2023年高考文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)與題型歸納

導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)

一、導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)/6)=lim孚。

As。Ax

二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x。處日勺導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處日勺切線的I

斜率.由此，可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.詳細(xì)求法分兩步：

(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)孔處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(XO，M)

處日勺切線日勺斜率；

(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為

y-y0

三、常見(jiàn)函數(shù)日勺導(dǎo)數(shù)及運(yùn)算法則

(1)八個(gè)基本求導(dǎo)公式一

?'=;=；(nGQ).

(sinx)'—,(cosx)z-

(/)，=,2,=

(Inx)'=，(log。X)'=

(2)導(dǎo)數(shù)日勺四則運(yùn)算一

(?±V)'=[OXx)]'=

Qv)'=,4)'—(V*0)

(3)復(fù)合函數(shù)昨J導(dǎo)數(shù)一

設(shè)“=e(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=/(")在點(diǎn)”=維)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)/?(x)]在

點(diǎn)X處可導(dǎo)，且/口）=，即=

四、導(dǎo)數(shù)及J應(yīng)用（規(guī)定：明白解題環(huán)節(jié)）

1.函數(shù)日勺單調(diào)性

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f'\x）＞0,則f（x）為增函

數(shù);若/?）＜0,則f（x）為減函數(shù)。

（2）求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間日勺一般環(huán)節(jié)和措施。

①分析y=/（x）日勺定義域；②求導(dǎo)數(shù)y'=f'M

③解不等式廣（幻〉0,解集在定義域內(nèi)日勺部分為—區(qū)間

解不等式ra）＜o(jì),解集在定義域內(nèi)日勺部分為—區(qū)間

例如：求函數(shù)y=X+工時(shí)減區(qū)間

X

2.可導(dǎo)函數(shù)的極值（采用表格或畫函數(shù)圖象）

（1）極值的概念

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x（）附近有定義，且若對(duì)x（）附近所有日勺點(diǎn)均有f（x）＜

f（x（））（或f（x）＞f（x（）））,則稱f（x（））為函數(shù)日勺一種極大?。┲?，稱x（）為極

大（小）值點(diǎn)。

（2）求可導(dǎo)函數(shù)f（x）極值的環(huán)節(jié)

①求導(dǎo)數(shù)/（X）；

②求方程r（x）=o的；

（3）檢查（（X）在方程/口）=0日勺根左右的符號(hào)，假如在根日勺左側(cè)附

近為正，右側(cè)附近為負(fù)（先增后減），那么函數(shù)y=/（x）在這個(gè)根處獲

得;假如在梅勺左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)為正（先減后增），那么

函數(shù)y=在這個(gè)根處獲得.

3.函數(shù)日勺最大值與最小值

（1）設(shè)y=/（x）是定義在區(qū)間［a,b］上日勺函數(shù)，y=/（x）在（a,b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),

則函數(shù)y=/（x）在［a,b］上必有最大值與最小值；但在開(kāi)區(qū)間內(nèi)—

未必有最大值與最小值.

（2）求最值可分兩步進(jìn)行：

①求y=/（x）在（a,b）內(nèi)日勺值；

②將y=/（x川勺各值與/'⑷、"）比較，其中最大的一種為最

大值，最小日勺一種為最小值.

（3）若函數(shù)y=/（x）在［a,b］上單調(diào)遞增，則/伍）為函數(shù)日勺,/（*）

為函數(shù)日勺;若函數(shù)y=〃x）在［a,b］上單調(diào)遞減，則/⑷為函數(shù)

的,八6）為函數(shù)日勺.

4.求過(guò)函數(shù)上一點(diǎn)的切線日勺斜率或方程

例題1：分析函數(shù).”=/一3》（單調(diào)性，極值，最值，圖象）

例題2:函數(shù)7=》3_3"在（_00,—1）上為增函數(shù)，在（—1,1）上為減函數(shù)，求

實(shí)數(shù)。

例題3:求證方程x.Igx=1在區(qū)間（2,3）內(nèi)有且僅有一種實(shí)根.（分析解本

題要用日勺知識(shí)點(diǎn)）

一.求值

1.f\x)是f(x)=$3+2x+1的導(dǎo)函數(shù)，則/X-l)的值是.

