1.2 二次函數(shù)的圖象（十大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第1章二次函數(shù)1.2二次函數(shù)的圖象（十大題型）分層練習(xí)考查題型一二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)1．（2021秋·山東青島·九年級校考階段練習(xí)）和，下列說法正確的是（

）A．對稱軸都是x軸 B．最低點(diǎn)都是點(diǎn)C．在y軸右側(cè)都是下降趨勢 D．形狀相同，開口方向相反【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的圖象與性質(zhì)逐一分析即可．【詳解】解：拋物線和的對稱軸都是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)都是原點(diǎn)，但是開口向上，在y軸右側(cè)呈上升趨勢，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)．開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，在y軸右側(cè)呈下降趨勢．拋物線和的開口方向相反，形狀相同．∴A，B，C不符合題意；D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像的開口方向，開口大小，對稱軸，形狀，以及函數(shù)圖像的增減性．①二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大?。?dāng)時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口．越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小．②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．③當(dāng)且y在對稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x增大而增大，y在對稱軸左側(cè)則相反，同增同減．當(dāng)且y在對稱軸右側(cè)時(shí)，y隨x增大而減小，y在對稱軸左側(cè)則相反，大小小大．此為重點(diǎn)，也為易考點(diǎn)．2．（2022秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為y軸，∴若圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)圖象的對稱性，確定出函數(shù)圖象的對稱軸為y軸是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）如圖，①，②，③，④，比較a．b．c．d的大小，用“”連接．__________

【答案】【分析】設(shè)，函數(shù)值分別等于二次項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)圖象，比較各對應(yīng)點(diǎn)縱坐標(biāo)的大?。驹斀狻拷猓阂?yàn)橹本€與四條拋物線的交點(diǎn)從上到下依次為，

