2023-2024學年北京市海淀區(qū)師達中學九年級（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年北京市海淀區(qū)師達中學九年級（上）開學數(shù)學試

卷

一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.截至2023年6月11日17時，全國冬小麥收獲2.39億畝，進度過七成半，將239000000用科

學記數(shù)法表示應為（）

A.23.9x107B.2.39x108C.2.39x109D.0.239x109

2.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

A/\BZZZ7

C.D.

3.如圖，Z,AOC=^LBOD=90°,Z.AOD=126°,則乙BOC的大B

A

小為（）、

A.36°

B.44°

C.54°

D.63°

4.已知則下列結論正確的是（）

A.-1<-a<a<1B.-a<-1<1<a

C.-a<-1<a<1D.-1<-a<1<a

5.若關于X的一元二次方程%2一4%+TH=0有兩個相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的值為（）

A.4B.-4C.±4D.2

6.十二邊形的內角和為（）

A.180°B.360°C.18000D.無法計算

7.下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從4地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間

招、

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y

與放水時間x；可?x

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x.

其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.如表記錄了二次函數(shù)曠=a/+bx+2（a40）中兩個變量x與y的5組對應值，其中與<

XzvL

X-5巧%213

ym020m—

根據(jù)表中信息，當-￡<x<0時，直線y=k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，貝麟的取值范

圍是（）

77QQ

A.7</C<2B.2<k<2C.2<fc<D.2<fc<

oo33

二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）

9.若代數(shù)式W有意義，則實數(shù)x的取值范圍是____.

x+2

10.分解因式：x2y-y3=.

11.方程=；的解為____.

5x+l2x

12.在平面直角坐標系xOy中，若函數(shù)y=k0）的圖象經(jīng)過點4（-4,2）和8（7?1,-2）,則m

的值為.

13.某廠生產(chǎn)了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進

行檢測，獲得了它們的使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)整理如下：

使用壽

x<10001000<%<16001600<%<22002200<x<2800x>2800

命

燈泡只

51012176

數(shù)

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為只.

14.已知二次函數(shù)y=/+bx+1的圖象與x軸只有一個交點，貝心=

15.如圖，在△力BC中，4。平分4BAC,DElAB.^AC=2,

DE1，則SAACO?

16.如圖，點4、B、C在同一條線上，點B在點4c之間，點D,

E在直線AC同側，AB<BC,Z4=ZC=90°,△EAB為BCD,

連接DE,設AB=a,BC=b,DE=c,下面三個結論：①a+b<

c；(2)a+b>Va2+b2-,③V""^(a+b)>c；正確的序號是

三、解答題(本大題共12小題，共68.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題5.0分)

計算：V27++|-2|—V12.

18.(本小題5.0分)

解不等式組：x>—

15%—3<5+%

19.(本小題5.0分)

已知％+2y-l-0,求代數(shù)式工的值.

20.(本小題6.0分)

二次函數(shù)y=ax2-2ax-3(aM0)的圖象經(jīng)過點4

(1)求二次函數(shù)的對稱軸；

(2)當4(-1,0)時,

①求此時二次函數(shù)的表達式；

②把y=ax2-2ax-3化為y=a(%-/i)2+k的形式，并寫出頂點坐標.

21.(本小題6.0分)

如圖，在平行四邊形4BCO中，點E,F分別在BC,力。上，BE=DF,AC=EF.

(1)求證：四邊形4EC尸是矩形；

(2)若CE=2BE且AE=BE,已知48=2,求4c的長.

22.(本小題5.0分)

如圖，利用長20米的一段圍墻，用籬笆圍一個長方形的場地，中間用籬笆分割出2個小長方

形，總共用去籬笆36米，為了使這個長方形的4BC。的面積為96平方米，求AB、BC邊各為多

少米.

II

~p[D

---------i---------'C

23.(本小題6.0分)

在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)、=/^+。(卜力0)的圖象經(jīng)過點4(0,1)和8(1,2),與過點(0,4)

且平行于%軸的直線交于點C.

(1)求該函數(shù)的解析式及點C的坐標；

(2)當x<3時，對于x的每一個值，函數(shù)y=|x+九的值大于函數(shù)y=kx+b(k*0)的值且小

于4,直接寫出n的值.

