系統(tǒng)的頻率特性分析

關(guān)于系統(tǒng)的頻率特性分析引言1.為什么要對系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析？時(shí)域分析法：從微分方程或傳遞函數(shù)角度求解系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)（和性能指標(biāo)）。不利于工程研究之處：計(jì)算量大，而且隨系統(tǒng)階次的升高而增加很大；對于高階系統(tǒng)十分不便，難以確定解析解；不易分析系統(tǒng)各部分對總體性能的影響，難以確定主要因素；不能直觀地表現(xiàn)出系統(tǒng)的主要特征。第2頁,共131頁，2024年2月25日，星期天2.頻率響應(yīng)、頻率特性和頻域分析法

頻率響應(yīng):正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量。（控制系統(tǒng)中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成）頻率特性:系統(tǒng)頻率響應(yīng)和正弦輸入信號之間的關(guān)系，它和傳遞函數(shù)一樣表示了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動態(tài)特性。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：控制系統(tǒng)的頻率特性反映正弦輸入下系統(tǒng)響應(yīng)的性能。研究其的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是Fourier變換。頻域分析法:利用系統(tǒng)頻率特性分析和綜合控制系統(tǒng)的方法。第3頁,共131頁，2024年2月25日，星期天引例——RC電路

對于圖4-1所示的RC電路，其傳遞函數(shù)為式中，T=RC

。圖4-1RC電路4.1頻率特性第4頁,共131頁，2024年2月25日，星期天設(shè)輸入電壓為正弦信號，其時(shí)域和復(fù)域描述為所以有將其進(jìn)行部分分式展開后再拉氏反變換第5頁,共131頁，2024年2月25日，星期天uo(t)表達(dá)式中第一項(xiàng)是瞬態(tài)分量，第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量。顯然上述RC電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為結(jié)論：當(dāng)電路輸入為正弦信號時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（頻率響應(yīng)）也是一個(gè)正弦信號，其頻率和輸入信號相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω。第6頁,共131頁，2024年2月25日，星期天若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信號用復(fù)數(shù)表示，并求其復(fù)數(shù)比，可以得到式中頻率特性G(jω)：上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比，且G(jω)=G(s)|s=jω。幅頻特性A(ω)：輸出信號幅值與輸入信號幅值之比。相頻特性

(ω)：輸出信號相角與輸入信號相角之差。第7頁,共131頁，2024年2月25日，星期天設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為已知輸入其拉氏變換則系統(tǒng)輸出為

(4-1)G(s)

的極點(diǎn)

(4-2)對穩(wěn)定系統(tǒng)

待定系數(shù)

2.控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出第8頁,共131頁，2024年2月25日，星期天(4-2)趨向于零

是一個(gè)復(fù)數(shù)向量，因而可表示為

(4-7)(4-5)(4-6)(4-4)因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：第9頁,共131頁，2024年2月25日，星期天

式中，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅和相位分別為由此可見，LTI系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出的穩(wěn)態(tài)值是和輸入同頻率的正弦信號。輸出振幅是輸入振幅的|G(jω)|倍，輸出相位與輸入相位相差∠G(jω)度。第10頁,共131頁，2024年2月25日，星期天3.頻率特性的定義幅頻特性：LTI系統(tǒng)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出振幅與輸入振幅之比，用A(ω)表示。相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出相位與輸入相位之差，用

(ω)表示。幅頻A(ω)和相頻

(ω)統(tǒng)稱幅相頻率特性。第11頁,共131頁，2024年2月25日，星期天頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相似的形式

比較第12頁,共131頁，2024年2月25日，星期天幾點(diǎn)說明

頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。

盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。第13頁,共131頁，2024年2月25日，星期天應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：

實(shí)際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，

因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應(yīng)可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運(yùn)動情況。

第14頁,共131頁，2024年2月25日，星期天

頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性；

(

)大于零時(shí)稱為相角超前，小于零時(shí)稱

為相角滯后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)0

1(

)

