2022-2023學(xué)年上海市青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷含詳解

青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試

九年級數(shù)學(xué)試卷

（測試時間100分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共6小題，每題4分，滿分24分）

1.在下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

121?

A.y--XB.y=x+—+1c.y=2x2-1D.+3

2X

2.在放AABC中，ZC=90°,那么cotA等于（)

ACACBCBC

A.---DB.c.D.

BCABACAB

3.下列對二次函數(shù)y=x2-x的圖象的描述，正確的是（）

A.開口向下B.對稱軸是y軸

C.經(jīng)過原點(diǎn)D.在對稱軸右側(cè)部分是下降的

4.已知..ABC中，D、E分別是邊A3、AC上的點(diǎn),下列各式中，不能判斷的是（)

CEBDcDEAECEBD

B.----=-----C生=空

~EA~~DABCACABAD~CA~~BA

5.下列判斷不正確的是（）

A.a-a=0B.如果同=問，那么。=力

C.如果弓=幼（左H0）,那么a〃0D.a+h-b+a

6.如圖，在四邊形ABC。中，如果NAZ）C=N」BAC，那么下列條件中不能判定△ADC和-84c相似的是

B.C4是N3C0的平分線

AD_DC

D.2

~AB~~ACAC=BC-CD

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

x2x+y

7.已知一=三，那么一-的值是___.

>5>

8.兩個相似三角形的相似比為1：3,則它們周長的比為

9.已知點(diǎn)尸是線段A3的黃金分割點(diǎn)，B.AP>BP,AB=4,那么AP=.

10.已知二次函數(shù)丁=仕+3)/+兀+公-9的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則人的值為.

11.將拋物線y=2x2平移，使頂點(diǎn)移動到點(diǎn)P(-3,1)位置，那么平移后所得新拋物線的表達(dá)式是

12.拋物線產(chǎn)(“T)/-2x+3在對稱軸左側(cè)，)，隨x的增大而增大，則a的取值范圍是.

13.如圖，已知4￡)〃BE〃C下，它們依次交直線4、4于點(diǎn)A、B、C和。、E、F，如果￡>￡:￡>尸=2:5,

AT>=9,6=14,則BE的長是

14.已知一斜坡的坡度i=1:2.4,高度為5米，那么這一斜坡的坡長為米.

15.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是邊C。的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)F，若8C=a,氏4=b,用表

示DF=_________

16.如圖，四邊形EPGH是一A5C內(nèi)接正方形，BC=16cm,高AD=8cm,則內(nèi)接正方形邊長所=

17.如圖，在AABC中，。、E分別為邊A3、AC的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F,BELCD,如果NCBF=3()°，

BC=4,那么AC=.

18.已知在AABC中，AB=AC=S,N8AC=30.將八鉆。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在原zVLBC的點(diǎn)。處,

此時點(diǎn)。落在點(diǎn)。處.延長線段AD，交原AABC的邊8C的延長線于點(diǎn)E，那么線段。石的長等于

三、解答題(本大題共7題，19~22題每題10分，23~24題每題12分，25題14分，滿分78分)

19.計(jì)算：3tan30°+cos60°-A/3+2sin245°.

20.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線，丁=依2+法經(jīng)過點(diǎn)4(—2,-2)與點(diǎn)3。,—5).求：

(1)求拋物線表達(dá)式；

(2)寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

4

21.已知：如圖在△ABC中，A力是邊BC上的高，E為邊AC的中點(diǎn)，BC=14,AO=12,sinB=-.求：

(2)tan/EDC的值.

22.如圖，小明想測量河對岸的一幢高樓A8的高度，小明在河邊。處測得樓頂A的仰角是60°.距。處60米的E

處有幢樓房，小明從該樓房中距地面20米的。處測得樓頂A的仰角是30°(點(diǎn)8、c、E在同一直線上，且A3、

OE均與地面3E垂直).求樓A8的高度.

23.如圖，一ABC中，點(diǎn)。、E分別在邊BC、AC上，AD與BE相交于點(diǎn)居AE?=EF-EB，

ZADB=NEBC+ZEAF.

(1)求證：AB=AD；

(2)若A￡>=DC,求證：AFAD=ACEF.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，頂點(diǎn)為M的拋物線）=以2+樂（。＞0）經(jīng)過點(diǎn)4_],6）和才軸正半軸上的

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)OM,求/AQW的度數(shù)；

（3）聯(lián)結(jié)AM、BM、AB，若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P,使NOAP=NABM,求點(diǎn)P坐標(biāo).

