2019-2023全國各高考數(shù)學(xué)真題按分項匯編 平面解析幾何解答題含詳解

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編

4<08年而解析幾何（解答更J

高存?存瓶分析

平面解析幾何在高考中考查比例較大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在選題中，解析幾何解答題中難度一

般較大，計算量比較大.主要知識點是

考點01橢圓及其性質(zhì)

考點02雙曲線及其性質(zhì)

考點03拋物線及其性質(zhì)

考點04解析幾何定點定值問題

考點05解析幾何綜合性問題

高存真魅精折

考點01橢圓及其性質(zhì)

22

1.（2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)（海南）?第21題）已知橢圓C：3+與=1（。>6>0）過點例（2,3）,點A為其左頂

ab

點，且4M的斜率為工,

2

（1）求C的方程；

（2）點N為橢圓上任意一點，求△ZM/V的面積的最大值.

2.（2020江蘇高考?第18題）在平面直角坐標(biāo)系X0X中，已知橢圓E:二+二=1的左、右焦點分別為片，月，點A在

43

橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF.LF^,直線AK與橢圓E相交于另一點3.

⑴求AA片鳥的周長；

（2）在x軸上任取一點直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點。，求OPQ尸的最小值；

⑶設(shè)點M在橢圓￡■上，記與AM4B的面積分別為SpS2,若邑=3S],求點口的坐標(biāo).

3.（2020年高考課標(biāo)III卷理科?第20題）已知橢圓C:三+夫=1（0＜根＜5）的離心率為出，人，8分別為。的左、

25m4

右頂點.

（D求C的方程；

（2）若點尸在C上，點。在直線x=6上，且BPYBQ,求APQ的面積.

5.（2023年北京卷?第19題）已知橢圓E:三+匚=1（。＞6＞0）離心率為或，4C分別是E的上、下頂點,

a2b23

B,。分別是E的左、右頂點，IAC1=4.

（1）求E的方程；

⑵設(shè)p為第一象限內(nèi)E上的動點，直線尸。與直線交于點直線a與直線y=-2交于點N.求證:

MN//CD.

22

6.(2023年天津卷?第18題)設(shè)橢圓3+二=1(。>6>0)的左右頂點分別為4，劣，右焦點為尸，已知

ab

|4F|=3,|4F|=1.

(D求橢圓方程及其離心率；

(2)已知點P是橢圓上一動點(不與端點重合)，直線4尸交y軸于點。，若三角形aPQ的面積是三角形4/P

面積的二倍，求直線&尸的方程.

22

7.(2022高考北京卷?第19題)已知橢圓：E：=+e=1(a>6>0)的一個頂點為4(0,1),焦距為2，).

ab

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點尸(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與X軸交于點M,N,當(dāng)

l"N|=2時，求k的值.

2

8.(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第21題)如圖，已知橢圓r二+y2=i.設(shè)4B是橢圓上異于尸(0,1)的兩點，且

12

(n1

點。0,-在線段A3上，直線PAPB分別交直線y=-jx+3于C,。兩點.

\2

(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值;

⑵求ICDI的最小值.

-V

9.(2021高考北京?第20題)已知橢圓E：=l(a>b>0)一個頂點A(0,-2)，以橢圓E的四個頂點為頂點

五5

的四邊形面積為4.

⑴求橢圓E的方程；

⑵過點P(o,-3)的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與直線交y=-3交

于點M,N,當(dāng)|PM|+|PMW15時，求k的取值范圍.

22

10.(2020天津高考?第18題)已知橢圓二+2=1(。>6>0)的一個頂點為A(0,-3),右焦點為尸,且10Al=||,

ab

其中。為原點.

(I)求橢圓方程；

(II)已知點C滿足3OC=O尸，點8在橢圓上(5異于橢圓的頂點)，直線AB與以。為圓心的圓相切于點。

且產(chǎn)為線段43的中點.求直線43的方程.

22

11.（2019?上海?第20題）已知橢圓工+匕=1,為左、右焦點，直線/過工交橢圓于4B兩點.

84

⑴若AB垂直于x軸時，求|AB|；

⑵當(dāng)/耳43=90時，A在x軸上方時，求A,笈的坐標(biāo)；

（3）若直線交y軸于M,直線跳;交y軸于M是否存在直線/,使SMAB=S"|MN，若存在，求出直線/的

方程；若不存在，請說明理由.

