2022-2023學(xué)年北京第四十四中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析

2022-2023學(xué)年北京第四十四中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線與拋物線有一個公共的焦點，且兩曲線的一個交點為，若，則雙曲線的漸近線方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.已知是第二象限角,（）A． B． C． D．參考答案：A略3.如果，那么

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C4.函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，則下列說法不正確的是A．若函數(shù)在時取得極值，則B．若，則函數(shù)在處取得極值C．若在定義域內(nèi)恒有，則是常數(shù)函數(shù)D．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是一個常數(shù)參考答案：B略5.直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是（

）.（A）相切 （B）相交 （C）相離 （D）不確定參考答案：B6.對“a、b、c至少有一個是正數(shù)”的反設(shè)是

（

） A．a(chǎn)、b、c至少有一個是負數(shù) B.a、b、c至少有一個是非正數(shù) C．a(chǎn)、b、c都是非正數(shù)

D.a、b、c都是正數(shù)

參考答案：C略7.命題“?x∈R，2x＞0”的否定是（）A．?x0∈R，2＞0 B．?x0∈R，2≤0C．?x∈R，2x＜0 D．?x∈R，2x≤0參考答案：B【考點】命題的否定．【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可．【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“?x∈R，2x＞0”的否定是?x0∈R，2≤0．故選：B【點評】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，基本知識的考查．8.若，則A.8 B.7 C.6 D.4參考答案：A【分析】根據(jù)排列數(shù)，組合數(shù)的公式，求得，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式，可得，即，解得，故選A．【點睛】本題主要考查了排列數(shù)，組合數(shù)的應(yīng)用，其中解答中熟記排列數(shù)，組合數(shù)的計算公式，準(zhǔn)確化簡、運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9.為虛數(shù)單位，則=(

) A． B. C． D．

參考答案：C10.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點，傾斜角為的直線過右焦點F2且與雙曲線的左支交于M點，若，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正三棱錐外接球的球心為，半徑為，且．則

.參考答案：12.已知點M是y=上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A在C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=1上，則|MA|+|MF|的最小值為．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】首先求出拋物線上的點到圓上及拋物線的焦點的距離最小的位置，然后根據(jù)三點共線求出相應(yīng)的點的坐標(biāo)，進一步求出最小值．【解答】解：如上圖所示利用拋物線的定義知：MP=MF當(dāng)M、A、P三點共線時，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x軸CM所在的直線方程為：x=1與y=建立方程組解得：M（1，）|CM|=4﹣點M到圓C的最小距離為：|CM|﹣|AC|=3拋物線的準(zhǔn)線方程：y=﹣1則：，|MA|+|MF|的值最小值為3+1=4故答案為：4【點評】本題考查的知識點：圓外一點到圓的最小距離，拋物線的準(zhǔn)線方程，三點共線及相關(guān)的運算問題．13.已知的展開式中的常數(shù)項是＿＿＿＿（用數(shù)字作答）；參考答案：1514.拋物線y=2x2的焦點坐標(biāo)是

▲

。參考答案：略15.等差數(shù)列中，，則=

．參考答案：16.某中學(xué)一天的功課表有6節(jié)課，其中上午4節(jié)，下午2節(jié)，要排語文、數(shù)學(xué)、英語、信息技術(shù)、體育、地理6節(jié)課，要求上午第一節(jié)課不排體育，數(shù)學(xué)必須排在上午，則不同排法種數(shù)是__________．參考答案：408【分析】按上午第一節(jié)課排數(shù)學(xué)和不排數(shù)學(xué)分類討論即可.【詳解】如果上午第一節(jié)課排數(shù)學(xué)，則語文、英語、信息技術(shù)、體育、地理可排在其余5節(jié)課，故有種；如果上午第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)，則可排語文、英語、信息技術(shù)、地理任何一門，有種排法，數(shù)學(xué)應(yīng)該排在第二節(jié)、第三節(jié)或第四節(jié)，有種排法，余下四節(jié)課可排余下四門課程，有種排法，故上午第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)共有，綜上，共有種不同的排法.故填408.【點睛】對于排列問題，我們有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素優(yōu)先考慮，比如某些人不能排首位等，可先考慮首位放置其他人，然后再排其他位置；（2）先選后排，比如要求所排的人來自某個范圍，我們得先選出符合要求的人，再把他們放置在合適位置；（3）去雜法，也就是從反面考慮．17.若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是

