(2024年)復(fù)數(shù)的幾何意義課件公開課

復(fù)數(shù)的幾何意義課件公開課12024/3/26CATALOGUE目錄復(fù)數(shù)基本概念與性質(zhì)復(fù)數(shù)在平面上的表示幾何意義探討：旋轉(zhuǎn)與伸縮變換方程求解與根軌跡繪制極坐標(biāo)形式下復(fù)數(shù)幾何意義總結(jié)回顧與拓展延伸22024/3/26復(fù)數(shù)基本概念與性質(zhì)0132024/3/26復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)和虛數(shù)的和，形如$z=a+bi$，其中$a,b$為實(shí)數(shù)，$i$為虛數(shù)單位，滿足$i^2=-1$。復(fù)數(shù)定義復(fù)數(shù)通常用字母$z$表示，也可以表示為向量形式$vec{z}=(a,b)$或極坐標(biāo)形式$z=r(costheta+isintheta)$。表示方法復(fù)數(shù)定義及表示方法42024/3/26若$z=a+bi$，則其共軛復(fù)數(shù)為$z^*=a-bi$。共軛復(fù)數(shù)與原復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)。復(fù)數(shù)$z=a+bi$的模長(zhǎng)定義為$|z|=sqrt{a^2+b^2}$。模長(zhǎng)表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。共軛復(fù)數(shù)和模長(zhǎng)計(jì)算模長(zhǎng)計(jì)算共軛復(fù)數(shù)52024/3/26除法運(yùn)算設(shè)$z_1=a+bi,z_2=c+di$，且$c+dineq0$，則$frac{z_1}{z_2}=frac{a+bi}{c+di}=frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。加法運(yùn)算設(shè)$z_1=a+bi,z_2=c+di$，則$z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$。減法運(yùn)算設(shè)$z_1=a+bi,z_2=c+di$，則$z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$。乘法運(yùn)算設(shè)$z_1=a+bi,z_2=c+di$，則$z_1timesz_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$。復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則62024/3/26復(fù)數(shù)在平面上的表示0272024/3/26復(fù)平面是一個(gè)二維平面，其中橫軸表示實(shí)部，縱軸表示虛部。復(fù)平面的定義在復(fù)平面上，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，水平向右為實(shí)軸正方向，垂直向上為虛軸正方向，建立直角坐標(biāo)系。坐標(biāo)系的建立復(fù)平面與坐標(biāo)系建立82024/3/26對(duì)應(yīng)點(diǎn)的確定對(duì)于任意復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a,b$為實(shí)數(shù)），它在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為$(a,b)$。共軛復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)若$z$的共軛復(fù)數(shù)為$overline{z}=a-bi$，則$overline{z}$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為$(a,-b)$。復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)92024/3/26復(fù)數(shù)$z=a+bi$在復(fù)平面上可以表示為從原點(diǎn)指向點(diǎn)$(a,b)$的向量$vec{OZ}$，其中$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，$Z$為點(diǎn)$(a,b)$。向量表示法向量$vec{OZ}$的模等于復(fù)數(shù)$z$的模，即$|vec{OZ}|=|z|=sqrt{a^2+b^2}$；向量$vec{OZ}$的輻角等于復(fù)數(shù)$z$的輻角，記作$arg(z)$，滿足$-pi<arg(z)leqpi$。向量的性質(zhì)向量表示法及其性質(zhì)102024/3/26幾何意義探討：旋轉(zhuǎn)與伸縮變換03112024/3/26復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算規(guī)則01設(shè)$z_1=r_1(costheta_1+isintheta_1)$，$z_2=r_2(costheta_2+isintheta_2)$，則$z_1timesz_2=r_1r_2[cos(theta_1+theta_2)+isin(theta_1+theta_2)]$。旋轉(zhuǎn)角度的疊加02復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算中，兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角相加，即旋轉(zhuǎn)角度疊加。伸縮比例的乘積03復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算中，兩個(gè)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)相乘，即伸縮比例按乘積變化。乘法運(yùn)算對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)角度和伸縮比例122024/3/26設(shè)$z=r(costheta+isintheta)$，則$z^n=r^n[cos(ntheta)+isin(ntheta)]$。復(fù)數(shù)的冪運(yùn)算周期性規(guī)律模長(zhǎng)的冪次變化當(dāng)$n$增加時(shí)，復(fù)數(shù)的輻角$ntheta$呈現(xiàn)周期性變化，周期為$2pi$。復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)在冪運(yùn)算中按冪次變化。030201冪運(yùn)算與周期性規(guī)律132024/3/26交流電路中的復(fù)數(shù)表示在交流電路中，電壓和電流可用復(fù)數(shù)表示，其中實(shí)部表示幅度，虛部表示相位。阻抗的復(fù)數(shù)形式電路中的阻抗可用復(fù)數(shù)表示，實(shí)部表示電阻，虛部表示電抗。復(fù)數(shù)運(yùn)算在電路分析中的應(yīng)用利用復(fù)數(shù)運(yùn)算可方便地分析交流電路中的電壓、電流和功率等問題。例如，通過復(fù)數(shù)乘法可計(jì)算電壓和電流的相位差，通過復(fù)數(shù)除法可計(jì)算電路的阻抗等。幾何意義在電路分析中應(yīng)用142024/3/26方程求解與根軌跡繪制04152024/3/26對(duì)于一般形式的一元二次方程，可以使用求根公式進(jìn)行求解。公式法通過配方將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，進(jìn)而求解。配方法將一元二次方程進(jìn)行因式分解，得到兩個(gè)一元一次方程進(jìn)行求解。因式分解法一元二次方程求解方法回顧162024/3/26