25.己知：如圖，在Rt_A5C中，NC=90°,BC=2,AC=4,P是斜邊AB上一個動點(diǎn)，PDLAB交

邊BC于點(diǎn)、D（點(diǎn)。與點(diǎn)A、C都不重合），￡是射線OC上一點(diǎn)，且N￡~D=NA,設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為

x，△6EP的面積為九

（1）求證：AE=2PE；

（2）求y關(guān)于*的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)△BEP與.ABC相似時，求△班尸的面積.

青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試

九年級數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每題4分，滿分24分）

1.在下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

B.y-x+—+1C.y=2x-1D.y=yjx2+3

X

【答案】C

【詳解】A.是一次函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤；

B.等號右邊不是整式，因而不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤；

C.是二次函數(shù)，故選項(xiàng)正確；

D.等號右邊不是整式，因而不是二次函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤.

故選C.

2.在RaABC中，ZC=90°,那么cotA等于（）

ACACBCBC

A.-----B.-----C.----D.-----

BCABACAB

【答案】A

【分析】根據(jù)銳角A的鄰邊a與對邊6的比叫做NA的余切，記作co/A.

【詳解】解：：/C=90。，

?—AC

??cotA=-----,

BC

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余切定義.

3.下列對二次函數(shù)y=x2-x的圖象的描述，正確的是（）

A.開口向下B.對稱軸是y軸

C.經(jīng)過原點(diǎn)D.在對稱軸右側(cè)部分是下降的

【答案】C

【詳解】【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸公式以及二次函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得答案.

【詳解】A、?.飛=1>0,.?.拋物線開口向上，選項(xiàng)A不正確；

B、???-:,.?.拋物線的對稱軸為直線x=；,選項(xiàng)B不正確；

2〃22

C、當(dāng)x=0時，y=x2-x=0,.?.拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，選項(xiàng)C正確;

D、；a>0,拋物線對稱軸為直線x=5,

???當(dāng)時，y隨x值的增大而增大，選項(xiàng)D不正確,

故選C.

b

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a和)，對稱軸直線x=—,當(dāng)a>0時，

2a

拋物線y=ax2+bx+c(a/0)的開口向上，當(dāng)a<0時，拋物線y=ax?+bx+c(a加)的開口向下，c=0時拋物

線經(jīng)過原點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

4.已知一ABC中，。、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，下列各式中，不能判斷￡>￡〃6C的是()

CEBDDEAECEBD

A.------------B.C任=空D.------------

EADA拓一就ABADCABA

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出圖形,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：如圖,

CEBDCE_BDAC_AE

對于A,C,D選項(xiàng),

'~EA~~DA'~CA~~BAf耘一茄

AC_AB

~AE~~AD

又ZA=NA,

△ADESAABC

:.ZADE=ZABC

DE//BC

B.如圖，

ZA=ZA，ZADE=ZC

ADES：.ACB

.DEAE

"BC-AC

不能得到與8c平行

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

5.下列判斷不正確的是（）

A.a—a=OB.如果同=網(wǎng)，那么〃=匕

C.如果”=必（左H。），那么a〃〃D.a+b-b+a

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量、模、數(shù)乘向量等知識一一判斷即可.

【詳解】解：a—a=O,故A選項(xiàng)正確，不合題意；

|a|=W，表示兩個向量的模相等，a=b不一定成立，故B選項(xiàng)判斷不正確，符合題意;

如果。=幼（左。0）,那么“〃0，故C選項(xiàng)正確，不合題意；

a+b=b+a＞故D選項(xiàng)正確，不合題意；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、模、數(shù)乘向量等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

6.如圖，在四邊形ABCD中，如果那么下列條件中不能判定AADC和_BAC相似的是

B.G4是ZB8的平分線

C四=生D.AC2=BC-CD

ABAC

【答案】D

【分析】按照相似三角形的判定方法逐一判斷即可.

【詳解】解：在cAOC和中，ZADC=ZBAC,

如果_4DCs_B4c，需滿足的條件有：①NTMI/ABC或AC是ZBCD的平分線；②2=￡

A8AC

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

x2x+y

7.已知一二：,那么一-的值是____.

>5y

7

【答案】j

x2

【分析】直接根據(jù)一二『用同一未知數(shù)表示出各數(shù)，進(jìn)而得出答案.

y5

x2

【詳解】解:???一二》,

y5

...設(shè)x=2a,則y=5a,

7

故答案為:

【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的

兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng).正確表示出x.y的值是解題關(guān)鍵.

8.兩個相似三角形的相似比為1：3,則它們周長的比為.

【答案】1：3.

【分析】由兩個相似三角形的相似比為1：3,根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，即可求得答案.

【詳解】???兩個相似三角形的相似比為1：3,

.?.它們的周長比為：1：3.

