2024年中考數(shù)學總復習第四章《三角形》第一節(jié)：線段 角 相交線與平行線（附答案解析）

2024年中考數(shù)學總復習第四章《三角形》第一節(jié):線段角相

交線與平行線

★解讀課標★--------------熟悉課標要求，精準把握考點

1.掌握五個基本事實；

2.會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義；

3.理解角的概念，能比較角的大小.認識度、分、秒，會對度、分、秒進行簡單的換算，

并會計算角的和、差；

4.理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角（等角）的余角相等、同

角（等角）的補角相等的性質(zhì)；識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；

5.理解垂線、垂線段的概念，能用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；

6.理解平行線的概念；掌握平行線的性質(zhì)定理;探索并證明平行線的判定定理和性質(zhì)定理；

7.了解平行于同一條直線的兩條直線平行；

8.通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義.結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條

件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念.會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命

題不一定成立；

9.了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的.通過實例體會反證法的含

義.

★中考預測★--------------統(tǒng)計考題頻次，把握中考方向

該版塊內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，是非?；A(chǔ)也是非常重要的，年年都會考查，分值為8分左

右，預計2024年各地中考還將出現(xiàn)，大部分地區(qū)在選填題中考察可能性較大，主要考察平

行線的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性

質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學生能力，比如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類題

目有一定難度，需要學生靈活掌握。

★聚焦考點★-------------直擊中考考點，落實核心素養(yǎng)

考點講解

直線的性質(zhì)1.兩條直線相交，只有一個交點；

2.經(jīng)過兩點有且只有一條直線，即兩點確定一條直線；

3.直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線.

線段的性質(zhì)兩點確定一條直線，兩點之間，線段最短，兩點間線段的長度叫兩點間的

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距離.

線段的中點性

若C是線段AB中點，則AOBC=LAB；AB=2AC=2BC.

質(zhì)2

兩條直線的位在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：平行和相交.

置關(guān)系

垂線的性質(zhì)1.兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂

直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線；

2.①經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點與直線上

各點連接的所有線段中，垂線段最短.

點到直線的距從直線外一點向已知直線作垂線，這一點和垂足之間線段的長度叫做點到

離直線的距離.

角有公共端點的兩條射線組成的圖形.

角平分線1.定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射

線.

2.角平分線的性質(zhì)：①若0C是NAOB的平分線，則/AOC=NBOC=，ZAOB,

2

ZA0B=2ZA0C=2ZB0C.②角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

度、分、秒的運1°=60',1'=60",10=3600”.

算方法1周角=2平角=4直角=360°.

余角和補角1.余角：/l+N2=90°Q/1與/2互為余角；

2.補角：Z1+Z2-1800oNl與22互為補角.

3.性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等.

方向角和方位在描述方位角時，一般應(yīng)先說北或南，再說偏西或偏東多少度，而不說成

角東偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度.當方向角在45°方向上時，

又常常說成東南、東北、西南、西北方向.

三線八角1.直線a,b被直線1所截，構(gòu)成八個角（如圖）.

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N1和N5,N4和48,N2和/6,N3和N7是同位角；N2和N8,Z3

和/5是內(nèi)錯角；/5和N2,N3和/8是同旁內(nèi)角.

2.除了基本模型外，我們還經(jīng)常會遇到稍難一些的平行線加折線模型，主

要是下面兩類：

4____________BAB

CQ）。C（2）0

ABAB

0^^-.EF-------------

C

C（1）D⑵口

做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，

如上圖：

對頂角1.定義：兩個角有一個公共的頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的

兩邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為對頂角.

2.性質(zhì)：對頂角相等.但相等的角不一定是對頂角.

平行線1.定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

2.平行線的判定

（1）同位角相等，兩直線平行.（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行.（3）

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

（4）平行于同一直線的兩直線互相平行.（5）垂直于同一直線的兩直線

互相平行.

3.平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等.（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等.（3）

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

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4.平行線間的距離

(1)定義：同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長

度，叫做這兩條平行線的距離.

