離散型隨機變量的數學期望

關于離散型隨機變量的數學期望復習引入第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天1.獨立重復試驗定義：

一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗1、每次試驗是在同樣條件下進行；2、每次試驗都只有兩種結果:發(fā)生與不發(fā)生；3、各次試驗中的事件是相互獨立的；4、每次試驗,某事件發(fā)生的概率是相同的。注：獨立重復試驗的基本特征：1.基本概念第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天基本概念2、二項分布：一般地，在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p),并稱p為成功概率。第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天51.概率分布列一般地，假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x1,x2,…,xn且P(X=xi)=pi,（i=1,2,…,n）則稱為隨機變量X的分布列，簡稱為X的分布列.Xx1x2…xnPP1,p2…pn此表叫X概率分布列，表格表示第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天1、某人射擊10次,所得環(huán)數分別是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數是多少？把環(huán)數看成隨機變量的概率分布列：X1234P互動探索第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天一、離散型隨機變量取值的均值一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：則稱為隨機變量X的均值或數學期望?！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁに从沉穗x散型隨機變量取值的平均水平。第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天試問哪個射手技術較好?例1

誰的技術比較好?乙射手甲射手第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天解故甲射手的技術比較好.第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天3．(2011·福建福州質檢)已知某一隨機變量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，則a的值為(

)A.5 B．6C．7 D．8解析：由分布列性質知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3∴a＝7.故選C.答案：Cξ4a9P0.50.1b第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天類型一求離散型隨機變量的期望解題準備：求離散型隨機變量的期望，一般分兩個步驟：①列出離散型隨機變量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．【典例1】

(2011·福州市高中畢業(yè)班綜合測試卷)口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標有數字1，三張標有數字2，兩張標有數字3，第一次從口袋里任意抽取一張，放回口袋后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數字之和為ξ.(1)ξ為何值時，其發(fā)生的概率最大？說明理由．(2)求隨機變量ξ的期望Eξ.第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天[點評]

本題主要考查某事件發(fā)生概率的求法，以及離散型隨機變量分布列的數學期望的求法．問題(1)，對ξ的取值做到不重不漏，這是學生容易出錯的地方．利用好計數原理和排列、組合數公式，求事件發(fā)生的概率，問題(2)比較容易，用好離散型隨機變量分布列的數學期望公式即可．第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天（廣東卷17）

隨機抽取某廠的某種產品200件，經質檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產品的利潤（單位：萬元）為X．

（1）求X的分布列；

（2）求1件產品的平均利潤（即X的數學期望）；

（3）經技術革新后，仍有四個等級的產品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時要求1件產品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？高考鏈接：第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,

故的分布列為：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）設技術革新后的三等品率為x，則此時1件產品的平均利潤為依題意，，即，解得所以三等品率最多為3%第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天設Y＝aX＋b，其中a，b為常數，則Y也是隨機變量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：············第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天···············Y＝aX＋b第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天一、離散型隨機變量取值的均值············二、隨機變量數學期望的性質（線性性質）第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天即時訓練：1、隨機變量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)則E(X)=.

2、隨機變量ξ的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，則E(Y)=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=7.5,則a=

b=

.0.40.1第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例1：已知隨機變量X的分布列如下：第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例1.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，X10Pp1－p則三、例題講解兩點分布的期望第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天三、例題講解變式1.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他連續(xù)罰球3次的得分X的均值是多少？X0123P分析：X～B（3，0.7）為什么呢？Ex=第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例1.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分X的均值是多少？三、例題講解變式2.籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為p，則他連續(xù)罰球n次的得分x的均值是多少？x01…k…np……x的概率分布如下：x~B(n,p)為什么呢？能證明它嗎？E(X)=np第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天證明：所以若ξ～B(n，p)，則E（ξ）＝np．證明：若ξ～B(n，p)，則Eξ＝np第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天2；一般地，如果隨機變量X服從二項分布，即X～B（n,p），則E(X)=np結論：1；一般地，如果隨機變量X服從兩點分布（1，p)，則E(X)＝p第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天3，一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中有放回地取5次，則取到紅球次數的數學期望是

.3即時訓練：4，隨機變量X~B（8，p），已知X的均值E(X)=2，則P（x=3)=

.

第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例2.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中摸出3個球.（1）求得到黃球個數ξ的分布列；（2）求ξ的期望。小結：一般地,如果隨機變量X服從參數為N,M,n的超幾何分布,則超幾何分布的數學期望第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例3.

假如你是一位商場經理，在五一那天想舉行促銷活動，根據統(tǒng)計資料顯示，若在商場內舉行促銷活動，可獲利2萬元；若在商場外舉行促銷活動，則要看天氣情況:不下雨可獲利10萬元，下雨則要損失4萬元。氣象臺預報五一那天有雨的概率是40%，你應選擇哪種促銷方式？解：設商場在商場外的促銷活動中獲得經濟效益為X萬元，則X的分布列為0.40.6－410PXEX=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4萬元＞2萬元,故應選擇在商場外搞促銷活動。第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天例4：一次單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項.其中僅有一個選項正確，每題選對得5分.不選或選錯不得分，滿分100分.學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從各選項中隨機地選擇一個.分別求學生甲和學生乙在這次測驗中的成績的均值.思路分析：設甲、乙選對題數分別為X1、X2，則甲、乙兩人的成績分別為Y1=5X1、Y2=5X2，問題轉化為求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服從什么分布？5E(X1)5E(X2)第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天解：

設學生甲和學生乙在這次單元測驗中選對的題數分別是X1和X2，則X1～B(20，0.9)，

X2～B(20，0.25)，EX1＝20×0.9＝18，EX2＝20×0.25＝5．由于答對每題得5分，學生甲和學生乙在這次測驗中的成績分別是5X1和5X2。所以，他們在測驗中的成績的期望分別是E(5X1)＝5EX1＝5×18＝90，E(5X2)＝5EX2＝5×5＝25．第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天布置作業(yè)謝謝！第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天(2010·衡陽模擬)一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，其中有n件次品，用戶先對產品進行抽檢以決定是否接收．抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產品檢查(取出的產品不放回箱子)，若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產品．(1)若這箱產品被用戶接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的條件下，記抽檢的產品次品件數為X，求X的分布列和數學期望．作業(yè)：第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天【解】(1)設“這箱產品被用戶接收”為事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值為1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期