上海高一年級下冊期中數(shù)學(xué)試卷試題（解析版）

一、填空題

1.扇形的半徑為2,弧長為4,則該扇形的面積為.

【答案】4

【分析】利用扇形的面積計(jì)算公式即可得出.

【詳解】根據(jù)扇形的面積公式得，S=i/r=lx4x2=4.

22

故答案為：4

4

2.已知sina=g,且a是第二象限角，則cosa=.

【答案】-13

【詳解】是第二象限角，

.■.cosa<0.

p.4

又sina=—,

???cosa=-Vl-sin2a=-^1-（y）2=一（?

3

答案：-W

TT

3.在EU8C中，a=2,b=\,C=-,那么口/bC的面積等于.

【答案】g

2

【分析】由三角形面積公式即可求

【詳解】由三角形面積公式得S/8c=；absinC=；x2xlx曰=*.

故答案為：2

2

4.已知向量。=（2,-3）,6=（3,22）,則3與很共線，則實(shí)數(shù)4=.

【答案】一9

4

【分析】根據(jù)向量平行得到2x24=-3x3,解得答案.

【詳解】向量5=（2,-3）,5=（3,22）,3與5共線，則2x2/l=-3x3,解得2=-，

9

故答案為：

4

5.已知cosx=-；,xe[],兀1則滿足條件的x=（用反三角記號表示）

【答案】兀-arccosg

【分析】根據(jù)反三角函數(shù)求解即可.

【詳解】因?yàn)閏osx=-；

故答案為：7t-arccos1

6.已知m=(1,2)出=(-3,2),則1在月上的數(shù)量投影為.

【答案】叵

13

【分析】根據(jù)題意，由向量的數(shù)量投影的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿f=(1,2),在=(-3,2),設(shè))與在的夾角為6,

a-b_ci'b_-3+4_V13

則a在5上的數(shù)量投影為印os0Tq

］而1WJ(-3『+2213

故答案為:巫

13

7.設(shè)是兩個(gè)單位向量，向量￡=五-27,且”=(2,1),則機(jī)，〃的夾角為.

7T

【答案】90°/y

【分析】利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律求解即可.

【詳解】由1(2,1)可得卜在喬=石，

又因?yàn)榧樱凼莾蓚€(gè)單位向量，所以機(jī)?〃=同"COS<〃?,0=cosM0,

所以a=\m-2n\-m-4m-n+4/7,

解得cos(m,")=0,即藍(lán),7的夾角為90。,

故答案為：90°

8.函數(shù)y=Jsinx-^的定義域是

【答案】2k7r+-,2k^+—,k&Z

L66

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出解析式成立的條件，即可求得函數(shù)的定義域.

【詳解】由題意知，sinx——>0=>sinx>-

229

即2kjv+-<x<2k兀+—,keZ,

66

TT5乃

所以/(X)的定義域?yàn)椋?^+-,2^+—,keZ

66

TTS/r

故答案為：2k^+-,2k7r+—,kwZ

66

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，根據(jù)函數(shù)的解析式列出滿足的條件是

解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

Y

9.已知函數(shù)/(x)=3sin],如果存在實(shí)數(shù)X1,X],使得對任意的實(shí)數(shù)x,都有

/(X|)4/(X)4/(X2),貝張1-X2I的最小值為.

【答案】2乃

【解析】根據(jù)存在實(shí)數(shù)X，X"使得對任意的實(shí)數(shù)x,都有得到

〃%),/仇)分別是函數(shù)/(》)的最小值和最大值，則|士-到一定是半個(gè)周期的整數(shù)倍，再求出函

數(shù)〃x)=3sin]的最小正周期即可.

【詳解】因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)4*2,使得對任意的實(shí)數(shù)x,都有/a)V"x)W/(X2),

所以分別是函數(shù)〃x)的最小值和最大值,

所以N-Xzl一定是半個(gè)周期的整數(shù)倍,

Y

又函數(shù)/(x)=3sinj的最小正周期是7=44,

T

所以,1-芯2|="入5=2〃勿，

所以ki-Xzl的最小值為2萬

故答案為：2n

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期性的求法及應(yīng)用以及最值問題，還考查了分析求解問題的能

力，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)［(x)=sin(2x+F}o4x4"),且/"(a)=〃夕)=g(ax夕)，則a+p=_.