(2)性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相

等.

★方法導引★總結(jié)思想方法，提升解題效率

1.在解答有關(guān)線段的計算問題時，一般要注意以下幾個方面：

①按照己知條件畫出圖形是正確解題的關(guān)鍵；

②觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系；

③簡單的問題可通過列算式求出，復雜的問題可設(shè)未知數(shù)，利用方程解決.

2.角平分線必須同時滿足三個條件：①是從角的頂點引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已

知角平分.

3.類似地，也有角的n等分線，如三等分線，如圖，Z1=Z2=Z3=-ZAODWcZA0D=3Zl=3

3

Z2=3Z3.

4.識別對頂角時，要抓住兩個關(guān)鍵要素：一是頂點，二是邊.先看兩個角是否有公共頂點，

再看兩個角的兩邊是否分別互為反向延長線.兩條直線相交形成兩對對頂角.

5.互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定是鄰補角；一個角的鄰補角有兩

個，但一個角的補角可以有很多個.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學法

考點01直線、射線、線段相關(guān)概念和性質(zhì)

1.(2022?柳州)如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是

()

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【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；數(shù)感.

【分析】應(yīng)用兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所

有的線中，線段最短.進行判定即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意可得，

從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是②.

故選:B.

【點評】本題主要考查了線段的性質(zhì)，熟練掌握線段的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2022?揚州一模）如圖，A,B兩地間修建彎曲的路與修建直路相比，雖然有利于游人

更好地觀賞風光，但增加了路程.其中蘊含的數(shù)學道理是（）

A.經(jīng)過一點可以作無數(shù)條直線

B.兩點之間，線段最短

C.兩點之間，有若干種連接方式

D.經(jīng)過兩點有且只有一條直線

【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；應(yīng)用意識.

【分析】利用兩點之間線段最短進而分析得出答案.

【解答】解：A,B兩地間修建曲路與修建直路相比，雖然有利于游人更好地觀賞風光,

但增加了路程的長度.其中蘊含的數(shù)學道理是兩點之間，線段最短，

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故選：B.

【點評】此題主要考查了兩點之間線段最短，正確將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識是解題關(guān)

鍵.

3.（2022?博山區(qū)一模）下列語句正確的是（）

A.延長射線AB

B.線段MN叫做點M,N間的距離

C.兩點之間，直線最短

D.直線a,b相交于點P

【考點】兩點間的距離；直線、射線、線段；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】A.根據(jù)射線的定義進行判定即可得出答案；

B.根據(jù)兩點間的距離定義進行判定即可得出答案；

C.根據(jù)線段的性質(zhì)進行判定即可得出答案；

D.根據(jù)直線的定義進行判定即可得出答案.

【解答】解：A.因為射線AB由端點A向另一端無線延伸，所以A選項說法不正確，故A

選項不符合題意；

B.因為連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.所以B選項說法不正確，故B選項不

符合題意；

C.因為兩點之間，線段最短，所以C選項說法不正確，故C選項不符合題意；

D.直線a,b相交于點P,D選項說法正確，故D選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了兩點間的距離，射線的定義，線段的性質(zhì)，熟練掌握兩點間的

距離，射線的定義，線段的性質(zhì)進行判定是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2022?西藏）如圖，Nl=38°,N2=46°,則N3的度數(shù)為（）

C.96°D.134°

【考點】平行線的性質(zhì).

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【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解即可.

【解答】解：

.,.Zl+Z3+Z2=180°,

VZ1=38°,Z2=46°,

；.N3=96°,

故選：C.

【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?儀征市一模）下列三個日常現(xiàn)象：

③木條固定

其中，可以用“兩點之間線段最短”來解釋的是（）

A.①B.②C.③D.②③

【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；應(yīng)用意識.

【分析】利用線段的性質(zhì)進行解答即可.

【解答】解：圖①利用垂線段最短；

圖②利用兩點之間線段最短；

圖③利用兩點確定一條直線；

故選：B.

