有限元網(wǎng)格劃分

本文討論了有限元網(wǎng)格的重要概念，包括單元的分類、有限元誤差的分類與影響因素;并討論分析結(jié)果的收斂性控制方法，并由實例說明了網(wǎng)格質(zhì)量及收斂性對取得準確分析結(jié)果的重要性。同時討論了一些重要網(wǎng)格控制的建議及其他網(wǎng)格設定的說明。一、根本有限元網(wǎng)格概念1.單元概述幾何體劃分網(wǎng)格之前需要確定單元類型。單元類型的選擇應該根據(jù)分析類型、形狀特征、計算數(shù)據(jù)特點、精度要求和計算的硬件條件等因素綜合考慮。為適應特殊的分析對象和邊界條件，一些問題需要采用多種單元進行組合建模。2.單元分類選擇單元首先需要明確單元的類型，在結(jié)構(gòu)有限元分析中主要有以下一些單元類型：平面應力單元、平面應變單元、軸對稱實體單元、空間實體單元、板單元、殼單元、軸對稱殼單元、桿單元、梁單元、彈簧單元、間隙單元、質(zhì)量單元、摩擦單元、剛體單元和約束單元等。根據(jù)不同的分類方法，上述單元可以分成以下不同的形式。3.按照維度進行單元分類根據(jù)單元的維數(shù)特征，單元可以分為一維單元、二維單元和三維單元。一維單元的網(wǎng)格為一條直線或者曲線。直線表示由兩個節(jié)點確定的線性單元。曲線代表由兩個以上的節(jié)點確定的高次單元，或者由具有確定形狀的線性單元。桿單元、梁單元和軸對稱殼單元屬于一維單元，如圖1～圖3所示。二維單元的網(wǎng)格是一個平面或者曲面，它沒有厚度方向的尺寸。這類單元包括平面單元、軸對稱實體單元、板單元、殼單元和復合材料殼單元等，如圖4所示。二維單元的形狀通常具有三角形和四邊形兩種，在使用自動網(wǎng)格剖分時，這類單元要求的幾何形狀是外表模型或者實體模型的邊界面。采用薄殼單元通常具有相當好的計算效率。三維單元的網(wǎng)格具有空間三個方向的尺寸，其形狀具有四面體、五面體和六面體，這類單元包括空間實體單元和厚殼單元，如圖5所示。在自動網(wǎng)格劃分時，它要求的是幾何模型是實體模型(厚殼單元是曲面也可以)。4.按照插值函數(shù)進行單元分類根據(jù)單元插值函數(shù)多項式的最高階數(shù)多少，單元可以分為線性單元、二次單元、三次單元和更高次的單元。線性單元具有線性形式的插值函數(shù)，其網(wǎng)格通常只具有角節(jié)點而無邊節(jié)點，網(wǎng)格邊界為直線或者平面。這類單元的優(yōu)點是節(jié)點數(shù)量少，在精度要求不高或者結(jié)果數(shù)據(jù)梯度不太大的情況下，采用線性單元可以得到較小的模型規(guī)模。但是由于單元位移函數(shù)是線性的，單元內(nèi)的位移呈線性變化，而應力是常數(shù)，因此會造成單元間的應力不連續(xù)，單元邊界上存在著應力突變，如圖6所示。二次單元的插值函數(shù)是二次多項式，其網(wǎng)格不僅在每個頂點處有角節(jié)點，而且在棱邊上還存在一個邊節(jié)點，因此網(wǎng)格邊界可以是二次曲線或者曲面。這類單元的優(yōu)點是幾何和物理離散精度較高，單元內(nèi)的位移呈二次變化，應力呈線性變化，因此單元邊界上的應力是連續(xù)的。但是在單元數(shù)量相同的條件下二次單元的節(jié)點數(shù)比線性單元的節(jié)點數(shù)多，模型的規(guī)模較大，如圖7和圖8所示。三次單元的插值函數(shù)是三次多項式，其網(wǎng)格的每條邊上存在兩個節(jié)點，有些三次單元還具有內(nèi)部節(jié)點。這類單元的離散精度更高，但是由于單元節(jié)點數(shù)較多，網(wǎng)格劃分較為困難，模型規(guī)模很大，一般用于具有特殊精度要求的場合，如圖9所示。對于一階和二階單元，我們通常也稱其為H單元。三階及以上的單元，我們也稱其為P單元，高階次的P單元可以更好地擬合變形形狀，特別對于曲率或者應力梯度變化較大的區(qū)域會較為真實的模擬，但會比H-單元有較多的運算量，如圖10所示。5.結(jié)構(gòu)單元與非結(jié)構(gòu)單元根據(jù)單元能否離散成實際結(jié)構(gòu)，可以將單元分為結(jié)構(gòu)單元和非結(jié)構(gòu)單元。能離散成實際結(jié)構(gòu)的稱為結(jié)構(gòu)單元，如軸對稱單元離散軸對稱結(jié)構(gòu)，桿、梁單元用于離散桿件結(jié)構(gòu)，實體單元用于離散空間結(jié)構(gòu)等，這些單元都屬于結(jié)構(gòu)單元。