．

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖1，正方形ABCD的邊長為，E、F分別是DC和BC的中點，H是正方形的對角線AC與EF的交點，N是正方形兩對角線的交點，現(xiàn)沿EF將折起到的位置，使得，連結(jié)PA，PB，PD（如圖2）．（1）求證：；（2）求點A到平面PBD的距離．參考答案：（1）見解析（2）試題分析：（1）首先由中位線定理及已知條件推出平面，然后由線面垂直的性質(zhì)定理平面，從而可使問題得證；（2）分別把和當(dāng)做底面求出棱錐的體積，由此列出方程求解即可．試題解析：（1）證明：∵分別是和的中點，∴．又∵，∴，故折起后有，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∵平面，∴平面，又∵平面，∴．（2）∵正方形的邊長為，∴，∴是等腰三角形，連結(jié)，則，∴的面積．設(shè)三棱錐的高為，則三棱錐的體積為，由（1）可知是三棱錐的高，∴三棱錐的體積：，∵，即，解得，即三棱錐高為．考點：1、空間直線與直線的位置關(guān)系；2、線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理；3、三棱錐的體積．19.（本小題滿分12分）．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等實根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表達式．參考答案：解設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有兩個相等實根，∴判別式Δ＝4－4c＝0，即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.

略20.以（1，﹣1）為中點的拋物線y2=8x的弦所在直線的方程存在嗎？若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先設(shè)出弦的兩端點的坐標(biāo)然后代入到拋物線方程后兩式相減，可求得直線方程的斜率，最后根據(jù)直線的點斜式可求得方程．【解答】解：設(shè)這樣的直線存在，其被拋物線截得弦的兩端點分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則yi2=8x1，y22=8x2①…①中兩式做差，得（y2+y1）（y2﹣y1）=8（x2﹣x1），∴kAB=﹣4．…得直線方程y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0．②…將②與曲線y2=8x聯(lián)立，得16x2﹣32x+9=0，△=（﹣32）2﹣4×16×9＞0（必須檢驗?。嘞宜谥本€方程為4x+y﹣3=0．…21.已知點A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）通過離心率得到a、c關(guān)系，通過A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），由條件知，得?又，所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當(dāng)△=16（4k2﹣3）＞0，即時，從而??6558764又點O到直線PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設(shè)，則t＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=±等號成立，且滿足△＞0，所以當(dāng)△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…22.（12分）（2015秋?膠州市期末）已知函數(shù)f（x）=（x2﹣3x+3）?ex的定義域為[﹣2，t]，設(shè)f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)；（2）求證：m＜n；（3）求證：對于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，請確定t的取值范圍．參考答案：【分析】（1）求導(dǎo)得f′（x）=（2x﹣3）?ex+（x2﹣3x+3）?ex=x（x﹣1）ex，從而可得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，從而確定t的取值范圍；（2）借助（1）可知，f（x）在x=1處取得極小值e，求出f（﹣2）=m=＜e，則f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為f（﹣2），從而得證；（3）化簡=﹣x0，從而將=（t﹣1）2化為﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，則證明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并討論解的個數(shù)；由二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=（2x﹣3）?ex+（x2﹣3x+3）?ex=x（x﹣1）ex，由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，欲f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則﹣2＜t≤0；∴t的取值范圍為（﹣2，0]．（2）證明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，∴f（x）在x=1處取得極小值e，又∵f（﹣2）=m=＜e=f（1），∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為f（﹣2）．從而當(dāng)t＞﹣2時，f（﹣2）＜f（t），即m＜n；（3）證明：∵=﹣x0，∴=（t﹣1）2可化為﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，則證明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并討論解的個數(shù)．∵g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣（t+2）（t﹣4），g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=（t+2）（t﹣1），①當(dāng)t＞4或﹣2＜t＜1時，g（﹣2）?g（t）＜0，則方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；②當(dāng)1＜t＜4時，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，又∵g（0）=﹣（t﹣1）2＜0，∴方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，且有兩解；③當(dāng)t=