24.(本小題5.0分)

某校舞蹈隊共16名學生，測量并獲取了所有學生的身高(單位：cm),數(shù)據(jù)整理如下：

a.16名學生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175；

b.16名學生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

166.75mn

(1)寫出表中zi的值；

(2)對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好，據(jù)

此推斷：在下列兩組學生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是(填“甲組”或“乙組”)；

甲組學生的身高162165165166166

乙組學生的身高161162164165175

(3)該舞蹈隊要選五名學生參加比賽，已確定三名學生參賽，他們的身高分別為168,168,172,

他們的身高的方差為年.在選另外兩名學生時，首先要求所選的兩名學生與己確定的三名學生

所組成的五名學生的身高的方差小于等，其次要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組

成的五名學生的身高的平均數(shù)盡可能大，則選出的另外兩名學生的身高分別為和

25.(本小題5.0分)

跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目.如圖，運動員通過助滑道后在點4處騰空，在空中沿拋

物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點P處.騰空點4到地面08的距離04為70m,坡高OC為60m,

著陸坡BC的坡度(即tana)為3：4.以。為原點，OB所在直線為x軸，。4所在直線為y軸，建立

如圖所示的平面直角坐標系.已知這段拋物線經(jīng)過點(4,75),(8,78).

(1)求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達式；

(2)在空中飛行過程中，求運動員到坡面BC豎直方向上的最大距離；

(3)落點P與坡頂C之間的距離為m.

26.(本小題6.0分)

在平面直角坐標系xOy中，點MQ1，%),%。2，%)在拋物線曠=。/+法+1(￡1<0)上，其中

%!<x2,設拋物線的對稱軸為％=a

(1)當t=l時，如果%=力=1，直接寫出X1，%2的值;

(2)當與=-1,x2=3時，總有丫2<月<1，求t的取值范圍.

yM

4-

3-

2-

1234H

27.(本小題7.0分)

在平面直角坐標系xOy中，如果點P到原點。的距離為a，點Q到點P的距離是a的k倍(k為正整

數(shù))，那么稱點Q為點P的k倍關聯(lián)點.

(1)當點Pi的坐標為(0,1)時，

①如果點匕的2倍關聯(lián)點Q在y軸上，那么點Q的坐標是；如果點B的2倍關聯(lián)點Q在x軸

上，那么點Q的坐標是;

②如果點Q(x,y)是點Pi的k倍關聯(lián)點，且y=-2,-3<x<4,則滿足條件的點Q有個

(2)如果點P2的坐標為(1,1)，”(優(yōu),0)，若在線段MN上存在P2的2倍關聯(lián)點，直

接寫出m的取值范圍.

28.(本小題7.0分)

已知正方形4BC。和一動點E,連接CE,將線段CE繞點C順時針旋轉90。得到線段CF,連接BE,

DF.

(1)如圖1,當點E在正方形力BCD內部時:

①依題意補全圖1:

②求證：BE=DFx

(2)如圖2,當點E在正方形4BCD外部時，連接AF,取4尸中點M,連接ZE,DM,用等式表示

線段4E與DM的數(shù)量關系，并證明.

圖1

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：239000000=2.39X108,

故選:B.

用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為ax10%其中n為整數(shù)，且兀比

原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為ax10%

其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1,解題的關鍵是要正確確定a和n的值.

2.【答案】B

【解析】解：A,C,D選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；

B選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重

合，所以不是軸對稱圖形；

故選：B.

根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做對稱軸進行分析即可.

本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

3.【答案】C

【解析】解：1■?Z-AOC=90°,4400=126。，

乙COD=Z.AOD-Z.AOC=36°,

v乙BOD=90°,

4BOC=乙BOD-/.COD

=90°-36°

=54°.

故選：C.

先求出4coe的度數(shù)，然后根據(jù)NBOC=NB。。一ZC。。，即可得出答案.

本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，根據(jù)角的和差首先求出NC。。的

度數(shù).

4.【答案】B

【解析】解：??,Q-1>0,

a>1,

?*?-aV—1,

**?-CL<—1V1<Q,

故選：B.

根據(jù)不等式的性質，進行計算即可解答.

本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵.

5.【答案】A

【解析】解：???關于x的一元二次方程/-4久+m=0有兩個相等的實數(shù)根，

A=b2-4ac—（一47—4m=0,

解得in=4.

