重慶外國語學校2023-2024學年度（上）高2025屆期中考試數(shù)學試題含答案解析

重慶外國語學校

2023-2024學年度(上)高2025屆期中考試

數(shù)學試題

一、單選題(共24分)

1.若N(2,?n+1,3),P(2,2,n+1)三點共線，則zn+n=()

A.4B.-2C.lD.3

【答案】D

【分析】

利用向量共線的坐標運算，求出山,九即可.

【詳解】

若M(l,0,2),N(2,m+1,3),P(2,2,九+1)三點共線，

由麗=(l,m+Ll)，MP=(1,2,n-1),則有兩〃而，W-=-=—,

12n—1

解得zn=l,n=2,所以zn+TI=3.

故選：D

2.兩條平行直線3%-y+3=0和ax-2y+4=0間的距離為d,則d=()

A±B.也C.遮D.2

10101010

【答案】B

【分析】

首先根據(jù)兩直線平行求a,再求平行線間的距離.

【詳解】

因為兩直線平行，則。=三釬，解得：a=6,

a-24

所以兩平行線分別為3%—y+3=0和3%—y+2=0,

,_|3-2|_V10

-V32+(-l)z一年

故選：B

3.直線xsinl5。+ycos75。+2=0的傾斜角是()

A.150B.750C.450D.1350

【答案】D

【分析】

根據(jù)直線的方程求出斜率，由斜率求出直線傾斜角.

【詳解】

由xsinl50+ycos75°+2=0,

sinl5。sinl5。

可得k=

cos75°sinl50

所以k=tan135°=-1,

故直線的傾斜角為135。.

故選：D

22

4.已知P是橢圓會+棄=l(a>b>0)上一點，&、員分別是橢圓的左、右焦點，若的周

長為6.且橢圓的離心率為5則橢圓方程為()

A.—+y2=1B.—+y2=1

2)4：

42y2%2y2

C.—+—=1D.—+—=1

4334

【答案】C

【分析】

根據(jù)橢圓定義結(jié)合離心率列式求解即可.

【詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為c>0,

'2a+2c=6(a=2

由題意可得.=1,解得b=V5，

,a2=b2+c2(c=1

22

所以橢圓方程為—+-=l.

43

故選：c.

5.直線y=kx+1與圓(％-1)2+(y-2)2=4相交于M、N兩點，若|為=2次，則k等于

()

A.OB.-2C.2或0D.-2或0

【答案】A

【分析】

根據(jù)圓的方程及弦長，可以求得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式即可求得.

【詳解】

由圓(％-I)2+(y-2)2=4的方程可知，圓心為(1,2),半徑R=2,

則圓心到直線的距離為d=震手又因為弦長|而|=2V3,所以d=1,

即d==1，解得k=0.

Vl+k2

故選：A

6.在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結(jié)論，甲：該圓經(jīng)過點(3,3)；乙：該圓的圓

心為(2,-3)；丙：該圓的半徑為1；T：該圓經(jīng)過點(3,-3).如果只有一位同學的結(jié)論是錯誤

的，那么這位同學是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【分析】

假設(shè)乙、丙同學結(jié)論正確得出圓的方程，利用圓的方程檢驗甲、丁結(jié)論可得解.

【詳解】

假設(shè)乙、丙同學的結(jié)論正確，

則該圓的方程為(％-2)2+(y+3)2=1,

代入點(3,3),方程(3-2)2+(3+3產(chǎn)=1不成立，此時甲結(jié)論錯誤，

代入點(3,-3),方程(3-2)2+(-3+3)2=1成立，此時丁的結(jié)論正確.

故選：A

7.如圖，平行六面體力Q中，乙=乙41AB=45。，AD=AB,AC與BO交于點。，則下列說法

不正確的有()

A.直線，直線BO

B.若出。|=\A0\,則&C，平面

C.A-^O=AB+AD+AA^

D.若NBA。=60°,則cosz4力C=y

【答案】C

【分析】

A選項，根據(jù)空間向量計算出前?畫=0,得到BD144>A正確；B選項，作出輔助線，證

明出BD1平面ACC1人,得到BO1&C,根據(jù)|40|=歷0|得到△A&C為直角三角形，即&C_L

441，結(jié)合B0_L44「證明出線面垂直；C選項，根據(jù)空間向量基本定理得到乖=中+

AO=A^A+^AB+^AD-,D選項，利用空間向量計算出西?函+而）=魚赤從而得到

cosZ-AyAC=9.

