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文檔簡(jiǎn)介
2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)試
八年級(jí)數(shù)學(xué)
一.選擇題(共6小題)
1.下面四幅作品分別代表二十四節(jié)氣中“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”,其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是
3.防疫指揮部門(mén)對(duì)某校進(jìn)行核酸抽檢,從全校師生中抽取了100名師生對(duì)其核酸檢測(cè),在此問(wèn)題中數(shù)目100是
()
A.樣本B.樣本容量C.總體D.個(gè)體
4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,被一團(tuán)墨水覆蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)有可能是()
5.下列事件:①三條線(xiàn)段能組成一個(gè)三角形;②太陽(yáng)從東方升起;③。是實(shí)數(shù),同<0;④購(gòu)買(mǎi)一張大樂(lè)透彩票,
中大獎(jiǎng)500萬(wàn).其中必然事件是().
A.①B.②C.③D.④
6.如圖,正方形ABCO和正方形。EFO的頂點(diǎn)A,E,。在同一直線(xiàn)/上,且EF=五,43=3,點(diǎn)A/、N分別
是線(xiàn)段和A3的中點(diǎn),則MN的長(zhǎng)為()
A.-y/2B.-C,D,
2242
二.填空題(共10小題)
7.用反證法證明“正是無(wú)理數(shù)”時(shí),第一步應(yīng)該假設(shè).
8.已知(一3,y),(3,%)都在函數(shù)產(chǎn)》+1圖象上,則另,%的大小關(guān)系為(用連接).
9.如表是小明做“拋擲圖釘試驗(yàn)”獲得的數(shù)據(jù),則可估計(jì)“釘尖不著地”的概率為.
拋擲次數(shù)1003005008001000
針尖不著地的頻數(shù)6418031()488610
針尖不著地頻率0.640.600.620.610.61
10.如圖,函數(shù)y=2x和y=ox+9的圖象相交于點(diǎn)A(m,6),則不等式辦+9>2x的解集是
11.在平面直角坐標(biāo)系x0y中,把點(diǎn)P(。一1,5)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)。(如,5),則a—28+3的值為
12.如圖,YABCD的面積為4,點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上,E、尸分別在AB、ADt,且PE〃3C,PF//CD,連
接所,圖中陰影部分的面積為
13.如圖,矩形A8C。的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。,點(diǎn)E在線(xiàn)段A。上,S.DE=DC,若NEDO=15:則NQEC=
14.如圖,將一等邊三角形的三條邊各8等分,按順時(shí)針?lè)较颍▓D中箭頭方向)標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào)0、1、2、3、
4、5、6、7、8,將不同邊上的序號(hào)和為8的兩點(diǎn)依次連接起來(lái),這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系.在建立的“三角
形”坐標(biāo)系內(nèi),每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過(guò)這一點(diǎn)且平行(或重合)于原三角形三條邊的直線(xiàn)與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來(lái)表示(水
平方向開(kāi)始、按順時(shí)針?lè)较颉⑷∨c三角形外箭頭方向一致的一側(cè)序號(hào)),如點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為。,2,5),點(diǎn)C的坐
標(biāo)可表示為(2,4,2),按此方法,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
8A0
15.把圖1中的菱形沿對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)全等的直角三角形,將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖2,圖3所示的正方
形,如果圖2和圖3每個(gè)圖形中間的正方形面積分別為9和1,則圖1中菱形的面積為.
16.已知四個(gè)點(diǎn)A(4,0)、3(0,3)、C(4a,-3a+l)、。能組成平行四邊形,則CO的最小值為
三.解答題(共10小題)
17.(1)計(jì)算:
(2)化簡(jiǎn):(2x—1)~+(x+6)(x—6)
18.兩種品牌方便面銷(xiāo)售增長(zhǎng)率折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖如圖:
增長(zhǎng)率
100%
年份
(1)88牌方便面的銷(xiāo)售量比A4牌多嗎?為什么?你認(rèn)為要做出這樣的推斷還需要什么信息?
(2)從折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖中你能獲得哪些信息?
19.某校體育設(shè)施向社會(huì)免費(fèi)開(kāi)放,對(duì)一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并將獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪
制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答問(wèn)題:
一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)圖
(1)一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民總?cè)藬?shù)為多少?
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)為了給運(yùn)動(dòng)健身的市民提供更多的便利,你認(rèn)為學(xué)校可以在哪些運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的場(chǎng)地加大投入?請(qǐng)結(jié)合數(shù)據(jù)說(shuō)明
理由.
20.如圖,在平行四邊形A8CD中,E,尸是對(duì)角線(xiàn)上兩點(diǎn),請(qǐng)從①②?CDF這2個(gè)條件
中,選擇其中1個(gè)作為條件來(lái)證明。尸=BE.你選擇的條件是:(寫(xiě)序號(hào)),并寫(xiě)出證明過(guò)程.