2./(x)=ax3+3x2+2,/,(-1)=4,貝1Ja=

3.已知函數(shù)f(x)日勺導(dǎo)函數(shù)為小),且滿足f(x)=3x2+2x/q),則八5)

=.□

4.設(shè)八%)、g(x)分別是定義在R上日勺奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)加c)g，

(x)+f(x)g(x)>0g(—3)=0,則不等式X%)g(x)<0解集是

5.(海南、寧夏文)設(shè)/(x)=xlnx,若尸(%)=2,則與=()

A.e2B.eC.—D.In2

2

二.切線

1(1)曲線y=/+x+l在點(diǎn)(1,3)處的)切線方程是；

(2)已知函數(shù)/(x)=?-3x,過(guò)點(diǎn)P(2,-6)作曲線”)(x)日勺切線的方

程.

變式.(1)曲線>='3-3%+1在點(diǎn)(1,一1)處日勺切線方程為

(2)已知C:fM=x3-x+2,則通過(guò)P(l,2)的曲線C昨J切線方程為

(3)曲線f(x)=x3—3x,過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線f(x)日勺切線，則曲線日勺切線

方程為O

2.(1)曲線/(x)=/在點(diǎn)A處日勺切線的斜率為3,則該曲線在A點(diǎn)處

日勺切線方程為—O

(2)過(guò)曲線/(x)=/7上點(diǎn)P處日勺切線平行于直線3x-y=0,則點(diǎn)P

昨J坐標(biāo)為

(3)若直線_y=x是曲線=的J切線，則。=。

3.垂直于直線2x-6y+l=0,且與曲卷y=d+3/_5相切日勺直線日勺方程是

4.已知直線7=丘+1與曲線y=/+G+b切于點(diǎn)(1,3),則b日勺值為

C)

A.3B.-3C.5D.-5

5.若點(diǎn)P在曲線＞=*3-X+2上移動(dòng)，通過(guò)點(diǎn)P日勺切線日勺傾斜角為a,

則a日勺取值范圍為()

A.fo,-1B.「0二］Uf—C.f—,/rlD」03］。

L2jL2j\_4，)L45JL2)l254J

6.(08全國(guó)H)設(shè)曲線y=/在點(diǎn)(l,a)處的切線與直線2x7-6=0平行,

則a=()

A.1B.-C,--D.-1

22

7.(09寧夏)曲線y=xe'+2x+l在點(diǎn)(0,1)處的切線方程

為o

8(09全國(guó)卷II理)曲線y=右在點(diǎn)(11)處的切線方程為

A.x—y—2=0B.x+y-2=0C.x+4y—5=0D.

x-4y-5=0

9若曲線/⑺二”+如存在垂直于卜軸日勺切線，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

是

10.(08海南理)曲線_y=1在點(diǎn)(4ez)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形

日勺面積為

三.單調(diào)性

1.(1)設(shè)f(x)=x2(2-x),則f(x)日勺單調(diào)增區(qū)間是()□

□A.(0,$B.(*+oo)C.(-oo,0)DD.(-oo,0)U(g,+oo)口

⑵函數(shù)y=(x+l)(x2—l)日勺單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-oo,-1)B.(—l,+oo)

C.(-00,—1)與(-l,+oo)D.(-co,-1)U(—1,+co)

(3)函數(shù)/(x)=x3-3/+1是減函數(shù)日勺區(qū)間為()

A.(2,+00)B.(-oo,2)C.(-oo,0)D.(0,2)

2.(1)若函數(shù)f(x)=x3-ax2+l在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a日勺取值范圍

為_(kāi)_______

⑵設(shè)a〉0,函數(shù)/Xx)=x3—ax在口,+00)上是單調(diào)函數(shù).則實(shí)數(shù)。日勺取值范

圍為；

(3)函數(shù)嚴(yán)Q「一x在(-00,+oo)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為；

3.(1)若函數(shù)/(外="3—/+%一5在R上單調(diào)遞增，則。日勺范圍

是.

(2)已知函數(shù)/(x)=ax3+312-x+1在R上是減函數(shù)，則0日勺取值范圍

是:.

