湖北省武漢市首義中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

武漢市首義中學(xué)2023屆九年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（共24分）

1.下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

,1,

A.2x=7B.x+y=5C.x=—+1D.x2-2=x

x

2.拋物線丁=一3（%+1）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

C.（-3,l）D.（-3,-l）

3.用配方法解方程f-2x=2時(shí)，配方后正確的是（）

A.（x+l）-=3B.（x+1）-=6C.（x—1）一=3D.（x—1）-=6

4.一元二次方程》+1=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.無實(shí)數(shù)根D.無法確定

5.把拋物線y=-2/向右平移1個(gè)單位，然后向下平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（）

A.y=-2（x+1）2-3B.y=-2（x-l）2+3

C.y=-2（x+l）2+3D.y=-2（x-l）2-3

6.某公司今年1月的營業(yè)額為250萬元，按計(jì)劃第1季度的營業(yè)額要達(dá)到900萬元，設(shè)該公司2、3月的營業(yè)

額的月平均增長率為X.根據(jù)題意列方程正確的是（）

A.250（1+%）2=900B.250（1+=900

C.250（1+%）+250（1+x）2=900D.250+250（1+%）+250（1+=900

7.已知〃？、〃是一元二次方程X?+2x-5=00的兩個(gè)根，則〃z?+/n〃+3〃z+”的值為（）

A.—1B.—2C.—3D.-5

8.如圖1,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P沿A-3-C方向從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)路程為x,線段

AP的長為y,圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化關(guān)系的圖象，則BC的長為（）

圖1圖2

A.4.4B.4.8C.5D.6

二、填空題（共24分）

9.若拋物線y=（2—，〃）V+1的開口向上，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

10.若關(guān)于x的一元二次方程尤2—3x-左=0有一個(gè)根為1,則A的值為.

11.已知關(guān)于x的方程2/一女=。有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請寫出一個(gè)符合條件的左值______.

12.在一次酒會(huì)上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會(huì)的人數(shù)為.

13.已知5（0,y2）,。（一1,%）為拋物線y=加+笈+。（0<2。<6）上的三點(diǎn)，那么,，y2>

治的大小關(guān)系是.

14.如圖，拋物線丁=一/+法+。與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于8、。兩點(diǎn)，5（-1,0）,C（3,0）,連接AC,

將線段AC向上平移落在EF處，且￡尸恰好經(jīng)過這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)。，則四邊形4CFE的周長為.

15.已知有理數(shù),我們把」一稱為。的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是一1—=1,一1的差倒數(shù)是」一=-二,

a-\2-1-1-12

如果m的差倒數(shù)正好是m,那么加4+二的值是.

m

16.二次函數(shù)卜=辦2+云的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（—2,—9a）,下列結(jié)論：

①彷c>0；②16a-4b+c<0；③若方程ax2+bx+c=_i有兩個(gè)根芯和%,且$<々，則一5<百<工2<1；

④M+ab+cc的最小值為—2.其中正確結(jié)論的是.

4

三、解答題(共72分)

17.先化簡，再求值.

3(-2f+5+4x)-(5x-4-7巧，其中％=一2；

18.解方程：

(1)x2-2%-8=0

(2)X2—2x-5—0

19.已知y=(4+2)/4(是二次函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大.

(1)求攵的值；

(2)如果點(diǎn)是此二次函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，若一那么”的取值范圍為.

20.云夢魚面是湖北地區(qū)的漢族傳統(tǒng)名吃之一，主產(chǎn)于湖北省云夢縣，并因此而得名，1915年，云夢魚面在巴

拿馬萬國博覽會(huì)參加特產(chǎn)比賽獲優(yōu)質(zhì)銀牌獎(jiǎng)，產(chǎn)品暢銷全國及國際市場.今年云夢縣某魚面廠在“農(nóng)村淘寶網(wǎng)

店”上銷售云夢魚面，每袋成本16元，該網(wǎng)店于今年3月銷售出200袋，每袋售價(jià)30元，為了擴(kuò)大銷售，4

月準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià).據(jù)測算每袋魚面每降價(jià)1元，銷售量可增加20袋.

(1)每袋魚面降價(jià)5元時(shí)，4月共獲利多少元？

(2)當(dāng)每袋魚面降價(jià)多少元時(shí)，能盡可能讓利于顧客，并且讓廠家獲利2860元？

21.已知關(guān)于x的方程：x2+(m-2)x—/?i=0.

(1)求證：無論“取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)設(shè)非0實(shí)數(shù)相，〃是方程的兩根，試求的值.

22.如圖，己知拋物線了=一/+機(jī)*+5與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)3的坐標(biāo)為(5,0).

(1)求機(jī)的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

23.九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x(1WXW70且x為整數(shù))天的售價(jià)與銷量的相

關(guān)信息如下表：

時(shí)間（天）1<%<4040<x<70

售價(jià)（元/件）x+4585

每天銷量（件）150-2%

己知該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元.

（1）求出）與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）該商品在銷售過程中，共有幾天每天銷售利潤不低于3250元?請直接寫出結(jié)果.

