彎曲的強(qiáng)度和剛度計(jì)算-梁的強(qiáng)度計(jì)算（建筑力學(xué)）

彎曲的強(qiáng)度和剛度計(jì)算(二)最大剪應(yīng)力就全梁來說，最大剪應(yīng)力一般發(fā)生在最大剪力Ｑmax所在截面的中性軸上各點(diǎn)處。對于不同形狀的截面，τmax的計(jì)算公式可歸納為

τmax＝ＱmaxＳzmax/Ｉｚ·ｂ(6-10)

式中，Ｓzmax為中性軸一側(cè)截面對中性軸的靜矩；ｂ為橫截面在中性軸處的寬度。二、梁的強(qiáng)度條件(一)正應(yīng)力強(qiáng)度條件為了保證梁能安全工作，必須使梁的最大工作正應(yīng)力σmax不超過其材料的許用應(yīng)力［σ］，這就是梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件。即正應(yīng)力強(qiáng)度條件為:σmax＝Ｍmax/Ｗz≤［σ］(6-11)

如果梁的材料是脆性材料，其抗壓和抗拉許用應(yīng)力不同。為了充分利用材料，通常將梁的橫截面做成與中性軸不對稱形狀。此時(shí)，應(yīng)分別對拉應(yīng)力和壓應(yīng)力建立強(qiáng)度條件，即:

(6-12)

式中，分別為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；Ｍ＋、Ｍ－分別為產(chǎn)生最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力截面上的彎矩；［σ］＋、［σ］－分別為材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力；分別為產(chǎn)生最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力截面上的點(diǎn)到中性軸的距離。運(yùn)用正應(yīng)力強(qiáng)度條件，可解決梁的三類強(qiáng)度計(jì)算問題：(1)強(qiáng)度校核。在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸(即已知［σ］、Ｗｚ)以及所受荷載(即已知Ｍmax)的情況下，檢查梁是否滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。(2)設(shè)計(jì)截面。當(dāng)已知荷載和所用材料時(shí)(即已知Ｍmax、［σ］)，可以根據(jù)強(qiáng)度條件計(jì)算所需的抗彎截面模量Ｗｚ≥Ｍmax［σ］，然后根據(jù)梁的截面形狀進(jìn)一步確定截面的具體尺寸。(3)確定許可荷載。如果已知梁的材料和截面尺寸(即已知［σ］、Ｗｚ)，則先由強(qiáng)度條件計(jì)算梁所能承受的最大彎矩，即Ｍmax≤［σ］·Ｗｚ，然后由Ｍｍａｘ與荷載的關(guān)系計(jì)算許可荷載?！纠?-3】如圖6-15所示，一懸臂梁長ｌ＝1.5ｍ，自由端受集中力Ｆ＝32ｋＮ作用，梁由22ａ工字鋼制成，自重按ｑ＝0.33ｋＮ／ｍ計(jì)算，材料的許用應(yīng)力［σ］＝160ＭＰａ。試校核梁的正應(yīng)力。解：(1)求最大彎矩。最大彎矩在固定端截面Ａ處，為Ｍmax＝Ｆl＋ｑl2/2＝32×1.5＋0.33×1.52/2＝48.4(ｋＮ·ｍ)(2)確定Ｗｚ。查附錄型鋼規(guī)格表，22ａ工字鋼的抗彎截面系數(shù)Ｗｚ＝309.8ｃｍ3。(3)校核正應(yīng)力強(qiáng)度。σmax＝ＭmaxＷz＝48.4×106/309.8×103＝156.2(ＭＰａ)＜［σ］＝160ＭＰａ所以，滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。本題若不計(jì)梁的自重，Ｍmax＝Ｆl＝32×1.5＝48(ｋＮ·ｍ)，則σmax＝ＭmaxＷz＝48×106/309.8×103＝154.9(ＭＰａ)