2(

)第15頁,共131頁，2024年2月25日，星期天（1）幅相頻率特性曲線（極坐標(biāo)圖或奈奎斯特圖）對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻特性相頻特性(

)縱坐標(biāo)均按線性分度橫坐標(biāo)是角速率按分度4.頻率特性的表示法（2）對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）（3）對數(shù)幅相曲線（尼柯爾斯圖）橫坐標(biāo)：對數(shù)相頻特性的相角縱坐標(biāo)：對數(shù)幅頻特性的分貝數(shù)第16頁,共131頁，2024年2月25日，星期天可用幅值和相角的向量表示。變化時(shí)，向量的幅值和相位也隨之作相應(yīng)的變化，其端點(diǎn)在復(fù)平面上移動的軌跡稱為幅相頻率特性曲線（簡稱幅相曲線或Nyquist曲線）。畫有

Nyquist曲線的坐標(biāo)圖稱為極坐標(biāo)圖或Nyquist圖。當(dāng)輸入信號的頻率在極坐標(biāo)圖上，以橫軸為實(shí)軸，縱軸為虛軸，且正/負(fù)相角是從正實(shí)軸開始，以逆時(shí)針/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)來定義的。

極坐標(biāo)圖(Polarplot)，又稱幅相頻率特性曲線或奈奎斯特曲線。4.2極坐標(biāo)圖第17頁,共131頁，2024年2月25日，星期天將G(jω)分為實(shí)部和虛部(代數(shù)表示)，即U(ω)和V(ω)分別稱為實(shí)頻特性和虛頻特性。取橫坐標(biāo)U(ω)，縱坐標(biāo)表示V(ω)，也可得到系統(tǒng)的幅相曲線(實(shí)虛頻圖)。奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于極坐標(biāo)圖闡述了反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性。第18頁,共131頁，2024年2月25日，星期天例：-90°0∞………-63.5°0.452T-45°0.7071/T-26.6°0.891/2T010第19頁,共131頁，2024年2月25日，星期天圖4-25極坐標(biāo)圖但它不能清楚地表明開環(huán)傳遞函數(shù)中每個(gè)因子對系統(tǒng)的具體影響

采用極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是它能在一幅圖上表示出系統(tǒng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)的頻率響應(yīng)特性。第20頁,共131頁，2024年2月25日，星期天4.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖用頻域分析法研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)響應(yīng)時(shí)，是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進(jìn)行的，而控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是由若干典型環(huán)節(jié)的頻率特性組成的。本節(jié)介紹六種常用的典型環(huán)節(jié)。第21頁,共131頁，2024年2月25日，星期天ReImK比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為實(shí)軸上的K點(diǎn)。1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的奈氏圖4.2.1典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖式中－實(shí)頻特性；－相頻特性；－幅頻特性；－虛頻特性；第22頁,共131頁，2024年2月25日，星期天ReIm積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為負(fù)虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點(diǎn)。積分環(huán)節(jié)的奈氏圖2積分環(huán)節(jié)第23頁,共131頁，2024年2月25日，星期天微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性3微分環(huán)節(jié)第24頁,共131頁，2024年2月25日，星期天①純微分環(huán)節(jié)：純微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm純微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為正虛軸。頻率ω從0→∞特性曲線由原點(diǎn)趨向虛軸的+∞。第25頁,共131頁，2024年2月25日，星期天一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當(dāng)于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個(gè)單位。②一階微分：第26頁,共131頁，2024年2月25日，星期天二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：實(shí)頻和虛頻特性為：第27頁,共131頁，2024年2月25日，星期天慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖4慣性環(huán)節(jié)第28頁,共131頁，2024年2月25日，星期天極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓，對稱于實(shí)軸。證明如下：整理得：下半個(gè)圓對應(yīng)于正頻率部分，而上半個(gè)圓對應(yīng)于負(fù)頻率部分。第29頁,共131頁，2024年2月25日，星期天實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性討論時(shí)的情況。頻率特性為：5振蕩環(huán)節(jié)第30頁,共131頁，2024年2月25日，星期天振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖實(shí)際曲線還與阻尼系數(shù)有關(guān)。當(dāng)時(shí)，，曲線在3，4象限；當(dāng) 時(shí)，與之對稱于實(shí)軸。第31頁,共131頁，2024年2月25日，星期天振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當(dāng)過阻尼時(shí)，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。第32頁,共131頁，2024年2月25日，星期天1極坐標(biāo)圖是一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。隨著頻率的變化，沿單位圓轉(zhuǎn)無窮多圈。延遲環(huán)節(jié)的奈氏圖傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：6延遲環(huán)節(jié)第33頁,共131頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖—有三種形式：純微分、一階微分和二階微分。慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖第34頁,共131頁，2024年2月25日，星期天一、控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)分解設(shè)其開環(huán)傳遞函數(shù)由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)其開環(huán)頻率特性：