【點評】此題主要考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直線、線段和垂線的性質(zhì).

6.（2022?桂林）如圖，點C是線段AB的中點，若AC=2cm,則AB=2cm.

ACB

【考點】兩點間的距離.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)中點的定義可得AB=2AC=4cm.

【解答】解：根據(jù)中點的定義可得：AB=2AC=2X2=4cm,

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故答案為：4.

【點評】本題主要考查中點的定義，熟知中點的定義是解題關(guān)鍵.

由A到B的四條路線中，最短的路線是（)

C.③D.④

【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案.

【解答】解：：兩點之間線段最短，

???由A到B的四條路線中，最短的路線是③，

故選：C.

【點評】本題考查了線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短，掌握兩點之間線段最短是解題的

關(guān)鍵.

★變式訓練★--------------深挖數(shù)學思想，揭示內(nèi)涵實質(zhì)

1.（2022?威縣校級模擬）如圖，經(jīng)過直線a外一點0的4條直線中，與直線a相交的直線

至少有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【考點】直線、射線、線段.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行得出即可.

【解答】解：根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出如果有和直

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線a平行的，只能是一條，

即與直線a相交的直線至少有3條，

故選：C.

【點評】本題考查了平行公理及推論，注意：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知

直線平行.

2.（2022?景縣校級模擬）如圖，A,B兩點之間的距離指的是（）

B.線段AC與線段BC的長度之和

C.線段AB的長度

1）.線段BC與線段AC的長度之差

【考點】兩點間的距離.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)兩點間的距離的定義得出即可.

【解答】解：A,B兩點間的距離指的是線段AB的長度，

故選：C.

【點評】本題考查了兩點間的距離的定義，能熟記兩點間的距離的定義是解此題的關(guān)鍵.

3.（2022?灤南縣二模）如圖，小紅將三角形紙片沿虛線剪去一個角，發(fā)現(xiàn)剩下的四邊形紙

片的周長小于原三角形紙片的周長，下列語句能正確解釋這一現(xiàn)象的是（）

A.四邊形的周長小于三角形周長

B.兩點確定一條直線

C.折線比線段長

D.兩點之間，線段最短

【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)兩點之間，線段最短進行解答.

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【解答】解：將三角形紙片沿虛線剪去一個角，發(fā)現(xiàn)剩下的四邊形紙片的周長小于原三

角形紙片的周長，正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是：兩點之間，線段最短.

故選：D.

【點評】此題主要考查了線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩點之間，線段最短的知識點.

4.（2022?石家莊模擬）星期日，小麗從家到書店購買復習資料，已知從家到書店有四條路

線，由上到下依次記為路線L、L、k、"，如圖所示，則從家到書店的最短路線是（）

書店

14

A.11B.I2C.I3D.I」

【考點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案.

【解答】解：???兩點之間線段最短，

從家到書店的最短路線是12,

故選：B.

【點評】本題考查了線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短，掌握兩點之間線段最短是解題的

關(guān)鍵.

5.（2022?雙遼市一模）如圖，建筑工人在砌墻時，經(jīng)常用細線繩在墻的兩端之間拉一條直

的參照線，這樣做的依據(jù)是兩點確定一條直線.

【考點】直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】由直線公理可直接得出答案.

【解答】解：建筑工人在砌墻時，經(jīng)常用細線繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使壘的

每一層磚在一條直線上，沿著這條線就可以砌出直的墻，則其中的道理是：兩點確定一

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條直線.

故答案為：兩點確定一條直線.

【點評】本題主要考查的是直線的性質(zhì)，掌握直線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.(2022?柳城縣一模)如圖，點D是線段AB的中點，C是線段AD的中點，若AB=8cm,

則線段CD=2cm.

ACDB

【考點】兩點間的距離.

【分析】先根據(jù)點D是線段AB的中點，AB=8cm求出線段AD的長，再根據(jù)C是線段AD

的中點即可求出線段CD的長.

