2024年河北省邢臺(tái)～高三數(shù)學(xué)上學(xué)期11月期中考試試題

河北省邢臺(tái)3023-2024高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則下圖中陰影部分所表示的集合為（）A.B.C.D.【答案】D【分析】陰影部分表示的集合為，根據(jù)補(bǔ)集、交集定義進(jìn)行即可.【詳解】陰影部分表示的集合為，又，所以.故選：D.2.已知，則（）A.10 B.2 C. D.4【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出再求模長(zhǎng)可得答案.【詳解】，則.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)比出、、三者與特殊值0、1的大小關(guān)系，運(yùn)用中間值法解決問(wèn)題.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即；因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即；因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，即，故，故選：A.4.已知向量，，，則實(shí)數(shù)k的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：，所以.故選：B5.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，且，則的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無(wú)法判斷【答案】B【分析】由冪函數(shù)的定義與性質(zhì)求得函數(shù)解析式，確定其是奇函數(shù)，然后利用單調(diào)性與奇偶性可判斷.【詳解】由得或，時(shí)，在上是增函數(shù)，不合題意，時(shí)，，在上是減函數(shù)，滿足題意，所以，，則，，是奇函數(shù)，因此，所以，即，故選：B.6.若命題“對(duì)任意的，恒成立”為假命題，則m的取值范圍為（

）A.B.C.D.【答案】A【分析】根據(jù)原命題為真可得，即可得出命題為假命題時(shí)m的取值范圍．【詳解】當(dāng)原命題為真時(shí)，恒成立，即由命題為假命題，則．故選：A.7.函數(shù)的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】首先由函數(shù)的奇偶性判斷出B,D錯(cuò)誤，再結(jié)合當(dāng)時(shí)得出答案．【詳解】設(shè)，，由，得為奇函數(shù)，故B,D錯(cuò)誤；由，故A正確，C錯(cuò)誤，故選：A．8.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值是（

）A. B.2 C. D.1【答案】B【分析】首先得到平移后的解析式，根據(jù)對(duì)稱性得到，，從而求出的取值集合，再由的取值范圍求出，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，即可得解.【詳解】的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以，，解得，，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，故，解得，因?yàn)?，所以，?故選：B二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是等差數(shù)列C.D.對(duì)任意，都有【答案】ABD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)可判斷選項(xiàng)B；利用，可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)，可判斷選項(xiàng)C，根據(jù)，可判斷選項(xiàng)D．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，得，，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，選項(xiàng)B正確；，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；,由于，所以，A正確，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故對(duì)任意，恒有，選項(xiàng)D正確．故選：ABD10.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（）A.在上單調(diào)遞增B.C.不等式解集為D.的圖象與軸只有3個(gè)交點(diǎn)【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；由，得，則，B正確；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，因此不等式的解集為，C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，而，則點(diǎn)是函數(shù)的圖象與x軸的公共點(diǎn)，所以的圖象與軸只有3個(gè)交點(diǎn)，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根、、、，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的最小值為【答案】AD【分析】作出圖象，計(jì)算出、的值，結(jié)合圖象可判斷A選項(xiàng)；解不等式，可判斷B選項(xiàng)；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出，求出的取值范圍，結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：根據(jù)圖象知：，，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，，由可得，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖可知，，則，由得，即，所以，，化簡(jiǎn)得到.由，可得，所以，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以，，且，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，C錯(cuò)；由可得，所以，、為方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D對(duì).故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.12.如圖，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，以為斜邊向外作等腰直角三角形，則（）A.B.C.面積的最大值為D.四邊形面積的最大值為【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)：利用余弦定理列等式即可；B選項(xiàng)：由題意得的范圍，即可得到的范圍；C選項(xiàng)：根據(jù)幾何的知識(shí)得到當(dāng)時(shí)，最大，利用三角形面積公式求面積即可；D選項(xiàng)：將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成，得到面積，再利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】在中，由余弦定理得，A正確；，則

，所以，B錯(cuò)誤；易得當(dāng)時(shí)，取最大值，C正確；，其中，D正確．故選：ACD.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】由分段函數(shù)兩端均為增函數(shù)及端點(diǎn)處函數(shù)值左小右大可得．【詳解】函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，故，在上單調(diào)遞增，則，且在處，有，所以a的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】8【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可得為奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性可得，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋P(guān)于對(duì)稱，且單調(diào)遞減，且，即函數(shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)?，所以，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，取等號(hào).所以的最小值為8.故答案為：815.已知，且，則的最小值是______【答案】36【分析】應(yīng)用柯西不等式可得，注意等號(hào)成立條件，即可得目標(biāo)式的最小值.【詳解】由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為：3616.已知函數(shù)，的定義域均為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，則________.【答案】2023【分析】根據(jù)題意分析可得，進(jìn)而可得函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，又因?yàn)?，則，，即，可得，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，且，可得，即，則，可得，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，可得，，則，即，所以.故答案為：2023.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．四?解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）分為，兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法可求.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，也適合上式.故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，則.18.已知，且圖象過(guò)點(diǎn)，又.（1）若成立，求的取值范圍；（2）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，解不等式即可得出答案.（2）由題意可得對(duì)于任意恒成立等價(jià)于，利用換元法求出即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，而在上單調(diào)遞減，由可得：所以解得，所以的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以?duì)于任意恒成立等價(jià)于，因?yàn)?令，則，所以，當(dāng)，即，即時(shí)，，所以.19.已知向量，，函數(shù)（其中），函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線．（1）求的值；（2）若且，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可得的解析式，由對(duì)稱軸列式求解即可；（2）由（1）可得，，進(jìn)而可得，由兩角和的正弦公式可得答案．【小問(wèn)1詳解】由題意得，∵函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線，∴，得，∵，∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，由得，即，結(jié)合，，得，∴．20.在銳角三角形中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）.【分析】（1）對(duì)等式兩邊同時(shí)乘以可得，正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）由正弦定理求出，表示出面積結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由已知條件得，由正弦定理得.，即.因?yàn)樵谥?，，所?又是銳角，所以.【小問(wèn)2詳解】由正弦定理得，則，所以.由，得，所以，所以，所以.所以面積的取值范圍為.21.為了改善湖泊的水質(zhì)，某市環(huán)保部門于2021年年終在該湖泊中投入一些浮萍，這些浮萍在水中的繁殖速度越來(lái)越快，2022年2月底測(cè)得浮萍覆蓋面積為，2022年3月底測(cè)得浮萍覆蓋面積為，浮萍覆蓋面積（單位：）與2022年的月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；（2）若2021年年終測(cè)得浮萍覆蓋面積為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型，試估算至少到哪一年的幾月底浮萍覆蓋面積能超過(guò)？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），（2）2023年2月【分析】（1）將分別代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式中即可求解，（2）根據(jù)確定選用的函數(shù)，即可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為，若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．【小問(wèn)2詳解】把代入可得，，把代入可得，，∵，∴選擇函數(shù)模型更合適，令，可得，兩邊取對(duì)數(shù)可得，，∴，故浮萍至少要到2023年2月底覆蓋面積能超過(guò)8100m2．22.已知是等差數(shù)列，．（1）求的通項(xiàng)公式和．（2）已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為.【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)時(shí)，，取，當(dāng)時(shí)，，取，即可證得題中的不等式；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和