故選:A.

若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則根的判別式4=匕2-4"=0,建立關于小的方程，即可

求解.

此題考查了根的判別式.一元二次方程ax?+bx+c=0（a。0）的根與A=b2-4ac有如下關系：

（1）4>0Q方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）4=0Q方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）4<0Q方程

沒有實數(shù)根.

6.【答案】C

【解析】解：（12-2）-180°=1800°.

故選C.

根據(jù)多邊形的內角和公式5-2）-180°,列式計算即可得解.

本題考查了多邊形的內角和定理，熟記多邊形內角和公式是解題的關鍵.

7.【答案】A

【解析】解：汽車從4地勻速行駛到8地，根據(jù)汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增加而減小，故①

符合題意；

將水箱中的水勻速放出，直至放完，根據(jù)水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小，故②符

合題意；

用長度一定的繩子圍成一個矩形，周長一定時，矩形面積是長x的二次函數(shù)，故③不符合題意；

所以變量y與變量久之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是①②.

故選:A.

(1)根據(jù)汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增加而減小判斷即可：

(2)根據(jù)水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小判斷即可；

(3)根據(jù)矩形的面積公式判斷即可.

本題考查了利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象表示的意義，理解問題的過程，就

能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應解決.

8.【答案】C

【解析】解：由表中信息可知：拋物線經(jīng)過點(一5,m)和(3,m),

???拋物線的對稱軸為直線久=等=-1,

b=2Q.

根據(jù)表中信息，拋物線經(jīng)過點(1,0),

???a+b+2=0,

.(b=2a

la+b+2=0,

2

Q=-Q

解得：L

b=—

、3

二拋物線的解析式為y=-1/-江+2.

y=-|x2-2+2=-|(x+l)2+1,

???該拋物線的頂點坐標為(-1,|),拋物線的開口方向向下，拋物線經(jīng)過(0,2),(-2,2).

?.?當<x<。時，直線y=k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，

?，?2</c<—.

故選：C.

利用二次函數(shù)的圖象的對稱性求得拋物線的對稱軸，利用待定系數(shù)法求得a,b的值，再利用二次

函數(shù)與直線的交點的特性解答即可.

本題主要考查了二次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，拋物線上點的坐標的特征，熟

練掌握二次函數(shù)的性質和利用數(shù)形結合的方法解答是解題的關鍵.

9.【答案】x*一2

【解析】解：由題意得：%+240,

解得x羊-2,

故答案為：x乎—2.

根據(jù)分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案.

本題考查的是分式有意義的條件，熟記分式的分母不為零是解題的關鍵.

10.【答案】y(x+y)(x-y)

【解析】解：x2y-y3

=y(x2-y2)

=y(x+y)(x-y).

故答案為:y(x+y)(x-y).

先提取公因式y(tǒng),再利用平方差公式進行二次分解.

本題考查了提公因式法與公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次因式分解是解

題的關鍵，分解要徹底.

11.【答案】%=1

【解析】解：方程兩邊同時乘以2x(5x+1)得，

3x2x=5x+1,

■■-x=1.

檢驗：把x=1代入2x(5x+1)=12H0,且方程左邊=右邊.

???原分式方程的解為x=1.

依據(jù)題意，由分式方程的解法即可得解.

本題主要考查了分式方程的解法，解題時要熟練掌握并靈活運用.

12.【答案】4

【解析】解：將4(—4,2)代入、=/￡X得：一鍬=2,

解得：k——

???正比例函數(shù)解析式為y=-1x.

當y=-2時，=

解得：m=4,

???zn的值為為

故答案為：4.

由點4的坐標，利用待定系數(shù)法可求出正比例函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，

即可求出m的值.

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)給定坐標，利

用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)解析式是解題的關鍵.

13.【答案】460

【解析】解：估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為1000x穿=460（

只）.

故答案為：460.

用1000乘以使用壽命不小于2200小時的百分比即可.

本題考查了頻數(shù)（率）分布表和用樣本估計總體，解題的關鍵是利用樣本估計總體思想的運用.

14.【答案】±2

【解析】解：由題意得：4=匕2-4=0,

解得：b=+2,

故答案為：±2.