21.如圖,通過(guò)旋轉(zhuǎn)—ABC可以使其與」死尸重合
(1)僅用無(wú)刻度直尺確定旋轉(zhuǎn)中心M(保留作圖痕跡),并寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)使其與,一。石尸重合的過(guò)程.
(2)若F、A的坐標(biāo)分別為(-3,2),(T,7),則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為
22.《九章算術(shù)》中記載,浮箭漏(圖①)出現(xiàn)于漢武帝時(shí)期,它由供水壺和箭壺組成,箭壺內(nèi)裝有箭尺,水勻速
地從供水壺流到箭壺,箭壺中的水位逐漸上升,箭尺勻速上浮,可通過(guò)讀取箭尺讀數(shù)計(jì)算時(shí)間,某學(xué)校STE4M小
組仿制了一套浮箭漏,并從函數(shù)角度進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)探究:
(實(shí)驗(yàn)觀察)實(shí)驗(yàn)小組通過(guò)觀察,每2小時(shí)記錄一次箭尺讀數(shù),得到下表:
供水時(shí)間無(wú)(小時(shí))02468
箭尺讀數(shù)y(厘米)618304254
浮箭漏示意圖
圖①圖②
(1)(探索發(fā)現(xiàn)):
若以供水時(shí)間》為橫軸,箭尺讀數(shù)y為縱軸,建立平面直角坐標(biāo)系,描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn),試判斷這些
點(diǎn)是否在同一條直線(xiàn)上.如果在同一條直線(xiàn)上,求出這條直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;如果不在同一條直線(xiàn)上,說(shuō)明
理由.
(2)(結(jié)論應(yīng)用)應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算:供水時(shí)間達(dá)到12小時(shí)時(shí),箭尺的讀數(shù)為多少厘米?
(3)如果本次實(shí)驗(yàn)記錄的開(kāi)始時(shí)間是上午8:00,那么當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時(shí)是幾點(diǎn)鐘?
23.如圖1,4,B.,C,2分別是四邊形A8CO各邊中點(diǎn),且AC=6,80=10.
(1)試判斷四邊形A|4G2的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,依次取4用,B£,CR,。A的中點(diǎn)4,鳥(niǎo),C2,D2,再依次取AB2,B2c2,C2D2,
2A2的中點(diǎn)4,鳥(niǎo),G,D3……以此類(lèi)推,取A,I紇T,紇tQt,C,的中點(diǎn)4,B“,
C”,2,根據(jù)信息填空:
①四邊形44G2的面積是;
②若四邊形A,B£,D”的面積為與,則〃=:
③試用?表示四邊形A“B£”D”的面積.
24.如圖,RtA^CEF1中,ZC=90°,/CEb和NCEE的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A分別作直線(xiàn)CE,CF
的垂線(xiàn),點(diǎn)B,。為垂足.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)若4?=a(a為常數(shù)),求(3£+口)(。/+口)的值.
25.折紙不僅是一項(xiàng)有趣的活動(dòng),也是一項(xiàng)益智的數(shù)學(xué)活動(dòng).
實(shí)踐操作:將矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折,使點(diǎn)。落ABCD所在平面內(nèi),邊BC和AD相交于點(diǎn)E
解決問(wèn)題:
圖1圖2備用圖
(1)如圖1,①求證..年金一SE②連接80',判斷BD和AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由
(2)如圖2,在矩形A3CO中,若AB=36,點(diǎn)尸是對(duì)角線(xiàn)4c上一動(dòng)點(diǎn),NACB=30°,連接Eb,作點(diǎn)C
關(guān)于直線(xiàn)EP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,直線(xiàn)P£交AC于。,當(dāng)△AEQ是直角三角形時(shí),直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng).
26.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)4(0,。)y軸正半軸上,點(diǎn)8(0,3,點(diǎn)C(c,0)在x軸正半軸上,且
a2-2ab+kr-c1=0.
(1)如圖1,求證:AB=OC;
(2)如圖2,當(dāng)。=3,8=1時(shí),過(guò)點(diǎn)8的直線(xiàn)與AC成45°夾角,試求該直線(xiàn)與AC的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(3)如圖3,當(dāng)人<0時(shí);點(diǎn)。在OC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且CZ)=QB,連接A。,射線(xiàn)8c交AD于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)B在
y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),/6石。的度數(shù)是否為定值?如果是,請(qǐng)求出/血>的度數(shù);如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)試
八年級(jí)數(shù)學(xué)
一.選擇題(共6小題)
1.下面四幅作品分別代表二十四節(jié)氣中的“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”,其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是
()
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念:在平面內(nèi),如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊,直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合,這樣的
圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形,這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸;據(jù)此回答即可.
【詳解】解:A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形,本選項(xiàng)不符合題意;
8、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形,本選項(xiàng)不符合題意;
C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形,本選項(xiàng)不符合題意;
力、是軸對(duì)稱(chēng)圖形,本選項(xiàng)符合題意.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念,掌握其定義是解題的關(guān)鍵.
