2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.sin64cos40-cos64°sin4=()

A.—B.yC.--D.--

2222

【正確答案】A

【分析】直接運用兩角差的正弦公式即可.

【詳解】sin64cos4-cos64sin4=sin(64-4)=sin60=

故選：A.

2.已知￡,B為不共線的向量，且NX+55，BC=-2a+Sh＜西=4,+2否則()

A.共線B.45,。共線C.共線D.B,C,。共線

【正確答案】B

【分析】根據(jù)而，BC，麗求出刀和麗，再根據(jù)而與脛不共線，可得4民。不共線,

根據(jù)方與而共線，且有公共點B，可得4尻。共線，根據(jù)配與而不共線，可得4C,。

不共線，根據(jù)前與而不共線，可得鳳C,。不共線.

【詳解】因為萬=3+53，BC=-2a+8b^CD^4a+2b-

所以麗=蔗+函=切+1訪，AC=AB+BC=-a+]3b)

因為Z，5為不共線，所以a出為非零向量,

若存在/iwR,使得赤=4團,

則a+5h=>1(—26!+8b)=-2A3+826，即(1+22)5=(82-5)*，

_11+22=0

因為“，5不共線，所以8力_5=0'即，此方程組無解,

故方與前不共線，所以48,C不共線，故A不正確；

因為”二^如，即方與麗共線，又萬與麗有公共點B,所以共線，故B正確;

若存在；leR,使得就=4畫，則-3+136=4初+24，即(1+42)2=(13-22歷,

義=」

1+42=0:,此方程組無解,

因為z,B不共線，所以，即《

13-22=0Z=—

2

故祝與而不共線，所以4C,。不共線，故C不正確;

若存在/leR,使得前=4而，貝1」-24+跖=4耘+2防，即（42+2）2=（8-2/1歷，

_pU+2=0[2=--

因為a,在不共線，所以。即2,此方程組無解，

18-22=0卜=4

故就與而不共線，所以8,C,。不共線，故D不正確.

故選：B

3.設(shè)2（z-E）+12=3（z+￡）+8i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.2iB.2C.-2iD.-2

【正確答案】B

【分析】設(shè)z=a+磯a,beR）,則\”加，利用復(fù)數(shù)運算以及復(fù)數(shù)相等可求得。、b的值,

即可得解.

【詳解】設(shè)2=〃+陽a,beR）,則三°_加，

由2（z—z）+12=3（z+z）+8i可得12+4bi=6a+8i,所以，_g，解得a=6=2,

因此，復(fù)數(shù)z的虛部為2.

故選：B.

4.在“8C中，角48,C的對邊分別為a,“c,且5=9,b=3,a=W），則。=（）.

A.73B.2>/3C.3->/3D.3

【正確答案】B

【分析】利用余弦定理可構(gòu)造方程直接求得結(jié)果.

【詳解】在中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3+c2-43c-9>

BPc2-y/ic-6-0>解得：c=26或c=-Q（舍），：.c=2+.

故選：B.

5.已知在中，AB=2,AC=3,N歷（C=。，點。為邊8c上靠近8的三等分點，則

75.前的值為（）

111_24

A.-----B.—C.~D.一

3333

【正確答案】D

【分析】利用益、衣表示向量而、BC，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得質(zhì)

的值.

【詳解】如下圖所示:

2—■1―.

-AB+-AC

33

由平面向量數(shù)量積的定義可得在?%=〔布MKkosl-ZxBxgMB,

因此，而屈=；（2方+碼｛萬一畫寸就+福衣—2萬）

=1X（32+3-2X22）^^.

故選：D.

6.已知中，a,b,c分別是角A,B,。的對邊，且滿足6cosC=a+ccos8,則該

三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【正確答案】C

【分析】利用正弦定理將邊化為角，再逆用兩角差的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】因為bcosC=a+ccos8,

由正弦定理可得：sin8cosc=sin/+sinCeos8,

所以sin8cosc-sinCeos8=sin[萬一(8+C)],

所以sin(5-C)=sin(5+C),

所以B-C=5+C或8-C="-8-C,

TT

即C=0(舍去)或8=5，

故為直角三角形,

故選：c

7.已知=則sin(2a+1的值為()

77八22

A.-B.—C.-D.

9999

【正確答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可求解.

【詳解】由2a+1-2a+[=g,得2a+U+2a-1,

632623

所以sin12a+1卜sin

1i1sin(2a+=cos^2ayj=_2sin21a-1=1-2x1.

故選：A.