444

【答案】

33

7TTT3兀

【分析】利用正弦函數(shù)的的對稱性可得2a+5+24+占=2??，由此求得a+尸的值.

662

【詳解】?.?函數(shù)〃x)=sin(2x+V(04x4K),

八兀兀13K

2.X4----G

66,-r

；/(a)=_/(/)=；(ax〃)，

7T7T3兀

則由正弦函數(shù)的對稱性可得：2a+-+2^+-=2--,

662

所以a+P=T471，

故答案為：

11.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)“，我國

擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑/,8兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島

上取兩點(diǎn)C,D,測得8=35m,ZADB=\35°,NBDC=NDC4=15°,ZACB=120°,貝U/、B

兩點(diǎn)的距離為1

【答案】35后

【分析】根據(jù)已知的邊和角，在△BCD中，由正弦定理解得8。，在中，由余弦定理得42.

【詳解】因?yàn)镹/Q8=135°,ZBDC=ZDCA=\5°,所以44￡>C=150'，ZDAC=ZDCA^\5°,所

以AD=CD=35,

又因?yàn)?c8=120°,所以N8CO=135",ZCBD=30",

,BD_35

在△8CQ中，由正弦定理得.C：即退=丁，解得8。=350，

sinZBCDsmZCBD-----z

22

在/\ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosNADB,

2（

所以/"=352+（35&）-2x35x350x-三，解得/8=35逐m.

故答案為：356

,.4sin-,xe[0,4)

12.已知/(x)滿足/(x)=/(x+8),當(dāng)xe[0,8),/(*)={41\若函數(shù)

2x-8,xe[4,8)

g(x)=r(x)+叭x)-a-l在xe[-8,8]上恰有八個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(-9,-5)

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)在xe[-8,8]上的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.

【詳解】由題意知〃x)滿足〃x)=/(x+8),故洋外是以8為周期的函數(shù),

.、4sin——,x[0,4)

結(jié)合/(》)=4GL',作出函數(shù)在xe[-8,8]上的圖象，如圖示:

2X-8,XG[4,8)

2

因?yàn)間(x)=f(x)+af(x)-a-\=[/(x)-l][/(x)+(a+1)],

故g(x)=0時(shí)，即f(x)=1或/(x)=-(?+l),

則g(x)在xe[-8,8]上恰有八個(gè)不同的零點(diǎn)，即等價(jià)于fix)的圖象和直線y=14=-伍+1)有八個(gè)不

同的交點(diǎn)，

由圖象可知，夕=1和"X)的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn)，

則y=-(a+l)和“X)的圖象需有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即4<-(。+1)<8,

故-9<a<-5,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-9,-5),

故答案為：(-9,-5)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的周期以及解析式，可作出函數(shù)的圖象，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象

的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，列出不等式，即可求解.

二、單選題

13.下列說法正確是()

A.角60。和角600。是終邊相同的角

B.第三象限角的集合為]aE+2E4awg+2祈，上ez)

C.終邊在V軸上角的集合為｛ala=E+],%ez｝

D.第二象限角大于第一象限角

【答案】C

【分析】根據(jù)終終邊相同角的表示，可以判斷A錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)象限角的表示可以判斷B錯(cuò)

誤；舉特例可以判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】600。=360。+240。，與60。終邊不相,故A錯(cuò)誤；

第三象限角的集合為｛aE+2收<a<言+ez],故B錯(cuò)誤；

終邊在y軸上角的集合為｛ala=2/?7t+p/7ez|ujda=2/?7t+-^,nezj,

即｛々Ia=2nit+^,nez|u|alct-（2n+l）n+y,nGz|,

即［ala=E+］,%ez｝,故C正確；

120。是第二象限角，390。第一象限角，120。＜390。，

故D錯(cuò)誤；

故選：C.