【解答】解：???點D是線段AB的中點，AB=8cm,

.?.AD—AB=Lx8=4cm,

22

是線段AD的中點

.?.CD=2AD=Lx4=2cm.

22

故答案為：2.

【點評】本題考查的是兩點間距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的

關(guān)鍵.

7.(2022?銅仁市模擬)在直線1上有A、B、C三點，AB=8cm,BC=3cm,則AC的長為5cm

或11cm.

【考點】兩點間的距離.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)題意可分為當點C在點B右側(cè)時和當點C在點B左側(cè)時兩種情況進行討論，

并根據(jù)線段之間的和差關(guān)系進行求解即可.

【解答】解：當A、B、C的位置如圖1所示時，

VAB=8cm,BC=3cm,

???BC=AB-BC=5(cm)；

當A、B、C的位置如圖2所示時，

BC=AB+BC=8+3=11(cm).

故答案為：5cm或11cm.

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II_____I_J_____________________I______I

ACBABC

圖1圖2

【點評】本題考查的是兩點間的距離.解答此題時要注意分類討論.

8.(2022?宣州區(qū)校級一模)如圖所示，己知C、D是線段AB上的兩個點，點M、N分別為

AC,BD的中點.

MCDyB

(1)若AB=16cm,CD=6cm,求AC+BD的長和M,N的距離；

(2)如果AB=m,CD=n,用含m,n的式子表示MN的長.

【考點】兩點間的距離.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)AC+BD=AB-CD列式進行計算即可求解，根據(jù)中點定義求出AM+BN的

長度，再根據(jù)MN=AB-(AM+BN)代入數(shù)據(jù)進行計算即可求解；

(2)根據(jù)(1)的求解，把AB、CD的長度換成m,n即可

【解答】解：(1)VAB=16cni,CD=6cm,

.,.AC+BD=AB-CD=10cm,

AMN=AB-(AM+BN)=AB-▲(AC+BD)=16-5=11(cm)；

2

(2)；AB=m,CD=n,

/.AC+BD=AB-CD=m-n,

；.MN=AB-(AM+BN)=AB-工(AC+BD)=m-工(m-n)

222

【點評】本題考查了兩點間的距離，中點的定義，結(jié)合圖形找準線段之間的關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學法

考點02角相關(guān)概念和性質(zhì)

1.(2022?北京)如圖，利用工具測量角，則/I的大小為()

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120°D.150°

【考點】對頂角、鄰補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)，可得：Nl=30°,

故選：A.

【點評】本題主要考查了對頂角，熟練掌握對頂角相等是解答本題關(guān)鍵.

2.（2022?息縣二模）如圖，在0點的觀測站測得漁船A位于東北方向，漁船B位于南偏西

30°方向,為了減少相互干擾并取得較好的捕魚效益，漁船C恰好位于NA0B的平分線上,

則漁船C相對觀測站0的方向為（）

B.南偏東37.5°

C.南偏東53.5。D.南偏東82.5°

【考點】方向角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運算能力.

【分析】根據(jù)方位角和角的平分線的定義,分別計算出NAOB,ZAOC,ZBOC,NCOS即

可.

【解答】解：由題意得，ZA0N=ZA0E=45°,ZB0S=30°,

AZAOB=ZAOE+ZEOS+ZSOB=45°+90°+30°=165°,

：0C平分NAOB,

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ZA0C=ZB0C=AZA0B=82.5°,

2

AZCOS=ZBOC-ZB0S=82.5°-30°=52.5°,

即C在0的南偏東52.5°,

故選：A.

【點評】本題考查方位角，理解方位角、角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系是正

確解答的前提.

3.（2022?邯鄲二模）如圖，甲、乙兩艘貨船同時以相同的速度從海港C出發(fā)，甲貨船沿南

偏西45。方向，乙貨船沿南偏西15°方向，某一時刻，兩艘貨船分別達到A,B兩個位

置，則/A的度數(shù)是（）

B

A.85°B.75°C.70°D.65°

【考點】方向角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】理解方位角，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解.