8.某觀測站C在目標A的南偏西25,方向，從A出發(fā)有一條南偏東35。走向的公路，在。處

測得與。相距3Lt〃?的公路8處有一個人正沿著此公路向A走去，走20碗到達。，此時測得

CD距離為2\km，若此人必須在20分鐘內(nèi)從。處到達A處，則此人的最小速度為()

A.30km/hB.45km/hC.X4km/hD.15km/h

【正確答案】B

【詳解】由已知得/。力3=25。+35。=60。，BC=31,CD=21,80=20,可得

_BC2-VBD2-CD2312+202—21223那么s加竽，

CnOSD=---------------=-------------=---

2BCxBD2x31x2031

BCxsinB

于是在△/IB。中,AC==24,

sinZ.CAB

在△45。中，BC2=AC2+AB2~2ACABCQ^Q,即312=242+/"—24/8,解得48=35或

力8=—11(舍去)，因此40=48—8。=35—20=15.

故此人在。處距Z處還有15km,若此人必須在20分鐘，即;小時內(nèi)從。處到達Z處，則

其最小速度為15+；=45(km/h).

故選B.

二、多選題

9.歐拉公式/=cose+isin。(其中i為虛數(shù)單位，是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，

該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論

里占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是()

A.—+—iB.百為純虛數(shù)

22e

C.復(fù)數(shù)/的模長等于1D.的共朝復(fù)數(shù)為

e22

【正確答案】ABC

【分析】利用歐拉公式計算出各選項指數(shù)式的復(fù)數(shù)代數(shù)形式，即可判斷各項的正誤.

【詳解】A：由題意，e"'=cos%+isin&=，2+1,正確；

4422

B：由題意，「'=cosC+isin^=i為純虛數(shù)，正確；

22

C：由題意，/=cos)+isin%=-1,其模長為1,正確；

D：由題意，/=cosC+isin^=?LL則其共軌復(fù)數(shù)為3-L錯誤.

662222

故選：ABC

10.設(shè)向量￡=(4,2),6=(1,-1),則下列敘述錯誤的是()

A.若￡與坂的夾角為鈍角，貝蛛<2且4w-2

B.自的最小值為2

c.與B共線的單位向量只有一個為

\7

D.若同=2同,則左=2夜或-2a

【正確答案】CD

【分析】利用向量的夾角公式可判斷A的正誤；利用向量的模長公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可

判斷B的正誤：利用向量共線的坐標表示可判斷C的正誤；利用模長公式可求出％的值，

進而判斷D的正誤.

【詳解】A：若￡與B的夾角為鈍角，則有￡石=左-2<0,且￡與否不共線，

即左<2且女工一2,故人正確;

B：W=J%?+4,當且僅當左=0時，”有最小值為2,故B正確；

c：與B共線的單位向量有-和-兩個，故c錯誤；

\/\7

D：若問=2即則屬工=2近，解得左=±2,故D錯誤；

故選：CD.

11.在—8。中，角4B,C所對的邊分別為“，b,c,以下說法中正確的是（）

A.若力>8,則sin4>sin8

B.若。=4,b=5,c=6,則zUBC為鈍角三角形

TT

C.若a=5,b=10,N=f,則符合條件的三角形不存在

D.若acos/=bcos8,則〃8。一定是等腰三角形

【正確答案】AC

【分析】利用正余弦定理，三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】若4>6,貝!1。>人所以由正弦定理可得sin/>sin8,故A正確；

若“=4,b=5,c=6,則即cosC>o,所以角c為銳角，即

2ab

為銳角三角形，故B錯誤；

若4=5,h=l0,A=^,根據(jù)正弦定理可得Sin8=觸見4=處乂也=收>1

4a52

所以符合條件的三角形不存在，即C正確；

若acosN=bcosB,則sin4cos4=sin5cos5,即sin2J=sin25，因為24G（0,^）,25G（0,力,

jr

所以24=28或24+28=萬，即Z=8或Z+8=-,

2

所以A/8C為等腰或直角三角形，故D錯誤.

故選：AC

12.已知』8c中，AB=1,AC=4,5C=713，D在BC上,40為N2/C的角平分線，

E為ZC中點下列結(jié)論正確的是（）

A.8￡=6B.”8c的面積為加

C.延D.P在的外接圓上，貝IJ尸B+2PE的最

5

大值為24

【正確答案】ACD

【分析】先由余弦定理算出N8/C=?,再計算18c面積，驗證B選項，在中，利

用余弦定理求8E驗證A選項，用等面積法S“Bc=S”g+S“c。，求”。驗證C選項，用正

弦定理表示P8,PE,結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)驗證D選項.

【詳解】解：在“5C中，由余弦定理得cosNA4C=0c士,二8U

2ACAB2

因為Z8/Ce（（U）,所以ZB/C=?.