4.2.2繪制乃氏圖的一般規(guī)律第35頁,共131頁，2024年2月25日，星期天所以，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻和相頻分別為：開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)幅頻特性的幅值之積；開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性是各串聯(lián)環(huán)節(jié)相頻特性的相角之和。結(jié)論：第36頁,共131頁，2024年2月25日，星期天對于一般線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：其對應(yīng)的頻率特性為：當(dāng)υ＝0時(shí)，稱該系統(tǒng)為0

型系統(tǒng)；當(dāng)υ＝1時(shí)，稱該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)；當(dāng)υ＝2時(shí)，稱該系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)；第37頁,共131頁，2024年2月25日，星期天繪制Nyquist圖有時(shí)并不需要繪制得十分準(zhǔn)確只需要繪出Nyquist圖的大致形狀和幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）就可以了。開環(huán)系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)分解和典型環(huán)節(jié)幅相曲線的特點(diǎn)是繪制概略幅相特性曲線的基礎(chǔ)。二、開環(huán)幅相特性曲線的繪制（Nyquist圖）第38頁,共131頁，2024年2月25日，星期天概略繪制乃氏圖的步驟：確定開環(huán)乃氏圖的終點(diǎn)G(j∞)確定開環(huán)乃氏圖的起點(diǎn)G(j0+)寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性第39頁,共131頁，2024年2月25日，星期天注意：若傳遞函數(shù)不存在微分項(xiàng)（純微分、一階微分、二階微分等），則幅相特性曲線相位連續(xù)減少；反之，若出現(xiàn)微分環(huán)節(jié)，則幅相曲線會出現(xiàn)凹凸。確定開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)（若有）——虛頻為零或相頻為n×180°確定開環(huán)幅相曲線與虛軸的交點(diǎn)（若有）——實(shí)頻為零或相頻為n×90°勾畫出開環(huán)幅相曲線（ω＝0→+∞）的大致曲線（越精確越好）第40頁,共131頁，2024年2月25日，星期天K零型系統(tǒng)（ν=0）例1第41頁,共131頁，2024年2月25日，星期天K零型系統(tǒng)（ν=0）例2第42頁,共131頁，2024年2月25日，星期天零型系統(tǒng)（ν=0）例3第43頁,共131頁，2024年2月25日，星期天0型系統(tǒng)的乃氏圖始于正實(shí)軸上的點(diǎn)，在高頻段趨于原點(diǎn)，由第幾象限趨于原點(diǎn)取決于－（n－m）×90。n－傳遞函數(shù)中分母的階次m－傳遞函數(shù)中分子的階次第44頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Ⅰ型系統(tǒng)（ν=1）例4第45頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Ⅰ型系統(tǒng)（ν=1）例5第46頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Ⅰ型系統(tǒng)的乃氏圖的漸近線在低頻段與負(fù)虛軸平行，在高頻段趨于原點(diǎn)，由第幾象限趨于原點(diǎn)取決于－（n－m）×90。n－傳遞函數(shù)中分母的階次m－傳遞函數(shù)中分子的階次第47頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Ⅱ型系統(tǒng)（ν=2）例6例7第48頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Ⅱ型系統(tǒng)（ν=2）例8第49頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Ⅱ型系統(tǒng)的乃氏圖在低頻段趨于負(fù)實(shí)軸，在高頻段趨于原點(diǎn)，由第幾象限趨于原點(diǎn)取決于－（n－m）×90。n－傳遞函數(shù)中分母的階次m－傳遞函數(shù)中分子的階次第50頁,共131頁，2024年2月25日，星期天加極點(diǎn)和加零點(diǎn)的影響加極點(diǎn)使相位滯后，加零點(diǎn)使相位超前。區(qū)域內(nèi)變化時(shí)繪出的乃氏圖與區(qū)域內(nèi)變化時(shí)繪出的乃氏圖相對實(shí)軸對稱，故一般只考慮區(qū)域內(nèi)變化的乃氏圖。當(dāng)傳遞函數(shù)中含有一階微分環(huán)節(jié)時(shí)，相位非單調(diào)下降，乃氏圖發(fā)生彎曲；當(dāng)傳遞函數(shù)中含有振蕩環(huán)節(jié)時(shí)，上述結(jié)論不變。注意：第51頁,共131頁，2024年2月25日，星期天繪制開環(huán)概略幅相曲線的規(guī)律n>m時(shí)終點(diǎn)趨向于原點(diǎn)ν<0時(shí)起始于原點(diǎn)第52頁,共131頁，2024年2月25日，星期天例4-1