【詳解】

對于A,因為N/遇D=Z/1AB=45。，AD=AB,

所以而-京=|而|?|京|cos45。，AB-AA[=I方1I碼|COS45。，

所以標.標=荏.直\

因為前=AD-AB,所以前-AA^=（AD-AB）-AA^=AD-AA^-AB-AAi=O,

所以說1百，所以BDJ.441，A正確，

對于B,連接&C,

由選項A知BDJ.441，

因為在平行四邊形4BC0中，AD=AB,所以四邊形/BCD為菱形,

所以BDJLAC,

因為/Cn/L4i=/,AC,/Aiu平面ACC1a,

所以BD1平面ACG4，

因為u平面/CGAi，所以BO1AiC,

因為|40|=|40|,\A0\=\C0\,所以|40|=|C0|=出0|,

所以zAi/O=/.AA1O,Z.CA1O=N&CO,由于24送。+Z.AA1O+“&O+/.A1CO=n,

所以乙4A1。+z.CA-^0=—>

所以△A&C為直角三角形，即/iC_L44「因為44/BBi，所以/停_18/，

因為BBiCBD=B,BB],BDu平面所以4C1平面BOO?

所以B正確，

對于C,因為四邊形ABCO為平行四邊形，所以。為BD的中點，

所以近=1萬+1而，所以項=羽+而=布+：荏+:而，所以C錯誤，

對于D,設(shè)/B=a,AA1=b,因為在菱形ABC。中，^BAD=60°,

所以/C=2A0=2ABcos30°=島，

因為44遇。=ZA1AB=45°,

所以河?(AB+AD)=AAi-AB+AA^-AD=\AA^\-|AB|COS45°+\AA^\-|^D|cos45°

=-ab+—ab=y/2ab,

22

所以3為衣=篇=筆醇=黑=日,所以D正確，

故選：C

8.已知點P(t+l,t)，teR,點。是坐標原點，點。是圓-3尸+(y+1)2=4上的動點，則

|PQ|-|PO|的最大值為()

A.3B.V19C.V15D.4

【答案】D

【分析】

求出點P的軌跡，把|PQ|的最大值轉(zhuǎn)化為點P到圓心距離加半徑，再求出到兩個定點距離差的最

大值即可作答.

【詳解】

令點P(X,y),則于是y=%-l，即點P的軌跡是直線Z：x-y-1=0,圓

(%-3)2+(y+l)2=1的圓心C(3,—l),半徑T=l,而點Q在圓。上，則|PQlmax=伊。+八

因此(IPQI-|PO|)max=丁+(IP。一iPODmax，令點。關(guān)于直線2對稱點C'S,b),\PC\=\PC'\,

(二=_i

則有%+3a了7，解得a=0,b=2,即C<0,2),

I---------1=0

V22

因此|PC|-|PO|=|PC1-|PO|W|OC1=2,當且僅當點P,O,C'共線,且點。在線段PC'上

時取等號，

直線OU方程為％=0,由解得］二_01，即直線％=o與直線/交于點P(o,—D，所

以當點P與P'重合時,(|PC|-|P0|)max=2,(|PQ|-|PO|)max=2+2=4.

故選：D

二、多選題(共12分)

9.已知直線2：(a+l)x+ay-2=0與九：(a+3)x+2y-3=0,下列選項正確的是()

A.若/||n,則a=—2或a=1

B.若11n,則a=—3+V6

C直線2恒過點(2,-2)

D.若直線n在x軸上的截距為6,則直線n的斜截式為y=-^%+1

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)直線的平行與垂直判斷AB,由直線系求出定點判斷C,根據(jù)截距及直線方程的斜截式判斷

D.

【詳解】

因為口九，所以2(a+l)-(a+3)a=0,解得a=-2或a=1,代入直線方程檢驗，不重

合，故A正確；

因為則(a+l)(a+3)+2a=0,解得(2=-3±乃，故B錯誤；

由(a+l)x+ay-2=0可得a(x+y)+x-2=0,由儼士：一?解得?一,

所以直線，恒過點(2,-2),故C正確；

由71：(a+3)x+2y-3=0,令y=0,可得％==6,解得a+3=:

所以n：|x+2y—3=0,即y=—：%+序故D正確.

