2023屆天津市和平區(qū)天津一中高三考前訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆天津市和平區(qū)天津一中高三考前訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在空間直角坐標(biāo)系。-型中，四面體Q45c各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：

0(0,0,0),A(0,0,2),8(gG,0,0),C(0,：6,0）.假設(shè)螞蟻窩在。點(diǎn)，一只螞蟻從。點(diǎn)出發(fā)，需要在AB，AC上

分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回。點(diǎn).那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長(zhǎng)度是（）

A.2>/2B.?--y21C.&+亞D.2>/3

2.若tana=4，貝！Jcos2a=()

2

4343

A.一一B.--C.-D.-

5555

3.已知函數(shù)/(x)=2cos(&x-《卜0>0)在71萬(wàn)

上單調(diào)遞增，則①的取值范圍（）

A.—,2B.0,—C.-,1D.(0,2]

1_3」13」

x+y<4

所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，則皿■的取值范圍是()

4.點(diǎn)P(x,y)為不等式組<

x-2

y>Q

A.(-00,—2)u(l,+00)B.(-°o,-1]_C.(—2,1)D.[—2,1]

5.已知S“為等比數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，。5=16,。3〃4=-32,則§8=()

A.-21B.-24C.85D.-85

2

6.已知命題〃：WxeR,x>0,則力是()

2

A.VxeR,x<0B.3x()eR,<0.

C.叫wR,XQ>0D.Vx^R,x2<0.

7.如圖，ABC中NA=2/8=60°,點(diǎn)。在8c上，ZBAD=30°,將八45￡）沿AO旋轉(zhuǎn)得到三棱錐5'—ADC,

分別記B'A,與平面AOC所成角為a,/，則a,夕的大小關(guān)系是（）

A

A.a<J3<2aB.2a<(3<3a

C./3<2a92a兩種情況都存在D.存在某一位置使得夕〉3。

8.已知集合A={x|x<-g},8={x[-l<x<0}則AB=()

A.{x|x<()]18,g-y

C.{x|-l<x<—D.{x|%>—1}

9.已知集合A={x|f<l},B={x|lnx<l},則

A.AB={x|O<x<e}B.AB={x|x<e}

C.A5={x|0<x<e)D.4B={x|-l<x<e}

4x-y..2,--

10.不等式1°的解集記為。，有下面四個(gè)命題：四：V(x,y)eO,2y—X,5；23(x，y)eD2y-x..2；

x+y?3

p3;\/(x,y)eD,2y-x,,2；H(x,y)eO,2y-x..4.其中的真命題是()

A.Pi，P?B.PrPsC.P|，P3D.P2，P4

11.設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC-。砂，每條棱長(zhǎng)都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點(diǎn)出發(fā)，每次只沿著棱爬行并

爬到另一個(gè)頂點(diǎn)，算一次爬行，若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為《0,

則幾為（）

曾⑴上2

1nV01

2⑶2

12.如圖，點(diǎn)E是正方體A3a）-43iCiDi的棱OU的中點(diǎn)，點(diǎn)F,M分別在線段AC,BDt（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng),

則()

A.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在EFUBCi

B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在8iM_L4E

C.四面體EMAC的體積為定值

D.四面體E41GB的體積不為定值

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線5-丁=1的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線y2=2內(nèi)上，則實(shí)數(shù)P的值為

14.在AHC中，B、C的坐標(biāo)分別為卜20,0),(20,0),且滿足sinB—sinC=[sinA,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0),則AOMP的取值范圍為.

15.函數(shù)y=Gsinxcosx+cos。x在區(qū)間^0,—j上的值域?yàn)?

16.已知/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)^e-x-x,則/(ln2)=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

x=sin。-3cos6-2

17.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為(八°.八(6為參數(shù))，坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，不軸

y=cos，+3sin〃

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為0sin(6+看)=-2.

(1)求曲線G的普通方程和曲線。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G、交于A、8兩點(diǎn)，O是曲線G上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

18.(12分)a,b,c分別為ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊.已知a(sinA+4sin3)=8sinA.

TT

(1)若b=l,A=—,求sinB；

TT

(2)已知C=§,當(dāng)A3C的面積取得最大值時(shí)，求A3C的周長(zhǎng).

19.(12分)如圖，已知在三棱臺(tái)ABC-ABCi中，AC=2AB=2,BC=6ARA.BB].