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖并求與實(shí)軸的交點(diǎn)。Nyquist圖與實(shí)軸相交時(shí)第53頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Matlab繪制的乃氏圖num=[00010];%定義分子多項(xiàng)式，s的降序排列den=[0.10.710];%定義分母多項(xiàng)式nyquist(num,den)第54頁,共131頁，2024年2月25日，星期天第55頁,共131頁，2024年2月25日，星期天要精確地計(jì)算和繪制極坐標(biāo)圖，一般來說比較麻煩。因此采用頻率特性的另一種圖示法：對數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）。它不但計(jì)算簡單，繪圖容易，而且一般能直觀地表明開環(huán)增益、時(shí)間常數(shù)等參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響。Bode圖由兩張圖組成，即:1、幅值與頻率的關(guān)系:幅頻特性曲線2、相位與頻率的關(guān)系：相頻特性曲線4.3頻率響應(yīng)的對數(shù)坐標(biāo)圖第56頁,共131頁，2024年2月25日，星期天對數(shù)頻率特性——Bode圖在工程實(shí)際中，常常將頻率特性畫成對數(shù)坐標(biāo)圖形式，這種對數(shù)頻率特性曲線又稱Bode圖，由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性組成。Bode圖的橫坐標(biāo)按lgω分度（10為底的常用對數(shù)），即對數(shù)分度，單位為弧度/秒（rad/s）對數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按