所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，采用了取特殊點(diǎn)的方法，比較字母系數(shù)的大?。?．（2022秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖象開口向上，請寫出一個(gè)符合條件的a的值：_______．【答案】(答案不唯一)【分析】由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得：時(shí)圖象開口向上．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴，∴符合題意，故答案為：(答案不唯一)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；掌握二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)與開口的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·湖北孝感·九年級統(tǒng)考期中）已知是二次函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大．(1)求k的值；(2)如果點(diǎn)P(m，n)是此二次函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，若?2≤m≤1，那么n的取值范圍為______．【答案】(1)；(2)＜y≤0【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)定義以及當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大．可得出結(jié)論；（2）當(dāng)x=2時(shí)，y=4，當(dāng)x=1時(shí)，y=1并結(jié)合函數(shù)圖象求出y的取值范圍．【詳解】（1）解：由是二次函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，得，解得：；（2）解：由（1）得二次函數(shù)的解析式為，如圖所示：當(dāng)x=2時(shí)，，當(dāng)x=1時(shí)，，∴當(dāng)2≤x＜1時(shí)，＜y≤0，故答案為：＜y≤0．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求函數(shù)解析式．考查題型二二次函數(shù)y=ax2+k的圖象與性質(zhì)1．（2022秋·九年級單元測試）拋物線，，共有的性質(zhì)是()A．開口向上 B．對稱軸都是軸 C．都有最高點(diǎn) D．頂點(diǎn)都是原點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：，，開口向下，有最大值，對稱軸為，即軸；，，開口向上，有最小值，對稱軸為，即軸；，，開口向上，有最小值，對稱軸為，即軸；共有的性質(zhì)是：對稱軸都是軸，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．2．（2022秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)?？计谥校╆P(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A．它的開口方向向下 B．對稱軸是直線x=1C．當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值是1【答案】D【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確．【詳解】解：∵二次函數(shù)，2>0,∴該函數(shù)的圖象開口向上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對稱軸是軸，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，有最小值是1，故選項(xiàng)D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）拋物線的開口_____，對稱軸是_____，頂點(diǎn)坐標(biāo)是________，當(dāng)_____時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)x______時(shí)，隨的增大而減小．【答案】向下軸【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)判定即可．【詳解】解：拋物線的開口向下，對稱軸是軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。蚀鸢笧椋合蛳拢S，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì)．4．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若點(diǎn)A（-1，m）和B（-2，n）在二次函數(shù)y=-x2+20圖象上，則m______n（填大小關(guān)系）【答案】＞【分析】拋物線開口向下，且對稱軸為y軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定．【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為y=-x2+20，∴該拋物線開口向下，對稱軸為y軸，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)A（-1，m）和B（-2，n）在二次函數(shù)y=-x2+20圖象上，-1＞-2，∴m＞n．故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出對稱軸和根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出正確答案是解此題的關(guān)鍵．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）將函數(shù)、與函數(shù)的圖像進(jìn)行比較，函數(shù)、的圖像有哪些特征？完成下表．拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)【答案】見解析【分析】根據(jù)拋物線與拋物線的性質(zhì)進(jìn)行比較即可．【詳解】拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是軸，即直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)是．拋物線的開口方向由所取值的符號決定，當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下．拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)向上軸向上軸向上軸【點(diǎn)睛】本題考查了的性質(zhì)，掌握拋物線與拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型三二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象與性質(zhì)1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）二次函數(shù)的的大致圖像是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)解析式，，可得圖像開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得．【詳解】解：∵，，∴圖像開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)晴】本題考查了二次函數(shù)的圖像，熟練記住圖像與系數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵．2．（2022·河南南陽·九年級南陽市第十三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B．對稱軸是直線C．時(shí)y隨x增大而減小 D．開口向上【答案】C【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷選擇．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A正確，不符合題意；對稱軸是直線，故B正確，不符合題意；拋物線開口向上，故D正確，不符合題意；∴當(dāng)時(shí)y隨x增大而增大，故C錯(cuò)誤，符合題意．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，圖象開口向上，此時(shí)當(dāng)，y隨x增大而減小，當(dāng)，y隨x增大而增大；當(dāng)時(shí)，圖象開口向下，此時(shí)當(dāng)，y隨x增大而增大，當(dāng)，y隨x增大而減?。?．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤?，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，大小關(guān)系為______．【答案】/【分析】根據(jù)給出的二次函數(shù)判斷開口方向向上，對稱軸為直線，即可根據(jù)自變量的大小判斷函數(shù)值的大小【詳解】∵二次函數(shù)為：∴∴二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為：，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而減小，∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸和開口方向是解決問題的關(guān)鍵4．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是______．【答案】【分析】先求得二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：的對稱軸為直線，，開口向上，當(dāng)時(shí)，最小為，又∵，∴時(shí)，最大為∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線的對稱軸為直線，與y軸交于點(diǎn)．(1)求a和h的值；(2)求該拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）利用對稱軸為直線，可得，（2）根據(jù)原拋物線為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，求出關(guān)于y軸對稱的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求出關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為．【詳解】（1）解：∵對稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，∴，∴．（2）解：由（1）可知：該拋物線為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：∴拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴該拋物線關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的圖形及性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的性質(zhì)．考查題型四二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象與性質(zhì)1．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．對稱軸為 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C．函數(shù)的最大值是－3 D．函數(shù)的最小值是－3【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵∴二次函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)有最大值，為∴A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）對于二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列說法正確的是（