2.下列式子是分式的是()
1b1D*
A.—B.-C.—
7122a5
【答案】C
A
【分析】利用分式定義,分式的概念:一般地,如果A,8表示兩個(gè)整式,并且8中含有字母,那么式子萬(wàn)叫做分
式,進(jìn)行解答即可.
【詳解】解:A、上是單項(xiàng)式,是整式,故A不符合題意;
71
B、2是單項(xiàng)式,是整式,故B不符合題意;
2
C、是分式,故C符合題意;
2a
D、犯1是單項(xiàng)式,是整式,故D不符合題意.
5
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的定義,關(guān)鍵是掌握分式的分母必須含有字母,而分子可以含字母,也可以不含字
母.
3.防疫指揮部門(mén)對(duì)某校進(jìn)行核酸抽檢,從全校師生中抽取了100名師生對(duì)其核酸檢測(cè),在此問(wèn)題中數(shù)目100是
()
A.樣本B.樣本容量C.總體D.個(gè)體
【答案】B
【分析】樣本容量則是指樣本中個(gè)體的數(shù)目,根據(jù)定義即可判斷.
【詳解】解:防疫指揮部門(mén)對(duì)某校進(jìn)行核酸抽檢,從全校師生中抽取了100名師生對(duì)其核酸檢測(cè),在此問(wèn)題中數(shù)
目100是樣本容量,故B正確.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了樣本容量的定義,關(guān)鍵是明確具體問(wèn)題中的總體、個(gè)體、樣本、樣本容量,樣本容量是
樣本中包含的個(gè)體的數(shù)目,不能帶單位.
4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系X。),中,被一團(tuán)墨水覆蓋住的點(diǎn)的坐標(biāo)有可能是()
A.(2,-5)B.(—2,5)C.(-2,-5)D.(2,5)
【答案】A
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系每一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征,即可解答.
【詳解】解:A.(2,—5)在第四象限,故A符合題意;
B.(—2,5)在第二象限,故B不符合題意;
C.(—2,—5)在第三象限,故C不符合題意;
D.(2,5)在第一象限,故D不符合題意.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo),熟練掌握平面直角坐標(biāo)系每一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.
5.下列事件:①三條線(xiàn)段能組成一個(gè)三角形;②太陽(yáng)從東方升起;③“是實(shí)數(shù),同<0;④購(gòu)買(mǎi)一張大樂(lè)透彩票,
中大獎(jiǎng)500萬(wàn).其中必然事件是().
A.①B.②C.③D.@
【答案】B
【分析】根據(jù)必然事件的定義,即可求解.
【詳解】解:①三條線(xiàn)段能組成一個(gè)三角形,是隨機(jī)事件;
②太陽(yáng)從東方升起,是必然事件;
③。是實(shí)數(shù),時(shí)<0,是不可能事件;
④購(gòu)買(mǎi)一張大樂(lè)透彩票,中大獎(jiǎng)500萬(wàn),是隨機(jī)事件;
故選:B
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是必然事件的概念,熟練掌握必然事件指在一定條件下,一定發(fā)生的事件是解題的關(guān)
鍵.
6.如圖,正方形A8C0和正方形QEFO的頂點(diǎn)A,E,。在同一直線(xiàn)/上,且£歹=夜,回=3,點(diǎn)M、N分別
是線(xiàn)段80和A3的中點(diǎn),則MN的長(zhǎng)為()
'E"I。?冬D.野
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求得£>G=1,AG=4,根據(jù)勾股定理求得AO=J萬(wàn),再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即
可求解.
【詳解】解:連接A。,DF,交直線(xiàn)/于點(diǎn)G,
:?DG=GF=、DF=2EF=1,OE1DF,
22
,/正方形ABCO的邊長(zhǎng)AB=3,
在RteAGO中,DG=1,AG=4,
45=4+42=屈,
?.?點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段BD和AB的中點(diǎn),
MN是的中位線(xiàn),
:.MN=-AD=^-,
22
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理,三角形的中位線(xiàn)定理,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)
題.
二.填空題(共10小題)
7.用反證法證明”正是無(wú)理數(shù)”時(shí),第一步應(yīng)該假設(shè).
【答案】0不是無(wú)理數(shù),是有理數(shù)
【分析】利用反證法應(yīng)先假設(shè)所證的結(jié)論錯(cuò)誤,命題的反面正確,據(jù)此即可解答.
【詳解】解:第一步應(yīng)該假設(shè):夜不是無(wú)理數(shù),是有理數(shù).
故答案為:夜不是無(wú)理數(shù),是有理數(shù).
【點(diǎn)睛】本題結(jié)合角的比較考查反證法,解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.
8.已知(—3,yj,(3,曠2)都在函數(shù))'=》+1圖象上,則X,%的大小關(guān)系為(用“〈”連接).
【答案】M<%
【分析】把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出函數(shù)值,即可得解.