故選：ACD

10.已知不同直線a,b,不同平面a,0,y,下列說法正確的是()

A.若a||/?,aua,bu0,則a與b是異面直線

B.若a||b,bua,則直線a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線

C.若aJLy,￡ly,aC\/3=a,則aJLy

D.若an夕=a,alb,be/?,則a_L/?

【答案】BC

【分析】

根據(jù)面面平行的定義判斷A,根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷B,根據(jù)線面垂直的判定判斷C,根據(jù)面

面垂直的判定判斷D.

【詳解】

若a||夕，aua,be/?,則a,b可能異面也可能平行，故A錯誤；

若a||b,bca,貝布〃戊或@ua,都有直線a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，故B正確；

若aly,/?ly,an^=a,不妨設(shè)any=m,0ny=n,如圖，

假設(shè)a1y不成立，過直線a上一點/作AB1九于點B,作力C1TH于點C,

由a_Ly,/?JLy,a=m,pf}y=n,ABu/?,/Cua可知，AB1y,AC1y,

這與"過平面外一點有且僅有一條直線與該平面垂直"矛盾，所以假設(shè)不正確，故a1y,故C正

確；

若ang=a,alb,bu由面面垂直的判定定理，不能推C出a1氏故D錯誤.

故選：BC

11.在長方體/BCD-Ai/QDi中，AB=3,AD=AAX=4,P是線段BQ上的一動點，則下列說

法正確的是（）

A.&P〃平面/DiC

B.A$與CO所成角的正切值的最大值是雷

C.以4為球心，5為半徑的球面與側(cè)面BCGa的交線長是2n

D.若P為靠近8的三等分點，則該長方體過4,P,C的截面周長為4%+2m

【答案】ACD

【分析】

對于A,由長方體性質(zhì)及線面平行判定證4G〃面/DiC、〃面/。傳，再由面面平行的判定

和性質(zhì)判斷；對于B,由CD〃4Bi及異面直線夾角的定義得到aP與CD所成角即為ZPaB1（銳

角），根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有&B11PB1，則tanzPA/i=魯即可確定其最大值；對于C,首

先確定以A為球心，5為半徑的球面與面BCG%的軌跡，再判斷球面與側(cè)面BCG/的交線圖形，

即可求長度；于D,應(yīng)用平面基本性質(zhì)畫出截面，結(jié)合長方體性質(zhì)判定其為平行四邊形，結(jié)合已

知求邊長即可判斷.

【詳解】

由長方體性質(zhì)知：AC〃&Q,ACu面4DiC,&QG面AQC,則&刃〃面AZ\C,

同理可證4$〃面4&C又4cB=4,同。1可$u面A/Q,則面//Q〃面40住，

又4PU面4/6，則&P〃平面/DiC,A對；

由CD〃71/I，則&P與CD所成角即為ZP&B1（銳角），

由J?面BCC/i，PBi（=面BCC/i，則4Bi_LPBi，

所以tanzP/iBi=普，而公%=3,只需P%最大，即為4,

4TBi

故&P與CD所成角的正切值的最大值是京B錯；

以4為球心，5為半徑的球面與面BCGa的軌跡是以B為圓心，半徑為球52—32=4的圓,

所以球面與側(cè)面BCG/的交線是:個圓弧，則交線長為8TT=2TT,C對；

如圖I,延長CP交BBi于E,過4作A/〃CP交于F,連接&E,CF,

結(jié)合長方體性質(zhì)知：四邊形&ECF為平行四邊形，且為該長方體過4，P,。的截面，

又P為靠近B的三等分點，則BE=^CCi=2,故BiE=2,

22

所以CE=722+42=2后，AXE=V2+3=V13,則&ECF的周長為4遍+2713,D對.

故選：ACD

12.已知AABP的頂點P在圓C：-3尸+(y-4尸=81上，頂點A,8在圓。：x2+y2=4±.

若|AB|=2百，則()

A.AABP的面積的最大值為158

B.直線PA被圓C截得的弦長的最大值為仇反

C.過尸作圓。的切線，則切線長的最小值為2百

D.不存在這樣的點P,使得△力BP為等邊三角形

【答案】AC

【分析】

首先設(shè)點P到直線AB的距離為心利用幾何圖形得到不等關(guān)系八<\PD\<\P0\+\0D\<\PC\+

\OC\+\OD\,即可求解點P到力B距離的最大值，即可判斷A；

利用直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合弦長和切線長公式，即可判斷BC；

利用A/BP為等邊三角形，轉(zhuǎn)化為判斷是否存在點P,滿足|PD|=3,利用與圓有關(guān)的最值問

題，即可判斷D.