由題意得：4=02-4=0,即可求解.

此題考查了拋物線與x軸的交點，熟練掌握根的判別式是解本題的關鍵.

15.【答案】1

【解析】解：過點。作OF_L4C,垂足為F,

DE=DF=1,

???AC—2,

-S^ACD=qAC-DF

1

=)X2x1

1,

故答案為：1.

過點。作DF14C,垂足為F,根據(jù)角平分線的性質可得DE=DF=1,然后利用三角形的面積進

行計算即可解答.

本題考查了角平分線的性質，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

16.【答案】①②③

【解析】解：①過點。作DF〃/1C,交4E于點F；過點B作BG1.FD,交FD于點G.

DF//AC,AC1AE,

：.DF1AE,

又：BG1FD,

BG//AE,

.??四邊形力BGF為矩形，

同理可得，四邊形BCDG也為矩形，

FD=FG+GD=a+b,

.?.在RtZkEFC中，斜邊c>直角邊a+b.

故①正確，符合題意；

②EAB3ABCD,

:.AE=BC=b,

Rt△E4B中，BE=VAB2+AE2=Va2+b2<

vAB+AE>BE,

22

Aa4-6>Va+h?

故②正確，符合題意；

③三△BCD,

:.Z-AEB=乙CBD,BE=BD,

又???N4EB+44BE=90。,

???乙CBD+/.ABE=90°,

???乙EBD=90°.

vBE=BD,

：.乙BED=乙BDE=45°,

BE=Va2+b2=c-sin450=容c，

:.c=y/~2yja2+b2^

(y/-2)2(a+b)2=2(a2+2ab+b2)=2(a2+b2)+4ab>2(a2+62)?

<7(0+b)>J2(a2+爐),

???y/~2(<a+b)>c.

故③正確，符合題意；

故答案為：①②③.

①根據(jù)直角三角形的斜邊大于任一直角邊即可；

②在三角形中，兩邊之和大于第三邊，據(jù)此可解答；

③將c用a和b表示出來，再進行比較.

本題考查全等三角形的性質.雖然是選擇題，但計算量不小，比較繁瑣，需要細心、耐心.

17.【答案】解：原式=3/3+3+2-2/3

=5+y/~3-

【解析】利用二次根式的性質，負整數(shù)指數(shù)基的意義，絕對值的意義化簡運算即可.

本題主要考查了實數(shù)的運算，二次根式的性質，負整數(shù)指數(shù)塞的意義，絕對值的意義，熟練掌握

上述法則與性質是解題的關鍵.

18.【答案】解：卜〉號①，

—3<5+x②

解不等式①得：x>l,

解不等式②得：x<2,

原不等式組的解集為：l<x<2.

【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答.

本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵.

19.【答案】解：???x+2y-l=0,

x+2y=1,

.2x+4y_2(x+2y)

2

“x2+4xy+4y2-(x+2y)

_2

x+2y

_2

=1

=2,

二謠看的值為2?

【解析】根據(jù)已知可得x+2y=l,然后利用分式的基本性質化簡分式，再把x+2y=l代入化簡

后的式子進行計算即可解答.

本題考查了分式的值，熟練掌握因式分解是解題的關鍵.

20.【答案】解：(1)二次函數(shù)曠=。/一25一3的對稱軸是直線工=一菱=1,即直線x=l；

(2)①?.?二次函數(shù)y=ax2-2ax-3(a*0)的圖象經(jīng)過點4(一1,0),

???a+2Q—3=0,

???Q=1,

??.此時二次函數(shù)的表達式為y=x2-2x-3；

(2)vy=%2—2x—3=(%—l)2—4,

頂點坐標為(1,-4).

【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0)的對稱軸是直線％=-/即可求解；

⑵①將做―1,0)代入y=ax2-2ax-3,即可求出此時二次函數(shù)的表達式；

②利用配方法即可把y=ax2-2ax-3化為y=a(x-h)2+k的形式，再根據(jù)頂點式的特點寫出

頂點坐標.

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特

征以及利用配方法將一般式化為頂點式，正確求出函數(shù)的解析式是解題的關鍵.