【詳解】解:x=-3時(shí),乂=-3+1=-2,
x=3時(shí),%=3+1=4,
所以,%<力?
故答案為:乂<%?
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.
9.如表是小明做“拋擲圖釘試驗(yàn)”獲得的數(shù)據(jù),則可估計(jì)“釘尖不著地”的概率為.
拋擲次數(shù)1003005008001000
針尖不著地的頻數(shù)64180310488610
針尖不著地的頻率0.640.600.620.610.61
【答案】0.61
【分析】大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí),事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng),并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小,根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)
定性定理,可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率,這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.
【詳解】解:觀察表格發(fā)現(xiàn):隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多,頂尖著地的頻率逐漸穩(wěn)定到0.61附近,所以可估計(jì)“釘尖不著
地”的概率為0.61.
故答案為:0.61
【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率,當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多,或各種可能結(jié)果發(fā)生
的可能性不相等時(shí),一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率.
10.如圖,函數(shù)y=2x和>=以+9的圖象相交于點(diǎn)A(租,6),則不等式以+9>2x的解集是.
【分析】先將點(diǎn)A(m,6)代入y=2x,求出m的值,再根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可確定不等式的解集.
【詳解】解:將點(diǎn)A(〃?,6)代入y=2x,
得2m=6,
解得加=3,
,點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,6),
根據(jù)圖象,可知不等式以+9>2x的解集為x<3,
故答案為:x<3.
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式,熟練掌握一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.
11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,把點(diǎn)尸(。一1,5)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)。(?,5),則。一2/?+3的值為
【答案】7
【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)右移加,左移減;縱坐標(biāo)上移加,下移減即可得出答案.
【詳解】???把點(diǎn)尸(。一1,5)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)Q(2瓦5),
a—1—3=28.
;?a-26=4.
a—2/?+3=4+3=7.
故答案是7.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律,平移中點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是:橫坐標(biāo)右移加,左移減;縱坐標(biāo)上移加,
下移減,熟知點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
12.如圖,YABCD的面積為4,點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上,E、尸分別在A6、A。上,且PE〃BC,PF//CD,連
接所,圖中陰影部分的面積為.
【答案】2
【分析】由莊〃3C,尸尸〃CD可得四邊形他。尸是平行四邊形,故SAEF=S"P,進(jìn)一步得到
S陰影=SACD=5SABCD=2?
【詳解】PE//BC,PF//CD
???四邊形是平行四邊形
1
SSS
A-F=2-
EF/\EPF
A88的面積為4
=x4=2
???SACD=-Sabcd2
S陰影=SAEF+s四邊形c。。=SAPF+s四邊形CDFP=$ACD-2
故答案為:2
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是理解平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)將平行四邊形分成兩個(gè)
全等的三角形,這兩個(gè)三角形的面積相等.
13.如圖,矩形ABC。對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)。,點(diǎn)E在線(xiàn)段A。上,KDE=DC,若/EZ)0=15°,貝ijNQEC=
【答案】55
【分析】設(shè)由£>E=Z)C可得/OCE=x,根據(jù)四邊形A8C。為平行四邊形,AC、3。為對(duì)角線(xiàn),則
NODC=NDCE=x,進(jìn)而得至lJ/OOE=NOC£)+NOCC=2x,再有NE£)0=15。,△£>(?£內(nèi)角和為180。,建立等式解x
即可.
【詳解】解:設(shè)/。EC=x,
,:DE=DC,
:.NDCE=x,
???四邊形ABC。為矩形,
/.NODC=NDCE=x,
:.ZDOE=ZOCD+ZODC=2x,
:△OOE內(nèi)角和為180°,
.?-2x+x+15o=180°,
解得:x=55。,
即NDEC=55°,
故答案:55.
【點(diǎn)睛】本題三角形和四邊形綜合,主要考查矩形四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分,等腰三角形等邊對(duì)等角,三角形外
角等于不相鄰兩內(nèi)角之和等知識(shí)點(diǎn).
14.如圖,將一等邊三角形的三條邊各8等分,按順時(shí)針?lè)较?圖中箭頭方向)標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào)0、1、2、3、
4、5、6、7、8,將不同邊上的序號(hào)和為8的兩點(diǎn)依次連接起來(lái),這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系.在建立的“三角
形”坐標(biāo)系內(nèi),每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過(guò)這一點(diǎn)且平行(或重合)于原三角形三條邊的直線(xiàn)與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來(lái)表示(水
平方向開(kāi)始、按順時(shí)針?lè)较?、取與三角形外箭頭方向一致的一側(cè)序號(hào)),如點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為(1,2,5),點(diǎn)C的坐
標(biāo)可表示為(2,4,2),按此方法,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
第辛\
2k大-x-六一夫一次Z
i/_、*,__、二、
7\/\/\/X/\/X/\/\
u8765432106
<-
【答案】(4,3,1)
【分析】根據(jù)點(diǎn)4的坐標(biāo)可表示為(1,2,5),點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為(2,4,2)得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)的三條直線(xiàn)對(duì)應(yīng)著等邊三角形
三邊上的三個(gè)數(shù),依次為橫、上,下,即為該點(diǎn)的坐標(biāo),于是得到結(jié)論.