線性分度，單位是分貝（dB）。

對數(shù)相頻曲線縱坐標(biāo)按

(ω)線性分度，單位是度。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對數(shù)坐標(biāo)系。第57頁,共131頁，2024年2月25日，星期天對數(shù)分度和線性分度圖5-1對數(shù)分度和線性分度第58頁,共131頁，2024年2月25日，星期天一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個(gè)橫坐標(biāo)（頻率軸）。當(dāng)幅頻特性值用分貝值表示時(shí)，通常將它稱為增益。幅值和增益的關(guān)系為：注意：橫坐標(biāo)以頻率的對數(shù)值進(jìn)行分度，但坐標(biāo)上顯示的數(shù)值仍然是原來值。ω=0不可能在橫坐標(biāo)上表示出來。第59頁,共131頁，2024年2月25日，星期天使用對數(shù)坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進(jìn)線）近似表示。對實(shí)驗(yàn)所得的頻率特性用對數(shù)坐標(biāo)表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達(dá)式。第60頁,共131頁，2024年2月25日，星期天令T=1，則用MATLAB畫出上述RC電路的伯德圖如圖所示。num=[01];den=[11];bode(num,den)第61頁,共131頁，2024年2月25日，星期天幅頻特性：對數(shù)幅頻特性和相頻特性：比例環(huán)節(jié)的bode圖4.3.1典型環(huán)節(jié)的伯德圖1比例環(huán)節(jié)相頻特性：圖5-7比例環(huán)節(jié)的Bode圖第62頁,共131頁，2024年2月25日，星期天積分環(huán)節(jié)的Bode圖2積分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性為一條斜率為－20dB/dec的直線，此線通過L(ω)=0，ω=1的點(diǎn)。第63頁,共131頁，2024年2月25日，星期天二重積分：n重積分?對數(shù)幅頻特性為一條斜率為－40dB/dec的直線，此線通過L(ω)=0，ω=1的點(diǎn)。-180°對數(shù)幅頻特性為一條斜率為－20.ndB/dec的直線，此線通過L(ω)=0，ω=1的點(diǎn)。第64頁,共131頁，2024年2月25日，星期天3慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性和相頻特性為低頻段：高頻段：ω＝1/T是兩條漸近線的交點(diǎn)，稱為交接頻率，或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。(這是一個(gè)很重要的概念)。第65頁,共131頁，2024年2月25日，星期天慣性環(huán)節(jié)的Bode圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍(lán)線是實(shí)際曲線。慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線為圖示的漸近線。低通濾波特性！第66頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Matlab繪制的慣性環(huán)節(jié)的Bode圖第67頁,共131頁，2024年2月25日，星期天慣性環(huán)節(jié)的Bode圖伯德圖誤差分析（實(shí)際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當(dāng)時(shí)，誤差為：當(dāng)時(shí)，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為wT0.10.20.512510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04漸近線,dB0000-6-14-20誤差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04第68頁,共131頁，2024年2月25日，星期天

②相頻特性：

作圖時(shí)先用計(jì)算器計(jì)算幾個(gè)特殊點(diǎn)：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標(biāo)系中對于(w0,-45°)點(diǎn)是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個(gè)特點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間常數(shù)T變化時(shí)，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當(dāng)增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。慣性環(huán)節(jié)的波德圖wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4第69頁,共131頁，2024年2月25日，星期天Matlab繪制的慣性環(huán)節(jié)的Bode圖當(dāng)增益改變時(shí)，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。第70頁,共131頁，2024年2月25日，星期天討論時(shí)的情況。頻率特性為：4振蕩環(huán)節(jié)（要重視）第71頁,共131頁，2024年2月25日，星期天低頻段：高頻段：二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性可作如下簡化(不考慮阻尼比)：二階振蕩環(huán)節(jié)Bode圖可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。第72頁,共131頁，2024年2月25日，星期天第73頁,共131頁，2024年2月25日，星期天低頻段和高頻段的兩條直線相交處的交接頻率為ω=1/T，稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近，對數(shù)幅頻特性與漸近線存在一定的誤差，其值取決于阻尼比ξ的值，阻尼比越小，則誤差越大.對數(shù)相頻特性曲線在半對數(shù)坐標(biāo)系中對于（ω0，－90°）點(diǎn)是斜對稱的。對數(shù)幅頻特性曲線有峰值。第74頁,共131頁，2024年2月25日，星期天該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，無諧振峰值。當(dāng)時(shí)，有諧振峰值。諧振頻率，諧振峰值因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實(shí)際曲線可能有很大的誤差。對求導(dǎo)并令等于零，可解得的極值對應(yīng)的頻率。當(dāng)，，。第75頁,共131頁，2024年2月25日，星期天振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實(shí)際曲線與漸近線之間的誤差曲線。第76頁,共131頁，2024年2月25日，星期天ξ

