隨機(jī)過程習(xí)題答案

隨機(jī)過程習(xí)題解答(一)

第一講作業(yè):

i、設(shè)隨機(jī)向量(X，y)的兩個分量相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(°』)。

(a)分別寫出隨機(jī)變量X+丫和X-y的分布密度

(b)試問：Y+T與X-Y是否獨(dú)立？說明理由。

解：(a)X+JN(0,2),y-r-27(0,2)

(b)由于：

‘x+丫、(\1丫『

=、1-山,=B,B=.det5=-2*0

5T

支+y、

因此d-h是服從正態(tài)分布的二維隨機(jī)向量，其協(xié)方差矩陣為:

?1Y10Y11、(20、

D=BEBr

1J-山山1廠102,

因此x+‘與”—y獨(dú)立。

2、設(shè)人和＞,為獨(dú)立的隨機(jī)變量，期望和方差分別為〃「b；和/公。：

(a)試求Z="7和A的相關(guān)系數(shù)；

(b)Z與N能否不相關(guān)？能否有嚴(yán)格線性函數(shù)關(guān)系？若能，試分別寫出條件。

解：(a)利用X，1的獨(dú)立性，由計(jì)算有：

r

Cov(Z,X)=E{[Xi-E(XY)]\X-E(X)]}=[^+^]/i2-&小=中匕

D(Z)=E(Z2)-￡,2(Z)=E[X2-+。河

_%_5%

U片b；+b；/Z；+bE)

(b)當(dāng)二1的時候，2和4線性相關(guān)，即

22222222

從巴+5%=，也

3、設(shè){X")''2°}是一個實(shí)的均值為零，二階矩存在的隨機(jī)過程，其相關(guān)函數(shù)為

E{X(s)X(/)}=B(t-s),s<t,且是一個周期為T的函數(shù)，即8(r+T)=B(r),「20,試求方差

函數(shù)力[X(t)—W+T)L

解：由定義，有：

D[AXr)-X{t+r)]=D[A7O]+D[X(t+T)]

-2E{[X(t)~EX(t)][X(t+7)-EX(t+T)]}

=5(0)+B(0)-2E{X(t)X(t+T)}

=B(0)+B(0)-2B(T)=0

4、考察兩個諧波隨機(jī)信號X?)和)?),其中：

X(t)=ylcos((y/+。)，丫⑴=8cos?J)

式中力和為正的常數(shù)；。是[一〃，〃.內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，B是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

(a)求的均值、方差和相關(guān)函數(shù)；

(b)若3與B獨(dú)立，求X(，)與M/)的互相關(guān)函數(shù)。

解：卬或了(/)}=0

%看“)=/XG)X(G)}=

產(chǎn)21A2

=Acos(①J[+<jp]cos(<yJ,+哈——d(p=——cos(。入(：-k))

人""lit2

A2

=——cosa)cTr=4-G

2

D{X(t)}=cos(a)ct+(p)^-d^=

(b)RAY(%4)=E{X(。))('2)}=。

第二講作業(yè):

P33/2.解:

AnT<t<nT+7]

*)=,

0nT+/j<t<(n+l)I其中7?為整數(shù)，i]為脈寬

00x<0

F±(K/)=4P0viWT}=*—0<x<A

1ix>A

從而有一維分布密度:

4(x/)=，(力"-#(工—力)

P33/3.解：由周期性及三角關(guān)系，有：

A.

*)=0"+7-%)f丘卜0-T,7]

%=r+f-1g(t)

反函數(shù)A,因此有一維分布：

.[1KL1Z1

=xe(0,送4)

介(幻=丁|小ITAA

I0其它

/、0=tan1—,V=4比+〃2

P35/4.解：⑴G(f)=VsinW+“)其中〃

由題意可知，的聯(lián)合概率密度為：

&勿(蒼)')=；exp{-(V+)/)/2}

x=vcos伊

v=^x2+y2(p=tgl-

y=vsin^?x

利用變換:,及雅克比行列式:

改

友

一

一

加

切

-砂

如

一

一

lav而

我們有(匕陽的聯(lián)合分布密度為:

八…盧卜V

2v>0,0<^><2^

因此有:

V

2

fv(y)=vev>0

/。4…

且V和0「相互獨(dú)立獨(dú)立。

(2)典型樣本函數(shù)是一條正弦曲線。

(3)給定一時刻/,由于；獨(dú)立、服從正態(tài)分布，因此「(/)也服從正態(tài)分布，且

E(g⑴)=E(^coscot+〃sincot)=cos。fE(j)+sinofEQ?)=0

。(式f))=D(Jcoscot+7；sincot}=cos旗)+0(〃sincot}

=cos2otD(g)+sin2①tDQ])=1

所以G")?N(OJ)O

網(wǎng)/；一。)力=片+"2

(4)由于：萬

所以"用=202+〃2>,)因此

當(dāng)c-0時,

P(A)=1

當(dāng)0>°時,

F(4)=l-P(Jy+〃244)

c

2

P(A)=1-Fv(4c)=e

由(1)中的結(jié)論，有:

P36/7.證明：

Z

R%(“2)=￡J]COS/(COSJd，]=—cos/)cos/2

⑴°3

(2)由協(xié)方差函數(shù)的定義，有：

Cq（’1，，2）=尺1（。，，2）一]〃cosf]cost2d〃?fT7cosAcost2dr/

111

=—costcosL---cosAcosL=—cost,cosL

3,24121212

P37/10解.⑴頊相>0)=龍?)=小@(-i)+p」l=Mp-q)

J-?-*//Ax_7?/IJ-J?X..1-x

⑵?力)=E(z落)=2>(必，

J=1J=1均碼1;對

1</<?]

當(dāng)i=j時雙適)=1；否貝盧(西卜年一夕丫

令〃=miu(%,n2)N=max(%,n2),則有

R*(%，％)=ZE?ej)+〃」=m<N-l)](p-q)2+”(5?%一”)(p-q>+力

.產(chǎn)

C〃“(々，%)=,n2)-E(T](nx))-石(77(々))

=(公?力2-〃)(P-9)2+"一&(P-q)?%(P-。)=4叩q

第三講作業(yè)：

P111/7.解：

(1)是齊次馬氏鏈。經(jīng)過,7+1次交換后，甲袋中白球數(shù)僅僅與"次交換后的狀態(tài)有關(guān)，和之前的狀態(tài)

和交換次數(shù)無關(guān)。

(2)由題意，我們有一步轉(zhuǎn)移矩陣：

010

14401

---

P9990

=44

o--1

99

019

Ooj

P1H/8.解：(1)由馬氏鏈的馬氏性，我們有：

P旗0)=0苫(1)=1,空)=1}=

=唾⑵=喈(1)=1}.尸領(lǐng))=喈(0)=()}?尸原0)=0}

1311

=—?—?—二---

34416

(2)由齊次馬氏鏈的性質(zhì)，有：

571

一

一4

17616

口2

尸13

一

2)--一16

3163636

13

一31

一

124848

此

因

7

-

16

Pl12/9.解:

'\-0

Pp1-p0p

⑴尸(2)=尸=

010P⑷=pA=010=p(2)

\-p0p.y-p0p.

nt")_pb+2)

(2)由(1)的結(jié)論，當(dāng)”為偶數(shù)時，遞推可得：1一廣

pl")_p("+2)

計(jì)算有：即=pMp⑶=尸\遞推得到尸一尸，因此有：

010'

1-P0p〃是奇數(shù)

010

尸⑸=）

1-/70p

010n是偶數(shù)

1-p0p

P112/11.解：矩陣尸的特征多項(xiàng)式為：

="+；12+；1=(2-1XA+C7+^-1

由此可得特征值為：4=1,4=1一°-8,及特征向量:

4=（L1）「，4=（見-b）：

令矩陣1

A=

1一

則有:

因此有:

0

A-PA==月-1尸w月

（l-a-b/

b

10a+ba+b

0(1-a-b)n1-1

a+ba-\-b

b+a(l-a-b)na-ff(l-a-b)n

a+ba+b

b_b(l_a_b)"a+b(l—a—b)"

a+ba+b

Pl12/12.解：

設(shè)一次觀察今天及前兩天的天氣狀況，將連續(xù)三天的天氣狀況定義為馬氏鏈的狀態(tài)，則此問題就是

一個馬氏鏈，它有8個狀態(tài)。記每天天晴為0,下雨為1,則此鏈的狀態(tài)可以由三位二進(jìn)制數(shù)表示。如三

天晴為000,為狀態(tài)0；第一天晴，第二天晴，第三天雨為001,為狀態(tài)1；第一天晴，第二天雨，第三天

晴為010,為狀態(tài)2；第一天晴，后兩天陰為011,為狀態(tài)3,等等。根據(jù)題目條件，得到一步轉(zhuǎn)移矩陣如

下：

0.80.2000000

000.40.60000

00000.60.400

0000000.40.6

P=

0.60.4000000

000.40.60000

00000.60.400

0000000.20.8

第四講作業(yè):