4.若/(x)=/+加+〉0)在R上是增函數(shù)，則()

(A)/-4ac>0(B)6>0,c>0(C)6=0,c>0(D)Z?2-3^C<0

5、函數(shù)y=d+"+b在(-1』)上為減函數(shù)，在(1,+00)上為增函數(shù)，則

()

(A)a-(B)a-l,beR(C)a--3,b-3(D)a--3,bGR

四.極值

1、函數(shù)y=l+3x--日勺極大值，極小值分別是

A.極小值-1,極大值1B.極小值-2,極大值3

C.極小值-2,極大值2D.極小值-1,極大值3

2.函數(shù)/(加八版+3.9,已知/(X)在*=-3時(shí)獲得極值，則4=()

(A)2(B)3(04(D)5

3.函數(shù)f(x尸x3-ax2-bx+a2,在x=l時(shí)有極值10,則a、b日勺值為

()□

□A.a=3,b=-3,或a=-4,b=l1□B.a=-4,b=l1□

□C.a=3,b=-3QD.以上都不對(duì)日勺口

4、已知函數(shù)/(x)日勺導(dǎo)數(shù)為/(X)=4/_4X,且圖象過(guò)點(diǎn)(0,-5),當(dāng)函數(shù)

/⑴獲得極大值-5時(shí)，x日勺值應(yīng)為

A.-lB.0C.1D.±1

5.若函數(shù)f(x尸x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則()□

□A.0<b<l□B.bvlDC.b>0□D.b<l

2

6.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+l沒(méi)有極值，則a日勺取值范圍為.□

7.已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=24處有極值，則該函數(shù)日勺一種

遞增區(qū)間是()

A.(2,3)B.(3,+oo)C.(2,+oo)D.

(—8,3)

2

8.(遼寧卷文)若函數(shù)/")=二U在x=1處取極值，則a=____________

x+1

五.最值

1.函數(shù)N=2/_3X2_12x+5在［0,3］上日勺最大值、最小值分別是

()

A.5,-15B.5,-4C.-4,-15D.5,-16

2.(06浙江文)/(》)=/_3/+2在區(qū)間［-1』上日勺最大值是()

(A)-2(B)0(C)2(D)4

3.函數(shù)尸3+3在?+oo)上日勺最小值為

X

A.4B.5C.3D.1

4.(07湖南理)函數(shù)/")=12x-d在區(qū)間［—3,3］上的最小值

是________

5(07江蘇)已知函數(shù)/(幻=》3-12》+8在區(qū)間［-3,3］上日勺最大值與最小值

分別為口加，貝IjM-掰=

變式、函數(shù)/(幻=/-3》-。在區(qū)間［0,3］上日勺最大值、最,值分別為M,N,

則M_N時(shí)值為o

6.(安徽文)設(shè)函數(shù)/(x)=2x+」-l(x<0),貝)

X

A.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)

六.綜合

1.(07福建理、文)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有/(—x)=—/(x),g(-x)=g(x),且

x>0時(shí)，f\x)>0,g'(x)>0,則8<0時(shí)()

A.f'(x)>0,g(x)>0B.f'(x)>0,g,(x)<0

C.f\x)<0,gr(x)>0D./r(x)<0,g"(x)<0

2.對(duì)于R上可導(dǎo)日勺任意函數(shù)〃x),若滿足(x-l)/(xR0,則必有

)

A-./(O)+/(2)<2./(l)B./(O)+/(2)M2/(1)

C../(0)+/(2)>2/-(l)D./(O)+./(2)>2/(l)

3.(陜西卷文)設(shè)曲線y=x""(〃€N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與X軸日勺交點(diǎn)

日勺橫坐標(biāo)為則王⑦上,日勺值為

(D)l

4設(shè)函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，”/(x)日勺圖象如圖1

右圖1所示，則導(dǎo)函數(shù)也許為()

(A)(B)(C)

(D)

6.(湖南卷文)若函數(shù)歹=/(%)日勺導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間口向上是增函數(shù),

則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口向上日勺圖象也許是【】

A.B.C.

D.

7、已知函數(shù)f(x)=x3+mx~+(加+6)x+l既有極大值又存在最小值，則實(shí)

數(shù)m日勺取值范圍是o

8、若函數(shù)“X)日勺定義域?yàn)?0,+oo),且/(x)>0/(x)>0,那么函數(shù)

y^xf(x)()

(A)存在極大值(B)存在最小值(C)是增函數(shù)(D)是減函數(shù)

9、當(dāng)xe[0,2]時(shí)，函數(shù)/(》)=/+4(叱1.—3在x=2時(shí)獲得最大值，則a

日勺取值范圍是O

七.解答題(重點(diǎn))

題型一:運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。

1.已知函數(shù)/(X)=/+辦2+以+C,過(guò)曲線y=/(x)上的點(diǎn)P(L/⑴)的切線方

程為y=3x+l

⑴若函數(shù)/(X)在X=-2處有極值，求/(x)日勺體現(xiàn)式；

(n)在⑴日勺條件下，求函數(shù)j，=/(x)在［-3,1］上日勺最大值；

(in)若函數(shù)尸，x)在區(qū)間［-2,1］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b日勺取值范

圍

2:已知三次函數(shù)/(X)=1+ax2+for+c在x=l和x=-l時(shí)取極值，且〃-2)=-4.

