正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)之方差分析

關(guān)于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)之方差分析計(jì)算離差的平方和:設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為n,試驗(yàn)的結(jié)果分別為x1,x2,……,xn.假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平做a次試驗(yàn)，則n=ana.1)總離差的平方和ST記記為其中ST反映了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，說明各次試驗(yàn)的結(jié)果之間的差異越大。試驗(yàn)結(jié)果之所以有差異，一是由因素水平的變化所引起的，二是因?yàn)橛性囼?yàn)誤差。第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第2頁,共44頁，2024年2月25日，星期天2)各因素離差的平方和下面以計(jì)算因素A的離差的平方和SA為例來說明。設(shè)因素A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗(yàn)。用xij表示因素A的第i個(gè)水平的第j個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果(i=1,2,…,na;j=1,2,…,a)，則有由單因素的方差分析記為其中Ki表示因素的第i個(gè)水平a次試驗(yàn)結(jié)果的和。SA反映了因素A的水平變化時(shí)所引起的試驗(yàn)結(jié)果的差異，即因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差平方和。對(duì)于兩因素的交互作用，我們把它當(dāng)作一個(gè)新的因素。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如SAxB=S(AxB)1+S(AxB)2第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第3頁,共44頁，2024年2月25日，星期天3)試驗(yàn)誤差的離差的平方和SE設(shè)S因+交為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和，因?yàn)镾T=S因+交+SE,所以SE=ST-S因+交計(jì)算自由度:試驗(yàn)的總自由度f總=試驗(yàn)總次數(shù)-1=n-1各因素的自由度f因=因素的水平數(shù)-1=na-1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積fAxB=fAXfB試驗(yàn)誤差的自由度fE=f總-f因+交第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第4頁,共44頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算平均離差平方和(均方):在計(jì)算各因素離差平方和時(shí)，我們知道，它們都是若干項(xiàng)平方的和,它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)數(shù)的影響，我們計(jì)算它們的平均離差的平方和。因素的平均離差平方和=(因素離差的平方和)/因素的自由度=S因/f因試驗(yàn)誤差的平均離差平方和=(試驗(yàn)誤差的離差的平方和)/試驗(yàn)誤差的自由度=SE/fE求F比:將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出F值。這個(gè)比值的大小反映了各因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響程度的大小。第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第5頁,共44頁，2024年2月25日，星期天對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn):給出檢驗(yàn)水平α，從F分布表中查出臨界值Fα(f因，fE)。將在“求F比”中算出的F值與該臨界值比較，若F>Fα(f因，fE)，說明該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第6頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析例1

(無交互作用):磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于210g.cm。某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗(yàn)，取試驗(yàn)因素和相應(yīng)水平如下表：第7頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析解：(選用正交表L9(34)表頭設(shè)計(jì)：試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果：第8頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的分布第9頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析詳細(xì)計(jì)算如下：第11頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析列方差分析表如下：最佳條件的選擇：對(duì)顯著因子應(yīng)取最好的水平對(duì)不顯著因子的水平可以任意選取，在實(shí)際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇上面的例子中對(duì)因子A與B應(yīng)選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1第12頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析驗(yàn)證試驗(yàn)：對(duì)A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為：234，240，220，平均值為231.3.此結(jié)果是滿意的第13頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例2(有交互作用):為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮3個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度。每個(gè)因素都取3個(gè)水平，具體數(shù)值見表?？紤]因素之間的所有一級(jí)交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第14頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共44頁，2024年2月25日，星期天解：(選用正交表L27(313)根據(jù)前面的公式作如下計(jì)算：第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第16頁,共44頁，2024年2月25日，星期天由此得出類似地最后計(jì)算總平方和，得出第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第17頁,共44頁，2024年2月25日，星期天用公式計(jì)算自由度：再用公式計(jì)算平均離差的平方和，然后計(jì)算F值，再與F分布表中查出的相應(yīng)的臨界值Fα(f因，fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。通常，若F>F0.01(f因，fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個(gè)星號(hào)表示；若F<F0.01(f因，fE)，但F>F0.05(f因，fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個(gè)星號(hào)表示；若F<F0.05(f因，fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號(hào)表示。第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第18頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析表：因?yàn)镾AXC和SBXC都很小，和誤差項(xiàng)合并，作為誤差項(xiàng)。通過F值與臨界值比較看出，因素A,B,C和交互作用AXB對(duì)試驗(yàn)的影響都是顯著的，從F值的大小看，因素C最顯著，以下依次為A，B，AXB第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第19頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析(2)：由于這里的試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中K的最大值所對(duì)應(yīng)的水平。