考點02雙曲線及其性質(zhì)

1.（2023年新課標(biāo)全國II卷?第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為卜2君,0）,離心率為J5.

（1）求C的方程；

（2）記C左、右頂點分別為4,4,過點（—4,0）的直線與C的左支交于M,N兩點，M在第二象限，直線”4

與瓦42交于點P.證明:點尸在定直線上.

2.（2022新高考全國II卷?第21題）已知雙曲線C：「-與=1（。＞0力＞0）的右焦點為F（2,0）,漸近線方程為

ab

y=土由x-

⑴求c的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點，點。（玉,乂）,。（々,必）在C上,且.%＞占＞0,%〉0.過

P且斜率為―耳的直線與過Q且斜率為指的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一

個成立：

①M(fèi)在上；②尸?！ˋ5；③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

3.（2021年新高考I卷?第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點片（-而,0）、川市,0）|崢閭=2,點

的軌跡為C.

（D求。的方程；

⑵設(shè)點T在直線x=g上，過T兩條直線分別交。于A、5兩點和P,0兩點，S.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直

線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22

4.（2022新高考全國I卷?第21題）已知點A（2,l）在雙曲線C:A-——=1（。>1）上，直線/交C于P,Q兩點,

a~a—1

直線A尸,AQ的斜率之和為0.

⑴求/斜率；

（2）若tan/PAQ=2j5,求的面積.

考點03拋物線及其性質(zhì)

1.（2023年全國甲卷理科?第20題）已知直線龍—2y+1=0與拋物線C:丁=2Px（p>0）交于A,5兩點，且

|AB|=4715.

⑴求〃；

⑵設(shè)F為C的焦點，M,N為C上兩點，F(xiàn)M-FN=0，求△MF7V面積的最小值.

2.（2021年高考浙江卷?第21題）如圖，已知F是拋物線產(chǎn)=2px（p>0）的焦點，/W是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點,

且四廣|=2,

（1）求拋物線的方程；

⑵設(shè)過點F的直線交拋物線與人B兩點，斜率為2的直線/與直線x軸依次交于點P,Q,R,N,

且|RN『=|PNHQV|,求直線/在x軸上截距的范圍.

3.（2021年高考全國乙卷理科?第21題）已知拋物線C：*=2py（P>0）的焦點為尸，且尸與圓

M：%2+（y+4）2=1上點的距離的最小值為4.

⑴求。；

（2）若點尸在M上，PAPB是C的兩條切線，A3是切點，求△血面積的最大值.

4.（2021年高考全國甲卷理科?第20題）拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點。.焦點在x軸上，直線/：%=1交C于P,Q

兩點，且OPLOQ.已知點“（2,0）,且M與/相切.

⑴求C,河的方程；

（2）設(shè)4，4，4是c上的三個點，直線44,4A3均與:"相切.判斷直線44與〃的位置關(guān)系，并說

明理由.

2，

5.(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第21題)如圖，已知橢圓Gr：5+y2=i,拋物線G：y=2px(p>0),點A

是橢圓G與拋物線。2的交點，過點A的直線/交橢圓于點B,交拋物線。2于M(B,M不同于A).

(1)若°=二，求拋物線。2的焦點坐標(biāo)；

16

(II)若存在不過原點的直線/使M為線段AB的中點，求p的最大值.

6.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)?第20題)設(shè)拋物線C:>2=2內(nèi)(〃>0)焦點為F,點D(p,O),過F的直線交C

于M,N兩點.當(dāng)直線/WD垂直于X軸時，尸|=3.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)直線與C另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為當(dāng)a-夕取得最大值

時，求直線AB的方程.

7.(2019?浙江?第21題)如圖，已知點F(1,0)為拋物線V=2p無(°>0)的焦點.過點尸的直線交拋物線于A,3兩

點，點。在拋物線上，使得AWC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于。點，且。在點尸的右側(cè)，記"FG,

△CQG的面積分別為S2.

(I)求。的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

(II)求"的最小值及此時點G的坐標(biāo).

r21

8.（2019?全國III?理?第21題）已知曲線C：產(chǎn)］,。為直線尸-萬上的動點，過。作C的兩條切線，切點分別

為A,B.

（1）證明：直線過定點：

5

（2）若以E（0,5）為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

9.（2019?全國I?理?第19題）已知拋物線。：/=3%的焦點為/，斜率為3的直線/與C的交點為A,B,與X

2

軸的交點為P.