(1)求函數(shù)y=/(x)日勺體現(xiàn)式；

⑵求函數(shù)y=/(x)日勺單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)=f(x-m)+4m(加＞0)在區(qū)間上日勺值域?yàn)椋踾4,16］,試

求機(jī)、〃應(yīng)滿足日勺條件.

3.(海南文本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=ln(2x+3)+x2

⑴討論/(x)日勺單調(diào)性；

(II)求f(x)在區(qū)間［--0與日勺最大值和最小值.

44

4、已知/(%)=分3+6%2+。二(。。0)在工=±1獲得極值，且/⑴=1。

(1)試求常數(shù)。也C日勺值；

(2)試判斷x=±l是函數(shù)日勺極大值還是極小值，并闡明理由。

5.已知儆f(x)=-x3+3x?+ax+b在x=(l,f(l))處的切線與直線12x—

y—1=0平行.

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)求f(x)日勺單調(diào)遞減區(qū)間；

⑶若f(x)在區(qū)間[-2,2]上日勺最大值為20,求它在該區(qū)間上日勺最小值.

題型二：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立。

1.已知兩個(gè)函數(shù)/(x)=7$-28x,g(x)=2x3+4x2-40x+c.

(I)尸(x)圖像與f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解不等式E(x)2/(x)-x-3

(II)若對(duì)任意xw[—3,3],均有/(x)4g(x)成立，求實(shí)數(shù)0日勺取值范圍；

2.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c.□

⑴若f(x)在(-oo,+oo)上是增函數(shù)求b0^取值范圍;□

⑵若f(x)在x=l處獲得極值，且xe[-l,2]時(shí)，f(x)<c2恒成立，求c的取

值范圍.口

3.(天津卷21)(本小題滿分14分)

432

已知函數(shù)/(X)=x+ax+2x4-Z?(xG7?),其中a,beR.

(I)當(dāng)a=-與時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)/(x)僅在x=0處有極值，求a日勺取值范圍；

(III)若寸于任意日勺ae[-2,2],不等式/(x)W1在[-1,1]上恒成立，求b的取

值范圍.

訓(xùn)練題

1.(本小題12分)設(shè)函數(shù)/(x)=/+6x2+4cx+d日勺圖象有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，

f(x)的圖象在點(diǎn)P(l,加)處日勺切線的斜率為-6,且當(dāng)x=2時(shí)/(X)有極值.

(I)求八枚。、d的值；

(II)求/(X)日勺所有極值.

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx(xe7?),已知g(x)=/(x)-/，(x)是奇函數(shù)。

⑴⑴求6、c日勺值。

⑵(n)求g(x/勺單調(diào)區(qū)間與極值。

3.(北京理科、文科)已知函數(shù)y(x)=-%3+3%2+9%+4.

⑴求火X)日勺單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若危)在區(qū)間[-2,2]上日勺最大值為20,求它在該區(qū)間上日勺最小值.

4.(安徽文)設(shè)函數(shù)/(x)=/+芯+cx(xeR),已知g(x)=/(x)一f\x)是奇

函數(shù)。

⑴求6、c日勺值。(II)求g(x)日勺單調(diào)區(qū)間與極值。

5.(全國(guó)II卷文)設(shè)"R,函數(shù)/(》)=?-3/.

⑴若x=2是函數(shù)y=/(x)日勺極值點(diǎn)，求力勺值；

(II)若函數(shù)g(x)=/(x)+/，(x),xe[0,2],在x=0處獲得最大值，求。日勺取

值范圍.

6.(湖北文)已知函數(shù)/")=x3+〃潦-加、+1(加為常數(shù)，且加＞0)有極大

值9.

⑴求加時(shí)值；(II)若斜率為-5的直線是曲線y=/(x)的切線，求此

直線方程.

