行列式概念與性質(zhì)

關(guān)于行列式概念與性質(zhì)§3.1行列式的概念§3.2行列式值的和性質(zhì)、記算§3.3

若干應(yīng)用(逆陣公式、克拉默法則等)本章的主要內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容

行列式的計(jì)算第2頁,共31頁，2024年2月25日，星期天1、概念2、性質(zhì)§3.1行列式的概念和性質(zhì)第3頁,共31頁，2024年2月25日，星期天一、概念

對任一n階矩陣用式子或用大寫字母

D表示,常把上述表達(dá)式稱為

A的行列式

(determinant),記作detA

表示一個與

A相聯(lián)系的數(shù)，而把相聯(lián)系的那個數(shù)稱為行列式的值.今后，稱上述具有n

行n

列的表達(dá)式為n

階行列式.第4頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定義把刪去第i行及第j列后所得的(n–1)階子矩陣稱為對應(yīng)于元aij

的余子矩陣，并以Sij

記之.

對一n階矩陣對

n=2,3,…,用以下公式遞歸地定義

n階行列式之值：def定義

一階矩陣

[a11

]的行列式之值定義為數(shù)a11

，即det[a11

]defa11第5頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)def，計(jì)算該行列式的值解因有

S11=[a22],S12=[a21],

故—+第6頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例設(shè),計(jì)算

detA

的值.解def第7頁,共31頁，2024年2月25日，星期天若寫出計(jì)算3階行列式值的公式為第8頁,共31頁，2024年2月25日，星期天以下表的形式記3階行列式值的計(jì)算公式

說明

三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).

結(jié)論

n階行列式的值是

n！個不同項(xiàng)的代數(shù)和，其中的每一項(xiàng)都是處于行列式不同行又不同列的n個元之乘積.第9頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定義

對

n階行列式

detA，稱detSij

為元

aij的余子式

,稱為元

aij的代數(shù)余子式.例如第10頁,共31頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)該定義，可重新表達(dá)行列式的值def其中

A1k

是元

a1k對A或detA

的代數(shù)余子式.相當(dāng)于把行列式按第一行展開注

行列式的每個元素都分別對應(yīng)一個余子式和一個代數(shù)余子式.第11頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.2、性質(zhì)定理

對n階矩陣

A，有

行列式的值也可按第1列展開計(jì)算.第12頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例如推論

若行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零.定理2

互換行列式的兩行(列),行列式值反號.

定理3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k,

等于用數(shù)

k

乘此行列式.第13頁,共31頁，2024年2月25日，星期天請問若給n階行列式的每一個元素都乘以同一數(shù)k，等于用

乘以此行列式.思考推論1

對

n階行列式A

，有

推論2

行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零．證第14頁,共31頁，2024年2月25日，星期天推論3一行(或列)元素全為0的行列式值等于零．定理4

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和則D等于下列兩個行列式之和例如第15頁,共31頁，2024年2月25日，星期天推論把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式的值不變．例如

行列式等值變形法則第16頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即或表達(dá)為若行列式按列展開，有定理

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即行列式的展開定理第17頁,共31頁，2024年2月25日，星期天證將行列式按第i行展開,有如果將行列式中的aij換成akj，那么自然有第18頁,共31頁，2024年2月25日，星期天行列式含有兩個相同的行,值為0.綜上所述,得公式第19頁,共31頁，2024年2月25日，星期天注在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí),直接應(yīng)用行列式展開公式并不一定簡化計(jì)算,因?yàn)榘岩粋€n階行列式換成n個(n－1)階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量,只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí),應(yīng)用展開定理才有意義，但展開定理在理論上是重要的．

利用行列式按行按列展開定理,并結(jié)合行列式性質(zhì),可簡化行列式計(jì)算：方法計(jì)算行列式時(shí),可先用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為僅含1個非零元素,再按此行(列)展開,變?yōu)榈鸵浑A的行列式,如此繼續(xù)下去,直到化為三階或二階行列式.第20頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例

計(jì)算行列式解第21頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理

設(shè)

L是有如下分塊形式的

(n+p)階矩陣其中

A是

n階矩陣，

B是

p階矩陣，則有在A、B是方陣時(shí)也成立定理

若A、B是兩個同階矩陣，則注意

公式中C的元之具體值對結(jié)果無影響.第22頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)

證明第23頁,共31頁，2024年2月25日，星期天證明對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為第24頁,共31頁，2024年2月25日，星期天證明：對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式對D

的前k行作運(yùn)算，則第25頁,共31頁，2024年2月25日，星期天對作運(yùn)算，把化為下三角形行列式對D

的后n列作運(yùn)算，則第26頁,共31頁，2024年2月25日，星期天對D

的前k行作運(yùn)算，再對后n

列作運(yùn)算，把D

化為下三角形行列式故第27頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例：設(shè)

,D的(i,j)元的余子式和代數(shù)余子式依次記作

Mij

和Aij

，求分析：利用及第28頁,共31頁，2024年2月25日，星期天解：第29頁,共31頁，2024年2月25日，星期天