⑴若|AF|+忸月=4,求/的方程；

（2）若=求

10.（2019?北京?理?第18題）已知拋物線C：立=-2處經(jīng)過點（2,-1）.

（I）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

（II）設(shè)。為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為。的直線/交拋物線C于兩點M,N,直線產(chǎn)-1分別交直線

OM,ON于點A和點艮求證：以A3為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

考點04圓錐曲線的定點定值問題

1.（2021年新高考全國II卷第20題）已知橢圓C的方程為5+與=1（〃>6>0）,右焦點為F（>/2,0）,且離心率為逅.

ab3

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)M,N是橢圓C上的兩點，直線A1N與曲線f+y2=62a>o）相切.證明：“，N,F三點共線的充要條

件是|MN|=".

2.(2020年高考課標(biāo)I卷理科?第20題)已知A、B分別為橢圓E：(a>l)左、右頂點，G為E的上頂

a

點，AGGB=8,P為直線x=6上的動點，R4與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為0.

(D求E方程；

(2)證明：直線CD過定點.

3.(2020年新高考全國I卷(山東)?第22題)已知橢圓C：三+*.=l(a>6>0)的離心率為也，且過點A(2,

a2b-2

1).

(1)求C的方程：

(2)點M,N在C上，且AMLAN,ADLMN,。為垂足.證明：存在定點Q,使得|DQ|為定值.

4.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)?第20題)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過

兩點.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點p(l,-2)的直線交E于M,N兩點，過M且平行于X軸的直線與線段AB交于點7■，點“滿足

MT=TH-證明：直線"N過定點.

考點05解析幾何綜合類問題

1.（2023年新課標(biāo)全國I卷?第22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點，g）的距離，記動

點尸的軌跡為W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形A8CQ有三個頂點在W上，證明：矩形ABC。的周長大于

2.（2023年全國乙卷理科?第20題）已知橢圓C:[+，=1（。＞6＞。）的離心率是《，點A（—2,0）在。上.

⑴求C方程；

（2）過點（—2,3）的直線交。于P,Q兩點，直線與y軸的交點分別為M,N,證明：線段的中點

為定點.

3.（2020年高考課標(biāo)II卷理科?第19題）已知橢圓Ci：=1(a>b>0)右焦點F與拋物線C的焦點重合，Ci

HF2

4

的中心與C2的頂點重合.過F且與X軸垂直的直線交G于4B兩點，交C2于C,。兩點，M|CD|=y\AB\.

（1）求Q的離心率；

⑵設(shè)M是Ci與C2的公共點，若|MF|=5,求G與Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22

4.（2019?天津?理?第18題）設(shè)橢圓f+與=1（"＞人＞0）的左焦點為F,上頂點為8.已知橢圓的短軸長為4,

ab

離心率為三.

(I)求橢圓的方程；

(II)設(shè)點尸在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點加為直線”與X軸的交點，點N在y軸的負(fù)半軸上.若

|。刎=|。耳(0為原點)，且。求直線尸石的斜率.

5.(2019?全國II?理?第21題)已知點A(—2,0),5(2,0),動點M(羽y)滿足直線4%與五■的斜率之積為

記弦的軌跡為曲線C.

2

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于尸,Q兩點，點尸在第一象限，夕石，入軸，垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點

G.

(/)證明：ZiPOG是直角三角形；

他)求△POG面積的最大值.

6.(2019?江蘇?第17題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。中，橢圓。:二+與？=1(。>8>0)的焦點為月(-1,0),月(1,0).過

ab

B作光軸的垂線/,在光軸的上方，/與圓B：(%-1)2+y2=44交于點A,與橢圓。交于點￡).連結(jié)入月并延長

交圓巴于點6,連結(jié)時交橢圓。于點石，連結(jié)心.

已知

2

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求點E的坐標(biāo).

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編

4<08年而解析幾何（解答更J

高存?存瓶分析

平面解析幾何在高考中考查比例較大，一般是1+1+1模式或者是2+1+1模式。在選題中，解析幾何解答題中難度一

般較大，計算量比較大.主要知識點是

考點01橢圓及其性質(zhì)

考點02雙曲線及其性質(zhì)

考點03拋物線及其性質(zhì)

備存真魅精忻

考點01橢圓及其性質(zhì)

22

1.（2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)（海南）?第21題）已知橢圓C：二+A=l（a>6>0）過點M（2,3）,點A為其左頂

ab

點，且AM的斜率為—,

2

⑴求C的方程；

（2）點N為橢圓上任意一點，求△4M/V的面積的最大值.