【詳解】

設(shè)線段AB的中點為D,因為圓。的半徑為2,\AB\=2V3,

所以|。。|=J22-(V3)2=1,且|0C|=5,

A.設(shè)點P到直線的距離為九，則八<\PD\<\P0\+\0D\<\PC\+\0C\+\0D\=9+5+1=

15,

所以當且僅當P,GO,0四點共線時，點P到直線48距離的最大值為15,所以A/BP的面積的最大

值為［x2gx15=15b，故A正確；

B.點C到直線24的距離小于等于|C/|,當PA_LC/時，等號成立，又|C/|的最大值為5+2=7,

所以點C到直線P4的距離的最大值為7,這是直線PA被圓C截得的弦長的最小值為2何K=

8vL故B錯誤；

C.如圖，過點P作圓。的切線PM,連結(jié)OP,PM1OM,\PM\=yj\OP\2-\OM\2=J|OP|2一二

|0P|的最小值為9一5=4,

所以出河|的最小值為“^二2=28，故C正確；

D.若AABP為等邊三角形，則需PD_L4B,|PD|=3,

因為|OD|=1,所以點。的軌跡是以。為圓心的單位圓，所以iPOlmin=由。1一1，

又|PO|的最小值為4,所以|PD|min=3,當且僅當P,D,O,C四點共線時成立，

因此有且僅有一個點P,使得AABP為等邊三角形，故D錯誤.

故選：AC

【點睛】

思路點睛：本題考查點與圓，直線與圓，圓與圓，以及軌跡和最值的綜合應(yīng)用問題，D選項是本

題的難點，需轉(zhuǎn)化為判斷點P與點。的軌跡的位置關(guān)系問題.

三、填空題（共12分）

13.過平面外一點P的斜線段是過這點的垂線段的竽倍，則斜線與平面a所成的角是.

【答案】60。#%

【分析】

如圖，根據(jù)線面角的定義可知ZPAB是線段以與平面a所成角，解直角三角形即可.

【詳解】

如圖，

連接A3,由

知ZPAB是線段PA與平面a所成角,

在RtZkPAB中，因為PA=￥PB,

所以sinzPAB=詈=今Z.PABG所以NPAB=g,

即線段必與平面a所成角為全

故答案為：泉

22

14.已知橢圓亍+?=1的左、右焦點分別為&,尸2，點M在橢圓。上，且“MF2=60。，（。

為原點)，則|0M|=.

【答案】V3

【分析】

由題意可知，求得a,b和c的值，設(shè)|MFi|=zn,|MF2I=n,根據(jù)橢圓的定義和余弦定理得m=

n,則點M為橢圓的上頂點或下頂點，可求|0M|的值.

【詳解】

由橢圓方程可知，a2=4,b2=3,c2=a2—b2=1,則a=2,b=V3,c=1,

設(shè)|MFi|=7n,\MF2\=n,有m+?i=2a=4,

2

△&MF2中，由余弦定理，有|鼻尸2/=IMF1/+\MF2\-2\MFX\-\MF2\'COSZF1MF2，

即(2c)2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2—3mn,得4=16—3mn,有小九=4,

由+解得：m=n=2,

則點M為橢圓的上頂點或下頂點，有|OM|=b=國.

故答案為：V3

15.已知直線心(a4-2)%—ay—3a—8=0,。為坐標原點，若直線/與x軸、y軸的正半軸分別

交于A,B兩點,當|0川+|。8|最小時，a=.

【答案】V

【分析】

由直線系方程求出定點，再由截距式可得'+>=1,根據(jù)均值不等式等號成立的條件求解即可.

st

【詳解】

由(a+2)x—ay—3a—8=0可得—y—3)+2%—8=0,

由『［、三：。，解得即直線/過定點P(4,I)，

l2%—8=05=4

假設(shè)直線/的截距式方程為(+"l(s>0,t>0),則“}=1,二|0川+|。8|=s+t=

(s+0(;+1)=7+7+5>2^+5=9,

當且僅當竺=三，即s=6,t=3時，等號成立，

st

此時直線/的方程為x+2y—6=0,

所以

a23

故答案為：-1

16.我國南北朝時期的數(shù)學家祖瞄提出了一條原理：“幕勢既同，則積不容異'’.意思是：夾在兩個

平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相

等，那么這兩個幾何體的體積相等.根據(jù)祖唯原理，現(xiàn)在要用3。打印技術(shù)制造一個零件，其在高

為〃的水平截面的面積為S(/I)=TT(5—/I)2,(0<h<5),則該零件的體積為.