P113/13.解：畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，有：

f⑴_?(?)_1f⑵_.1_1f(v__L211

Ioo—Poo—,Joo-?一一萬，J00一―~

22362339

1

f(0-1.f(2)__X=-?

/01—J01—A——J01.__

22242228

PI13/14.解：畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，有：

端=成一外常二。，/石二％%%；

To,=5,/of=Pili，/of)=

P113/16.解：畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，有：

(1)由于三個狀態(tài)都是相通的，所以三個狀態(tài)都是常返態(tài)。

(3)狀態(tài)3、4無法和其他狀態(tài)相通，組成一個閉集，且^3=1,所以狀態(tài)3、4為常返態(tài)；另外狀態(tài)0、

2相通組成一個閉集，且九一L故狀態(tài)0、2是常返態(tài)；因?yàn)橥?=LN/,=（）（">1）,故

/1=1/2<1,所以狀態(tài)1為非常返態(tài)。

（4）0、1相通作成一閉集，且Foo=1,故0、1為常返態(tài)；又#？=L/黑=°（">1）,因此工12=1,

故2為常返態(tài)；自=1<L啟=2/'3<1,故3、4為非常返態(tài)。

第六講作業(yè)：

P115/17.解:（1）一步轉(zhuǎn)移矩陣為:

0p00q-

q0p00

P=0q0p0

00q0p

_p00q0

（2）當(dāng)P>°，夕>°時，由計(jì)算可得P'>0,因此可由以下方程組計(jì)算極限分布:

0p00q

q0p00

（萬0>萬2，叼，%）=（萬0，萬1，"2，%3，%）0q0p0

00q0p

p00q0

(7Tg+?]+7T7+71、+兀4=1

解得極限分布即可。

P115/18.解：由第七題的結(jié)果，計(jì)算可得：，

因此可計(jì)算極限分布如下：

-0100'

￡44

0

999

（既，冗］、冗1，霏3）~（近.巧，叫，江3）

442

nU

999

_0010

+江1+%2+斤3=1

解以上方程，得極限分布：

,、/1991)

°123(20202020J

P115/19.解:見課上講稿。

P116/21.解：記工”=45），％=〃（〃），〃=1，2,…，則有:

(1)因?yàn)椋?/p>

=P{X.+1=0,工+]=/工=iJfiA==/J

+產(chǎn)在田=1，L"工=，T=*，???/=0

=9P邕+1=/|匕+1=。，匕-=*Lj=iJ

+泮區(qū)+1=)|匕+1=1，，=i，，T=*，…，5=4}

當(dāng)，二°時，有：

P{Yn+l=0\Xn+l=0Jn=/"；T=4"...,匕=G=1

產(chǎn)區(qū)式二0|匕+1=1，工=7消T=乙}二。

由(A)可得：

—=)|工=?，，T=*，…，、=巾=q

當(dāng)/工°且/=’+1時，有:

尸口+1=，+1因￡=0,工=/,%=*，…,4=幻=0

P億H=j+1￡+1=L匕=G=1

由(A)可得：

產(chǎn)也+i=/1%=力匕-1=*，,?,/=?=「

當(dāng)/工°且/4+1時，有：

P{1=/工用=0，工=；，岫=*，…/；=G=0

P%產(chǎn)/因+1=1，匕=*T=*，…黑=寸=0

由(A)可得：

—=/%='?,給=*，…/=討=0

另外：下列等式是明顯的

，q,7=o

2億+i=/工=，}=，/=/+1

o,其它

因此我們有：

口工+i=/|%=，，工T=*，…,X=%}=口工+i=/|工=訃

即{是一齊次馬氏鏈。一步轉(zhuǎn)移矩陣為：

匕Poo■■?