22

【答案】⑴二+匕=1;⑵18.

1612

解析：⑴由題意可知直線AM的方程為：y-3=1（x-2）,即x—2y=T.

當(dāng)y=o時，解得％=T,所以。=4,

22

橢圓。：2T+3v=1（°>6>。）過點M（2,3）,可得4記+9乒=1,

解得b2=12.

22

所以C的方程：L+匕=1.

1612

⑵設(shè)與直線A/W平行的直線方程為：x-2y=m,

如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點為N,此時的面積取得最大值.

1612

可得：3（/n+2y）2+4y2=48,

化簡可得：16y2+12加y+3加2—48=0,

2

所以A=144/2-4xl6（3m-48）=0,即m2=64,解得m=±8,

與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：x-2y=8,

直線4M方程為：x-2y=-4,

點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離,

利用平行線之間的距離公式可得：]=器±=*^

V1+45

由兩點之間距離公式可得|AM|=J(2+4)2+32=36.

所以AAMN的面積的最大值：!義30x竺叵=18.

25

22

2.(2020江蘇高考?第18題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E:土+&=1的左、右焦點分別為0K,點A在

43

橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF^F^,直線與橢圓E相交于另一點5.

⑴求AA片鳥的周長；

(2)在x軸上任取一點p,直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點。，求O尸?。尸的最小值；

⑶設(shè)點M在橢圓E上，記與的面積分別為SpS?,若$2=35],求點M的坐標(biāo).

【答案】【答案】⑴6；（2）T；（3）加（2,0）或,]-1）

22

【解析】⑴???橢圓E的方程為土+匕=1,?/（TO）,巴（1，。）

43

由橢圓定義可得：AFl+AF2=4.

△AKE的周長為4+2=6

⑵設(shè)尸（灰，0）,根據(jù)題意可得與W1.?；點A在橢圓E上，且在第一象限，AF,^F^

，A[I,?.?準(zhǔn)線方程為％=4,「0（4,%）,

OP-QP=（x0,0）?—4,—yQ）—（x0—4）x0=（x0—2）—4>—4,當(dāng)且僅當(dāng)尤（）=2時取等號.

???。尸尸的最小值為T.

⑶設(shè)"（為?。?，點加到直線AB的距離為a.A（l，|j，片（TO）

直線A々的方程為y=?（x+l）,???點。到直線Ab的距離為星=3岳

.-.52=35]=3x|x|AB|x|=||ABp,："=|，二。占一4%+3|=9①

'__2

22（X=2X1=一3

,工+1=1②,.?.聯(lián)立①②解得L/

43』=°12

3.（2。2。年高考課標(biāo)IH卷理科?第2。題）已知橢圓。爭今叱…的離心率為孚，/分別為C的左、

右頂點.

（1）求C的方程；

⑵若點尸在。上，點。在直線％=6上，且IBPH8QI,BP±BQ,；裝APQ的面積.