(1)求證：AB±CC,；

(2)過(guò)AB的平面A3OE分別交4G，AG于點(diǎn)O,E,且分割三棱臺(tái)ABC-ABC所得兩部分幾何體的體積比

為匕AE-陽(yáng)。=VABC-BCG=4：3,幾何體ABC-E￡)G為棱柱,求4片的長(zhǎng).

提示：臺(tái)體的體積公式V=；(S'+JSM+S)〃(S'，S分別為棱臺(tái)的上、下底面面積，〃為棱臺(tái)的高).

20.(12分)已知函數(shù)分(x)=lnx.

(1)求函數(shù)g(x)=〃x)-x+l的零點(diǎn)；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)的圖象與函數(shù)y=x+f-l的圖象交于A(x，yj,B(X1,yJ(X1＜x?)兩點(diǎn)，求證：a＜再々-玉；

(3)若攵＞0,且不等式(7-1)““》耳》-1『對(duì)一切正實(shí)數(shù)上恒成立，求A的取值范圍.

21.(12分)已知圓M：(x+2ji『+y2=64及定點(diǎn)6,0),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)5在附上，點(diǎn)G在M4

上，且滿足NA=2NB，GB-NA=。，點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線/與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與直線y=和y=-g尤分別交于尸、Q兩點(diǎn).當(dāng)四＞|

時(shí)，求AOPQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.

22.(10分)在數(shù)列｛%｝中，q=1，4+2g+3生+…+陷,=3-%+|，〃eN*

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在〃eN*，使得%?(〃+1)2成立，求實(shí)數(shù)2的最小值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

將四面體0LBC沿著OA劈開，展開后最短路徑就是△AOO'的邊00',在△40。中，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

將四面體OLBC沿著。4劈開，展開后如下圖所示：

最短路徑就是AAO。的邊00'.

易求得ZOAJB=ZO'AC=30°,

由AO=2,0B=^C知AB=±c

33

AC=-y/3,BC=yJOB2+OC2=-V6

33

2ABAC

16168

-333，3

c444

百下

由余弦定理知。。'2=AO2+AO'2-2AO-AO'cosZOAO'

8

OO'-=5+V2T,nOO'=75+V2T

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.

2、D

【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.

【詳解】

Vtana=—,

2

11

八cos2a-s?i2na1-tana1----4--c3

:.cos2a=——-------------=--------—=——y=一,

cos"cr4-sina1+tan-a一15

4

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化

能力，屬于基礎(chǔ)題型.

3、B

【解析】

JT71717E71717t

由——WXW一,可得一一①一一<a)x一一<-(y一一，結(jié)合y=cosx在［一兀,0］上單調(diào)遞增，易得

3233323

兀7C717T

一,3-屋［一兀,。］，即可求出3的范圍.

【詳解】

,兀/,兀兀兀/717171

由——<X<一,可得——0)—<(DX——<—69——,

3233323

，兀、7171

x=0B^,/(0)=2cos，而,

I3)JZ

7T

又y=cosX在[-無(wú),0]上單調(diào)遞增，且——€[-71,0],

3

兀兀

------CO--->—71

33a)<2

兀兀兀It兀兀/C22

所以一彳①一；，二①一7c[-K,O]，則<，即oV],故0<04耳.

332323

ty>0(y>0

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用2的幾何意義即可得到結(jié)論.

【詳解】

x+y”4

不等式組，y,,x作出可行域如圖：A(4,0),8(2,2),0(0,0),

y..O

2=2±2的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)。,歷到。(2,-2)的斜率，由圖象可知04的斜率為1,Q。的斜率為：一1，

x-2

則A2的取值范圍是：(-8,-1]J[1,+8).

x—2

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.

5、D

【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得?/=16,flly=-32,通過(guò)解該方程求得它們的值，求首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前“項(xiàng)

和公式解答即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛"“｝的公比為q,

?；。5=16,〃的4=-32,

.,.aiq4=i6,afq5=-32,

:.q=-2,則q=1,

則1比41.85,

81+2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的前"項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得「pH/eR,

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得a、夕角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得

答案.

【詳解】

由題可得過(guò)點(diǎn)3作交AO于點(diǎn)￡,過(guò)8作C。的垂線，垂足為。，則易得a=N^AO,"ZB'DO.