wT0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7288.09413.988.0943.7281.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.1370.001.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.000.08-0.47-1.41-2.92-1.41-0.470.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.30-6.20-4.30-2.76-1.29-0.34-0.086二階振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差（dB）第77頁,共131頁，2024年2月25日，星期天第78頁,共131頁，2024年2月25日，星期天微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性5微分環(huán)節(jié)第79頁,共131頁，2024年2月25日，星期天純微分環(huán)節(jié)的伯德圖①純微分環(huán)節(jié)：其對數(shù)幅頻特性為一條斜率為20dB/dec的直線，它與0dB線交于ω=1點(diǎn)。第80頁,共131頁，2024年2月25日，星期天②一階微分環(huán)節(jié)：相頻特性：幾個(gè)特殊點(diǎn)如下相角的變化范圍從0到。這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進(jìn)線的交點(diǎn)為低頻段漸進(jìn)線：高頻段漸進(jìn)線：對數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖第81頁,共131頁，2024年2月25日，星期天高頻放大！抑制噪聲能力的下降！0.1/τ1/τ10/τ第82頁,共131頁，2024年2月25日，星期天一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖一階微分環(huán)節(jié)伯德圖一階慣性環(huán)節(jié)伯德圖一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖與慣性環(huán)節(jié)的Bode圖關(guān)于橫軸對稱。第83頁,共131頁，2024年2月25日，星期天幅頻和相頻特性為：③二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進(jìn)線：高頻漸進(jìn)線：轉(zhuǎn)折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0~180度。二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性第84頁,共131頁，2024年2月25日，星期天二階微分環(huán)節(jié)的波德圖二階微分環(huán)節(jié)伯德圖二階振蕩環(huán)節(jié)伯德圖第85頁,共131頁，2024年2月25日，星期天傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：延遲環(huán)節(jié)的伯德圖6延遲環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性：相頻特性：第86頁,共131頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)

比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的頻率特性

慣性環(huán)節(jié)的頻率特性—低頻、高頻漸進(jìn)線，斜率-20，轉(zhuǎn)折頻率

振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性—伯德圖：低頻、高頻漸進(jìn)線，斜率-40，轉(zhuǎn)折頻率

微分環(huán)節(jié)的頻率特性—有三種形式：純微分、一階微分和二階微分。分別對應(yīng)積分、一階慣性和振蕩環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)的頻率特性第87頁,共131頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)開環(huán)傳函由多個(gè)典型環(huán)節(jié)相串聯(lián)：系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅值等于各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅值之和；相位等于各環(huán)節(jié)的相位之和。第88頁,共131頁，2024年2月25日，星期天

開環(huán)對數(shù)幅頻曲線及相頻曲線分別由各串聯(lián)環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻曲線和相頻曲線疊加而成。

典型環(huán)節(jié)的對數(shù)漸近幅頻曲線為不同斜率的直線或折線，故疊加后的開環(huán)漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組成的折線。第89頁,共131頁，2024年2月25日，星期天例4-1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖。系統(tǒng)開環(huán)包括了五個(gè)典型環(huán)節(jié)ω2=2rad/sω4=0.5rad/sω5=10rad/s第90頁,共131頁，2024年2月25日，星期天例4-2繪制開環(huán)傳遞函數(shù)的零型系統(tǒng)的Bode圖。解系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別第91頁,共131頁，2024年2月25日，星期天例5-5的Bode圖第92頁,共131頁，2024年2月25日，星期天因此，首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定線段交接頻率（轉(zhuǎn)折頻率）以及轉(zhuǎn)折后線段斜率的變化，那么，就可繪制出由低頻到高頻的開環(huán)對數(shù)漸近幅頻特性曲線。實(shí)際上，在熟悉了對數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后，不必先一一畫出各環(huán)節(jié)的特性，然后相加，而可以采用更簡便的方法。由上例可見，零型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線，隨著ω的增加，每遇到一個(gè)交接（轉(zhuǎn)折）頻率，對數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。第93頁,共131頁，2024年2月25日，星期天依據(jù)傳遞函數(shù)確定各環(huán)節(jié)的交接頻率,并將交接頻率由低到高依次標(biāo)注到半對數(shù)坐標(biāo)紙橫軸上（不妨設(shè)為：ω1、ω2、ω3……）系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制控制系統(tǒng)一般由多個(gè)環(huán)節(jié)組成，在繪制系統(tǒng)Bode圖前，應(yīng)先將系統(tǒng)傳遞函數(shù)分解為典型環(huán)節(jié)乘積的形式。第94頁,共131頁，2024年2月25日，星期天低頻段特性取決于，直線斜率為－20

dB/dec。為獲得低頻段，還需要確定該直線上的一點(diǎn)，可以采用以下三種方法：A:在內(nèi)任選一點(diǎn)ω0,計(jì)算其值。（若采用此法，推薦取ω0＝ω1）B:取特定頻率ω0＝1，則C:取為特殊值0，則