【詳解】解:根據(jù)題意得,點(diǎn)2的坐標(biāo)可表示為(4,3,1),
故答案為:(4,3,1).
【點(diǎn)睛】本題考查新定義,解題的關(guān)鍵是理解題目中新定義的坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法.
15.把圖1中的菱形沿對(duì)角線(xiàn)分成四個(gè)全等的直角三角形,將這四個(gè)直角三角形分別拼成如圖2,圖3所示的正方
形,如果圖2和圖3每個(gè)圖形中間的正方形面積分別為9和1,則圖1中菱形的面積為.
【答案】8
【分析】設(shè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2a,較短對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為26,根據(jù)兩種拼圖得到等式,計(jì)算得出2ab的值,后根據(jù)
菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半,計(jì)算即可.
【詳解】解:設(shè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為加,較短對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2b,
由圖2得=%
由圖3得=即(Mb)?=1,
,cT+b2-2ah=l,
,2ab=〃+b?—1=8,
所以菱形的面積為:-x2ax2b=2ah=S
29
故答案為:8.
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),勾股定理,完全平方公式,熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16.已知四個(gè)點(diǎn)A(4,0)、3(0,3)、C(4a,-3a+l)、。能組成平行四邊形,則的最小值為
【答案】3.2
【分析】分兩種情況:CO是YABC。的一條邊或?qū)蔷€(xiàn),當(dāng)8是YABC。的一條邊時(shí),CD=A8=5;當(dāng)
4。+m_4+0
2-2
CD是YABC。的對(duì)角線(xiàn)時(shí),設(shè)。(九〃),利用平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得</,八°解
-3O+1+/10+3
.2~~T
方程組求出。的坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)間距離公式求出CD2=100(x-0.26)2+10.24,利用偶數(shù)次幕的非負(fù)性可求
co?的最小值,即可解決問(wèn)題.
【詳解】解:當(dāng)8是YABCD的一條邊時(shí),CD=AB,
???4(4,0)、8(0,3),
?;OA=4,OB=3,
?*-AB=dOB、O1=5,
,CD=AB=5;
當(dāng)CO是YABCD的對(duì)角線(xiàn)時(shí),
設(shè)£)(〃?,“),
?/C(4a,-3a+l),
4a+m4+0
~2~~~2~
-3ci+1+zi0+3
2__2-
m=4-4a
解得《
〃=3。+2
.?.0(4-4a,3a+2),
CD2=(4?-4+4?)2+(-3a+l-3a-2)2
=100,,-52。+17
=100(x-0.26)2+10.24,
(x-0.26)2>0,
A100(x-0.26)-+10.24>10.24,
...當(dāng)X=0.26時(shí),C£)2最小,最小值為10.24,
,CD的最小值是5/10.24=3.2.
故答案為:3.2.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí),明確題意,找出
所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵.
三.解答題(共10小題)
17.(I)計(jì)算:
(2)化簡(jiǎn):(2X-1)2+(X+6)(X-6)
【答案】(1)2+73;(2)5x2-4%-35
【分析】(1)根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)基和零指數(shù)基運(yùn)算法則,絕對(duì)值的意義進(jìn)行計(jì)算即可;
(2)根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解:(1)
--------z-+>/3—1—1
=4+6一1一1
=24-6;
(2)(2x—1)~+(x+6)(%—6)
=4x2-4%+1+(犬-36)
—4x?—4x+1+—36
=5x^—4x—35?
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算,整式混合運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)累和零指數(shù)累運(yùn)算法
則,絕對(duì)值的意義,完全平方公式和平方差公式,準(zhǔn)確計(jì)算.
18.兩種品牌方便面銷(xiāo)售增長(zhǎng)率折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖如圖:
(1)牌方便面的銷(xiāo)售量比A4牌多嗎?為什么?你認(rèn)為要做出這樣的推斷還需要什么信息?
(2)從折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖中你能獲得哪些信息?
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)增長(zhǎng)率的意義,折線(xiàn)圖中的信息判斷即可.
(2)根據(jù)折線(xiàn)圖中的信息得出結(jié)論即可.
【小問(wèn)I詳解】
從增長(zhǎng)率折線(xiàn)圖上看不出兩個(gè)品牌銷(xiāo)售量的大小.因?yàn)楦鶕?jù)增長(zhǎng)率無(wú)法判斷產(chǎn)品的數(shù)量.
要知道這樣的推出,必須已知兩個(gè)品牌2000年的銷(xiāo)售量.
【小問(wèn)2詳解】
從折線(xiàn)圖上可以得出:35產(chǎn)品每年的增長(zhǎng)率比AA產(chǎn)品的增長(zhǎng)率大.各個(gè)產(chǎn)品的每年的增長(zhǎng)率也是逐年增加.