24.如圖，拋物線y=ox?+3ar+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,且

5小8c=10，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接BP-

（1）求拋物線的解析式；

AH

（2）如圖1,過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)。，若NBPD=2/BCO,求一的值;

BD

（3）如圖2,設(shè)6P與AC的交點(diǎn)為Q,連接PC,是否存在點(diǎn)P,使=SABC0?若存在，求出點(diǎn)P的

答案

一、單選題

1-8DBCCDDBC

二、填空題

9./w<210.-211.1（答案不唯一）12.11

13.為<為<必14.4+6正15.716.②③④

三、解答題

17.4-7x4-19；9

18.(1)x]=—2,x2=4

(2)為=1+V6,x2—l—V6

19.【小問1詳解】

k2+k-4=2

解：由y=(Z+2)/+i是二次函數(shù)，且當(dāng)％<OH寸，y隨x的增大而增大，得<

女+2<0

解得：上=一3；

【小問2詳解】

解：由(1)得二次函數(shù)的解析式為y=-》2,

如圖所示：

當(dāng)彳=-2時(shí)，y=-(-2)'=-4,

當(dāng)x=l時(shí)，y=—I2=—1,

.?.當(dāng)一2〈％<1時(shí)，-4<y?0,

故答案為：—4<y<0.

20.【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：(30—5—16)(200+20x5)=2700元,

答：每袋魚面降價(jià)5元時(shí)，4月共獲利2700元；

【小問2詳解】

解：設(shè)每袋魚面降價(jià)x元，根據(jù)題意得：

(30—x-16)(200+20%)=2860,

整理得：4》+3=0,

解得：X]=1,々=3，

因?yàn)槟鼙M可能讓利于顧客,

所以x=3,

答：每袋魚面降價(jià)3元.

21.【小問1詳解】

證明：A=（m—2）2+4加=m2+4

無論"2取何實(shí)數(shù)時(shí)，總有利2+4>0.

???方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【小問2詳解】

把尤=加代入方程，得加2+（加一2）%2—m=0.

即2m2=3m.

3

:W0,:?m=—.

2

由根與系數(shù)的關(guān)系，mn--m.

n=—\.

5

..m—ii.——.

2

22.【小問1詳解】

將點(diǎn)（5,0）代入y=-/+加v+5得，0=-25+5加+5,m=4.

/.拋物線解析式為y=-爐+4x+5

y=—f+4x+5=—（x—2）-+9,

.??拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,9）；

【小問2詳解】

如下圖，點(diǎn)A與點(diǎn)8是關(guān)于直線/成軸對稱，根據(jù)其性質(zhì)有，PA+PC=PC+PB,

當(dāng)點(diǎn)。、點(diǎn)P、點(diǎn)5共線時(shí)，PC+P3=BC為最小值，即為PA+PC的最小值，

由拋物線解析式為y=-2+4x+5=—（x—2『+9,可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,5）,點(diǎn)5坐標(biāo)為（5,0）,對稱軸/為

x=2,

設(shè)直線BC的解釋為y=kx+b,

0=5k+bk=—\

將點(diǎn)C（0,5）,點(diǎn)8（5,0）,代入丁=丘+人得，.，解得《

5=bb=5

直線BC的解析式為y=—x+5,聯(lián)立方程,

y=-x+5x=2

，解得《

x=2y=3

：.當(dāng)A4+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,3）.

23.【詳解】解：⑴當(dāng)lWx<40時(shí)，y=[(x+45)-30](150-2x),

整理得：y=-2x2+120x+2250；

當(dāng)40Kx?70時(shí)，y=(85-30)(150-2x),

整理得：y=-110x+8250；

._J-2x2+120x+2250(1<x<40)

">-[-110x+8250(40<x<70)

(2)對于函數(shù)k-2爐+120%+2250,

整理可得：y=—2(x—30『+4050,

V-2<0,

.?.當(dāng)x=30時(shí)，y取得最大值，最大值為4050；

對于函數(shù)y=-110x+8250,

v-110<0,

二y隨x的增大而減小，

v40<x<70,

.?.當(dāng)x=40時(shí)，y取得最大值，最大值為3850,

V4050>3850,

.?.第30天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是4050元；

（3）當(dāng)l?x<40時(shí)，由題意，一2%2+120%+2250=3250,

解得：x=10或x=50,

由（2）中，二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

當(dāng)10Wx<40時(shí)，每天銷售利潤不低于3250元，共有30天；

當(dāng)40KXW70時(shí)，由題意，一UOx+825023250,

解得：x<45—,

11

...當(dāng)40WXW45時(shí)，每天銷售利潤不低于3250元，共有6天；

30+6=36(天)，.

共有36天每天銷售利潤不低于3250元.

24.【小問1詳解】

把x=0代入y=ax2+3ax+4得y=4,

...點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4),OC=4,

,/S*=10=；AB.OC=2AB,

:.AB-5,

??,拋物線對稱軸為直線X=--=—,

2a2

3535

???點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為------二-4,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為----1—=1,

2222

即點(diǎn)A坐標(biāo)為(~4,0),點(diǎn)8坐標(biāo)為(1,0),

把(1,0)代入y=ax~+3(zx+4得0=4a+4,

解得a=—1,

y=-x2-3x+4；

【小問2詳解】

設(shè)BP交y軸于點(diǎn)E,

PD_Lx軸，

PD//OC,

ZBPD=ZBEO,

???ZBPD=2ZBCO,

ZBEO=2NBCO,

：.NEBC=NECB,

EB=EC,

設(shè)OE=m,則C￡=3E=4—

在心△BOE中，由勾股定理得BE?OB2+OE2,

1+m2=(4一/吟，

解得m=—,

8

.?.點(diǎn)E坐標(biāo)為

設(shè)直線BE解析式為夕=丘+),

將吟,(1,0)代入丁=,

,15

,15k----