設(shè)。=1,則有3O=AJD=2,DE=\,BE=43,

，可得A8'=A8=2>/5，BD=BD=2.

sinaanT

AB'DB'

sin夕=6sina>sina,：./3>a；

OB'e[0,>/3],Asinae[O,^]

sin2a=2sinacosa=2sina\J\-sin2a，

2\Jl-sin2ae[x/3,2]，sin2a..途sina=sin￡,

/.2a..(i.

綜上可得，a</??2a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水

平.

8、C

【解析】

由題意和交集的運(yùn)算直接求出AB.

【詳解】

集合A=B={x]-l<x<0}

AB—1x|—l<x<——j.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的交集運(yùn)算.集合進(jìn)行交并補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，常借助數(shù)軸求解.注意端點(diǎn)處是實(shí)心圓還是空心圓.

9、D

【解析】

因?yàn)锳={x|W<1}={X|-1<X<1},8={x|lnx<l}={x[0<x<e},

所以A8={x[0<x<l},AB={x|-l<x<e},故選D.

10、A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當(dāng)x=l,y=2時(shí)，(2，一幻,皿=3,即2y-x的取值范圍為(—8,3],所以

V(x,y)GD,2y-x,,5,p,為真命題；

3(%,y)&D,2y-x..2,p2為真命題；p3,p4為假命題.

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.

11、D

【解析】

由題意，設(shè)第"次爬行后仍然在上底面的概率為①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率

2I

為］￡一；②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1-玲_「如果爬上來(lái)，其概率是§(1-只―)，兩種事件

21

又是互斥的，可得P?=-《I+-(1-《I),根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識(shí)可得選項(xiàng).

【詳解】

由題意，設(shè)第“次爬行后仍然在上底面的概率為匕.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為

②若上一步在下面，則第〃一1步不在上面的概率是1一月T，(〃>2).如果爬上來(lái)，其概率是g(l->2),

兩種事件又是互斥的,..?匕=泳+)(1-?1),即匕

JDJJ乙D乙J

???數(shù)列1%是以g為公比的等比數(shù)列，而6=1，所以匕+g，

當(dāng)〃=1。時(shí)，?二；｛￡|。+；，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體中的概率問(wèn)題，關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識(shí)，得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系，這是常用的方法，屬于難度題.

12、C

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

A錯(cuò)誤

由E/u平面A￡C,BC/ADI

而AR與平面相交，

故可知BG與平面AEC相交，所以不存在EFUBCx

B錯(cuò)誤，如圖，作

由AC工BD,AC工=B

又平面BBQQ,所以AC_L平面B8QQ

又B|Mu平面B31DQ,所以&M_LAC

由OE//BD],所以用MLOE

ACOE=O,AC,OEu平面AEC

所以Bi"J"平面AEC,又A￡u平面A￡C

所以與MLAE,所以存在

C正確

四面體EMAC的體積為V”_AEC=g.SMEC?〃

其中〃為點(diǎn)M到平面AEC的距離，

由OEMBD、,QEu平面AEC,BD]<Z平面AEC

所以BD1〃平面AEC,

則點(diǎn)“到平面AEC的距離即點(diǎn)B到平面AEC的距離，

所以〃為定值，故四面體EK4c的體積為定值

。錯(cuò)誤

由AC〃AG，ACu平面AGB,AC.平面AGB

所以AC〃平面4GB,

則點(diǎn)F到平面\CXB的距離%即為點(diǎn)A到平面\CXB的距離,

所以九為定值

所以四面體E41c山的體積VF_^B=1-5的0聲."為定值

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理,

中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

2

求出雙曲線二-丁2=1的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程，即可求出實(shí)數(shù)”的方程.

3

【詳解】

雙曲線上—y2=i的半焦距為2,則雙曲線上—y2=i的右準(zhǔn)線方程為丫=3,漸近線方程為y=所以，該

33-23

雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為(14J-

由題意得±、二=2px-,解得〃=-.

I2J*424

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù)，涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

14、（12,+oo）

【解析】

22

由正弦定理可得點(diǎn)A在曲線?—?=2上，設(shè)A（x,y）,貝IJAO-AP=X2-4x+V，將產(chǎn)=9一4代入可得

AO-AP=2（x—1）2—6,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.

【詳解】

解：由正弦定理得AC—==Jx40=4<4夜，

22

22

則點(diǎn)A在曲線上一，-=l,x<—2上,

44

22

設(shè)A（x,y）,則;?—?=2,

AO-AP-（—x,—y\{A—x.-y^-x1—4x+y1,

又y2=f——

:.AOAP=X2-4X+X2-4=2（X-}）2-6,

因?yàn)閤<—2,則AO.AP>2x（—2—l）2—6=12,

即的取值范圍為（12,+8）.