所以S“Bc=；/8/CsinN8/C=Ji,故B錯誤；

在A/8E中，BE2=AE2+AB2-2AE-ABcosABAE=3,所以5E=百，故A正確;

因為力D為/8/C的角平分線，

由等面積法得又詼=邑的+%8=；/氏4）如必；+；404^11名工，

整理得6=?/。，解得生亙，故C正確；

45

P在ANBE的外接圓上，如圖

所以在ABPE中，記NPBE=a,ZBEP=0,由正弦定理得尸8=2sin〃，PE=2sina,又

a+〃=等,

2?

所以。8+2尸E=2sin〃+4sina=2sin---a4sina=&osa+5sina

3

=2"sin（a+*）,其中tang=乎,

又因為ae（0,充

，所以尸B+2PE的最大值為2不，故D正確.

故選：ACD

本題考查正余弦定理的綜合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力，是中檔題.

三、填空題

13.在復(fù)平面內(nèi)，刀對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1-i,而對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i-3,則而對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

【正確答案】4-3i

【分析】由向量的線性運算和復(fù)數(shù)的減法運算可求得答案.

【詳解】解：由題意可知，DB=AB-AD，則而對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（＞i）-（2i-3）=4-3i.

故答案為.4-3i

一2cosl00-sin20°

14.=

cos20°

【正確答案】百

【分析】利用cosl（r=cos（30。-20。）展開計算即可

［詳解］2cosl0°-sin2002cos（30°-20°）-sin20°_&os20°+sin20°-sin2006

cos20°cos20°cos20°

故答案為.百

15.已知向量癡的夾角為與，若同=1,|4+,="，則問.

【正確答案】3

【詳解】由題意可得：伍+肛=^+斤+2小5=1+時+2xlx問xcos|乃=7,

整理可得：_2x1xM_6=0,（忖-3）（問+2）=0,

據(jù)此可得.川=3

四、雙空題

16.已知由$詁2》=2$m》《?z，COS2X=2COS2X-1，cos3x=cos（2x+x）可推得三倍角余弦

公式cos3x=dcos'x-3cosx，已知cos540=sin36°,結(jié)合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式

可得sinl8°=；如圖，已知五角星力8COE是由邊長為2的正五邊形GHLK和

五個全等的等腰三角形組成的，則施.麗=

【正確答案】業(yè)15+V5

4

【分析】由cos54°=sin36°結(jié)合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出關(guān)于sinl8。的

二次方程，結(jié)合0<sinl8°<l可求得sinl80的直求得NHEG=18。,NEHG=54°,過點“作

2cosl8

HMVBE,垂足為點求得"”=2cosl80,￡//=?,然后利用平面向量數(shù)量積

sin18°

的定義可求得結(jié)果.

【詳解】因為cos54"=cos（90,-360）=sin36",所以，4cos3180-3cos18s=2sinI8'cosl8a,

即4cos218°-3=2sinl8"，即40-sit?18>3=2sinI8°,即4sin?180+2sinl80-1=0，

因為0<sinl8"<l>解得sin]&*=-+6L.

84

在五角星4BCDE中，EG=EI,HG=HI,HE=HE,故△EHG三/\EH1,

從而可得NHEG=-ZCEB=18°,AEHG=-ZIHG=54',

22

過點H作HMLBE,垂足為點M，則NGHM=18'，于是cos/GHM==,

從而有HM=GHcosZGHM=2cos180,于是EH=——=2cos,

sin/.HEGsin18°

所以，麻?萬3=阿卜甌卜os54'=2x2c°^8xsin360=8cos2180=8-8sin218°

=8-8x

故與

五、解答題

17.已知復(fù)Z[=l-2i,z?=3+4i,i為虛數(shù)單位.

(1)若復(fù)數(shù)4+砂2對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)。的取值范圍;

⑵若z=M,求z的模?

【正確答案】(1)ri

⑵后

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡復(fù)數(shù)4+*2,求出對應(yīng)點利用點在第四象

限，得到不等式組，即可求實數(shù)a的取值范圍；

(2)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)z=兔三，從而求出其模.

4+Z2

【詳解】(1)解：:句=l-2i,z2=3+4i,

復(fù)數(shù)4+"2=(l-2i)+a(3+4i)=(l+3a)+(4a-2)i,

則復(fù)數(shù)z,+az2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(1+3a,4a-2),

11+3a>0ii

由題意可得力、八，解得即"

4。-2<032

(2)解.上L一百

乙好.z,+z2(l-2i)+(3+4i)4+2i2+i

(l+3i)(2-i)2-i+6i-3i25+5i1.

(2+i)(2-i)55

所以卜|=J(_iy+(_i)2=JL

18.己知平面向量)=(1,2),A=(-3,-2).

(1方在￡方向上的投影向量；

(2)當％為何值時，應(yīng)+石與13石垂直.