）A．對稱軸是直線，y的最小值是2 B．對稱軸是直線，y的最大值是2C．對稱軸是直線，y的最大值是 D．對稱軸是直線，y的最大值是2【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)開口向下，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴y的最大值是2，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，對于二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值k，在對稱軸右邊y隨x增大而增大，在對稱軸左邊，y隨x增大而減??；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最大值k，在對稱軸右邊y隨x增大而減小，在對稱軸左邊，y隨x增大而增大．3．（2023春·北京海淀·九年級清華附中校考開學(xué)考試）若點(diǎn)，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為___________（用“”連接）【答案】【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，再根據(jù)開口向上離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，∵點(diǎn)，，在拋物線上，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比較二次函數(shù)函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）已知一個(gè)二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線相同，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該二次函數(shù)的表達(dá)式為____________．【答案】或【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，可得可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，再根據(jù)圖象的形狀和與拋物線相同，可得，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線相同，，∴，∴，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記形狀相同的二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值相等是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求a的值及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)都在該拋物線上，請直接寫出與的大?。敬鸢浮?1)a的值是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；(2)【分析】（1）根據(jù)題目中的解析式可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，把點(diǎn)代入，可以求得a的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以解答本題．【詳解】（1）解：∵，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，，即a的值是；（2）解：∵，，∴該拋物線的圖象在時(shí)，y隨x的增大而增大，在時(shí)，y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)都在該拋物線上，∴．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．考查題型五二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)1．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如表中列出的是二次函數(shù)中與的幾組對應(yīng)值：x……012……y2下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．圖象開口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小 D．這個(gè)函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線,并確定二次函數(shù)的開口向下，即可得解.【詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，結(jié)合的函數(shù)值與其他函數(shù)值比較可知：在對稱軸處取得最大值2，故二次函數(shù)圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)A,B,C都正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選擇：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，仔細(xì)觀察分析表格數(shù)據(jù)，得到對稱軸和開口方向是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·?？级＃┮阎獟佄锞€過不同的兩點(diǎn)和，若點(diǎn)在這條拋物線上，則的值為（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】根據(jù)對稱性可得，代入解方程即可求解．【詳解】解：∵拋物線，對稱軸為直線，又拋物線過不同的兩點(diǎn)和，∴，∴即，代入解析式，得，解得：或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于1，則n的取值范圍是______.【答案】【分析】點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于1，即，根據(jù)得對稱軸，分別把，和代入即可得n的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)，∴對稱軸，因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于1，∴，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以n的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)等知識內(nèi)容，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．4．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，若，則a的取值范圍為______．【答案】【分析】先確定拋物線的對稱軸和開口方向，再根據(jù)拋物線的對稱性求出函數(shù)值相等時(shí)的x的值，然后根據(jù)函數(shù)值的增減性的得出答案．【詳解】二次函數(shù)，可知拋物線的對稱軸是，開口向下，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對稱性確定臨界值是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，利用函數(shù)的圖像，解決下列問題：(1)方程的解是；(2)當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小；(3)當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．(4)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是；【答案】(1)，(2)（也對）(3)或(4)【分析】（1）由拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；（2）求出二次函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)其開口方向可得答案；（3）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)及拋物線的對稱性求解即可；（4）求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)得出其最小值，然后將代入函數(shù)解析式即可得出其最大值，從而得解．【詳解】（1）解：由函數(shù)圖像可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴是方程的解，故答案為：，；（2）拋物線的對稱軸為，∴當(dāng)或時(shí)y隨x的增大而減小，故答案為：（也對）；（3）由圖像可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∵拋物線的對稱軸為，∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴或時(shí)，，故答案為：或；（4）∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴函數(shù)的最小值為，將代入得，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵時(shí)掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．考查題型六二次函數(shù)圖象與各系數(shù)的關(guān)系1．（2022秋·廣東肇慶·九年級?？计谥校┒魏瘮?shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①，②，③，④．其中正確的是（

）

A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，即，所以①正確；②由二次函數(shù)圖象可知，，，，∴，故②錯(cuò)誤；③∵對稱軸：直線，∴，∴，∵，，，∴，故③錯(cuò)誤；④∵對稱軸為直線，拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)，∴拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故④正確．綜上，①④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對稱軸的范圍求與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．2．（2021春·廣東江門·九年級臺山市新寧中學(xué)?？计谥校┤鐖D，二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，給出以下結(jié)論：①；②；③；④若、為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則．其中正確的是（）