因素A應(yīng)取第1水平，因素B應(yīng)取第3水平，因素C應(yīng)取第3水平。交互作用AXB也是顯著的，但由于AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把A和B的各種組合的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)照起來分析。從表中看出，當(dāng)A取第1水平、B取第3水平時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為13.17，是所有結(jié)果中的最大值，因此可取A1B3，這與前面單獨(dú)考慮因素A，B時(shí)所得出的結(jié)果是一致的。于是，最優(yōu)方案就取A1B3C3.第二節(jié)：3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第20頁,共44頁，2024年2月25日，星期天2水平正交設(shè)計(jì)，各因素離差平方和為：因?yàn)橛炙陨鲜娇珊喕癁檫@里2水平設(shè)計(jì)計(jì)算離差平方和的一般公式，同樣適用于交互作用。第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第21頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例3:某農(nóng)藥廠生產(chǎn)某種農(nóng)藥，指標(biāo)是農(nóng)藥的收率，顯然是越大越好。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，影響農(nóng)藥收率的因素有4個(gè)：反應(yīng)溫度A，反應(yīng)時(shí)間B，原料配比C，真空度D。每個(gè)因素都是兩水平，具體情況見表。要考慮A，B的交互作用。試進(jìn)行方差分析。第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第22頁,共44頁，2024年2月25日，星期天解：(選用正交表L8(27)第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第23頁,共44頁，2024年2月25日，星期天這里類似地計(jì)算誤差平方和：SE=ST-(S因+S交)=146-(8+18+60.5+4.5+18)=5第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第24頁,共44頁，2024年2月25日，星期天計(jì)算自由度:計(jì)算均方值：由于各因素和交互作用AXB的自由度都是1，因此它們的均方值與它們各自的平方和相等。只有誤差的均方為計(jì)算F比：第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第25頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析表：第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第26頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析:從方差分析表中F值的大小看出，各因素對(duì)試驗(yàn)影響大小的順序?yàn)镃，AXB，B，A，D。C影響最大，其次是交互作用AXB，D的影響最小.若各因素分別選取最優(yōu)條件應(yīng)當(dāng)是C2，B1，A1，D2.但考慮到交互作用AXB的影響較大，且它的第2水平為好，在C2，(AXB)2的情況下，有B1A2和B2A1，考慮到B的影響比A大，而B選B1為好，當(dāng)然A只能選第2水平了。這樣最后確定下來的最優(yōu)方案應(yīng)當(dāng)是A2B1C2D2。這個(gè)方案不在正交表的9個(gè)試驗(yàn)中，可以按此進(jìn)行試驗(yàn)，比較一下結(jié)果。第三節(jié)：2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第27頁,共44頁，2024年2月25日，星期天混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計(jì)的方差分析相同，只要在計(jì)算時(shí)注意到各水平數(shù)的差別就行了?，F(xiàn)以L8(4X24)混合型正交表為例：總離差平方和為因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：4水平因素：第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析第28頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例4:某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理,以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi),硬度越低越好。試驗(yàn)的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)。考察的指標(biāo)是洛氏硬度(HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有3個(gè)：退火溫度A，保溫時(shí)間B，冷卻介質(zhì)C。第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析第29頁,共44頁，2024年2月25日，星期天選正交表L8(4X24)安排試驗(yàn)及分析如下：第30頁,共44頁，2024年2月25日，星期天解：第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析第31頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析表：從F值和臨界值的比較看出，各因素均無顯著影響，相對(duì)來說，B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素B，把因素A，C都并入誤差。這樣一來，SE就變成SA+SC+S4+S5=0.445+0.18+1.125+0.500=2.250，再列方差分析表。第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析第32頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析表(2)：臨界值F0.05(1，6)=5.99,F0.01(1,6)=13.75從F值和臨界值的比較來看，因素B就是顯著性因素了。因素影響從大到小的順序?yàn)锽CA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為A2B2C1第四節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析第33頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例5:鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時(shí)間，先安排酸洗試驗(yàn)?？疾熘笜?biāo)是酸洗時(shí)間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時(shí)間越短越好。要考慮的因素及其水平如表：選取正交表L9(34)，將因素C虛擬1個(gè)水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平并安排在第1列。第五節(jié)：擬水平法的方差分析第34頁,共44頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共44頁，2024年2月25日，星期天解：虛擬水平的因素C的第1水平重復(fù)3次，第二水平重復(fù)6次。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：第五節(jié)：擬水平法的方差分析第36頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析表：從F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對(duì)來說，因素D的影響大些。我們把影響最小的因素B并入誤差，使得新的誤差平方和為SE‘=SE+SB，再列方差分析表第五節(jié)：擬水平法的方差分析第37頁,共44頁，2024年2月25日，星期天方差分析表(2)：由此看出，因素D有顯著影響，因素A，B均無顯著影響。因素重要性的順序?yàn)镈CAB，最優(yōu)方案為A3B1C2D3.第五節(jié)：擬水平法的方差分析第38頁,共44頁，2024年2月25日，星期天重復(fù)試驗(yàn)就是對(duì)每個(gè)試驗(yàn)號(hào)重復(fù)多次，這樣能很好地估計(jì)試驗(yàn)誤差，它的方差分析與無重復(fù)試驗(yàn)基本相同。但要注意幾點(diǎn)：(1)計(jì)算K1，K2，…時(shí)，要用各號(hào)試驗(yàn)重復(fù)n次的數(shù)據(jù)之和；(2)計(jì)算離差平方和時(shí)，公式中的“水平重復(fù)數(shù)”要改為“水平重復(fù)數(shù)與重復(fù)試驗(yàn)數(shù)之積”；(3)總體誤差的離差平方和SE由兩部分構(gòu)成：第一類誤差，即空列誤差SE1；第二類誤差，即重復(fù)