可見，對于鋼材制成的梁，自重對強(qiáng)度的影響很小，工程上一般不予考慮。【例6-4】如圖6-16(a)所示，是由普通熱軋工字鋼制成的簡支梁。受集中力F=120kN作用，鋼材的許用正應(yīng)力［σ］=150MPa，許用切應(yīng)力［τ］=100MPa，試選擇工字鋼型號(hào)。解：（1）作梁的受力圖，求支座約束力。作梁的受力圖如圖6-16(b)所示，由平衡方程求得支座約束力為

FA=80kNFB=40kN（2）作梁的內(nèi)力圖。根據(jù)梁上的外力，作梁的剪力圖和彎矩圖如圖6-16(c)、（d）所示。梁內(nèi)最大剪力和最大彎矩分別為

Qmax=80kNMmax=80kN·m（3）按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面。由正應(yīng)力強(qiáng)度條件得

Wz≥Mmax/［σ］=80×106/150=533×103mm3

查型鋼表，選28b號(hào)工字鋼，其抗彎截面系數(shù)為Wz=534.29×103mm3，比計(jì)算所需的Wz略大，故可選用28b號(hào)工字鋼。（4）對梁進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核。查型鋼表得28b號(hào)工字鋼的截面幾何性質(zhì)為Iz/Szmax=24.24cm,tw=10.5mm(腹板厚度)梁的最大切應(yīng)力為τmax=QmaxSzmax/Iztw=80×103/24.24×10×10.5=31.43(MPa)

因?yàn)棣觤ax=31.43MPa＜［τ］=100MPa,所以梁滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，該梁可選用28b號(hào)工字鋼。【例6-5】⊥形截面懸臂梁尺寸及荷載如圖6-17所示，若材料的許用拉應(yīng)力［σ］＋＝40ＭＰａ，許用壓應(yīng)力［σ］－＝160ＭＰａ，截面對形心軸ｚ的慣性矩Ｉｚ＝10180ｃｍ4，ｈ1＝96.4ｍｍ，試計(jì)算該梁的許可荷載［Ｆ］。解：(1)確定最大彎矩。作彎矩圖如圖6-17所示。由圖可見，在固定端截面Ａ處有最大正彎矩，ＭＡ＝0.8Ｆ。在Ｃ截面有最大負(fù)彎矩，ＭＣ＝0.6Ｆ。由于中性軸不是截面的對稱軸，材料又是拉、壓強(qiáng)度不等的材料，故應(yīng)分別考慮Ａ、Ｃ兩截面的強(qiáng)度來確定許可荷載［Ｆ］。(2)由Ａ截面強(qiáng)度條件確定［Ｆ］。Ａ截面彎矩為正，下拉上壓。由強(qiáng)度條件得

所以［Ｆ］≤53ｋＮ所以［Ｆ］≤132．5ｋＮ(3)由Ｃ截面強(qiáng)度條件確定［Ｆ］。Ｃ截面彎矩為負(fù)，上拉下壓。由強(qiáng)度條件得所以［Ｆ］≤44．2ｋＮ所以［Ｆ］≤281．67ｋＮ由以上的計(jì)算結(jié)果可見，為保證梁的正應(yīng)力強(qiáng)度安全，應(yīng)?。郏疲荩?4.2ｋＮ。(二)剪應(yīng)力強(qiáng)度條件與梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算一樣，為了保證梁能安全正常工作，梁在荷載作用下產(chǎn)生的最大剪應(yīng)力，也不能超過材料的許用剪應(yīng)力［τ］，即剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為