［答案］也

【分析】

該零件在高人為的水平截面的面積為S(/i)=n(5—/i)2,(0W/IW5),總與一個半徑為5,高為

九=5處的圓錐水平截面面積相等，由祖眶原理即可求解.

【詳解】

該零件在高為h的水平截面的面積為S(/i)=n(5-h)2,(0</i<5)

其體積總與一個半徑為5,高為八=5處的圓錐水平截面面積相等，

由祖咽原理，該零件的體積即為圓錐的體積:x25nx5=等.

故答案為：等.

四、問答題(共12分)

直線k：ax+3y—1=0,直線。的一個方向向量為(一2,6),直線54%+by-2=0與已知直

線2%—y+5=0垂直.

17.求a,。的值；

18.已知點P(-L-3),求點P到直線。的距離及點P關(guān)于直線G對稱的點的坐標.

【答案】17.a=9,b=8

【分析】

(1)確定匕的斜率為七=-3,根據(jù)直線垂直得到斜率，計算得到答案.

(2)利用公式計算距離，根據(jù)垂直得到直線方程，計算交點，再根據(jù)中點坐標公式計算得到答

案.

【17題詳解】

直線，1的一個方向向量為(—2,6),所以I1的斜率為七=一3,所以—：一3,故a=9.

直線，2：4x+by-2=0與已知直線2x—y+5=0垂直，則4X2+bx(―1)=0,故b=8.

【18題詳解】

點P到直線的距離d=喘掾=喑，

設(shè)過點尸與直線。垂直的直線方程為：2%—y+m=0,故—2+3+m=0,解得m=—L

故直線方程為2%-y-1=0,

解得｛；二，故該直線與直線。的交點坐標為G，。)，

XQ-1_1

設(shè)對稱點的坐標為(a,%),故后一"解得仔

以，=oUo=3

k2

故對稱點為(2,3).

在△力BC中，sinC=V3(l—cosC).

19.求角C的大??；

20.若4B=2,且sinC+sin(B-力)=2sin2A,求△ABC的面積.

【答案】19.C==

20.也.

3

【分析】

(1)由三角恒等變換化簡可得sin(C+9=與，根據(jù)角的范圍即可得解；

(2)化簡條件根據(jù)cosA分類討論，分別根據(jù)正余弦定理求解即可.

【19題詳解】

在4中，sinC=V3(l—cosC).

所以sinC+V3cosC=V3,可得2sin(C+；)=V3,即sin(C+；)=y,

由ovccm故所以c+”g，即C=；.

【20題詳解】

由于sinC+sin(B-4)=2sin24,所以sin(4+B)+sin(B—A)=2sin24

展開化簡得2sinBcosA=4sia4cos4

若cosA=0時,AE(O,TT),則4=；,C=；,得B=g貝！J4C=

所以SAABC=：X2X￥=竽.

若cos4H0時sinB=2sin4由正弦定理得b=2a,

a2+b2-c25a2-4

又cosC二l，解得a=竽，6=*

2ab4a2

、，、，、，遮

所fX以KIScuec——1ab,si.nC=—1x—2gx—4gx———2V3.

△A*223323

綜上，s4ABe=誓.

五、證明題（共6分）

如圖，四棱錐P-ABCD的底面4BC0是邊長為2a的菱形，/.ABC=60°,AP=AB,PB=4,

平面PAB_L平面ABCD,E,尸分別為CD,PB的中點.

21.證明：CD_L平面P/E；

22.求點A到平面PEP的距離.

【答案】21.證明見解析

22.”

5

【分析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)得出線面垂直，再由線面垂直的判定定理求證;

（2）利用等體積法求出點到平面的距離即可.

【22題詳解】

???AP=AB=2V2,PB=4

AP2+AB2=PB2,???AP1AB.

???平面P/BJ?平面4BC0,且交線為4B,/Pu平面P/B,

.-.APJ_平面力BCD,

???CDu平面/BCD,:.AP1CD.

連接/C,AF,如圖，

p

因為四邊形ABCO是邊長為2a的菱形，Z.ABC=60°,

所以△力CD為等邊三角形.

又因為￡t為CD的中點，所以CDJ_AE,

5LAPC\AE=A,/Pu平面P/E,AEu平面PAE,

所以CO_L平面PAE.