7已知函數(shù)=

(I)若/(X)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求“日勺范圍；

(11)與否存械數(shù)“使/(X)在(川)上單調(diào)遞減.若存在求出a日勺范圍,

若不存棚明理由.

09福建理科

14.若曲線/(》)=/+1門存在垂直于夕軸日勺切線，則實(shí)數(shù)。取值范圍是

20、(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(X)=g/+依2+以,且.尸(-1)=0

(1)試用含。日勺代數(shù)式表達(dá)b,并求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵令a=-l,設(shè)函數(shù)/(x)在芭,々(石＜々)處獲得極值，記點(diǎn)M(X],/(xJ),

N(X2,/(X2)),P(w,/(m)),X[＜加＜》2,請(qǐng)仔細(xì)觀測(cè)曲線/(x)在點(diǎn)P處的1

切線與線段MP日勺位置變化趨勢(shì)，并解釋如下問(wèn)題：

⑴若對(duì)任意B勺m6(須，X2),線段MP與曲線/㈤均有異于M,P的1公

共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你日勺結(jié)論；

(II)若存在點(diǎn)Q(〃x＜n＜用,使得線段PQ與曲線尬有異于PQ

的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m日勺取值范圍(不必給出求解過(guò)程)

09福建文科

15.若曲線/（力=/+加存在垂直于y軸日勺切線，則實(shí)數(shù)“附取值范

圍是________,

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（X）=3/+女2+如且八-1）=0

⑴試用含副勺代數(shù)式表達(dá)b;

（II）求/（X）日勺單調(diào)區(qū)間；

（III）令4=-1,設(shè)函數(shù)/（X）在罰,》2（苞＜當(dāng)）處獲得極值，記點(diǎn)

M（X,/G））,N（X2，/（X2）），證明:線段MN與曲線/（x）存在異于M、N的公

i,、t"占I、、，?

08福建理科（11）假如函數(shù)y=/（x）日勺圖象如右圖，那么

導(dǎo)函數(shù)歹=/（x）的圖象也許是

（19）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（X）=$3+X2_2.

(I)設(shè)｛為｝是正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，前〃項(xiàng)和為豆，其中。尸3.若點(diǎn)

他”,*-2a“+1)(nCN*)在函數(shù)產(chǎn)八%)的;圖象上，求證點(diǎn)(〃￡)也

在T(x)的J圖象上；

(II)求函數(shù)加)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)日勺極值.

文科

(21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(》)=/+加/+〃X—2日勺圖象過(guò)點(diǎn)(-1,-6),且函數(shù)

g(x)=J(x)+6x的)圖象有關(guān)y軸對(duì)稱.

⑴求m、n日勺值及函數(shù)日勺單調(diào)區(qū)間；

(II)若<7>0,求函數(shù)yMx)在區(qū)間(a-l,a+l)內(nèi)日勺極值.

07福建

11.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有/(-%)=-/(x),g(-x)=g(x),且x〉0時(shí)，

f\x)>0,g<x)>0,則》<0時(shí)()

A.f'(x)>0,g'(x)>0B.f'(x)>0,g'(x)<0

C.f'(x)<0,g'(x)>0D./'(x)<0,g'(x)<0

22.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/1(X)=e、—kx,xGR

⑴若左=e,試確定函數(shù)/(x)日勺單調(diào)區(qū)間；

(II)若上>0,且對(duì)于任意xeR,/(國(guó))〉0恒成立，試確定實(shí)數(shù)加勺取值范

圍；

n

(III)設(shè)函數(shù)/(x)=/(x)+/(—x),求證：/(1*⑵LF(n)>(eB+,+2)i(neN*).

(全國(guó)一文20)

設(shè)函數(shù)/(x)=2/+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)獲得極值.

⑴求明6日勺值；

(n)若對(duì)于任意日勺XW［0,3］,均有/(x)<c2成立，求C日勺取值范圍.

(陜西文21)

已知/(X)=ax3+總+CX在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù),在區(qū)間(-8,0),(1,+8)上

是減函數(shù)，又八

(I)求/(x)日勺解析式；

(II)若在區(qū)間［0,汨(加>0)上恒有/⑸)成立，求m的取值范圍.