【正確答案】

⑵T

【分析】(1)直接利用投影向量的定義計算即可；

(2)由數(shù)量積的坐標表示計算即可.

【詳解】⑴B在Z方向上的投影向量=M|8S＜。力＞口=耳耳］不，司.

(2)D+J與￡-3號垂直,ka+b=(k-3,2k-2),a-3ft=(10,8),

.?.(Aa+h)-(a-3i)=0,即10("3)+8(2"2)=0,解得"=『■.

19.己知向量a=(cosa,正sin￡+2sina),6=(sina,V5cosJ3-2cosa),旦aHb.

(1)求cos(a+￡)的值；

(2)若a,匹(0,且tana=g,求2a+4的值.

【正確答案】(1)巫;(2)二.

54

【分析】(1)由共線向量的坐標表示列出等式，利用兩角和的余弦公式化簡等式即可得解;

(2)由cos(a+0的值求出tan(a+/)，再利用兩角和的正切公式求出tan(2a+0,根據(jù)

2。+〃的范圍即可求得2。+〃.

【詳解】(1)因為〃〃6，所以cosa(6cos6一2cosa)-sina(J^sin/?+2sina)=0,

V5(cosacos4一sinasin夕)=2(cos2a+sin2a)=2,

亞cos(a+〃)=2,即cos(a+/?)=—.

(2)由。，尸后(。,2!卜導(dǎo)0＜a+〃＜兀，

)/z

又因為cos(a+夕)=—《一＞0,

所以0＜a+夕＜不，則sin(a+P)=——，tan(a+P)=—,

25，

-1T__1

e、,1ll……八、tana4-tan(a+B)a7.

因為tana=；,所以tan(2a+〃)=---------------------—=1,

3l-tanatan(a+p)?_

~32

7TTT

因為0<a<5,所以0<2a+夕<乃，所以2。+/?=彳.

本題考查兩角和與差的余弦、正切公式，已知三角函數(shù)值求角，涉及向量共線的坐標表示,

屬于中檔題.

20.在-5C中,內(nèi)角43,。所對的邊分別為。，瓦c.已知asinZ=4bsin3,

ac=y[5(a1-h2-c2).

(I)求cos/的值；

(II)求sin(28-4)的值.

【正確答案】(D-叵(II)-域

55

【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系。=%，再根據(jù)余弦定理

求出COS力，

進而得到sin/,由轉(zhuǎn)化為sin4=2sin8,求出sinB,進而求出cosB,從而求

出28的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.

試題解析：(I)解：ISasinA=4/?sin5,及二~；=上』得a=2b.

sirt4sinB

由QC=指位一〃―/)，及余弦定理，得，b2+c2-a2一丁"V5.

cosZ=--------------=----------=-------

2hcac5

（II）解：由（I）,可得siM=2亞，代入asinJ=4bsin8,得sinB="‘in'=

54b5

由（I）知，Z為鈍角，所以cosB=J1一sin3=冬后.于是sin28=2sin8cos8=3,

55

3

cos2^=l-2sin25=-,故

4

sin（28-4）=sin28cos4-cos28sirL4=不

555

正弦定理、余弦定理、解三角形

【名師點睛】利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角''尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的

關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角

函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角

和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.

21.某公園為了吸引更多的游客，準備進一步美化環(huán)境.如圖，準備在道路Z8的一側(cè)進行

綠化，線段N8長為4百米，C,。都設(shè)計在以N8為直徑的半圓上.設(shè)=

jr

（1）現(xiàn)要在四邊形NBC。內(nèi)種滿郁金香，若zcor>=§,則當。為何值時，郁金香種植面

積最大；

（2）為了方便游客散步，現(xiàn)要鋪設(shè)一條棧道，棧道由線段8C,CD和。/組成，若BC=

CD,則當。為何值時，棧道的總長/最長，并求/的最大值（單位：百米）.

【正確答案】（1）當0時，郁金香種植面積最大；（1）當0為時，棧道的總長/最

長，/的最大值為6百米.

【分析】（1）求出利用三角形的面積公式可得四邊形Z8C。關(guān)于。的函數(shù)，利用三角函數(shù)的

恒等變換可以得到“一角一函”的形式，然后根據(jù)角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得面積最

大值；

（2）利用余弦定理求得關(guān)于，的三角函數(shù)，相加可求出/關(guān)于e的三角函數(shù)表達式，利

用二倍角公式和換元思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，進而求解.

【詳解】解：（1）

:線段長為4百米，所以圓的半徑為2百米，即。1=08=00=8=2,

當NCOO=q時，由三角形的面積公式得：

=

S/BCOS^BOC+S&C0D+SgOA

=—x22sin0+—x22sin—+—x22sin|