p=q0p0…

q00p???

k:

(2)畫出轉(zhuǎn)移矩陣圖，可得：

瑞=q，您=pq,需=p2q,…，需=p'Tq

0,由遞歸可得:

POT=Too*Poo1=9

Pm=foopSo+.相，p”=/+pg=q

PM，=q

(3)由于:

/ou=Z啟"=EP"%=1

n-\w=l

1

E破)=-<8

?=iq

因此，零狀態(tài)是正常返的，由相通性，故所有狀態(tài)都是正常返的，即此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s的。

(4)由馬氏鏈的無后效性，可知此時的T就是零狀態(tài)到零狀態(tài)的首達(dá)時間。因此我們有:

E{T}=fkP{T=熊=沙腰工kpiq=上

k=i±=i上=1q

￡){7}=}-(E{T?=匕苫

q

隨機(jī)過程習(xí)題解答(二)

P228/1o證明：由于s口，有

PS(S)D</NG)010P斤%

「p￡j(s)Pc畫N6圍DiDd

UpQ^)OhD

其中

pQ(s)Ck3{N(tQ)Dim?m；e.)

pQ(t)DiS^em

n!

所以

4一———

pQ(s)O</N(t)------L尸’:---

工田

n!

□$kGQ)nan!國廠

tktnlUk!(nQ)!

P229/3.解：（1）因?yàn)椋鸑（t）,0是一Poission過程，由母函數(shù)的定義，有:

□(s)口口｛NBCk｝國

N(tEO)

kQ

｛NR）口｝田｛N（口）口｝主

□ETOQN心口｝國中｛N(□)□<口｝@口口

kOHtD

□苫RNG)口｝國13｛N(□)□<口｝國口口

1.

□回馬（t）口｝國

OjQ

CD(s)皿(s)

NA)N(Q)

（2）有上面（1）的結(jié)果，可得:

m?f—LIaLU&

N(t)口1171N(tnn)N(t)

anno□

Tm口?皿G)H?

□limN(t)N(d)N(t)

□□o口

□□(s)djmDNo/s)D

N(t)□

□□0

（3）當(dāng)口充分小時，由于:

□(s)口口｛N(口)公｝國

N(Q)

kQ

d3mma)QdSama)3cEtaa)國

kQ

因此，當(dāng)|s|口時，有：

limqo)?口[XO@rT7sQ)

□□0口QDO口kD口

由(2)的結(jié)果，我們有：

皿曾?CQs口)□(s)

□N(t)

P229/4.解：（1）由上面3題的結(jié)果（3）,我們有:

(s)

口口)口(s)

N(t)口

（2）由于口（s）是隨機(jī)過程N(yùn)&）的母函數(shù)，且口（s）匚bEfenot,將函數(shù)eoismt關(guān)于s（sDL）

N（t）N(t)

展開成級數(shù)形式，我們可得:

□(s)Ei口so□叵］——上國coEk

N(t)k!

kQ

由母函數(shù)與分布函數(shù)的唯一性定理，可得:

P{N?匚k}Hffl,k匚D」,2口

P230/8.解：由特征函數(shù)的定義，我們有:

□J)DE

□□p{N6)Di}國口:1(t)|NG)Da口

nO

□")nSffldE

nQl提好MW

□

n!

nO

則有:

至4人口□

J口Qxp(*)

n!

iO

若Y伍口,2,口）的概率分布為:

p{Ya}Dntop

n1212

則

IU0U（**）

□心）DEHn土曲

1212

將（**）代入（*）,我們有:

□

口xs回U□0QU口花

IIII.I

nitean(nm)t

212

P230/7.解：先求｛N《）』0）｝的特征函數(shù):

o

I-elnjt倒(Qi)m

由上面8題的結(jié)果，根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)的唯一性定理，可知｛N?[□)｝是復(fù)合

o

Poission過程。

P231/10.解：由于

pgt)a(x6)Dj|XQDCJ)0D1電

JP53?a,x6后,x6Dedoct)Di口

P圖t)DC?)DC6D1口

123

因?yàn)閤jt)的母函數(shù)為：

□(s)DexpQ(sDl)tD

N(t)i

由獨(dú)立性，可知X(t)DX^t)DXG)的母函數(shù)為：

123

□(s)□巴□(s)Dexp咽□□□□OBtO

X(t)X(t)123

i口

所以XG)DXG)DCG)DCG)是參數(shù)為□匚口工的泊松過程，即

123123

P員C)匚區(qū)t)Eh1吧中?口史坦事事昆

123n!