故答案為1：3.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì).此題比較簡單，注意掌握相似三角形周長的比等于相似比定理的應(yīng)用是

解此題的關(guān)鍵.

9.已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP>BP,AB=4,那么AP=.

【答案】275-2##-2+2^

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知A尸是較長線段；則AP=嶼二!■AB，代入數(shù)據(jù)即可得出”的長.

2

【詳解】解：為線段A6的黃金分割點(diǎn)，且針是較長線段；

二AP=避二!■48=2石-2.

2

故答案為：26一2.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念.應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的上&5,較長的線段=原

2

線段的避二L

2

10.已知二次函數(shù)y=(Z+3)f+x+42-9的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則攵的值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得％+3。0,再將點(diǎn)(0,0)代入二次函數(shù)的解析式即可得.

【詳解】解：???函數(shù)y=(%+3)/+》+%2-9是二次函數(shù)，

?,?％+3w0,

解得Z。-3,

?.?二次函數(shù)〉=(攵+3)X2+》+42-9的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，

???女2_9=0，

解得a=3或左=一3(舍去)，

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象是解題關(guān)鍵.

11.將拋物線y=2x2平移，使頂點(diǎn)移動到點(diǎn)P(-3,1)的位置，那么平移后所得新拋物線的表達(dá)式是.

【答案】y=2(x+3)2+1

【分析】由于拋物線平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出新拋物線解析式.

【詳解】拋物線y=2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P(-3,1)的位置，所得新拋物線的表達(dá)式為y=2(x+3)2+l.

故答案為y=2(x+3)2+1

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物

線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是

只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

12.拋物線y=3T)x2-2x+3在對稱軸左側(cè)，)，隨x的增大而增大，則a的取值范圍是.

【答案】a<l

【分析】根據(jù)題意列出不等式并解答即可.

【詳解】解：???拋物線產(chǎn)(aT)N-2x+3在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，

1<0,

解得a<\,

故答案為：a<\.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題時，需要熟悉拋物線的對稱性和增減性.

13.如圖，已知AO〃跖〃C產(chǎn)，它們依次交直線4、4于點(diǎn)A、B、C和。、E、F，如果。￡:￡)尸=2:5,

仞=9,CF=14,則BE的長是.

【答案】11

【分析】過點(diǎn)。作。G〃AC,交BE于點(diǎn)、H,交CF于點(diǎn)G,根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)。作。G〃AC,交BE于點(diǎn)H,交CF于點(diǎn)G,如下圖

又,：BE〃CF

：.四邊形A3HD和四邊形為平行四邊形

CG=BH=AD=9

:.GF=CF—CG=5

'：BE//CF

.DEHE2

"~DF~~GF~~5

：.HE=-GF=2

5

BE=BH+HE=11

故答案為：11

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，涉及了平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性

質(zhì).

14.已知一斜坡的坡度i=1:2.4,高度為5米，那么這一斜坡的坡長為米.

【答案】13

【分析】設(shè)斜坡的水平寬度為x米，根據(jù)坡度的定義可求出x,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：設(shè)斜坡的水平寬度為x米，則5：x=l：2.4,解得：x=12,

這一斜坡的坡長為J52+122=13（米）?

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的定義與相關(guān)計(jì)算，掌握坡度等于垂直距離與水平寬度的比，是解題的根據(jù).

15.如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是邊C。的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE,8￡>交于點(diǎn)F,若8c=a,BA=b,用表

示DF=________

【答案】—a—b

33

【分析】根據(jù)班"=DE+fiT7，求出OE，EFBPM.

【詳解】解：???四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

'?CD=BA=b，AD=BC=a>

'：DE=DC,

11-

:.DE=——CD=——b,

22

,CDE//AB,

：.EF:AF=DE:AB=1:2,

：.EF=-AE,

3

EF=--AE=--a+-b,

336

11111

DF=DE+EF=——b——a+-b=——a——b,

23633

故答案為：—a—b.

33

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

16.如圖，四邊形是一A8C內(nèi)接正方形，BC=16cm,高A。=8cm,則內(nèi)接正方形邊長所=

cm.

【分析】先設(shè)正方形的邊長等于x,利用正方形性質(zhì)得出G”〃8C,再利用平行線分線段成比例得出

△AGHs_ACB,aAGI^ACD,之后根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】解：解：如圖所示，設(shè)A￡>,"G交于點(diǎn)/,

設(shè)正方形的邊長等于x,

?.?四邊形EFG/7是正方形，

GH//BC,

:.：AGHs,ACB,.AGIsACD,

.GHAGAGAI

?GHAI

V5C=16cm,高AD=8cm,則A/=8-x,

.x_8-x

??記一^^'

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)和正方形性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

17.如圖，在△ABC中，。、E分別為邊AB、4c的中點(diǎn)，CD與BE交于點(diǎn)F,BELCD,如果NC8F=30°，

BC=4,那么AC=.