【解答】解：由題意得：ZC=45°-15°=30°,AC=BC,

，NA=NB=L（1800-ZC）=75。，

2

故選：B.

【點評】本題考查了方位角，正確理解方位角及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?云巖區(qū)一模）已知/A=22°,則下列四個角中/A的余角是（）

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【考點】余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】計算出/A的余角為90°-22°=68°,即可得出答案.

【解答】解：；NA=22°,

；.NA的余角為90°-22°=68°.

故選：B.

【點評】本題考查余角的定義，熟練掌握余角的定義是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2022?河北二模）如圖，ZA0B=ZC0D,貝U（）

A.Z1=Z2Z1<Z2

C.Z1>Z2無法比較N1與N2的大小

【考點】角的大小比較；角的計算.

【專題】計算題；運算能力.

【分析】根據(jù)/AOB=/COD,再在等式的兩邊同時減去/BOD,即可得出答案.

【解答】解：???/AOB=NCOD,

ZAOB-ZB0D=ZC0D-ZBOD,

AZ1=Z2.

故選：A.

【點評】本題考查角的大小比較學生的推理能力、屬于容易題.

6.（2022?平桂區(qū)一模）己知NA0B=60°,ZA0C=18°,則NB0C的度數(shù)為（）

A.78°B.42°C.78°或42°D.102°或48°

【考點】角的計算.

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【專題】計算題；幾何直觀.

【分析】分類討論：當0C在/AOB的內(nèi)部時，利用NBOC=NAOB-/AOC進行計算；當

0C在NAOB的外部，利用/BOC=ZAOB+ZAOC進行計算.

【解答】解；當0C在NAOB的內(nèi)部，如圖，

AZBOC=ZAOB-ZA0C=60°-18°=42°,

當0C在/AOB的外部，如圖，

ZB0C=ZA0B+ZA0C=60°+18°=78°,

綜上所述，NB0C的度數(shù)為42°或78°,

故選：C.

【點評】本題考查角度的計算，解題關(guān)鍵是分類討論兩種情況.

7.（2022?連云港）已知NA的補角為60°,則NA=120°.

【考點】余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)補角的定義即可得出答案.

【解答】解：???NA的補角為60°,

.,.ZA=180°-60°=120°,

故答案為：120.

【點評】本題考查了余角和補角，掌握如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個

角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?玉林）已知：a=60°,則a的余角是30°.

【考點】余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

第16頁共76頁

【分析】根據(jù)如果兩個角的和等于90°,就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一

個角的余角即可得出答案.

【解答】解：90°-60°=30°,

故答案為：30.

【點評】本題考查了余角和補角，掌握如果兩個角的和等于90°,就說這兩個角互為余

角，即其中一個角是另一個角的余角是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?錢塘區(qū)二模）把下面的角度化成度的形式：98°20'42''=118.345°.

【考點】度分秒的換算.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)度分秒的進制進行計算即可解答.

【解答】解：*.T=60",

.?.42"=0.7',

...20'+0.T=20.7z,

Vl°=60',

A20.T=0.345°,

.*.118°20'42''=118.345°,

故答案為：118.345°.

【點評】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?渠縣一模）如圖，A0B是直線，0C平分/A0D,且/B0D=a°,則NB0C=90°

+_____

一2一

【考點】角平分線的定義；直線、射線、線段.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】利用角平分線的性質(zhì)得出NA0C=NC0D,進而利用角的和差關(guān)系得出答案.

【解答】解：；0C平分/AOD,NB0D=a°,

1a°

.,.ZC0D=ZA0C=^.（180°-a°）=90°-——,

22

a°a°

.\ZB0C=90o——+a°=90°+———.

22

第17頁共76頁

故答案為：90°+——.