【點(diǎn)睛】本題考查折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.
19.某校體育設(shè)施向社會(huì)免費(fèi)開(kāi)放,對(duì)一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并將獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪
制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答問(wèn)題:
一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)圖
球
(1)一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民總?cè)藬?shù)為多少?
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)為了給運(yùn)動(dòng)健身的市民提供更多的便利,你認(rèn)為學(xué)??梢栽谀男┻\(yùn)動(dòng)項(xiàng)目的場(chǎng)地加大投入?請(qǐng)結(jié)合數(shù)據(jù)說(shuō)明
理由.
【答案】(1)500(2)見(jiàn)解析
(3)認(rèn)為應(yīng)加大跑步和健走的項(xiàng)目的投入(答案不唯一)
【分析】(1)由跑步的人數(shù)和所占百分比求出調(diào)查總?cè)藬?shù);
(2)求出羽毛球的人數(shù)及健走的百分比,再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可;
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖給出的數(shù)據(jù),得出結(jié)論合理即可
【小問(wèn)1詳解】
解:180-36%=500(人),
一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民總?cè)藬?shù)為500人;
【小問(wèn)2詳解】
羽毛球的人數(shù)為500-180-150-70=100人,
健走的百分比為100%-36%-14%-20%=30%,
補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下:
一周內(nèi)到校運(yùn)動(dòng)健身的市民運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)圖
【小問(wèn)3詳解】
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖給出的數(shù)據(jù),得出結(jié)論:跑步和健走占比是總體的36%+30%=66%,
所以我認(rèn)為應(yīng)加大跑步和健走的項(xiàng)目的投入.
【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解
答.
20.如圖,在平行四邊形A3CD中,E,b是對(duì)角線(xiàn)上兩點(diǎn),請(qǐng)從①AF=CE;②?CDF?A6E這2個(gè)條件
中,選擇其中1個(gè)作為條件來(lái)證明OF=.你選擇的條件是:(寫(xiě)序號(hào)),并寫(xiě)出證明過(guò)程.
D
F
【答案】①;證明見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可.
【詳解】解:選擇①A/=CE,證明如下:
四邊形A8CD是平行四邊形,
DC//AB,DC=AB,
:.ZEAB=ZFCD,
AF^CE,
:.AF-EF=CE-EF,
即AE=CF,
在AAEB與4CFD中,
AE=CF
<NEAB=ZFCD,
AB=DC
AEB^,CFZXSAS),
:.DF=BE,
故答案為:①.
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等解
答.
21.如圖,通過(guò)旋轉(zhuǎn)一ABC可以使其與.。所重合
(1)僅用無(wú)刻度直尺確定旋轉(zhuǎn)中心M(保留作圖痕跡),并寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)ABC,使其與_。石尸重合的過(guò)程.
(2)若F、A的坐標(biāo)分別為(-3,2),(T,7),則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為
【答案】(1)圖見(jiàn)解析,_ABC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與,QEV重合;
(2)(-5,3)
【分析】(1)連接AO,BE,利用網(wǎng)格分別作線(xiàn)段AD,5E的垂直平分線(xiàn),交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心;由圖以及旋轉(zhuǎn)的
性質(zhì)可得答案;
(2)根據(jù)點(diǎn)F和A的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系,即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
解:如圖,點(diǎn)M即為所求.
繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與.£>石尸重合;
【小問(wèn)2詳解】
解:建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,
則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為(-5,3).
故答案為:(-5,3).
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
22.《九章算術(shù)》中記載,浮箭漏(圖①)出現(xiàn)于漢武帝時(shí)期,它由供水壺和箭壺組成,箭壺內(nèi)裝有箭尺,水勻速
地從供水壺流到箭壺,箭壺中的水位逐漸上升,箭尺勻速上浮,可通過(guò)讀取箭尺讀數(shù)計(jì)算時(shí)間,某學(xué)校STEAM小
組仿制了一套浮箭漏,并從函數(shù)角度進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)探究:
(實(shí)驗(yàn)觀察)實(shí)驗(yàn)小組通過(guò)觀察,每2小時(shí)記錄一次箭尺讀數(shù),得到下表:
供水時(shí)間x(小時(shí))02468
箭尺讀數(shù)y(厘米)618304254
54M厘米)
48
浮箭漏示意圖42
36
30
24
18
12
6
12345678小時(shí))
圖①圖②
(1)(探索發(fā)現(xiàn)):
若以供水時(shí)間x為橫軸,箭尺讀數(shù)y為縱軸,建立平面直角坐標(biāo)系,描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn),試判斷這些
點(diǎn)是否在同一條直線(xiàn)上.如果在同一條直線(xiàn)上,求出這條直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;如果不在同一條直線(xiàn)上,說(shuō)明
理由.