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：①由圖象可知：，由對稱軸可知：，∴，∴，故①正確；②由對稱軸可知：，∴，∵拋物線過點(diǎn)，∴，∴，∴，故②正確；③當(dāng)時(shí)，y取最大值，y的最大值為，當(dāng)x取全體實(shí)數(shù)時(shí)，，即，故③正確；④關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為：∴，故④錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于中等題型．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）寫出一個(gè)滿足下列要求的函數(shù)：_____________．①該函數(shù)存在一條對稱軸②該函數(shù)圖像過且僅過三個(gè)象限③該函數(shù)圖像過點(diǎn)【答案】（答案不唯一）【分析】此函數(shù)可以為二次函數(shù)（，，），結(jié)合條件求解即可．【詳解】解：∵頂點(diǎn)為，開口向下且與軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上的拋物線的解析式都是符合題意的，∴我們可以寫出一個(gè)函數(shù)是（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題是開放性試題，考查函數(shù)圖形及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，對考查學(xué)生所學(xué)函數(shù)的深入理解、掌握程度具有積極的意義，本題的結(jié)論是不唯一的，其解答思路滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．4．（2023春·湖北恩施·九年級校考階段練習(xí)）如圖所示，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方且橫坐標(biāo)小于，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是___________．（只填寫序號）【答案】②③④【分析】拋物線的對稱軸為，二次函數(shù)的圖像開口向下所以，可以判斷出，即可對①進(jìn)行判斷；拋物線與軸交點(diǎn)在軸上方，所以，有對稱軸，可得到，則，于是可對②進(jìn)行判斷；由圖可知，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在左側(cè)，根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)的對稱性可知，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在右側(cè)，則當(dāng)時(shí)，，于是可對③進(jìn)行判斷；直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方且橫坐標(biāo)小于3，利用函數(shù)圖像得時(shí)，一次函數(shù)比二次函數(shù)值大，即，然后把代入的不等式，則可對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線的對稱軸為，，二次函數(shù)的圖像開口向下所以，，故①不正確；拋物線與軸交點(diǎn)在軸上方，，對稱軸，，，故②正確；拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在左側(cè)，而拋物線的對稱軸為直線，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在右側(cè)，當(dāng)時(shí)，，故③正確；直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方且橫坐標(biāo)小于3，時(shí)，一次函數(shù)比二次函數(shù)值大，，，，解得：，故④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)及其圖像的性質(zhì)和不等式，也考查了二次函數(shù)圖像和系數(shù)的關(guān)系，利用兩個(gè)函數(shù)圖像在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝﹣x2+(m﹣1)x+m與y軸交于點(diǎn)(0，3)．（1）m的值為________；（2）當(dāng)x滿足________時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；（3）當(dāng)x滿足________時(shí)，拋物線在x軸上方；（4）當(dāng)x滿足0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是________．【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）將（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，故答案為3；（2）m＝3時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3，函數(shù)的對稱軸為直線x＝＝1，∵﹣1＜0，故拋物線開口向下，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故答案為x＞1；（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，從圖象看，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，拋物線在x軸上方；故答案為﹣1＜x＜3；（4）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），故當(dāng)x滿足0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是﹣5≤y≤4，故答案為﹣5≤y≤4．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考查題型七兩個(gè)二次函數(shù)圖象綜合判斷1．（2023·安徽·模擬預(yù)測）如果兩個(gè)不同的二次函數(shù)的圖象相交，那么它們的交點(diǎn)最多有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)進(jìn)一步求解即可.【詳解】∵二次函數(shù)的圖像為拋物線，∴兩個(gè)不同二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)最多只能有2個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)與特點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.2．（2021春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)和，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)【答案】B【分析】分兩種情況討論，通過解不等式和，可對各項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，整理得，，，解得或；當(dāng)時(shí)，，整理得，，，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式組：利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知一條拋物線的形狀與拋物線形狀相同，與另一條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同，這條拋物線的表達(dá)式為_______．【答案】或【分析】根據(jù)拋物線的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系得出，，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)這條拋物線的解析式為：，∵這條拋物線與拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同，∴，，又∵這條拋物線與拋物線形狀相同，∴，即，∴這條拋物線的解析式為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·九年級課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，若|ax2+bx+c|=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是____．【答案】k=0或k＞2．【分析】先根據(jù)題意畫出y＝|ax2＋bx＋c|的圖象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，k的取值范圍．【詳解】解：∵當(dāng)ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸上方，∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c，∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸上方部分的圖象．∵當(dāng)ax2＋bx＋c＜0時(shí)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象在x軸下方，∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)，∴此時(shí)y＝|ax2＋bx＋c|的圖象是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對稱的圖象．∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是－2，∴函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x軸下方部分與x軸對稱的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是2，∴y＝|ax2＋bx＋c|的圖象如右圖．∵觀察圖象可得當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)圖象在直線y＝2的上方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有兩個(gè)，函數(shù)圖象在直線y＝2上時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有三個(gè)，函數(shù)圖象在直線y＝2的下方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有四個(gè)，∴若|ax2＋bx＋c|＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)圖象應(yīng)該在y＝2的上邊，故k＝0或k＞2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出y＝|ax2＋bx＋c|的圖象，根據(jù)圖象得出k的取值范圍．5．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市采荷中學(xué)校考期中）設(shè)二次函數(shù)，（，，是實(shí)數(shù)，）．(1)若，函數(shù)的對稱軸為直線，且函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求，的值．(2)設(shè)函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為，若，求證：．(3)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)分別在二、四象限，求證：．【答案】(1)為2，為(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，對稱軸，求出的值，再把點(diǎn)代入函數(shù)即可求出的值；（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得出和，再利用得出；（3）分情況根據(jù)對稱軸的位置推出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的對稱軸為直線，∴，∴，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴；（2）∵函數(shù)的最大值為，∴，，∵函數(shù)的最小值為，∴，，∴，∵，∴；（3）∵函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)分別在二、四象限，且，①若，，則，即，∵，，∴，②若，，則，即，∵，，∴，綜上可知，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識是解題的關(guān)鍵．考查題型八根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求函數(shù)值1．（2023春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）若拋物線上的，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，因?yàn)閽佄锞€上的，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，故，，則，即可知道Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：依題意，設(shè)，因?yàn)閽佄锞€上的，Q兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以，，即，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象的點(diǎn)的坐標(biāo)以及二次函數(shù)圖象的對稱性等知識內(nèi)容，經(jīng)過函數(shù)的某點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上．2．（2023·江西·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)（，，是常數(shù)）的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表：…1……00…其中，，，以下結(jié)論中不正確的是（