低頻起始段的繪制

－20dB/dec11第95頁,共131頁，2024年2月25日，星期天

(1)0型系統(tǒng)的低頻起始段的繪制當(dāng)處于低頻段時(shí)0型系統(tǒng)傳遞函數(shù)低頻段高度H=20lgK（dB）第96頁,共131頁，2024年2月25日，星期天(2)I型系統(tǒng)的低頻起始段的繪制

當(dāng)處于低頻段時(shí)I型系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)Bode圖的低頻段漸近線斜率為-20dB/dec低頻段漸近線或其延長線與橫軸相交，交點(diǎn)處頻率

=K低頻段漸近線或其延長線在=1時(shí)的幅值為20lgK第97頁,共131頁，2024年2月25日，星期天

(3)II型系統(tǒng)的低頻起始段的繪制

當(dāng)處于低頻段時(shí)II型系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)Bode圖低頻段漸近線的斜率為-40dB/dec

低頻段漸近線或其延長線與橫軸相交，交點(diǎn)處頻率低頻段或低頻段的延長線在

=1時(shí)的幅值為20lgK第98頁,共131頁，2024年2月25日，星期天按交接頻率由低頻到高頻的順序，在低頻漸近線的基礎(chǔ)上，每遇到一個(gè)交接頻率，根據(jù)環(huán)節(jié)的性質(zhì)改變漸近線斜率，繪制漸近線，直到繪出交接頻率最高的環(huán)節(jié)為止。慣性環(huán)節(jié)，斜率改變振蕩環(huán)節(jié)，斜率改變一階微分環(huán)節(jié)，斜率改變二階微分環(huán)節(jié)，斜率改變?nèi)缧枰L制精確對數(shù)幅頻特性曲線，則可在各交接頻率處加以修正。相頻特性曲線由各環(huán)節(jié)的相頻特性相加獲得。低頻段：高頻段：注意：對數(shù)幅頻特性曲線上一定要標(biāo)明斜率！第99頁,共131頁，2024年2月25日，星期天例：11.5-20dB/dec-40dB/dec177-4.3-135第100頁,共131頁，2024年2月25日，星期天[例4-1]系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出伯德圖。[解]：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以則2、低頻漸進(jìn)線：斜率為，過點(diǎn)（1，20）3、伯德圖如下：8第101頁,共131頁，2024年2月25日，星期天紅線為漸進(jìn)線，藍(lán)線為實(shí)際曲線。第102頁,共131頁，2024年2月25日，星期天[例4-2]已知，試畫伯德圖。[解]：1、2、低頻漸進(jìn)線斜率為，過（1，-60）點(diǎn)。4、畫出伯德圖如下頁：3、高頻漸進(jìn)線斜率為：第103頁,共131頁，2024年2月25日，星期天紅線為漸進(jìn)線，藍(lán)線為實(shí)際曲線。第104頁,共131頁，2024年2月25日，星期天[例4-3]具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：，試畫出伯德圖。[解]：

可見，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。第105頁,共131頁，2024年2月25日，星期天最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)均在[s]平面的左半平面，則該系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的有零點(diǎn)或極點(diǎn)在[s]平面的右半平面，則該系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)4.3.3最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)第106頁,共131頁，2024年2月25日，星期天對于最小相位系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)由單一的幅值曲線唯一確定。對于非最小相位系統(tǒng)則不是這種情況。

圖4-18最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的零-極點(diǎn)分布圖最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)第107頁,共131頁，2024年2月25日，星期天非最小相位系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)

圖4-19的相角特性

相同的幅值特性和最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)第108頁,共131頁，2024年2月25日，星期天在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍

最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相角特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定。這個(gè)結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。

反之亦然最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)第109頁,共131頁，2024年2月25日，星期天最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：有五個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下,系統(tǒng)的幅頻特性相同。第110頁,共131頁，2024年2月25日，星期天最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)設(shè)，可計(jì)算出下表，其中為對數(shù)坐標(biāo)中與的幾何中點(diǎn)。w1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1°

-39.3°-54.9°-39.3°-5.1°j2(w)-6.3°-50.7°-90°-129.3°-173.7°j3(w)6.3°50.7°90°129.3°173.7°j4(w)5.1°39.3°54.9°39.3°5.1°j5(w)-5.7°-45°-73°-96.6°-578.1°第111頁,共131頁，2024年2月25日，星期天由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)w從0變化至∞時(shí)，系統(tǒng)的相角變化范圍最小，且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關(guān)系(如j1(w))。而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與幅頻特性的變化趨勢不一致(如j4(w))。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)第112頁,共131頁，2024年2月25日，星期天最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)特點(diǎn)：它的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性間存在著確定的對應(yīng)關(guān)系，即一條對數(shù)幅頻特性曲線，只能有一條對數(shù)相頻特性與之對應(yīng)。因此，利用Bode圖對系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，對于最小相位系統(tǒng)，往往只畫出它的對數(shù)幅頻特性曲線就夠了。并且對于最小相位系統(tǒng)，只需根據(jù)其對數(shù)幅頻特性曲線就能寫出其傳遞函數(shù)。非最小相位系統(tǒng)存在著過大的相位滯后，不僅影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也影響系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。延遲環(huán)節(jié)就是一個(gè)典型的非最小相位環(huán)節(jié)。第113頁,共131頁，2024年2月25日，星期天實(shí)際上，許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象的很準(zhǔn)確，其傳遞函數(shù)很難用純數(shù)學(xué)分析的方法求出。對于這類系統(tǒng)，可以通過實(shí)驗(yàn)的方法測得系統(tǒng)的頻率特性曲線，進(jìn)而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。4.4由頻率特性曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

基本思路對待測系統(tǒng)，在感興趣的頻率范圍內(nèi)施加正弦激勵信號，測量足夠多頻率上系統(tǒng)輸出與輸入的幅值比和相位差，繪制Bode圖。根據(jù)Bode圖的漸近線確定轉(zhuǎn)折頻率及各典型環(huán)節(jié)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第114頁,共131頁，2024年2月25日，星期天由Bode圖確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由Bode圖確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)，與繪制系統(tǒng)Bode圖相反。即由實(shí)驗(yàn)測得的Bode圖，經(jīng)過分析和測算，確定系統(tǒng)所包含的各個(gè)典型環(huán)節(jié)，從而建立起被測系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

最小相位系統(tǒng)第115頁,共131頁，2024年2月25日，星期天步驟：對實(shí)驗(yàn)測得的系統(tǒng)對數(shù)幅頻曲線進(jìn)行分段處理，即用斜率為

20dB/dec整數(shù)倍的直線段來近似測量到的曲線。當(dāng)某

處系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化時(shí)，此

即為某個(gè)環(huán)節(jié)的交接頻率，此環(huán)節(jié)依據(jù)斜率的變化來確定。系統(tǒng)最低頻率段的斜率由開環(huán)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)決定。低頻段斜率為-20

dB/dec,則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有

個(gè)積分環(huán)節(jié)，系統(tǒng)為

型系統(tǒng)。第116頁,共131頁，2024年2月25日，星期天

開環(huán)增益K的確定由

=1作垂線與低頻段(或其延長線)的交點(diǎn)的分貝值=20lgK(dB)，由此求出K值。低頻段斜率為-20

dB/dec，低頻段(或其延長線)與0dB線交點(diǎn)處的

值即等于K1/

。第117頁,共131頁，2024年2月25日，星期天b為直線斜率，單位為dB/dec。通常頻率取交接頻率第118頁,共131頁，2024年2月25日，星期天例1：最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：依據(jù)各交接頻率和各