12.已知函數(shù)/(力=$3+；3-1)/+%,①若/(x)在x=l,x=3處獲得

極值，試求常數(shù)ac的值;②若/(X)在(-8,%),(孫+8)上都是單調(diào)遞增,

在(陽(yáng),工2)上單調(diào)遞減，且滿足X2-X1〉l,求證：從〉2(b+2c)

14.設(shè)”0,點(diǎn)P(f,0)是函數(shù)/(x)=1+"與g(x)=b/+c日勺圖象日勺一種

公共點(diǎn)，兩函數(shù)日勺圖象在點(diǎn)P處有相似日勺切線.

⑴用/表達(dá)a,b,c;

(H)若函數(shù)y=/(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減,求,日勺取值范圍.

例1］已知曲線S:y=-g/+/+以及點(diǎn)。(0,0),樹(shù)點(diǎn)P日勺曲線S日勺切線

方程.

正解:設(shè)過(guò)點(diǎn)P日勺切線與曲線S切于點(diǎn)0(x。)。)，則過(guò)點(diǎn)產(chǎn)日勺曲線S日勺

切線斜率

2—2

k=y'\x=_2x0+2x0+4,又左p。=2x0+2x0+4=0CD)U

r,°乂YY

人0人0

點(diǎn)。在曲線S上，

=-*3+/2+4%.②，②代入①得

+x2

-|vo+4x0

2XQ-+2XQ+4=---------------

%

化簡(jiǎn)，得。x(/-x0~=0,=0或/=1.若xo-01則左=4,過(guò)點(diǎn)P

的切線方程為"4x；若則左=稱，過(guò)點(diǎn)P0W線方程為

48

y=苧》.，過(guò)點(diǎn)P的曲線S日勺切線方程為歹=4x或y=當(dāng)工

88

［例2］已知函數(shù)/(幻="3+3--x+1在R上是減函數(shù)，求。日勺取值范圍.

錯(cuò)解：/'(X)=36+6x-l,U/(x)在R上是減函數(shù)，，八x)<0在7?上怛成

立，

3ax2+6x-1<0對(duì)一切xwR恒成立，.?.△<(),即36+12。<0,

Cl<—3.

正解:/'(》)=3爾+6%-1,0/(x)在R上是減函數(shù)，.?./"(x)WO在R上恒

成立，A<0且a<0,即36+12。40且。<0,；.。4-3.

例5］函數(shù)f(x)=3x3+3ax-l,g(x)=f'(x)-ax-5,其中/'(x)是/(x)日勺導(dǎo)函

數(shù).(1)對(duì)滿足一號(hào)。金的一切。日勺值，均有g(shù)(x)〈O,糠數(shù)x日勺取值范

圍；

(2)設(shè)。=一田，當(dāng)實(shí)數(shù)加在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象

與直線y=3只有一種公共點(diǎn).

解：(1)由題意g(x)=3x2-ax+3a-5

令°(x)=(3-x”+3x2-5,-1<tz<1

對(duì)一1Wa,怛有g(shù)(x)<0,即夕(a)<0

.夕(1)<0gg3x^—x-2<0

…y(-1)<0[3X2+X-8<0

解得一2Vx<1

3

故時(shí)，對(duì)滿足一tdl的一切。日勺值，均有g(shù)(x)<0.

⑵f（x）=3x2-3m2

①當(dāng)加=0時(shí)，〃x）=x3_i的圖象與直線y=3只有一種公共點(diǎn)

②當(dāng)加N0時(shí)，列表：

X(-coJM-\m\(-MMI)\m\(加|,+°°)

/‘（X）+0—0+

/（X）Z極大]極小Z

，/（x）極小=/（⑷=-2/叫〃1<-1

又?."（X）的值域是R,且在（|小+8）上單調(diào)遞增

.??當(dāng)》〉同時(shí)函數(shù)y=/（x）的圖象與直線y=3只有一種公共點(diǎn).

當(dāng)x<同時(shí)，怛有（-網(wǎng)）由題意得了（-網(wǎng)）<3即

2/網(wǎng)一1=2|?n|3-1<3解得加蚯,0）U（0,蚯）綜上，加日勺取值范圍是

（-V2,V2）.