）A．對稱軸為直線 B．關(guān)于的方程的兩根為或C． D．關(guān)于的不等式的解集為【答案】D【分析】根據(jù)對稱軸和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷A；由表格數(shù)據(jù)可知拋物線開口向上，函數(shù)的對稱軸為：，則，即可判斷B、C；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D．【詳解】解：∵和時(shí)，函數(shù)值都是m，∴點(diǎn)和關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴對稱軸為，故選項(xiàng)A不符合題意；∵對稱軸為，∴，∴于的方程的兩根為或，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，，∴，∴拋物線開口向上，∴，，∵，∴，∴，故選項(xiàng)C不符合題意；∵拋物線開口向上，和時(shí)，函數(shù)值都是m，∴時(shí)，的解為和，∴，∴關(guān)于的不等式的解集為或，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，能夠從表格中獲取信息確定出開口方向和對稱軸是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上海·一模）二次函數(shù)圖像上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如表：x……y……那么m的值為____．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答即可．【詳解】解：、時(shí)的函數(shù)值相等都是，函數(shù)圖像的對稱軸為直線和也關(guān)于直線對稱，當(dāng)和時(shí)的函數(shù)值也相等，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟記二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．4．（2023·吉林長春·?？级＃┒魏瘮?shù)（a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)、、．若，則a的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)題意可得拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，再由，可得點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，且點(diǎn)A到對稱軸的距離大于點(diǎn)C到對稱軸的距離，即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，∵，∴點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，且點(diǎn)A到對稱軸的距離大于點(diǎn)C到對稱軸的距離，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到點(diǎn)在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，且點(diǎn)A到對稱軸的距離大于點(diǎn)C到對稱軸的距離是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求a的值和二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)已知點(diǎn)在該二次函數(shù)圖像上．①當(dāng)時(shí)，求n的值；②當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最大值，請結(jié)合函數(shù)圖像求出m的值．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)①；②或【分析】（1）把點(diǎn)代入，解得a的值并配方，得，即得二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①把代入即可；②結(jié)合函數(shù)圖像，即可得到當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最大值時(shí)的m的值．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，配方，得，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：①將代入，得.∴當(dāng)時(shí)，.②由（1）可知拋物線的對稱軸為直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，如解圖所示：

