（-i--一^）］+（2+2、+2-%i-^-+^z￡）.^L+Md）,

2n-\2n+l2〃+l1-42〃+l3

【點睛】

本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查分組求和法及裂項相消法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前〃項和公式，

求通項公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通項公式前〃項和公式得出相應結論.數(shù)列求和問題，對不是

等差數(shù)列或等比數(shù)列的數(shù)列求和，需掌握一些特殊方法：錯位相減法，裂項相消法，分組(并項)求和法，倒序相加

法等等.

21、(1)沒有(2)分布列見解析，E(X)=2(3)證明見解析

【解析】

(1)根據公式計算卡方值，再對應卡值表判斷..

(2)根據題意，隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率，寫出分布列，根據期望公式求值.

(3)因為至少8個的偶數(shù)個十字路口，所以2機.8,即機.4.要證3M..m(租-1)(租-2),即證V..，〃(〃-)(〃-2),

3

根據組合數(shù)公式，即證M..2G：,;易知有C,3>C)成立.設2m個路口中有p(p€N,p,,2巾)個路口種植楊樹，下面

分類討論①當〃e{0,1,2}時，由