除此之外，還有一類單元并不用于實際結(jié)構(gòu)的離散，而是在模型中模擬一些特殊的結(jié)構(gòu)和邊界條件，如質(zhì)量單元用于實際的物體質(zhì)量效應，彈簧和阻尼單元用于模擬結(jié)構(gòu)的彈性支承和減振吸能部件，間隙和接觸單元用于結(jié)構(gòu)之間的相互接觸作用，螺栓預緊力單元用于模擬螺栓的預緊力，剛體單元用于模擬節(jié)點之間的剛性連接等，這些單元稱為非結(jié)構(gòu)單元。由于非結(jié)構(gòu)單元非常抽象，使用起來有一定的難度，在設計仿真一體化分析里面通常會將其工程化，幫助使用者淡化其力學概念。6.節(jié)點和單元的重要力學概念針對前述的單元分類，此處要澄清關于節(jié)點和單元的一些非常有用的總結(jié)性概念?！蛴邢拊治鍪紫扔嬎愎?jié)點的位移量，接著再推算其對應單元的應變值，再計算積分點的應力。因此位移的準確性高于應變、應變高于應力;◎當結(jié)構(gòu)靜力平衡時計算變形的單元是求得準確有限元分析結(jié)果的關鍵，因此線性計算中單元不可以變形過大，否那么會造成求解失敗;◎網(wǎng)格質(zhì)量概括來說，初始網(wǎng)格必須可呈現(xiàn)初始模型的幾何形狀，而且要足夠“彈性”以符合靜力平衡后的變形幾何形狀;◎在預計會有應力梯度變化劇烈的位置上，為預測其準確變形情況，細小特征幾何必須要更精確符合，以利于準確計算這些位置上的應力值;◎在理想曲率邊線與網(wǎng)格曲率邊線之間的差距稱之為離散誤差。二、有限元誤差分析1.有限元誤差有限元的誤差主要來自兩個方面，一是模型誤差，一是計算誤差。模型誤差是指將實際工程問題抽象為適合計算機求解的有限元模型時所產(chǎn)生的誤差，即有限元模型和實際問題之間的差異。它包括有限元離散處理所固有的原理性誤差，也可能包括幾何模型處理、實際工況轉(zhuǎn)化為模型邊界條件時所帶來的偶然性誤差。計算誤差是指采用數(shù)值方法對有限元模型進行計算所產(chǎn)生的誤差，誤差的性質(zhì)是舍入誤差和截斷誤差。模型誤差包含離散誤差、邊界條件誤差和單元形狀誤差，離散誤差包含物理離散誤差和幾何離散誤差。2.離散誤差物理離散誤差是插值函數(shù)和真實函數(shù)之間的差異，其大小與單元尺寸和插值多項式的階次有關，單元尺寸減小也就是網(wǎng)格劃分越密，插值函數(shù)的階次增加，將使有限元的解收斂于精確解。幾何離散誤差是指離散后的幾何體與原有幾何形狀上的差異。對于由直線或者平面邊界構(gòu)成的規(guī)那么結(jié)構(gòu)，這類誤差較小。對于具有復雜曲線或者曲面邊界構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，離散后會產(chǎn)生較大的形狀誤差。本文下面通過SolidWorksSimulation來詳細討論物理離散誤差與幾何離散誤差的具體操作細節(jié)。三、收斂性及自動收斂方法一般而言，網(wǎng)格擁有較多的單元，可得到較準確的結(jié)果。會有更多的節(jié)點可供計算，所以結(jié)果會較準確。較多的單元也就表示單元大小較小，所以物理離散誤差可減小。實際分析上也有極限，在收斂性分析過程中網(wǎng)格尺寸一再縮減也不一定會對精確結(jié)果有幫助。對一給定的幾何而言，要到達收斂性的網(wǎng)格會與外部負載條件及邊界約束條件有關(見圖11)。在線性靜態(tài)分析中，載荷大小不是收斂性的系數(shù)。下面以SolidWorksSimulation的收斂性為例簡單介紹收斂性的處理方法和技巧。SolidWorksSimulation提供三種收斂性的技術(shù)。包括有手動控制收斂性和軟件自動控制收斂性技術(shù)。其中自動控制收斂性的方法我們也稱之為自適應方法，如圖12所示，包括自動H自適應方法(H-adaptive)、自動P自適應方法(P-adaptive)。1.自動H自適應方法(H-adaptive)H方法的本質(zhì)就是根據(jù)應力梯度的變化情況自動在應力梯度大的地方，根據(jù)預先規(guī)定的收斂準那么，重新自動剖分網(wǎng)格，進行自動加密(見圖13，原始網(wǎng)格與H自適應網(wǎng)格結(jié)果)。SolidWorksSimulation的H方法具有以下特性。