根據(jù)函數(shù)圖像，若滿足當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最大值，則或，∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像性質(zhì)以及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并熟練二次函數(shù)圖像性質(zhì)以及應(yīng)用知識內(nèi)容．考查題型九已知二次函數(shù)的的函數(shù)值求自變量的值1．（2022秋·河南鄭州·九年級河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校└鶕?jù)下列表格的對應(yīng)值：判斷方程（，，，為常數(shù)）一個(gè)近似解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)表格，得出當(dāng)時(shí)，的值為，當(dāng)時(shí)，的值為，再根據(jù)，即可得出方程（，，，為常數(shù)）的一個(gè)近似解應(yīng)大于且小于，再結(jié)合選項(xiàng)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵由表格可知，當(dāng)時(shí)，的值為，當(dāng)時(shí)，的值為，又∵，∴方程（，，，為常數(shù)）的一個(gè)近似解應(yīng)大于且小于，又∵，∴方程（，，，為常數(shù)）一個(gè)近似解為．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的近似解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握一元二次方程的解相當(dāng)于在二次函數(shù)的函數(shù)值為時(shí)，自變量的值．2．（2022秋·山西太原·九年級統(tǒng)考期中）小亮仿照探究一元二次方程解的方法，課后嘗試探究了一元三次方程的解，列表如下：據(jù)此可知，方程的一個(gè)解的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)列表，得出當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值為；當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值為，再根據(jù)，即可得出的一個(gè)解的取值范圍為．【詳解】解：根據(jù)題意，可得：當(dāng)時(shí)，的值為；當(dāng)時(shí)，的值為，∵，∴方程的一個(gè)解的取值范圍為．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握一元二次方程的解相當(dāng)于在二次函數(shù)的函數(shù)值為時(shí)，自變量的值．3．（2021春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知，當(dāng)__________時(shí)，y的值為0；當(dāng)__________時(shí)，y的值等于9．【答案】30或6【分析】令y=0即可得到關(guān)于x的一元二次方程，求出x的值即可；令y=9即可得到關(guān)于x的一元二次方程，求出x的值即可．【詳解】解：∵y=x2-6x+9中的值為0，∴令x2-6x+9=0，解得x=3；∵y=x2-6x+9中的值為9，∴令x2-6x+9=9，即x2-6x=0，解得．故答案為：3；0或6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，根據(jù)函數(shù)值得到關(guān)于x的元二次方程，求出x的值是解答此題的關(guān)鍵．4．（2021春·九年級課時(shí)練習(xí)）已知：二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表所示，那么方程（，，，為常數(shù)）的根是________．…-10123…03430【答案】，【分析】根據(jù)表格可知：點(diǎn)，，在二次函數(shù)圖象上，則可得二次函數(shù)的對稱軸為直線即，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的對稱性可求解．【詳解】解：根據(jù)表格可知：點(diǎn)，，在二次函數(shù)圖象上，∴二次函數(shù)的對稱軸為即，∴點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為，∴方程的根為，；故答案為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·甘肅金昌·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在該拋物線上，求m的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，然后將頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)直接代入即可．（2）將代入（1）中求出的表達(dá)式，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，得解得，所以此函數(shù)的解析式為（2）解：把代入得，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，以及求坐標(biāo)的值，準(zhǔn)確設(shè)出表達(dá)式是解題關(guān)鍵．考查題型十二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值1．（2023·浙江·一模）已知二次方程的兩根為和5，則對于二次函數(shù)，下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是9． B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是9．C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是． D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是．【答案】C【分析】根據(jù)二次方程的兩根為和5，求出，的值，從而得出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】解：二次方程的兩根為和5，，解得，二次函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，關(guān)鍵是求函數(shù)解析式．2（2023·浙江·一模）已知二次函數(shù)（其中是常數(shù)，），當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的值為（

）A． B．或3 C．或3 D．3或【答案】A【分析】首先求出二次函數(shù)的對稱軸為，然后分兩種情況和，分別根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】∵二次函數(shù)，∴對稱軸為，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴，解得；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴，解得，綜上所述，的值為．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3．（2022秋·九年級單元測試）若二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)，有最大值，最小值，則的取值范圍是__________．【答案】/【分析】由二次函數(shù)的對稱軸求出a的值，把一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出當(dāng)時(shí)，y有最小值1，把代入即可求出x的值，即可求得m的取值范圍．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴，∴，∴拋物線解析式為，∴當(dāng)時(shí)，y有最小值1，∵當(dāng)時(shí)，y有最大值5，最小值1，∴令，解得：或，∴m的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握求二次函數(shù)的最值的方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023·吉林·一模）拋物線的頂點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)拋物線也隨之運(yùn)動(dòng)，拋物線與直線相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的最大值為____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，可得拋物線的解析式為，再把代入，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴拋物線的解析式為，把代入得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為，即點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的最大值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)．(1)將化成的形式；(2)當(dāng)時(shí)，的最小值是_____，最大值是______；(3)當(dāng)時(shí)，寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，進(jìn)行配方即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，找出的范圍對應(yīng)的函數(shù)值，由此即可求解；（3）根據(jù)圖象，，圖象與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)的下方，由此即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，∴改寫形式為．（2）解：∵拋物線開口向上，對稱軸為，如圖所示，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)；∴當(dāng)時(shí)，，有最小值；，有最大值，故答案為：，．（3）解：令時(shí)，，解得，，，∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，區(qū)間最大最小值，掌握二次函數(shù)圖象及二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．1．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，然后可得點(diǎn)，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】解：連接，交y軸于點(diǎn)D，如圖所示：