例6、（1）與否存在這樣日勺k值，使函數(shù)

T"丁"一丁在區(qū)間（1,2）上遞減，在（2,+oo）上遞增，

若存在，求出這樣日勺k值；

⑵若,恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定，的取值范圍，并求

出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間。

解：

⑴「「IXX.T-2

由題意,當(dāng)VIZ時(shí),當(dāng)xw(2,+oo)時(shí)―。,

.??由函數(shù)一’)日勺持續(xù)性可知門二=°,

即L

整頓得kMJ-3-U

ir=-k--

解得或

驗(yàn)證：

⑴當(dāng)一三時(shí)，.“口-?':『1：;;?，1

.?.若|<-2,則門一0;若》>2,則"，。,符合題意;

...<—*,，.：丁一-2A'+-A-2

(II)當(dāng)時(shí)，10

9/7-鬧7+鬧、

99

顯然不合題意。

1,

于是綜上可知，存在2使，(G在(1,2)上遞減在(2,+8)上遞

增。

⑵」-招+1

若8U，則'n---,此時(shí)只有一種增區(qū)間-9+⑹，與

題設(shè)矛盾；

若”U,則-J,此時(shí)廣]只有一種增區(qū)間LQ+⑹，與題設(shè)

矛盾；

/(X)=3a(x-r—)-3a(x+-1[x—--i

若r0,則'J7"；7一九

x(?x、I

并且當(dāng)/……J時(shí)，門；、n;

—1/1

當(dāng)閆"K時(shí)，on

??.綜合可知，當(dāng)j<u時(shí)，，㈤恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間：

-1.1V-1

H'，i------------：(-,-----^^=)

減區(qū)間2：-:a；增區(qū)間J-切J-M

點(diǎn)評(píng):對(duì)于(1),由已知條件得=n,并由此獲得k的也許取值,

進(jìn)而再運(yùn)用已知條件對(duì)所得k值逐一驗(yàn)證，這是開(kāi)放性問(wèn)題中尋求待

定系數(shù)之值的基本方略。

例7、已知函數(shù).4――m,當(dāng)且僅當(dāng)x-i.x-1時(shí)，JF

獲得極值，并且極大值比極小值大4.

(1)求常數(shù)，:日勺值；

(2)求'7日勺極值。

解:

令-八得方程J+；“+&-0

在；--：二-1處獲得極值

AX-I或"I為上述方程日勺根，

15(-1)<?3<>(-1)3*6-0

故有：11/+2aili*+-0

1+3*，卜-U,即'-一4-5①

...?',TI-七'+\ir1<

=■5(x4~1)+姒/7)

=(x+l)(x-1)(5x3_3。+5)

又僅當(dāng),.-±1時(shí)獲得極值，

方程,i，=n日勺根只有"i或\【，

方程2?3,:U無(wú)實(shí)根，

=H即一H

而當(dāng)時(shí)，-?V.J.7-：>U恒成立，

??.二」)的正負(fù)狀況只取決于」+」二“日勺取值狀況

當(dāng)x變化時(shí)，「門與，F(xiàn)日勺變化狀況如下表:

A：-cq-l)1■1(1,+8)

八X)+0一0+

..

極大值A(chǔ)極小值/

.?，外在”1處獲得極大值「：,，在”-1處獲得極小值「；)。

由題意得'L加一

整頓得71-1-

于是將①，②聯(lián)立，解得

(2)由(1)知，

點(diǎn)評(píng):循著求函數(shù)極值的環(huán)節(jié)，運(yùn)用題設(shè)條件與「一的關(guān)系，立足

研究門,.,=。日勺根日勺狀況，乃是處理此類含參問(wèn)題的一般措施，這一

解法體現(xiàn)了方程思想和分類討論日勺數(shù)學(xué)措施，突出了“導(dǎo)數(shù)”

與在％處獲得極值”日勺必要關(guān)系。

1.已知函數(shù)/(x)=ax3+(2(7-1)》2+2,若X=-1是N=/(x)日勺一種極值點(diǎn)，

則。值為()

A.2B.-2C.-D.4

2.已知函數(shù)/(x)=x3+°丫2+bx+/在x=l處有極值為10,則/⑵

3.給出下列三對(duì)函數(shù)：①〃x)=-士g(x)=-x-1②/(x)=ax2(a>0),

③/(X)=-(；)、，g(x)=-log(-x)；其中有且只有一對(duì)函數(shù)”既互為反

函數(shù)，又同是各自定義域上日勺遞增函數(shù)”，則這樣日勺兩個(gè)函數(shù)日勺導(dǎo)函

數(shù)分別是八X).

g'(x)=-

4.已知函數(shù)/(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+l有極大值和極小值，求。日勺取

值范圍.