[22題詳解】

設(shè)點/到平面PEF的距離為兒則匕_PEF=VE-PAF^

因為||CD,所以又由（1）知/E1AP,

5LAPOAB=A,APu平面PAB,48u平面P/B,所以AEJ?平面P4B,

又PFu平面PAB,7l尸u平面P/B,所以AEJLPE,AE1AF,

又AF=-PB=2,AE=2s[2xsin60°=V6,

2

又由PFJ./E,PFLAF,AEC\AF=A,AFu平面/EF,AEu平面/EF,

所以PF1平面AEF,且PF=2,FE=y]AE2+AF2=V10,

UU[、[AL4

所以1-x-1nPrF-txFr-trE-ixhJ=1-x1-xnPr-FtxAFxAFtE,Q即HJh=A-F-^-A-E-=—2X='\/6---2-7-1-5,

3232FEy/lQ5

所以點/到平面PEF的距離為胃.

六、問答題（共18分）

我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查.通

過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5）,[0.5,1）,…

,[4,4.5]分成9組，制成了如圖的頻率分布直方圖.

ffljf

23.求直方圖中a的值；

24.該市決定設(shè)置議價收費標準m,用水量低于血的居民按照“民用價”收費，高于m的按照“商業(yè)

價”收費，為保障有90%居民能享受“民用價”，請設(shè)置該標準加.

25.以每組數(shù)據(jù)中點值作為該組數(shù)據(jù)代表，分別是.規(guī)定“最佳穩(wěn)定值々是這樣一個量:

x與各組代表值的差的平方和最小.依此規(guī)定，請求出》.

【答案】23.0.30

24.m=—

6

25.2.25

【分析】

(1)根據(jù)所有矩形面積和等于1,列方程可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的計算方法求解即可；

(3)設(shè)x與各數(shù)據(jù)的差的平方和為y,由題意可得y=ri/-2(/+不+…+%n)%+

(好+好+…+城)，進而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

[23題詳解】

由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08x0.5=0.04,

同理，在[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的頻率分別為

0.08,0.5a,0.20,0.26,0.5a,0.06,0.04,0.02.

由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1?

解得a=0.30.

【24題詳解】

由(1)知，前六組的總頻率為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88,

前七組的總頻率為0.88+0.06=0.94,

所以mG(3,3.5],

所以根據(jù)百分位數(shù)的計算方法有：0.88+(m-3)x0.12=0.9,

解得m

6

【25題詳解】

設(shè)x與各數(shù)據(jù)的差的平方和為>,

222

則y=(%—x)+(x—x2)+…+(%—xn)

2

=nx-2(%i+x2+…+xn)x+(xf+%2+…+W)，

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當％=+%2+…+%n)時，y取得最小值，

故％=2(%1+%2+…+%9)=(0.25+0.75H-+4,25)=2.25.

已知圓M經(jīng)過點4(5,1)和點且圓心落在直線%+y=10上，點P是圓上的動點.

26.求圓M的標準方程；

27.若直線27nx+ny=6(m>0,n>0)被圓C截得的弦長為8,求'+；的最小值；

28.若C(4,0),0(0,2),當NPOC最大或最小時，求|PD|的長.

【答案】26.(x-5)2+(y-5)2=16

2745+20企

■6

28.3V2

【分析】

(1)利用圓的標準方程，結(jié)合題意，得出圓心和半徑，進而得解；

(2)由弦長為8,得圓心在直線上，代入得10機+5九=6(m>0,九>0),再結(jié)合基本不等式的

乘1法即可求；

(3)由NPOC最大或最小，判斷出此時直線與圓相切，即求切線長.

【26題詳解】

因為圓心落在直線%+y=10上，所以設(shè)圓心為(a,10-a),半徑為r,

又圓M經(jīng)過點4(5,1)和點

則(5—a)2+(1—10+a)2=(1—a)2+(5—104-a)2,半徑r=^/(l—a)2+(—5+a)2,

解得a=5,r=4,所以圓的標準方程為：(％—5/+(y—5?=16

【27題詳解】

弦長為8=2r,即直線27nx+ny=6(m>0,n>0)過圓心，

則10m+5n=6(m>O,n>0),

41_141120n10m

一十一=(+-)(10m+5n)=-(45H--------F

mn6mzi67n

2145+2杵.唔=|(45+20V2),

當且僅當答=詈