矩陣線性方程組

第二章線性方程組的解

高斯消元法通知：11月15日的課換到11月5日上午上課時間不變，地址：東2-201教室；下午上課時間不變，地址：東2-103教室我們以往求解方程組，方程個數(shù)與未知量的個數(shù)總相等，但實際問題中，兩者不一定相等。求解方程組的方法通常是消元法，即高斯消元法。求解過程中，實際上利用了三種行初等變換，并且總是詳細(xì)地寫出方程組。行初等變換保證了方程組總是同解的，但每一步都詳細(xì)地寫出方程組則是不必要的。早在漢朝的《九章算術(shù)》實際上就用了增廣矩陣初等變換法，這正是本章要論述的。下面我們討論一般線性方程組.n個未知量的線性方程組的一般形式為：其中未知量第i個方程第j個未知量xj的系數(shù)常數(shù)項全為0齊次線性方程組否則為非齊次線性方程組上述線性方程組表示成矩陣形式為系數(shù)矩陣未知量列向量常數(shù)項列向量問題：(1)方程組是否有解?(2)如果有解,它有多少解?如何求出它的所有解?為增廣矩陣

高斯消元法就是對方程組作初等行變換,等價于上述矩陣方程左乘初等矩陣，由于

初等矩陣的可逆性，這是一個同解過程。

實際上是對增廣矩陣作初等行變換的過程。例1解線性方程組解初等行變換

因此

例2解線性方程組解初等行變換以A1的非零行為增廣矩陣的線性方程組為可以看出,每給定x2一個值,唯一的求出x1,x3的一組值,而x2可取任意實數(shù),所以方程組有無數(shù)解.自由未知量那么這個解的幾何意義是什么呢？每一個方程都表示三維空間中的一張平面，取兩張平面的交集，就是一條直線。所以，方程組的解表示一條直線上的所有點，因此，解有無數(shù)個。方程組的所有解可表示為:自由未知量例3解線性方程組解初等行變換以為增廣矩陣的線性方程組的最后一個方程為0=1這是一個矛盾方程,因此原方程組無解.

綜上所述,線性方程組的解有三種可能的情況:唯一解,無解,無窮多解.

一般地，給出線性方程組Ax=b，用初等行變換和列互換把其增廣矩陣化為階梯形矩陣.r(A)=r其中思考題：為何列互換可以，但是其余的兩種列變換卻不可以？提示：1，從方程組的等價性考慮，作其余兩種列變換是否改變了方程組；2，作列互換的時候，方程組形式上發(fā)生了改變，但是本質(zhì)上沒有發(fā)生變化。不過需要注意什么？1，當(dāng)dr+1=0且r=n時，此時，不失一般性，未知量編號仍按原次序，則方程組有以下唯一解：此時，易寫出與之對應(yīng)的方程組。不過由于進(jìn)行了列互換，對應(yīng)方程組中的未知量編號次序會有差別，但方程組仍然同解。顯然，方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)

r(A)=r()

。下分幾種情況討論.r(A)=r()=n。2，若dr+1=0,且r＜n時,此時對應(yīng)的方程組為＜n

移項可得

其中是自由未知量,共有(n-r)個,當(dāng)這(n-r)個自由未知量取不同的值時,就得到方程組Ax=b

不同的解.若令其中為任意實數(shù),則方程組Ax=b

有無窮多解,這些解的全體，即通解可表為.此時，

綜上,可得如下定理(線性方程組有解的判定定理)線性方程組Ax=b有解的充要條件是當(dāng)＜n時,方程組有無窮多解;當(dāng)＝n時,方程組有唯一解;當(dāng)時，無解.3，若dr+1≠0,方程組中出現(xiàn)矛盾，故無解。推論1齊次線性方程組Ax=0一定有零解;如果r(A)=n,則只有零解;它有非零解的充分必要條件是r(A)＜n.

推論2若齊次線性方程組Ax=0中方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù),即m＜n

,則它必有非零解;若m=n,則它有非零解的充要條件是|A|=0.例4解齊次線性方程組解對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為最簡形:r2-2r1r3-r1r3-r2r2÷

(-3)

r1-2r2由最簡形矩陣得原方程組的同解方程組為由此可得x3,x4為自由未知量,可取任意實數(shù).令x3=c1,,x4=c2,寫成向量形式為：例5解齊次線性方程組解對增廣矩陣A施行初等行變換r2-3r1r3-2r1r3-r2r(A)=2,r(B)=3,故方程組無解.例6設(shè)有線性方程組問λ取何值時,此方程組(1)有唯一解;(2)無解;(3)有無窮多解?并在有無窮多解時求其通解.解(1)當(dāng)λ≠0且λ≠3時,r(A)=r(B)=3,有唯一解.(2)當(dāng)λ=0時,r(A)=1,r(B)=2,方程組無解.(3)當(dāng)λ=-3時,r(A)=r(B)=2＜3,有無窮多解.當(dāng)λ=-3時由此可得通解(x3為自由未知量)注本例中矩陣A是一個含參數(shù)的矩陣,由于λ+1,λ+3

等因子可以等于0,故不宜做諸如這樣的變換.如果作了這種變換,則需對λ+1=0(或λ+3=0