當(dāng)時(shí)，則，即，∵四邊形是正方形，∴，，∴點(diǎn)，∴，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級單元測試）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定拋物線的開口方向，再判斷它的增減性，即可求出答案．【詳解】解：二次函數(shù)為，二次函數(shù)的對稱軸為，，二次函數(shù)的開口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的增減性．3．（2022秋·吉林長春·九年級?？计谀┤鐖D，拋物線的頂點(diǎn)在的邊所在的直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若拋物線與的邊都有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得直線的解析式為：，然后由拋物線的頂點(diǎn)在直線上，可求得，于是得到拋物線的解析式為，由圖形可知當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)拋物線與的邊都有公共點(diǎn)，然后將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得的值，從而可判斷出的取值范圍．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，解得，直線的解析式為：，拋物線的頂點(diǎn)為：，且在的邊所在的直線上運(yùn)動(dòng)，，拋物線解析式為：，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，將代入得：，解得，，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，將代入得：，解得，，綜上所述，的取值范圍為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過平移拋物線探究得出拋物線與的邊都有公共點(diǎn)，拋物線經(jīng)過的“臨界點(diǎn)”為點(diǎn)和點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學(xué)校考期中）函數(shù)與的圖像如圖，有以下結(jié)論，正確的有（

）個(gè)．①；②；③當(dāng)時(shí)，；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】由函數(shù)與軸無交點(diǎn)，可得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得，繼而可求得答案．【詳解】解：∵函數(shù)與軸無交點(diǎn)，∴，故結(jié)論①錯(cuò)誤；由圖像知，拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，當(dāng)時(shí)，，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，，∴，故結(jié)論④正確；∵當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，∴，∴，故結(jié)論③正確，∴正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是(

)A．點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上B．當(dāng)且時(shí)，C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的左側(cè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)：，∵，∴，即：點(diǎn)不在該函數(shù)的圖象上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，當(dāng)時(shí)，有最小值為，∴，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，拋物線的對稱軸為：，∴該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的右側(cè)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學(xué)校考期中）二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)、．點(diǎn)P是對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，則P的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得到對稱軸，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，連接，與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，求出直線的解析式，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)、，，解得：，二次函數(shù)解析式為，對稱軸為直線，如圖，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，連接，與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，設(shè)直線的解析式為，，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．7．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，若分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對稱軸為直線，開口向上，根據(jù)已知條件得出點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，且，進(jìn)而得出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，∵分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，假設(shè)點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，則，解得，∴∴點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，與假設(shè)矛盾，則點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·山東泰安·校考三模）已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，則的值是__________．【答案】5或1/1或5【分析】拋物線通過左右平移可得拋物線，分點(diǎn)與為對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與為對應(yīng)點(diǎn)兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與為對應(yīng)點(diǎn)時(shí)，由于，拋物線是由拋物線向右平移5個(gè)單位得到，；當(dāng)點(diǎn)與為對應(yīng)點(diǎn)時(shí)，由于，拋物線是由拋物線向右平移1個(gè)單位得到，，綜上的值是5或1．故答案為：5或1．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是掌握平移的規(guī)律，注意分情況討論．9．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）定義：若x，y滿足且（t為常數(shù)），則稱點(diǎn)為“和諧點(diǎn)”．（1）若是“和諧點(diǎn)”，則__________．（2）若雙曲線存在“和諧點(diǎn)”，則k的取值范圍為__________．【答案】