1)適用于實體零件及裝配體(僅支持實體單元)的靜態(tài)分析研究;2)在應變能誤差較高的區(qū)域使用較小網(wǎng)格尺寸;3)可以在應變能誤差較低區(qū)域網(wǎng)格粗化(加大網(wǎng)格尺寸)，便于在后面的優(yōu)化計算中降低計算規(guī)模，大大提高優(yōu)化效率;4)目標精度定義應變能量密度范數(shù)的精度等級默認值是98%，此處可以調(diào)整能量密度范數(shù)的精度等級，一般情況下默認的精度可以到達分析的要求;5)精度偏差設置(見圖13);◎精度偏差設置有局部(本地)和全局(整體);◎滑動桿朝局部移動，指示程序以較少的單元取得精確的峰值應力結(jié)果;◎滑動桿朝全局移動，指示程序取得整體零件剛度精確的結(jié)果，而不是應力結(jié)果。6)假設不確定，保持默認值即可;7)網(wǎng)格粗糙化的目的是對應力梯度變化不大的區(qū)域，加大此處的單元尺寸，可以使用較小的網(wǎng)格得到較好的結(jié)果，同時也便于后繼的優(yōu)化求解。圖14展示了某機械零件，采用一階單元不同單元大小，并采用自適應方法進行分析。方案1采用平均單元大小13.6mm進行網(wǎng)格劃分，然后采用H自適應網(wǎng)格劃分，此時得到的最大應力點的應力是44MPa。方案2采用平均單元大小為3.4mm進行網(wǎng)格劃分，然后采用H自適應網(wǎng)格劃分，此時得到的最大應力點的應力是75.6MPa。兩者之間有42%的差異。說明采用線性單元，使用H方法得不到準確的結(jié)果。同樣的模型，不做任何修改采用二階單元進行網(wǎng)格劃分，如圖15所示，然后采用H方法，得到的應力誤差小于3%，說明采用較大的全局二階單元，然后采用H方法可以得到相當準確的應力結(jié)果。2.自動P自適應方法(P-adaptive)P方法的本質(zhì)就是根據(jù)約束條件(如應變能)的變化情況自動在約束條件大的地方，根據(jù)預先規(guī)定的收斂準那么，調(diào)整該處的單元形函數(shù)的階次，在單元大小不變的情況下提高單元內(nèi)部應力的精確性(見圖16)。SolidWorksSimulation的P方法具有以下特性。1)適用于實體零件及裝配體的靜態(tài)分析研究，但裝配體僅支持結(jié)合方式，不可以有其他接觸存在;2)收斂準那么有總應變能、均方根合位移、均方根vonMises應力;3)默認收斂準那么是總應變能，均方根合位移及vonMises應力準那么并不常用;4)默認的設定通常就足夠，由于系統(tǒng)通常會提前滿足設定精度，因此最大p-order及最大循環(huán)數(shù)很少用到;5)開始p-階序起始于2，設為1會報錯;6)必須使用二階單元為初始網(wǎng)格;◎一般而言初始的網(wǎng)格尺寸影響很小(見圖17);◎Jacobian(雅可比檢查)對誤差有較大的影響，在局部位置無法反應結(jié)果。建議將Jacobian檢查設定在節(jié)點(見圖18)。四、手動收斂性檢查1.相對收斂性檢查在大多數(shù)復雜情況下很難通過自適應方法得到好的結(jié)果，必須通過相對收斂性檢查得到收斂的結(jié)果(見圖19)，其操作步驟如下。1)執(zhí)行多個分析研究，逐步調(diào)整加密網(wǎng)格，檢查應力值的變化情形;2)每次以2:1比例調(diào)整加細網(wǎng)格尺寸;3)如果局部網(wǎng)格尺寸遠小于整體網(wǎng)格尺寸，要留意扭曲失真的情況。2.等值線質(zhì)量檢查(見圖20)1)應力等值線應該和連續(xù)幾何體一樣連續(xù)，使用不連續(xù)選項可以更清楚看到不連續(xù)的結(jié)果，如果幾何體光滑連續(xù)而結(jié)果呈鋸齒狀，說明此處結(jié)果不好，需要加密網(wǎng)格或提高網(wǎng)格質(zhì)量;2)沒有一個收斂的絕對測試標準，但是可以顯示區(qū)域檢查;3)顯示帶有結(jié)果的單元結(jié)果可以顯示他們?nèi)绾斡绊懡Y(jié)果。3.誤差估算方法1：能量范數(shù)值(見圖21)1)ERR能量范數(shù)誤差繪圖可以顯示出相鄰元素之應力值差異，理論上要愈小愈好;2)并非絕對是收斂性測試方法，但會顯示出要特別注意的高誤差區(qū)域;3)最正確的應用方式是在比擬不同的設計過程。如果在某個區(qū)域的誤差估算已經(jīng)調(diào)整至最正確狀況并維持一致，其分析結(jié)果的比擬應該較具有實際意義。4.誤差估算方法2：節(jié)點和單元應力值比擬(見圖22)1)節(jié)點解是臨近單元的節(jié)點應力的平均值;2)單元解是每個單元所有節(jié)點應力的平均值;3)評定標準，理論上節(jié)點和單元應力值應該有較小的差異;4)一般情況下，節(jié)點應力和單元應力的誤差不允許超過5%。五、手動收斂性控制和自動收斂性總結(jié)及建