τmax＝ＱmaxＳzmax/Ｉz·ｂ≤［τ］（6-12）對梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。一般情況下，梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁強(qiáng)度的控制條件，故一般先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面，或確定許可荷載，然后按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。但在某些情況下剪應(yīng)力強(qiáng)度也可能成為控制因素。例如，跨度較短的梁或者梁在支座附近有較大的集中力作用，這時(shí)梁的彎矩往往較小，而剪力卻較大；又如有些材料如木料的順紋抗剪強(qiáng)度比較低，可能沿順紋方向發(fā)生剪切破壞；還有如組合截面(工字形等)，當(dāng)腹板的高度較大而厚度較小時(shí)，則剪應(yīng)力也可能很大。所以，在這樣一些情況下，剪應(yīng)力有可能成為引起破壞的主要因素，此時(shí)梁的承載能力將由剪應(yīng)力強(qiáng)度條件來確定?！纠?-6】如圖6-18(ａ)所示的一個(gè)20ａ工字鋼截面的外伸梁，已知鋼材的許用應(yīng)力［σ］＝160ＭＰａ，許用剪應(yīng)力［τ］＝100ＭＰａ，試校核此梁強(qiáng)度。解：(1)確定最大彎矩和最大剪力。作梁的剪力圖、彎矩圖，見圖6-18(ｂ)、(ｃ)，由圖可得：Ｍmax＝39ｋＮ·ｍＱmax＝20.25ｋＮ(2)查型鋼表確定工字鋼20ａ有關(guān)的量：Ｗｚ＝236.9ｃｍ3ｄ＝7ｍｍＩｚ＝2369ｃｍ4Ｓｚ＝136.1ｃｍ3(3)確定正應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，校核正應(yīng)力強(qiáng)度。梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在的橫截面Ｃ的上、下邊緣處，其值為σmax＝ＭＣ/Ｗｚ＝39×106/236.9×103＝164.6(ＭＰａ)

雖然σmax＞［σ］＝160ＭＰａ，但工程設(shè)計(jì)上允許最大正應(yīng)力略超過許用應(yīng)力。只要最大正應(yīng)力不超過許用應(yīng)力的5％，仍認(rèn)為是安全的。σmax－［σ］/［σ］＝164.6－160/160＝0.029=2.9%＜5％所以，認(rèn)為該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。(4)確定剪應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，校核剪應(yīng)力強(qiáng)度。由剪力圖可知，最大剪力發(fā)生在Ｂ左橫截面上，其值Ｑmax＝20.25ｋＮ，該橫截面的中性軸處各點(diǎn)為剪應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)，其剪應(yīng)力為τmax＝ＱmaxＳzmax/ｄＩｚ＝20.25×103×136.1×103/7×2369×104＝16.6(ＭＰａ)＜［τ］＝100ＭＰａ所以，該梁滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。

彎曲的強(qiáng)度和剛度計(jì)算三、提高梁彎曲強(qiáng)度的措施如前所述，由于彎曲正應(yīng)力是控制梁強(qiáng)度的主要因素，因此從梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，采取以下措施可提高梁的強(qiáng)度。(一)合理安排梁的支座和荷載來降低最大彎矩值Ｍmax1．梁支承的合理安排當(dāng)荷載一定時(shí)，梁的最大彎矩值Ｍｍａｘ與梁的跨度有關(guān)，首先應(yīng)當(dāng)合理安排支座。例如，圖6-19(ａ)所示受均布荷載作用的簡支梁，其最大彎矩值Ｍmax＝0.125ｑl2；如果將兩支座向跨中方向移動(dòng)0.2l，如圖6-19(ｂ)所示，則最大彎矩降為0.025ｑl2，即只有前者的1／5。所以，在工程中起吊大梁時(shí)，兩吊點(diǎn)設(shè)在梁端以內(nèi)的一定距離處。2．荷載的合理布置在工作條件允許的情況下，應(yīng)盡可能合理地布置梁上的荷載。例如，圖6-20中把一個(gè)集中力分為幾個(gè)較小的集中力，分散布置，梁的最大彎矩就明顯減小。(二)采用合理的截面形狀(1)從應(yīng)力分布規(guī)律考慮，應(yīng)將較多的截面面積布置在離中性軸較遠(yuǎn)的地方。如矩形截面，由于彎曲正應(yīng)力沿梁截面高度按直線分布，截面的上、下邊緣處正應(yīng)力最大，在中性軸附近應(yīng)力很小，所以靠近中性軸處的一部分材料未能充分發(fā)揮作用。如果將中性軸附近的陰影面積(見圖6-21)移至虛線位置，這樣就形成了工字形截面，其截面面積大小不變，而更多的材料可較好地發(fā)揮作用。所以，從應(yīng)力分布情況看，凡是中性軸附近用料較多的截面就是不合理的截面，即截面面積相同時(shí)，工字形比矩形好，矩形比正方形好，正方形比圓形好。(2)從抗彎截面系數(shù)Ｗｚ考慮：由式Ｍmax＝［σ］Ｗｚ可知，梁所能承受的最大彎矩Ｍmax與抗彎截面模量Ｗｚ成正比。所以，從強(qiáng)度角度看，當(dāng)截面面積一定時(shí)，Ｗｚ值愈大愈有利。通常，用抗彎截面模量Ｗｚ與橫截面面積Ａ的比值來衡量梁的截面形狀的合理性和經(jīng)濟(jì)性。表6-1中列出了幾種常見的截面形狀及其Ｗｚ／Ａ值。(3)從材料的強(qiáng)度特性考慮：合理地布置中性軸的位置，使截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力。對抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料梁，宜采用對稱于中性軸的截面形狀，如矩形、工字形、槽形、圓形等。對于拉、壓強(qiáng)度不等的材料，一般采用非對稱截面形狀，使中性軸偏向強(qiáng)度較低的一邊，如Ｔ形等。設(shè)計(jì)時(shí)最好使