【答案】（1）二+且=1；⑵E

25252

22

解析：⑴C:1-+^7=l（0<m<5）

25m2

a=5,b=m>

根據(jù)離心率=「用=字

解得m=1?或機(jī)=—2（舍），

44

22

，c的方程為：fs+pj=1

即巨嘴6

⑵不妨設(shè)p,2在x軸上方

.?點P在C上，點。在直線％=6上，且IBPRBQI,BP±BQ,

過點P作X軸垂線，交點為M，設(shè)％=6與X軸交點為N

根據(jù)題意畫出圖形，如圖

\BP\^\BQ\,BPBQ,ZPMB=ZQNB=90°,

又ZPBM+ZQBN=9Q°,ZBQN+ZQBN=9Q°,

：.ZPBM=ZBQN,

根據(jù)三角形全等條件"A45”,

可得：4PMBTBNQ,

V16/

1—1,

25----25

：.3(5,0),

“|=砌=6-5=1,

設(shè)P點為(馬,力)，

可得p點縱坐標(biāo)為力=i,將其代入二+如二=1,

2525

_，zXp16,

可得s：-J+—=1,

2525

解得：％=3或與=-3,

P點為(3,1)或(-3,1),

①當(dāng)P點為(3,1)時，

故叫=5-3=2,

￡\PMB=/^BNQ,

：.\MB\=\NQ\=2,

可得：。點為(6,2),

畫出圖象，如圖

可求得直線AQ的直線方程為：2x-lly+10=0,

2x3llxl+1

根據(jù)點到直線距離公式可得尸到直線AQ的距離為：d=l-21=J^L=旦

A/22+112V1255

根據(jù)兩點間距離公式可得：\AQ\="6+5)2+(2-0『=5非,

APQ面積為：!x5，？x走=9；

252

②當(dāng)P點為(—3,1)時，

故|阿=5+3=8,

.?APAfB=/\BNQ,

：.IMB1=1NQ1=8,

可得：。點為(6,8),

A(-5,0),2(6,8),

可求得直線4Q的直線方程為：8x-lly+40=0,

，八8x(—3)-11x1+40

根據(jù)點到直線距離公式可得尸到直線AQ的距離為：d=J_———同5

V1857185

根據(jù)兩點間距離公式可得：|AQ|=J(6+5『+(8-Op=V185，

55

APQ面積為：X

V1852

綜上所述，APQ面積為：

2

5.（2023年北京卷?第19題）已知橢圓E:三+工=1（。>>>0）離心率為逝，4c分別是E的上、下頂點,

a-b23

B,。分別是E的左、右頂點，IAC1=4.

（D求E的方程；

（2）設(shè)尸為第一象限內(nèi)E上的動點，直線加與直線交于點/，直線2與直線）=—2交于點N.求證:

MN//CD.

22

【答案】⑴工+匕=1

94

（2）證明見解析

解析：（D依題意，得e=￡=好，則c=@a，

a33

又AC分別為橢圓上下頂點，H。=4,所以26=4,即6=2,

5O4O

所以/―02=匕2=4,即60一―。2=_。2=4,則1=9，

99

22

所以橢圓石的方程為L+匕=i.

94

22

⑵因為橢圓E的方程為.+'=1,所以A（0,2）,C（0,—2）,8（—3,0）,。（3,0）,

22

因為P為第一象限E上的動點，設(shè)P（私"）（0<根<3,0<〃<2）,則是-+亍=1,

〃一0〃H

kpD=——-=——則直線尸D的方程為丫=-----(%-3),

m—3m—3m—3

2、3(3n-2m+6)

y-——x-2

33〃+2加一6HnA/3(3〃-2m+6)-12n1

聯(lián)立〈,解得＜

n一12〃I3n+2m—63〃+2w—6,

y=-----x-3)

m-33n+2m-6

n—2n—2n—2

而即A=-----=——，則直線a的方程為丁=——x+2,

m—0mm

n—0—4M?I—4H7?

令y=—2,則—2=~X+2,解得X=*,即N--,-2,

mn—2\n—2)

22

又----1--------=1,貝?。?2=9--------，8m=72—18H,

944

一⑵“

所以左=3”2*6=_______(―6撲+4一—12)(〃-2)________

MN3(3n—2m+6)—4m(9n—6m+18)—2)+4m(3M+2m—6)

3n+2m—6n—2

—6n2+4mn—8m+24_—6n2+4mn—8m+24

9n2+8m2+6mn—12m—369n2+72—18〃？+6mn—12m—36

_-6n~+4mn-8m+24_2(-3n2+2mn-4m+12)_2

-9n2+6mn-12m+363(-3n2+2mn-4m+12^3’

又bp-4―X=W，即kMN=*，

J—U3

顯然，MN與CO不重合，所以MN/ICD.

22

6.(2023年天津卷?第18題)設(shè)橢圓與+==1(a>6>0)的左右頂點分別為A，4,右焦點為F,已知

ab

|四=3,|Vl=L

(1)求橢圓方程及其離心率；

(2)已知點P是橢圓上一動點(不與端點重合)，直線4尸交y軸于點Q，若三角形4PQ的面積是三角形為尸P

面積的二倍，求直線&尸的方程.

r221

【答案】(D橢圓的方程為工+匕v=1,離心率為6=彳.

432

⑵y=±^^(x-2)?

解析：(1)如圖，

221

所以橢圓的方程為土+匕=1,離心率為e=r￡=一.

43a2

22

(2)由題意得，直線&尸斜率存在，由橢圓的方程為亍+1_=1可得4(2,0),

設(shè)直線4P的方程為y=左(x—2),

(22

土+上=1

聯(lián)立方程組43，消去y整理得：(3+4/)Y—i6/x+16/-12=0,

y=：(%-2)

16產(chǎn)-128產(chǎn)—6

由韋達(dá)定理得f所以少

3+4423+4?