21.【答案】(1)證明：???四邊形力BCD是平行四邊形，

AD=BC,AD//BC,

"BE=DF,

:.AD—DF=BC—BE,

即AF=EC,

???四邊形4ECF是平行四邊形，

■?■AC=EF,

???平行四邊形4ECF是矩形；

(2)解：?.?四邊形AECF是矩形，

Z.AEC=/-AEB=90°,

■：AE=BE,AB=2,

???AE=BE=V-2-

???CE=2BE=

AC=VAE2+EC2=V8+2=\T10.

【解析】(1)先證四邊形AECF是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結論；

(2)由等腰直角三角形的性質求出4E的長，由勾股定理可求4C的長.

本題考查了矩形的性質，平行四邊形的性質，勾股定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是解

題的關鍵.

22.【答案】解:設4B為x米，則BC為(36-3x)米,

x(36-3x)=96

解得：=4,x2=8

當x=4時

36-3%=24>20(不合題意，舍去)

當x=8時

36-3x=12.

答：AB=8米，BC=12米.

【解析】設4B為x米，然后表示出BC的長為(36-3乃米，利用矩形的面積計算方法列出方程求解

即可.

本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是設出一邊的長，并用未知數(shù)表示出另一邊的長.

23.【答案】解：(1)把點4(0,1),B(l,2)代入y=kx+b(k力0)得：b=1,k+b=2,

解得：k=1,b=1,

;該函數(shù)的解析式為y=x+1,

由題意知點C的縱坐標為4,

當y=x+1=4時，

解得：x=3,

???C(3,4)；

(2)由(1)知：當x=3時，y=x+l=4,

因為當x<3時，函數(shù)y=|x+n的值大于函數(shù)y=x+1的值且小于4,

所以當y=|x+n過點(3,4)時滿足題意，

代入(3,4)得：4=|x3+n,

解得：n=2.

【解析】(1)利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點C的縱坐標為4,代入函數(shù)解析式求出

點C的橫坐標即可；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象得出當y=|x+葭過點(3,4)時滿足題意，代入(3,4)求出n的值即可.

本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法的應用，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌

握數(shù)形結合思想的應用是解題的關鍵.

24.【答案】甲組170172

【解析】解：(1)數(shù)據(jù)按由小至U大的順序排序：161,162,162,164,165,165,165,166,166,

167,168,168,170,172,172,175,

則舞蹈隊16名學生的中位數(shù)為m=竺等竺=166,眾數(shù)為n=165；

(2)甲組學生身高的平均值是：01竺鬻±1竺±1竺=164.8,

甲組學生身高的方差是：|x[(164.8-162)2+(164.8-165)2+(164.8-165)2+(164.8-

166)2+(164.8-166)2]=2.16,

乙組學生身高的平均值是：161+162+1g4+165+175=165.4,

乙組學生身高的方差是：|x[(165.4-161)2+(165.4-162)2+(165.4-164)2+(165.4-

165)2+(165.4-175)2]=25.04,

v25.04>2,6,

二甲組舞臺呈現(xiàn)效果更好.

故答案為：甲組：

(3)v168,168,172的平均數(shù)為*168+168+172)=169；,

且所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身高的方差小于年，

數(shù)據(jù)的差別較小，

可供選擇的有170,172,

平均數(shù)為：1(168+168+170+172+172)=170,

方差為：|[(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(172-170)2+(172-170)2]=

3.2<景32，

???選出的另外兩名學生的身高分別為170和172.

故答案為：170,172.

(1)根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義進行計算；

(2)根據(jù)方差的計算式計算方差，然后根據(jù)方差的意義進行比較；

(3)根據(jù)方差進行比較.

本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，熟記方差的計算公式以及方差的意義是解題的關鍵.

25.【答案】解：(1)???04為70m,

???4(0,70),

設二次函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c,

(c=70(a=~h

把(0,70),(4,75),(8,78)代入得16。+鉆+。=75,解得〈匕=3，

(64a+8b+c=78~2

=70

所以二次函數(shù)的表達式為y=-加2+|%+70；

(2)如圖，作MN〃y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點，

?.?坡高OC為60根，著陸坡BC的坡度(即tana)為3：4,

OB=80m,即8(80,0),

設線段BC的關系式為y=kx+n,則｛；(^：)=0，解得：卜

3

X+

所以線段BC的關系式為y=4-60

設M(a,一2Q2+1Q+70),則N(a,-於+60),

133

2++7O+1c91r

一aaa

則MN=2-4-60———ci+］。+10=——(a—18)+30.25,

16

.?.當a=18時，MN的最大值為30.25.