【答案】2幣

【詳解】解：連接ED?.?￡>、E分別為邊43、AC的中

點(diǎn)，J.ED//BC,2ED=BC,'JED//BC,：.BF=2EF,CF=2FD.在RtABCF中，

VZCBF=30°,BC=4,：.CE=2,BF=273>:.EF=0.在國△EFC中，EC=7EF2+FC2=J(V3)2+22=

幣,：.AC=2EC=2>f7-

4

點(diǎn)睛：本題考查了三角形中位線定理和相似三角形判定與性質(zhì)，通過連接。E,由三角形中位線定理得出ED和

C8的關(guān)系，進(jìn)而得出EF的長.

18.已知在小鉆。中，AB=AC=8,NB4C=30.將AABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)8落在原AABC的點(diǎn)。處，

此時點(diǎn)。落在點(diǎn)。處.延長線段A。，交原AA3C的邊8C的延長線于點(diǎn)E，那么線段。E的長等于

【答案】473-4##-4+473

【詳解】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，AD=AC=S,ZCAD^ZBAC=30°,

過C作CELAE交AE于F，

CF」AC=4,

2

AF=VAC2-CF2=473，

???DF=8-4y/3.

在MBC中，ABRACS,ABAC=30°,

：.ZB=ZACB=75°,

ZE=ZACB-ADAC=45°,

；?ACE/7為等腰直角三角形，

,EF=CF^4,

：.DE=￡F-￡)F=4-(8-4^)=4V3-4,

故答案為：473-4.

三、解答題（本大題共7題，19~22題每題10分，23~24題每題12分，25題14分，滿分78分）

19.計(jì)算：3tan30°+cos60°-+2sin2450.

3

【答案】-

2

［分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值和二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【詳解】解：3tan300+cos60°-豆+2sin245。，

=3邛+M+2x圖，

_3

-2,

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

20.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線，y=o?+法經(jīng)過點(diǎn)a(_2,_2)與點(diǎn)3(1,-5).求:

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)y=-2x2-3x

39

(2)4,8

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;

(2)把(1)中的解析式配成頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：???y=o?+以經(jīng)過點(diǎn)A(-2,-2)與點(diǎn)B(l,-5)

4a—2b=—2

a+b=-5

a=-2

解得：《

b=-3

；?拋物線的表達(dá)式為：y=-2x2-3x

【小問2詳解】

、29

y=-2x2-3x=-2=斗+:+-

278

39

.?.該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

4(8

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式：要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?/p>

設(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方

程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)

時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解.

4

21.已知：如圖在AABC中，是邊BC上的高，E為邊AC的中點(diǎn)，8c=14,40=12,sinB=-.求:

(2)tan/EDC的值.

【答案】⑴5；(2)y.

4

【分析】(1)根據(jù)sin3=1，求出AB,再求出B。即可解答；

(2)在R/AAQC中，E是AC的中點(diǎn)，推出NECC=/C,則tanNEOC=tanNC,即可求解.

【小問1詳解】

解：在AA8C中，是邊BC上的高，

：.ADLBC.

?八AO4

sinB=---=—?

AB5

VAD=12,

AB=*AO=15.

4

在Rt44B。中，---BD=-JAB2-AD2=V152-122=9,

.*.CD=BC-80=14-9=5.

【小問2詳解】

解：在距AAOC中，E是AC的中點(diǎn)，

：.DE=EC,

：.NEDC=NC.

AD12

tanZ.EDC=tanZC==—.

CD5

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).

22.如圖，小明想測量河對岸的一幢高樓A8的高度，小明在河邊。處測得樓頂A的仰角是60°.距。處6()米的￡

處有幢樓房，小明從該樓房中距地面20米的。處測得樓頂A的仰角是30°(點(diǎn)8、C、E在同一直線上，且48、

OE均與地面破垂直）.求樓AB的高度.

【答案】樓AB的高度為（30g+30）米

【分析】過點(diǎn)。作OE_LAB于點(diǎn)/，設(shè)45的長度為x米，則A尸=x—20米，在RjABC和@二AOF中分別

求出8。和OR的長度，然后根據(jù)CE=BE—C3,代入數(shù)值求出x的值.