5.已知拋物線y=-x?+2,過(guò)其上一點(diǎn)尸引拋物線日勺切線/，使/與兩坐

標(biāo)軸在第一象限圍成日勺三角形日勺面積最小，求/的方程.

6.設(shè)g(y)=l-十+4肛3在)上的最大值為/⑶,xeR,

(1)求/(x)日勺體現(xiàn)式;(2)求/(X)日勺最大值.

設(shè)aeR,函數(shù)/(X)="_3X2.

⑴若x=2是函數(shù)y=/(x)日勺極值點(diǎn)，求a日勺值；

(II)若函數(shù)g(x)=/(x)+八x),xe[0,2],在x=0處獲得最大值，求。的J取

值范圍.

解：(I)f'(x)-3ax2-6x-3x(ax-2).

由于x=2是函數(shù)y=/(x)日勺極值點(diǎn)，因此八2)=0,即6(2"2)=0,因此

a=1.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)。=1時(shí)，x=2是函數(shù)"=/(%)日勺極值點(diǎn)...............4分

(II)由題設(shè)，g(x)=ax3-3x2+3ax2-6x=ax2(x+3)-3x(x+2).

當(dāng)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為g(0)時(shí)，

g(0)，g(2),即0220Q-24.故得。.....................9分

反之，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意XE[0,2],

g(x)W：x2(x+3)-3x(x+2)

=—(2x2+x-10)=—(2x+5)(x-2)^0,

而g(0)=0,故g(x)在區(qū)間［0,2］上的)最大值為g(0).

綜上，4日勺取值范圍為100,：...............................12分

3已知是函數(shù)；也+舊+，："1的一種極值點(diǎn)，其中

句.月w尺第＜0

(I)求T與.日勺關(guān)系體現(xiàn)式；

(H)求不)的單調(diào)區(qū)間；

(III)當(dāng)一匚1時(shí)，函數(shù)日勺圖象上任意一點(diǎn)的J切線斜率恒

不小于3m,求''的取值范圍。

解析：(1)本〃題重要考察了導(dǎo)數(shù)日勺概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

單調(diào)性日勺基本措施以及函數(shù)與方程日勺思想，第2小題要根據(jù)“，日勺

符號(hào)，分類討論:川日勺單調(diào)區(qū)間;第3小題是二次三項(xiàng)式在一種區(qū)間

上恒成立日勺問(wèn)題，用區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)來(lái)表達(dá)二次三項(xiàng)式在一

種區(qū)間上日勺符號(hào)，體現(xiàn)出將一般性問(wèn)題特殊化日勺數(shù)學(xué)思想。

解答：

(I),./(ri--,-V-「"+：)…，I是函數(shù)JR日勺一種極值點(diǎn)

.??/%::二"iI"-I.

：?*-3”:+6

(][)?「」、+，廠m?-?一I'IT一麻

令、.，=。，得一；/二

VH：11-一”1幻與.門一日勺變化如下表：

(U2,1：.

X(91+二)1?■1(I.+CO)

郡雁

,'1—0+0—

單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

I,一(矍|x1i

因此，外日勺單調(diào)遞減區(qū)間是+和工+⑺日勺單調(diào)遞

:一二：1

增區(qū)間是才；

(HI)由(II)「-W①可+IU3可?，二+，,：+.T.

即叫X二刊+11?2>II.丁工1二］)

令￡>7；M：+：IZ+,］事、I,：.?=［二］

,.?亨,_+J:二［'.］且匚.Ij

1)6炭+2m+4>0.4

4

即m的取值范圍是3

4^-7

已知函數(shù)j-.vo

⑴求日勺單調(diào)區(qū)間和值域;

(II)設(shè)；，，函數(shù)冢。，—；：7川，若對(duì)于任意

「二：】，總存在”⑼1,使得第=『成立，求，的取值范圍。

解析:本題考察導(dǎo)數(shù)日勺綜合運(yùn)用，考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理問(wèn)題

能力，考察思維及推理能力以及運(yùn)算能力，本題入手點(diǎn)輕易，

(I)中對(duì)分式函數(shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問(wèn)題，往往以導(dǎo)數(shù)為工具,

(H)是三次函數(shù)問(wèn)題，因而導(dǎo)數(shù)法也是首選，若可"成立則

二次函數(shù)值域必滿足‘二：關(guān)系，從而到達(dá)求解目的J。

解：