高次方程根軌跡繪制技巧根軌跡定義闡述根軌跡的概念及其在高次方程求解中的應(yīng)用。繪制步驟介紹根軌跡繪制的具體步驟，包括確定參數(shù)范圍、計(jì)算特征方程、繪制根軌跡等。關(guān)鍵點(diǎn)處理講解在根軌跡繪制過程中如何處理關(guān)鍵點(diǎn)，如起點(diǎn)、終點(diǎn)、與虛軸的交點(diǎn)等。172024/3/26介紹如何建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，包括傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程等。控制系統(tǒng)模型建立闡述控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及判據(jù)，如勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)等。穩(wěn)定性判據(jù)通過具體案例，演示如何應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義及根軌跡繪制技巧來判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。案例分析案例分析：控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷182024/3/26極坐標(biāo)形式下復(fù)數(shù)幾何意義05192024/3/26對(duì)于任意復(fù)數(shù)$z=a+bi$，其在極坐標(biāo)下的表示形式為$z=r(costheta+isintheta)$，其中$r=sqrt{a^2+b^2}$是復(fù)數(shù)的模，$theta$是輻角。極坐標(biāo)表示法$|z|=r$，表示復(fù)數(shù)$z$到原點(diǎn)的距離。模的性質(zhì)輻角$theta$是復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面上與正實(shí)軸之間的夾角，具有周期性，即$theta+2kpi$（$kinmathbb{Z}$）都表示同一個(gè)復(fù)數(shù)。輻角的性質(zhì)極坐標(biāo)表示法及其性質(zhì)202024/3/26乘法規(guī)則：設(shè)$z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$和$z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$，則$z_1\timesz_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$。極坐標(biāo)下乘法和冪運(yùn)算規(guī)則212024/3/26冪運(yùn)算規(guī)則：對(duì)于復(fù)數(shù)$z=r(costheta+isintheta)$，其$n$次冪為$z^n=r^n(cosntheta+isinntheta)$。冪運(yùn)算在極坐標(biāo)下表現(xiàn)為模的$n$次方、輻角的$n$倍。乘法運(yùn)算在極坐標(biāo)下表現(xiàn)為模相乘、輻角相加。極坐標(biāo)下乘法和冪運(yùn)算規(guī)則222024/3/26信號(hào)調(diào)制與解調(diào)在通信系統(tǒng)中，信號(hào)經(jīng)常需要在極坐標(biāo)下進(jìn)行調(diào)制和解調(diào)。例如，QAM（QuadratureAmplitudeModulation，正交幅度調(diào)制）就是一種在極坐標(biāo)下對(duì)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制的方法。頻譜分析在信號(hào)處理中，經(jīng)常需要將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域進(jìn)行分析。傅里葉變換就是一種將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域的方法，而在頻域中，信號(hào)的表示形式就是極坐標(biāo)下的復(fù)數(shù)。控制系統(tǒng)分析在控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能分析經(jīng)常需要在復(fù)平面上進(jìn)行。極坐標(biāo)下的復(fù)數(shù)表示法可以方便地描述系統(tǒng)在復(fù)平面上的位置和特性。極坐標(biāo)在信號(hào)處理中應(yīng)用232024/3/26總結(jié)回顧與拓展延伸06242024/3/26復(fù)數(shù)的定義與表示復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部組成，形如$z=a+bi$，其中$a,b$為實(shí)數(shù)，$i$為虛數(shù)單位，滿足$i^2=-1$。復(fù)數(shù)的模與輻角復(fù)數(shù)的模定義為$|z|=sqrt{a^2+b^2}$，輻角$theta$是復(fù)數(shù)向量與正實(shí)軸之間的夾角，滿足$tantheta=frac{a}$。復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法、除法及其性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等。復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)平面是一個(gè)二維平面，其中橫軸表示實(shí)部，縱軸表示虛部。復(fù)數(shù)$z=a+bi$在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)于點(diǎn)$(a,b)$。關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧252024/3/26四元數(shù)與四維空間四元數(shù)是復(fù)數(shù)在四維空間中的擴(kuò)展，形如$q=w+xi+yj+zk$，其中$w,x,y,z$為實(shí)數(shù)，$i,j,k$為三個(gè)虛數(shù)單位，滿足特定的乘法規(guī)則。四元數(shù)可以看作是在四維空間中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)向量。與復(fù)數(shù)