故答案為：（12,+8）.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，有一定的綜合性，但難度不大.

15、（0,|

【解析】

由二倍角公式降幕，再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域.

【詳解】

行.2V3._l+cos2xG.1c1."）1（n萬(wàn)、

y=V3sinxcosx+cosx=——sinzxd--------=——sin2x+—cos2x+—=sin2x+—+—xe|U,二

22222I.6j2I2；

S+3信片）則sin（2x+「卜卜劑，

./吟1（n3一

I6）2[2]

故答案為：（0,1].

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的

性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.

16、2+ln2

【解析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可

【詳解】

/(ln2)=/(-ln2)=eln2-(-ln2)=2+ln2.

故答案為2+ln2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17、(1)^:(%+2)+/=10,C2:x+V3y+4=0；(2)3(河+1).

【解析】

(1)在曲線G的參數(shù)方程中消去參數(shù)。，可得出曲線C的普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程變形為

PCOS0+60sin6+4=0,進(jìn)而可得出曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)求出點(diǎn)。到直線AB的最大距離，以及直線G截圓G所得弦長(zhǎng)|A8|,利用三角形的面積公式可求得△ABD面

積的最大值.

【詳解】

x+2=sin。-3cos。

(1)由曲線G的參數(shù)方程得

y=cos9+3sin。

/.(x+2)2+y2=(sin-3cos6^+(cos6^+3sin0^=10.

所以，曲線G的普通方程為(x+2y+y2=10,

將曲線。2的極坐標(biāo)方程變形為0cos6+百夕sin6+4=(),

所以，曲線G的直角坐標(biāo)方程為百y+4=()；

(2)曲線G是圓心為(一2,0),半徑為r=為圓，

2

圓心(一2,0)到直線x+8y+4=0的距離為”=m=l,

所以，點(diǎn)。到直線x+Jiy+4=()的最大距離為d+r=l+廂，\AB\=2\/r--d2=6,

因此，△ABO的面積為最大值為;|A郎(d+r)=gx6x(l+而)=3(JT5+1).

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時(shí)也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值

的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

18、(1)sinB=-(2)5+V13

8

【解析】

(1)根據(jù)正弦定理，將a(sinA+4sin3)=8sinA,化角為邊，即可求出“，再利用正弦定理即可求出sin8；

711

(2)根據(jù)C=—,選擇5=一。加inC,所以當(dāng)A3C的面積取得最大值時(shí)，，力最大，

32

結(jié)合(1)中條件。+4〃=8,即可求出出?最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的出。的值，再根據(jù)余弦定理求出邊。，進(jìn)而得到AHC的

周長(zhǎng).

【詳解】

(1)由a(sinA+4sinB)=8sinA,得a(a+48)=8a,

即a+4b=S.

因?yàn)槿?1,所以a=4.

41,

---------,1

由.兀sinB?得sin8=x-

sm-8

o

(2)因?yàn)椤?46=822”^=4>/^,

所以"44,當(dāng)且僅當(dāng)a=48=4時(shí)，等號(hào)成立.

因?yàn)锳BC的面積S=,a8sinCwLx4xsinC=G.

223

所以當(dāng)a=4Z?=4時(shí)，A5c的面積取得最大值，

此時(shí)c2=42+/—2x4xlxcosE=13,則0=無(wú)，

3

所以AHC的周長(zhǎng)為5+JB.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力.

19、(1)證明見(jiàn)解析；(2)2

【解析】

(1)在ZVU5C中，利用勾股定理，證得又由題設(shè)條件，得到利用線面垂直的判定定理，證

得AB_L平面BCC4,進(jìn)而得到AB,CG；

(2)設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為〃，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，列出方程求得用=1,得到

AB_1

即可求解.

【詳解】

(1)由題意，在AABC中，AC=2AB^2,BC=C，

所以A52+BC2=AC2,可得MLBC,

因?yàn)榭傻?3,34.

又由BCBB]=B,BC,u平面BCC4,所以A3,平面BCC4,

因?yàn)镃&U平面3CC4,所以AB_LCG?