2

【點評】此題主要考查了角平分線的定義，正確掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

★變式訓練★---------------深挖數(shù)學思想，揭示內(nèi)涵實質(zhì)

1.（2022?邯鄲模擬）如圖，NAOB的度數(shù)可能為（）

u

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考點】角的概念.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)量角器的基本使用方法，利用角的度數(shù)作差求出度數(shù).

故選：C.

【點評】本題考查「量角器的讀數(shù)方法，解題關(guān)鍵在于能夠正確讀出角度.

2.（2022?叢臺區(qū)校級模擬）如圖，NA0B的一邊0B經(jīng)過的點是（）

【考點】角的概念.

第18頁共76頁

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】把射線0B補充完整，可知0B過哪個點.

【解答】解：畫出射線0B可知，經(jīng)過點N.

故選：D.

【點評】本題考查的是點和直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是把射線0B補充完整.

3.（2022?綠園區(qū)校級模擬）如果在A處看B的方向是北偏東50°,那么在B處看A的方

向是（）

A.南偏東40°B.南偏西50°C.南偏東50°D.南偏西40°

【考點】方向角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)方向角的方向是相對的，北偏東對南偏西，可得答案.

【解答】解:如果在A處看B的方向是北偏東50。，那么在B處看A的方向是南偏西50°.

故選：B.

【點評】本題考查了方向角，解題的關(guān)鍵是能夠正確利用方向相對的關(guān)系得出答案.

4.（2022?石家莊三模）某學校在某商城的南偏西60°方向上，且距離商城1500m,則下列

第19頁共76頁

【考點】方向角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)方向角的定義，即可解答.

【解答】解：A、某商城在某學校的南偏西60°方向上，且距離商城1500m,故A不符合

題意；

B、某學校在某商城的南偏西30°方向上，且距離商城1500m,故B不符合題意；

C、某學校在某商城的南偏西60°方向上，且距離商城1500m,故C符合題意；

D、某商城在某學校的南偏西30°方向上，且距離商城1500m,故D不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?新華區(qū)校級一模）在下列各圖中，N1與N2一定是互補關(guān)系的是（）

第20頁共76頁

c.K上

【考點】余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】根據(jù)對頂角的定義可判斷A選項；根據(jù)平角及補角的定義可判斷B選項；根據(jù)

三角形內(nèi)角和定理可判斷C選項；根據(jù)同旁內(nèi)角的性質(zhì)可判斷D選項.

【解答】解：對于A選項，N1與N2為對頂角，

/.Z1=Z2,不一定是互補關(guān)系，

故A選項錯誤；

對于B選項，由平角的定義可得Nl+/2=180°,

AZI與22是互補關(guān)系，

故B選項正確；

對于C選項，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，

Zl+Z2=90°,

AZI與/2是互余關(guān)系，

故C選項錯誤；

對于D選項，N1與N2為同旁內(nèi)角，

當兩直線平行時，N1與N2互補，否則不一定互補，

故D選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查余角與補角，熟練掌握補角的定義是解答本題的關(guān)鍵.

6.（2022?東城區(qū)二模）如圖，點0在直線AB上，0C±0D.若NB0D=30°,貝IJ/A0C的大

【考點】余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

第21頁共76頁

【分析】利用互余的角的關(guān)系和鄰補角的關(guān)系進行計算即可.

【解答】解：V0C10D,

，/C0D=90°,

VZBOD=30°,

：.ZB0C=60°；

VZA0C+ZB0C=180°,

；./A0C=120°.

故選：A.

【點評】本題考查的是互余兩角、鄰補角的定義，解題關(guān)鍵是找準互余的兩角、互補的

兩角.

7.（2022?南昌模擬）如圖，AB與CD相交于點0,0E是NA0C的平分線，且0C恰好平分N

EOB,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)有（）

①NA0E=NE0C②NE0C=/COB③NA0D=ZA0E?ZD0B=2ZA0D

【考點】角平分線的定義.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)角平分線的定義得出/AOE=/COE,ZC0E=ZB0C,求出/AOE=/COE=

ZB0C,根據(jù)/A0E+/C0E+NB0C=180°求出NA0E=/COE=/B0C=60",再根據(jù)對頂

角相等求出答案即可.