(2)(結(jié)論應(yīng)用)應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算:供水時(shí)間達(dá)到12小時(shí)時(shí),箭尺的讀數(shù)為多少厘米?
(3)如果本次實(shí)驗(yàn)記錄的開(kāi)始時(shí)間是上午8:00,那么當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時(shí)是幾點(diǎn)鐘?
【答案】(1)圖象見(jiàn)解析;y=6x+6
(2)供水時(shí)間達(dá)到12小時(shí)時(shí),箭尺的讀數(shù)為78厘米
(3)當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時(shí)是22點(diǎn)鐘
【分析】(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出以表格中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)的各點(diǎn)即可;觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律,可知它們?cè)?/p>
同一條直線(xiàn)上,設(shè)這條直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為>=履+"利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)應(yīng)用上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律估算:利用前面求得的函數(shù)表達(dá)式求出x=12時(shí),),的值即可得出箭尺的讀數(shù);
(3)利用前面求得的函數(shù)表達(dá)式求出y=90時(shí),x的值,由本次實(shí)驗(yàn)記錄的開(kāi)始時(shí)間是上午8:00,即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
如圖,
觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律,可知它們?cè)谕粭l直線(xiàn)上,
設(shè)這條直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為卜=履+心
把(2,18),(4,30)代入,得:
'2左+8=18
‘4女+匕=30'
'k=6
解得:,,
b-6
y=6x+6;
【小問(wèn)2詳解】
x=12時(shí),y=6?126=78,
???供水時(shí)間達(dá)到12小時(shí)時(shí),箭尺的讀數(shù)為78厘米;
【小問(wèn)3詳解】
y=90時(shí),6x+6=90,解得:x=14,
供水時(shí)間為14小時(shí),
:本次實(shí)驗(yàn)記錄的開(kāi)始時(shí)間是上午8:00,
8+14=22,
???當(dāng)箭尺讀數(shù)為90厘米時(shí)是22點(diǎn)鐘.
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用,利用了待定系數(shù)法求解析式,利用函數(shù)值求自變量的值.
23.如圖1,4,B.,G,A分別是四邊形ABC。各邊的中點(diǎn),且AC18。,AC=6,BD=10.
(i)試判斷四邊形A1,G2的形狀,并證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,依次取A片,B£,CQi,AA的中點(diǎn)4,鳥(niǎo),C2,D2,再依次取4B2,B2C2,C2D2,
Q2A2的中點(diǎn)4,鳥(niǎo),C3,4……以此類(lèi)推,取A,I紇T,紇tQt,C“_RT,的中點(diǎn)4,B“,
c“,根據(jù)信息填空:
①四邊形44G2的面積是
②若四邊形A,B£,D”的面積為上,則?=
16
③試用?表示四邊形A,,BnC?D?的面積
【答案】(1)矩形,見(jiàn)解析;(2)①15,②5,③匕
2"-1
【分析】(1)根據(jù)中位線(xiàn)定理,得出四邊形44G2是平行四邊形,再根據(jù)AC/8??膳袛嗨倪呅?AGA為
矩形;
(2)①根據(jù)題意算出A|B1=3,A|D|=5,可得四邊形44GQ的面積;
②根據(jù)題意算出A2D2=B2c2=C2D2=B2A2=取,可得四邊形為員。?。?為菱形,得出四邊形4B2c2&的面積,
以此類(lèi)推得出S46C也,令S\B?c?D?=?解出n即可;
③由②可得結(jié)果;
【詳解】解:(1)四邊形ABCiA是矩形,
證明:B],G,R分別是四邊形A8CD各邊的中點(diǎn),
AAiBl.AC,CtDt/:AC,
.??4與CQ,
同理可得
...四邊形481G2是平行四邊形,
又,:AC上BD,
易得44,8?,
...四邊形4與G2是矩形;
(2)①由題意可知:AiB尸,AC=3,AiDi=yBD=5,
四邊形的面積=3x5=15;
圖2
②由構(gòu)圖過(guò)程可得:A2D2=B2c2=3B|D產(chǎn)gJAB:+AB12=取,C2D2=B2A2=gAlC|=TJA8:+4G2=
回,
可知四邊形A282Go2為菱形,
S&Bgo?=54GX芻。2=54月XB}C}=—;
SS
同理可求:A}B,C,D,=y,S4JC45=擠,?一,A?B?C?D?=,
4oZ
故當(dāng)四邊形4紇C,2的面積為與時(shí),£=二,
16216
解得:n=5;
③由②可知:用〃表示四邊形4紇GQ的面積為費(fèi).
【點(diǎn)睛】本題考查了中位線(xiàn)定理,矩形的性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是利用中位線(xiàn)定理求出相應(yīng)長(zhǎng)
度,從而計(jì)算面積.
24.如圖,R△CE/7中,NC=90。,/CEE和NCFE的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A分別作直線(xiàn)CE,CF
的垂線(xiàn),點(diǎn)B,。為垂足.