???運動員到坡面BC豎直方向上的最大距離是30.25米；

(3)50.

【解析】【分析】

本題考查二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)拋物線上的點求出二次函數(shù)的關系式是解題關鍵.

(1)設二次函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c,把(0,70)(4,75)(8,78)代入可得關系式；

(2)作MN〃y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點，先求出BC的關系式，再分別表示出M、N的縱坐

標，計算縱坐標的差可得答案；

(3)計算拋物線和線段BC的交點P的坐標，再利用勾股定理可得答案.

【解答】

(1)(2)見答案；

解得毛=40,次=一4(舍去)，即尸(40,30),

PD=40米，OD=30米，

ACZ)=60-30=30(米)，

PC=V302+402=50(米)，

故答案為：50.

26.【答案】解：(1)根據(jù)題意知，當x=00寸，y=1,

???拋物線的對稱軸x=1,

??.(0,1)關于對稱軸對稱的點為(2,1),

y1--y2=1,且X]<%2，

%]=0,%2=2；

(2)根據(jù)題意知，當x=0時，y=1,

???a<0,圖象開口向下，滿足一1<0,對應yi<l,

二當xWO時，y隨x的增大而增大，

???設拋物線的對稱軸為x=3

t>0,

.?.點關于對稱軸對稱的點為M'(2t+Lyi)，

a<0,圖象開口向下，一1<3,且y2<yr

2t+1<3,解得t<1,

???0<t<1.

【解析】(1)首先根據(jù)題意求出當久=0時，y=l，再求出(0,1)關于對稱軸對稱的點為(2,1),即可

求出X],%2的值;

(2)首先先根據(jù)a<0,圖象開口向下，滿足一1<0,對應丫[<1,可算出t20,求出點”(一LyQ

關于對稱軸對稱的點為M'(2t+因為為<yi可算t<1,即可算出t的取值范圍.

本題考查的是二次函數(shù)的圖像與性質，解題關鍵：理解并掌握二次函數(shù)的基本性質.

27.【答案】(0,3)或(0,-1)(―43,0)或(C,0)6

【解析】解：(1)①由題知，

因為點B的坐標是(0,1),

所以OPi=1.

當點2的2倍關聯(lián)點Q在y軸上時，

此時點Q的坐標是(0,3)或(0,-1)；

當點匕的2倍關聯(lián)點Q在x軸上時，

根據(jù)勾股定理得，0Q=C，

所以此時點Q的坐標是(--？,0)或0)-

故答案為：(0,3)或(0,-1),(一/百,0)或(^^,0).

②因為Q(x,y),且y=-2,-3<x<4,

所以點Q在點(-3,-2)和點(4,-2)之間的線段上.

當點Q在(―3,-2)時，

PiQ=V(-3-0)2+(-2-1)2=

當點Q在(4,-2)時，

PiQ=J(4—0)2+(—2—I-=5.

所以滿足條件的點Q有6個.

故答案為：6.

(2)因為22的坐標是(1,1),

所以?！?=

所以點P2的2倍關聯(lián)點在以點P2為圓心，為半徑的圓上.

又/V(m-1,1),

所以線段MN是一條與％軸夾角為45。，且長度為

口的線段，如圖所示.

當線段MN在位置①時，

由P2Ml=得，

Mi"=J(2AT2)2-I2=

則%。=C-1,

此時m=1->T7.

當線段MN在位置②時，

由PP2N2=2。得，

點收到y(tǒng)軸的距離為2/2-1,

則小一1=1-20,即m=2—2<7.

所以當線段MN在位置①和②之間時，

線段MN上存在點P2的2倍關聯(lián)點，

此時1-C<mW2-2-T1..

當線段MN在位置③時，

由P2M3=2。得，

M3H=J(2V~I)2-I2=

則M3。=^~7+1,

此時m=yfl+l.

當線段MN再位置④時，

由P2N4=2。得，

點N4到y(tǒng)軸的距離是2C+1，

則巾一1=2「+1，即?n=2，7+2.

所以當線段MN在位置③和④之