-12k

。(0,-2左).

3+4吃

所以SA?=；X4XNM，SA"=；xlx|yp|，SAV=；x4x|yp|,

所以S,424=S^PQ+SAAd=2S&PF+S.&A2P,

所以2%卜3叢|,即2卜24=3—強(qiáng)]2正k

解得左=±理,

所以直線4P的方程為y=±

2

22

7.(2022高考北京卷?第19題)已知橢圓：E：2+方=1(.>>>0)的一個頂點為A(0,l),焦距為2檔.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點尸(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,3直線AB,AC分別與x軸交于點M,N,當(dāng)

|MN|=2時，求k的值.

【答案】解析：(1)依題意可得6=1,2c=2后，又。2=。2—62,

所以。=2,所以橢圓方程為工+必=1；

4

(2)解：依題意過點尸(―2,1)的直線為丁一1二左(％+2),設(shè)3(%,%)、。(々，%),不妨令一24再<%<2,

,-1=左(％+2)

由<X221消去y整理得(1+4左2+(16左2+8左)尤+16/+16左=0,

—+V=1

14

所以A=(16右+8d—4(1+4公)(1642+164)>0,解得左<0,

2

[6k--8k16左2+16左

所以X1+々

1+41'-l+4k2

y.—1X

直線AB的方程為y—1=2—X,令y=o,解得血=尸~

If

，為一1X,

直線AC的方程為丁一1=二一％,令y=0,解得尤N=L

赴if

所以歸一司=國（%2+2乂辦+2）,

、2

(16左2+8左“16左2+16左,,,16左2+16左J16嚴(yán)+8人)

即-4x----------=\k\+4

1+4左2J1+4左2?11+4產(chǎn)(1+4左2J

)(2/+左)2—(1+4%2)(/+%)=段

即告16k2+16左一2(16左2+8%)+4(1+4%2)]

整理得8"=4悶，解得左=T

8.（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第21題）如圖，已知橢圓二+y2=i.設(shè)4B是橢圓上異于P（0,D的兩點，且

12

c,D兩點.

⑵求IC。I的最小值.

【答案】解析:⑴設(shè)0（273cos6>,sin是橢圓上任意一點,P（0,D，則

（iA2144144

|Pe|2=12cos20+（l-sin0）2=13-llsin2^-2sin^=-lllsin6^+—,當(dāng)且僅當(dāng)

sind=-工時取等號，故|PQ|的最大值是呸叵.

1111

12（1A3

⑵設(shè)直線/夕：y=履+」直線A3方程與橢圓r土+/=1聯(lián)立，可得k2+—/+區(qū)—=0,設(shè)

2121⑵4

y1一11

4（%,乂）,5（%,%），所以，因為直線出：尸七1與直線產(chǎn)一于+3交于。

貝IJ%------------同理可得礪二--------------------------

（2%+1）石—1%+2%-2（2k+1）%—1

4%4九2

（2左+1）玉一1（2左+1）%—1

=2行=2日

[（2左+1）%一1][（2左+l）x2-1]Qk+I）?X]%—（2左+1）（X]+I?）+1

2

4^x—+1x1

3y/586k2+1645"kF般+'6艮,4

2|3Zr+l|5|3）t+l|-5x件+1|~

當(dāng)且僅當(dāng)歸=怖時取等號，故|CD|的最小值為竽.

22

9.（2021高考北京?第20題）已知橢圓E：=+與=1（“>>>0）一個頂點A（0,-2）,以橢圓￡的四個頂點為頂點

ab

的四邊形面積為4、后.

⑴求橢圓E的方程；

（2）過點P（O,-3）的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與直線交尸-3交

于點M,N,當(dāng)|PM|+|PMW15時，求k的取值范圍.

22

【答案】⑴5+?=1；⑵-31）513.

解析：（1）因為橢圓過A（o,—2）,故b=2,

因為四個頂點圍成的四邊形的面積為4君，故;x2ax2Z;=4E，即</=君，

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：土+匕=1

54

⑵

設(shè)3（%,乂）,。（為2，%），因為直線的斜率存在，故再々A。，

…X+2-xx.

故直線AB:y=2—x-2,令y=—3,則與=——、，同理/=——：

國X+2%+2

y-—3

直線3C:y=fcc—3,由4,,,可得（4+5左2）必—3。丘+25=0,

4%2+5/=20''

故A=900左2—100（4+5左2）>0,解得左<—1或左>1.