因此我們有:

pU(t)a,xoDj|X6)DC《)DC6)D1電

曰國值t口4st比

1昌國ao1

_A_emtLJiee叫

「k!k?jj!i___(nLj\_k)!

□DBEm——rnWr~~

i23eq口W

n!

n!「Silnha

%!?□：口)!’123-----------

nmm)n

123

P231/12.解：(1)由

px(tm)

□P{x(t)ci.x(□)□)}DP{x(t)口Q,X(Q)口}m

□P{x?ndEtoaBHX?□<口}星a□)(口

rr

令口口0,有

EQp(t)p?

dtrkrkQ

解得

P員的口宙平kefflt

k!

(2)由(1)知，XG)服從參數(shù)為國的泊松分布。

r

P232/15.解：(1)以2)表示t時刻系統(tǒng)中不正常工作的信道數(shù)，則{%)上□)}是一馬氏

過程，其狀態(tài)空間為：SB0L2},Q矩陣為：

平口2口0C

=□□non□E

Q

=02口口上

(2)令：

HG)p心pQ)匚

J000102

P(t)匚J)(t)p。pG)=

r—|1011121—1

3G)pG)p(t)=

口2021221

則前進(jìn)方程為：

天…

國(0)口

(3)令：

Pt)DP{Oi)Qj}

j

品)D(fG),pC),p6)),10)口(1,0,0)

012

寫出福克―普朗克方程：

□晶)Q

薪)口。,0,0)

即有:

□Ip(t)

rq_Q——□3%G)口(t)

=qdt01

4P(t)

BQ)。G)口(0口斗心QEb/t)

dt

L-CP2G)

dt

□)(0)口，P(0)口)，(0)□

t012

做Laplace變換，令:

□(s)DL(p?)),nD3』,2

則有:

國□?口口3m（s）G?

00

□（s）nm（s）DOUD（s）am（s）

1—^1D1(s)OT(.0s)am.(..s.)12

J212

由上解得:

]S2□CBDCDS?

□(s)口

0;

其中:

□□2□□

AnnDnrCDn

，(rm2'(nri2

因此求

Po（t）DLBq（s））

即可。

(4)P{T口,T口}DP{T口}P{TQ}QmemDean-

ABAB

P233/16.解：(1)令A(yù)）表示t時刻系統(tǒng)中正在用電的焊工數(shù)，則｛曰）,t口）｝是一馬氏過

程，其狀態(tài)空間為:SD{0i,2,D,ni}o

（2）Q矩陣為:

p3n口mD00□0一

='□=

(mQ)D0□0

Q匚一02D□2m(mQ)D(rnQ)D□0一

==

□□□□□□

=0000mD□nCh

(3)令:

P^DPG)Dj)

_j_

P^t)D(p(t),pC),pG)JZJ,p^)),p^o)DC,o,o,□,o)

012m

溫Q

田o)aa,o,O,D,O)

上ID□

(4)畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移率圖，可得t□□時的平衡方程：

護(hù)?？谟?/p>

=HfnQ)tt2OpDnQ)U口)

I—I102

□□

5fnDi)CDiQp□(mDiD-)Q)口伍口)口)

nnDnQ

□□

口On』

—pLJm

。Q

—n

由此可得：

(m01)03口6口)斗DinDi口)』D14ma

nnDnQn

mQ)CQ)□)

01

即有：

出口1)%口5口)40)

nn口

p□盤三9H,nn)J.,2,D,m

n口(JI口)七小

由此可以求得：

p口皿01口)小三口叱ttnfflp,nDU,口,m

nnnU-10mo

由回p口，即可確定p,最終得到所要的結(jié)果。

n0

nO

P233/17,解：(1)由于：□匚hHh,□DiD(QQa□))

nn

可以得到此過程的Q矩陣：

—

甲a000□

□□□cmram00□=

L口02口□emaa2二0□=

Q用

□□□

—nD□nOUQ]nEEl=

=□U□=

令:

P心口?口}

j