【解答】解：：0E是NA0C的平分線，0C恰好平分NE0B,

.'.ZAOE=ZCOE,ZC0E=ZB0C,

.\ZA0E=ZC0E=ZB0C,

VZA0E+ZC0E+ZB0C=180o,

AZA0E=ZC0E=ZB0C=60°,

.../A0D=/B0C=60°,

...NB0D=120°,

第22頁共76頁

①②③④都正確.

故選：D.

【點評】本題考查了鄰補角、對頂角，角平分線的定義等知識點，注意：①鄰補角互補，

②從角的頂點出發(fā)的一條射線，如果把這個角分成相等的兩個角，那么這條射線叫這個

角的平分線，③對頂角相等.

8.（2022?順平縣二模）如圖，將直角NBOC的頂點放置在直線AD上，若NC0D=30°,則

/AOB=60°,圖中小于180°的角共有5個.

A

【考點】角的概念.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】根據(jù)平角的性質(zhì)把圖中每個角都求出了即可.

【解答】解：VZA0D=180°,ZB0C=90°,ZC0D=30°,

.,.ZA0B=180°-90°-30°=60°,

，NA0C=150°,NB0D=120°,

.?.圖中小于180。的角共有5個.

故答案為：60,5.

【點評】本題考查了平角的性質(zhì)及角的加減運算，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單.

9.（2022?敖漢旗一模）將一個長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若/

ABE=20°，則/CBD等于（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考點】角的計算.

【專題】計算題；線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；運算能力.

【分析】利用折疊對稱的關(guān)系，角的加減，求出NCBD的值.

【解答】解：由題意可知：ZABE=ZEBA',/A'BD=NDBC,

第23頁共76頁

VZABE=20°,

AZCBD=AZA，BC=A(180°-ZABA,)=Ax(1800-2ZABE)=Ax(180°-2

2222

X20°)=70°,

故選：c.

【點評】本題考查了角的計算，折疊對稱，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角的計算，圖形的折

疊對稱的性質(zhì).

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學法

考點03相交線與平行線

1.(2022?雅安)如圖，已知直線2〃1),直線c與a,b分別交于點A,B,若Nl=120°,

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】推理填空題；幾何直觀.

【分析】本題要注意到N1的對頂角與22同旁內(nèi)角，并且兩邊互相平行，可以考慮平行

線的性質(zhì)及對頂角相等.

【解答】解：；/1=120°,

它的對頂角是120°,

；a〃b,

.*.N2=60°.

故選：A.

【點評】正確觀察圖形，熟練掌握平行線的性質(zhì)和對頂角相等.

2.(2022?吉林)如圖，如果N1=N2,那么AB〃CD,其依據(jù)可以簡單說成()

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等

第24頁共76頁

B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等

1）.同位角相等，兩直線平行

【考點】平行線的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由平行的判定求解.

【解答】解：=

；.AB〃CD（同位角相等，兩直線平行），

故選:D.

【點評】本題考查平行線的判定，解題關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法.

斜邊平行，則/I的度數(shù)為（）

C.15°D.20°

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由題意得：/ACB=45°,/F=30°,利用平行線的性質(zhì)可求NDCB=30°,進

而可求解.

...NDCB=NF=30°,

，N1=45°-30°=15°,

故選：C.

【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

第25頁共76頁

4.（2022?東營）如圖，直線a〃b,一個三角板的直角頂點在直線a上，兩直角邊均與直

【考點】平行線的性質(zhì)；余角和補角；相交線.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【分析】先由已知直角三角板得/4=90°,然后由/l+N3+/4=180°,求出/3的度

數(shù)，再由直線2〃〉根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出N2=N3=50°.

VZ4=90°,Zl=40°,Zl+Z3+Z4=180°,

.?.Z3=180°-90°-40°=50°,

?.,直線a〃b,

.?.N2=N3=50°.

故選：B.