(1)求證:四邊形ABC。是正方形;
(2)若A8=a(“為常數(shù)),求(6£+。)(。尸+。)的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2/
【分析】(1)作AG,七尸于G,如圖所示:則NAGE=NAGF=90°,先證明四邊形ABCD是矩形,再由角
平分線(xiàn)的性質(zhì)得出4?=4),即可得出四邊形ABQ9是正方形;
(2)證明Rt.AGE(HL),得出3E=EG,證明RtAADF也RtZxAG/^HL),得出。F=G產(chǎn),從而
得出EF=EG+GF=BE+DF,根據(jù)勾股定理得出EF2=CE2+CF~,即
(BE+DF^={a-BE^+{a-DF^,整理得出。(3石+。尸),用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行運(yùn)算
(BE+a/DR+a)并將BE-DF-a1—a(BE+DF)代入即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
證明:作AG1EF于G,如圖所示:
則/46£=446/=90。,
VABA.CE,AD±CF,
ZB=ZD=90°=ZC,
二四邊形ABC。是矩形,
,/NCEF、/CFE外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)A,
AAB=AG,AD=AG,
AB-AD>
...四邊形ABC。是正方形.
【小問(wèn)2詳解】
解:根據(jù)解析(1)可知,AB^AG,AE=AE,
:.RtAG£(HL),
BE=EG,
同理可得:RtAADF^RtAAGF(HL),
:.DF=GF,
EF=EG+GF=BE+DF,
;四邊形ABC。為正方形,
BC=CD=AB=a,
CE=a—BE,CF=a-DF,
根據(jù)勾股定理得:EF-=CE2+CF2,
即(BE+£)/『=(iz-S£;)2+(a-DF)2,
整理得:BE-DF=cr—a(BE+DF),
:.(5E+a)(DF+a)
=BEDF+a(BE+DF)+a2
=a2-a(BE+DF)+a(BE+DF)+a2
=2a2?
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì),勾股定理,三角形全等的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵
是根據(jù)正方形的判定、角平分線(xiàn)的性質(zhì)解答.
25.折紙不僅是一項(xiàng)有趣的活動(dòng),也是一項(xiàng)益智的數(shù)學(xué)活動(dòng).
實(shí)踐操作:將矩形ABC。沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折,使點(diǎn)。落A8CD所在平面內(nèi),邊BC和AZ7相交于點(diǎn)E
解決問(wèn)題:
D'D'D'
圖1圖2備用圖
(1)如圖1,①求證年金一CDE②連接5。',判斷80'和AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由
(2)如圖2,在矩形488中,若AB=3jL點(diǎn)尸是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn),NACB=30°,連接所,作點(diǎn)C
關(guān)于直線(xiàn)所的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,直線(xiàn)PE交AC于。,當(dāng)△AEQ是直角三角形時(shí),直接寫(xiě)出。尸的長(zhǎng).
【答案】(1)①見(jiàn)解析;②6£>'〃AC,理由見(jiàn)解析
(2)2g或3G-3
【分析】(1)①利用矩形和翻折的性質(zhì)得出4?=C9=C9',=/£>=/£>'=90。,然后利用AAS證明
二/WE鄉(xiāng)4aXE即可;
②連接BB',利用全等的性質(zhì)得出AE=CE,3E=DE,利用等邊對(duì)等角得出NE4C=NEC4,NEBZ/=Z£D5,
結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得NEB。=NEC4,最后利用平行線(xiàn)的判定即可得證;
(2)分4場(chǎng)。=90?;騔AQE=90°兩種情形討論即可.
【小問(wèn)1詳解】
①證明:???將矩形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折,
:.AB=CD=CD',ZB=Z£>=ZZy=9(r,
又ZAEB=NCED,
:.「ABEACDE;
②連接BD',
:.ABE&CD'E,
;.AE=CE,BE=D'E,
ZEAC=Z.ECA,ZEBD=ZEDB,
又NA£B=NE4C+NEC4=2NEC4,ZAEB=ZEBU+ZEDB=2ZEBD,
,ZEBD'=ZECA,
BD'//AC;
【小問(wèn)2詳解】
解:B90?,AB=35ZACB=30°,
AC=6G,za4C=60°,
ZEAC=ZECA=30°,
:.NR4E=30°,
:,AE=2BE,
又AB2+BE2=AE2,即(36)+BE2=(2B£)2,
BE=3,AE=6
要△AEQ是直角三角形,則NAEQ=90。或NAQE=90。,
當(dāng)NAQE=90。時(shí),
D'
ZCAE=30°,
:.ZAEQ=60°,
又NAEB=2ZEC4=60。,
NQEC=180°-ZAEB-ZAEQ=60°,
:翻折,
二NQEF=NCEF=gNQEC=30°=NFCE,
CF=EF
-:ZCAE=30°,=ZAEQ+NQEF=90°,
/.AF=2EF=2FC,
/.AC^3FC,
:.FC=LAC=2瓜
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