(2)因?yàn)樨癡1,E-BBQ:匕BC-EDG=4：3,可得匕BC-&B|G'K18C-EDC,=：3

令5取此=S,=S,

設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為〃,

貝I]匕BC-ABG1，整理得6S'—J^M—S=O,

KtBC-fcOC,3

AB]_

即雨

2

又由AB-1,所以Ag=2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用，以及幾何體的體積公式的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定

定理與性質(zhì)定理，以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20、(l)x=l(2)證明見(jiàn)解析(3)0<%,2

【解析】

(1)令8。)=/心-*+1,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極小值，進(jìn)而求解；

/nX2/m

(2)轉(zhuǎn)化思想，要證。<玉蒼一玉，即證$x2.(l-"')<x,々-玉，即證陽(yáng)三)>1-立，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;

)

x2-X%x2

(3)不等式，-1)/心./(廠)2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，(d—I)/nr—Mx—1)2=(爐-1)［配V-蛆二印，設(shè)

X+1

〃(犬)=/心-"萼，分類討論進(jìn)而求解.

1+1

【詳解】

|1-Y

解：(1)令g(x)=/nx-x+l,所以g'(x)=--1=--,

XX

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，gV)<0,g(x)在(1,4?)單調(diào)遞減;

所以g(x““=g⑴=。，所以g(x)的零點(diǎn)為x=1.

.a」

InXy=X|H-----1

x

\.Z1Inx,-lnxxL

(2)由題意,..a=xxx2.(1----=-----),

7,a.x-x

l/vc?=%2-----12.

x2

蛆與"…,即證/〃盧)>1-A

要證。<百工2-占x2-xit即證當(dāng)々?(1-9

X2-X]X2

.111

令，=->i,貝!由(i)知/嗎,無(wú)一1,當(dāng)且僅當(dāng)x=i時(shí)等號(hào)成立，所以演<、1,

x}ttt

即碗>1-1,所以原不等式成立.

(3)不等式(Y-1)/心/(x_)2對(duì)一切正實(shí)數(shù)不恒成立,

(x2-l)/ar-^(x-l)2=(d~—J,

x+1

方〃/、.k(x-l)卬/\I2kX2+2(1-*)x+1

設(shè)〃(x)=/nr---—,h(x)=-----r=--------不---

x+1x(x+l)~x(x+l)~

記e(x)=X2+2(1_&)+1,△=4(1-A:)2-4=4k(k-2),

①當(dāng)A”0時(shí),即0<￡,2時(shí)，〃(x)..O恒成立，故當(dāng)x)單調(diào)遞增.

于是當(dāng)0<x<l時(shí)，h(x)<h(l)=0,又是一1<0,故(x2

當(dāng)X>1時(shí),心)>〃(1)=0,又X2-1>0,故(f-l)/mr>k(x-l)2,

又當(dāng)X=1時(shí)，(x2-l)ln=k(x-l)2,

因此，當(dāng)0<%,,2時(shí)，(x2-l)/?x..jt(x-l)2,

②當(dāng)△>0,即左〉2時(shí)，設(shè)/+2(l-A)x+l=0的兩個(gè)不等實(shí)根分別為七，也(W<匕)，

又3(1)=4-2/<0,于是$<1<%-1<匕，

故當(dāng)xe(l,Z-l)時(shí)，〃(x)<0,從而〃(x)在(1,%-1)單調(diào)遞減；

當(dāng)X€(1,Z—1)時(shí)，/心)</?(1)=0,此時(shí)于是(x2-l)〃(x)<0,

BP(x2-l)lnx<k(x-1)2舍去,

綜上，%的取值范圍是0<32.

【點(diǎn)睛】

（1）考查函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)；（2）考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)求極值；（3）考查分類討論

思想，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的求導(dǎo)；屬于難題.

21、(1)土+匕=1；(2)(8,+<?).

164

【解析】

（D根據(jù)題意得到G5是線段AN的中垂線，從而|GM|+|GN|為定值，根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為

焦點(diǎn)的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處AOP。的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求

范圍.

【詳解】

NA-2NBn3為4V的中點(diǎn)，且G3,4V=G3是線段AN的中垂線,

(1)〈

GBNA=Q

二|AG|=|GN|,y.\GM\+\GN\=\GM\+\G^=|=8〉4g=

???點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,

r22

設(shè)橢圓方程為%+3v=1（Q>〃>0）,

則。=4，c-2-^3)：.b-yja2—c2―2?

22

所以曲線C的方程為二+匕=1.

164

（2）設(shè)直線/：y=kx+m（攵力士‘）,