【點評】此題考查了平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線性質(zhì)：兩直線平行，同

位角相等.

5.（2022?黃陂區(qū)模擬）如圖，BE/7FC,ZB-ZC,求證：AB/7CD.

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀.

【分析】由BE〃FC可得/DGE=NC,進而可得NB=/DGE可證結(jié)論.

第26頁共76頁

【解答】證明：???BE〃FC,

AZDGE=ZC.

VZB=ZC,

???NB=NDGE,

???AB〃CD.

【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確得出NB=NDGE是解題關(guān)鍵.

6.(2022?武漢)如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZB=80°.

(1)求NBAD的度數(shù)；

(2)AE平分NBAD交BC于點E,ZBCD=50°.求證：AE/7DC.

AD

BEC

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出NBAD；

(2)根據(jù)角平分線的定義求出NDAE,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NAEB,得到NAEB=NBCD,

根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】(1)解：???AD〃BC,

.'.ZB+ZBAD=180o,

VZB=80°,

AZBAD=100o；

(2)證明:TAE平分NBAD,

.?.ZDAE=50°,

VAD/7BC,

AZAEB=ZDAE=50°,

VZBCD=50°,

JZAEB=ZBCD,

，AE〃DC.

第27頁共76頁

【點評】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

7.(2022?漢陽區(qū)校級模擬)如圖，已知Nl=52°,N2=128°,ZC=ZD.求證：

(1)BD/7CE；

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力；推理能力.

【分析】(1)由Nl=52°,Z2=128°,得出Nl+N2=180°,利用“同旁內(nèi)角互補，

兩直線平行”可證出BD/7CE；

(2)由BD〃CE得出NC=/ABD,由NC=ND得出/ABD=ND,利用“內(nèi)錯角相等，兩

直線平行”可證出AC〃DF,進而可證出/A=NF.

【解答】證明：(1)VZ1=52°,Z2=128°,

.?.Zl+Z2=180°,

，BD〃CE；

(2)VBD//CE,

.\ZC=ZABD,

又；NC=ND,

.,.ZABD=ZD,

VAC/7DF,

，NA=/F.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)通過角的計算，找出N

l+Z2=180°；(2)利用平行線的判定，得出AC〃DF.

8.(2022?蔡甸區(qū)模擬)如圖所示，已知BDLAC,EFLAC,垂足分別為D,F,且Nl=/2,

求證：ZADG-ZC.

第28頁共76頁

DiG

1

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】先根據(jù)BDLAC,EFLAC可求出BD〃EF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出N2=N

CBD,通過等量代換及平行線的判定定理可求出DG〃BC,最后根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：VBD±AC,EF1AC,

.?.BD〃EF,

.".Z2=ZCBD,

VZ1=Z2,

；.N1=/CBD,

；.DG〃BC,

AZAGD=ZC.

【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理及性

質(zhì)定理.

9.（2022?洪山區(qū)模擬）如圖，已知Nl=52°,Z2=128°,ZC=ZD.求證：ZA=ZF.

【考點】平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由Nl=52°,Z2=128",得出Nl+N2=180°,利用“同旁內(nèi)角互補，兩直

線平行”可證出BD〃CE,由BD〃CE得出/C=NABD,由NC=ND得出NABD=ND,利

用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可證出AC〃DF,進而可證出NA=/F.

【解答】證明：：/1=52°,Z2=1280,

第29頁共76頁

.\Z1+Z2=18O°,

???BD〃CE,

ZC=ZABD,

又?.?NC=ND,

JZABD=ZD,

VAC/7DF,

JZA=ZF.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過角的計算，找出N

l+Z2=180°；（2）利用平行線的判定，得出AC〃DF.

10.（2022?研口區(qū)模擬）如圖，AD〃BC,ZAEF=ZF,直線EF與AB,CD的延長線分別交

于點E,F.求證：ZA=ZC.

【考點】平行線的性質(zhì).

【專題】證明題；線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】由NAEF=NF可