【詳解】解：過點(diǎn)。作于點(diǎn)/，

A

則四邊形3田￡為矩形，

設(shè)A3的長度為x米，貝iJAF=x-20米,

在Rt_ABC中，

ZACB=60。，

AQL

/.tanZACB=—=V3

BC

x

即5C=國,

在/中，

乙4￡＞尸=30°,

DF=V3(x-20),

EB=DF，CE=60米，

6(x—20)一定=60,

解得：x=3073+30.

答：樓AB高度為（306+30）米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求

解.

23.如圖，在一ABC中，點(diǎn)E分別在邊BC、AC上，A。與8E相交于點(diǎn)凡AE2=EF-EB>

ZADB=NEBC+NEAF.

（2）若AO=OC,求證：AFAD^ACEF.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）先證明i.EFA^-.EAB，可得ZEAF^ZABF，結(jié)合ZADB=ZEBC+ZEAF可證ZABD^ZADB，

從而可證AB=AZ）成立；

（2）先證明NAM=N48C,然后通過證明乙可證結(jié)論成立.

【小問1詳解】

證明：：4￡2=斯?七8，

.AEEF

:.---=----,

BEAE

,/ZAEF=ZBEA，

uEFA^EAB，

；?ZEAF^ZABF,

ZADB=ZEBC+ZEAF，

：.ZADB=NEBC+ZABF=ABD,

：.AB^AD；

【小問2詳解】

,:AD=DC,

：.ZCAD=ZC.

?：ZAEF^ZEBC+ZC,

：.ZAEF=NEBC+ZC4D,

由（1）知NC4D=NABf,

ZAEF=NEBC+ZABE,

■:ZABC=NEBC+ZABE,

ZAEFZABC,

二AEF,jr>_CBA，

.AFEF

"AC-AB

由(1)知AB=AD，

.AFEF

'~AC~~AD

AFAD=ACEF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公

共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用.如果兩個三角形相似，那么它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，頂點(diǎn)為M的拋物線卜=依2+法(。>0)經(jīng)過點(diǎn)4一1,6)和X軸正半軸上的

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)聯(lián)結(jié)OM,求ZAOM的度數(shù)；

(3)聯(lián)結(jié)AM、BM、AB,若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P,使NQ4P=NABM,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)>=且％2一空》

33

(2)ZAOM=\50°

(3)P(0,何或產(chǎn)(-2,0)

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出點(diǎn)8的坐標(biāo)，將A,8的坐標(biāo)代入y=o?+bx,即可求得。、b,從而求得拋物

線的表達(dá)式.

(2)應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，從而求得NEPM=30°,進(jìn)而求得NAOM的大小.

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論得出NQ4P=NABN=60°,進(jìn)而分類討論，即可求解.

【小問1詳解】

解：；4(-1,6)

：?0A—J1+3=2，

,e?AO=OB

：.OB=2,則3(2,0)

將4(—1,6)，3(2,0)代入y=a?+公

砥\a-b=y[?>

得：\,

4。+2〃=0

[CI——6

解得《3廣，

,2V3

b=-------

I3

這條拋物線的表達(dá)式為y=走龍2一豆18；

33

【小問2詳解】

過點(diǎn)M作ME_Lx軸于點(diǎn)￡1,過點(diǎn)人作AO_Lx軸于點(diǎn)。,

VA(-1,V3)

/?AD=I,OD=6

i巧

tanZAOD=-==—,則ZAO。=30°

g73

622662百

——v-----x=^-(x-l)+-^-

OE=\,EM^—

3

?一?tan//E小O彳M=_-E--M--=—>

OE3

/.ZEOM=30°.

ZAOM=ZAOB+ZEOM=150°.

【小問3詳解】

解：VZEOS=30°,MO^MB

，ZMBO=30°

'：ZAOB=12Q°,OA=OB

：.NABO=30°,

ZABM=60°,

?；ZOAP=ZABM

：.AP_Ly軸或

當(dāng)AP_Ly軸時，P（0,V3）,

當(dāng)AP_LAB時，ZA0P=NQ4尸=60°,則.AOP是等邊三角形，

；?OP=AO=2,

：.P（-2,0）,

綜上所述,網(wǎng)0,⑹或尸（-2,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知特殊角的三角函數(shù)值求角度，等腰三角形的性質(zhì)與判

定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.已知：如圖，在RtABC中，ZC=90°,BC=2,4c=4,P是斜邊A6上的一個動點(diǎn)，PDLAB交

邊BC于點(diǎn)。（點(diǎn)。與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線0c上一點(diǎn)，且N￡P(guān)Z）=NA,設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為

x,ZXBEP的面積為＞.

（1）求證：AE=2PE；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)△BEP與,ABC相似時，求△BEP的面積.

【答案】（1）