即截面受拉、受壓的邊緣到中性軸的距離與材料的抗拉、抗壓許用應(yīng)力成正比，這樣才能充分發(fā)揮材料的潛力。(三)采用等強(qiáng)度梁一般承受橫力彎曲的梁，各截面上的彎矩是隨截面位置而變化的。對于等截面梁，除Ｍmax所在截面外，其余截面的材料必然沒有充分發(fā)揮作用。若將梁制成變截面梁，使各截面上的最大彎曲正應(yīng)力與材料的許用應(yīng)力［σ］相等或接近，這種梁稱為等強(qiáng)度梁，如圖6-22(ａ)所示的雨篷懸臂梁，如圖6-22(ｂ)所示的薄腹梁，如圖6-22(ｃ)所示的魚腹式吊車梁等，都是近似地按等強(qiáng)度原理設(shè)計(jì)的。

彎曲的強(qiáng)度和剛度計(jì)算有了應(yīng)力公式后，便可以計(jì)算梁中的最大應(yīng)力，建立應(yīng)力強(qiáng)度條件，對梁進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。一、最大應(yīng)力(一)最大正應(yīng)力在進(jìn)行梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須首先算出梁的最大正應(yīng)力。最大正應(yīng)力所在截面稱為危險(xiǎn)截面。對于等直梁，彎矩絕對值最大的截面就是危險(xiǎn)截面。危險(xiǎn)截面上最大應(yīng)力所在的點(diǎn)稱為危險(xiǎn)點(diǎn)，它在距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣處。對中性軸是截面對稱軸的梁，最大正應(yīng)力σmax值為σmax＝Ｍmax·ｙmax/Ｉｚ，令Ｗｚ＝Ｉｚ/ｙmax，則σmax＝Ｍmax/Ｗｚ(6-8)

梁的強(qiáng)度計(jì)算彎曲的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

式中，Ｗｚ稱為抗彎截面系數(shù)，它是一個(gè)與截面形狀、尺寸有關(guān)的幾何量，常用單位是ｍ3或ｍｍ3。顯然，Ｗｚ值愈大，梁中的最大正應(yīng)力值愈小，從強(qiáng)度角度看，就愈有利。矩形和圓形截面的抗彎截面系數(shù)分別為:矩形截面Ｗｚ＝Ｉｚ/ｙmax＝(ｂｈ3／12)/(ｈ／2)＝bh2/6圓形截面Ｗｚ＝