14.函數(shù)y=sin（2x+；）的圖像向左平移弓個(gè)單位得到下列哪個(gè)函數(shù)（）

A.y=sin（2x-W）B.y=-sin（2x+?）

C.y=-cos（2x+§）D.y=cos（2x+￡）

【答案】D

【分析】根據(jù)相位平移，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】y=sin（2x+：）的圖像向左平移;個(gè)單位得到/（x）=sin（2（x+：［+：）=cos（2x+：）,

故選：D

15.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器

減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過程可近似為單擺運(yùn)

動(dòng)，其離開平衡位置的位移F（01）和時(shí)間心）的函數(shù)關(guān)系為卜=5皿初+9）（0＞0,憫＜兀），如圖2,若

該阻尼器在擺動(dòng)過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為4，4（0＜。＜，2＜4），且4+A2

,4+4=5,則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（）

圖1

【答案】C

【分析】先根據(jù)周期求出。=笄，再解不等式sin（gf+9）＞0.5,得到，的范圍即得解.

27r2元

【詳解】因?yàn)椤?2,…=5,所以7=3,又7=二所以。

則”由y>0.5可得sin1yZ+J>0,5,

LL……兀2兀5?！?—

pjy以2左兀H—<—/+夕<---F2%兀,女wZ,

636

1353(552M3"」夕=1,

所以3%+-------(p<t<-----夕+3%,攵EZ,故3k+——

42兀42兀I442兀八42n

所以在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為1s.

故選：C.

16.已知/(x)=sin|x|+|sinx|+cos|x|+|cosx|,給出下述四個(gè)結(jié)論：

①y=/(x)是偶函數(shù)；②y=f(x)在上為減函數(shù)；

③y=/(x)在(肛2%)上為增函數(shù);④y=/(x)的最大值為2vL

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②④B.①③④C.①②③D.①④

【答案】D

【分析】利用偶函數(shù)的定義即可判斷①；利用舉反例即可判斷②和③；分四個(gè)范圍對/(x)進(jìn)行化

簡，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值域，即可得到X20時(shí)的最值，結(jié)合偶函數(shù)即可判斷

【詳解】解：對于①，易得"X)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

因?yàn)?(一%)=sin|-%|+1sin(-x)|+cos|-x|+1cos(-x)|=sin|x|+1-sinx|+cos|x|+|cosx|

=sin|x14-1sinx|+cos|x|+1cosx|=/(x),所以歹=/(x)是偶函數(shù)，故正確;

對于②和③，因?yàn)?(弓)=sin|弓|+1sin與|+cos|弓|+1cos系|=一=0,

7兀、7萬|?.7町1町IITI11八

/——=sin——|+|sm——|+cos|——|+|cos——=——+--------+——=0,

V6J66662222

且乃〈苧〈當(dāng)，所以y=/a)在徑，芍不是減函數(shù)，在(萬,2%)也不是增函數(shù)，故②，③錯(cuò)

642\227

誤；

對于④，當(dāng)2%乃工工<1+2%肛上wN時(shí)，/(x)=sin|x|+1sinx|+cos|x|+1cosx

=sinx+sinx+cosx+cosx=2(sinx+cosx)=2近sin(x+?),

因?yàn)?+2左肛％GN,所以乙+2左1<%+三<紅+2左肛AGN,

2444

所以與4sin(x+?卜1,所以2M〃x)42及；

當(dāng)工+2k兀<X<TT+2k冗,%￡N時(shí)，/(x)=sinIx|+1sinx|+cosIx|+1cosx|

2

=sinx+sinx+cosx-cosx=2sinx,

因?yàn)?+2%]<x<兀+2k兀，kGN,

所以O(shè)vsinxVl,所以0v/(x)?2；

3兀

當(dāng)n+2k兀<x<一+2k7,9wN時(shí),f(x)=sinIxI+1sinxI+cosIxI+1cosxI

2

=sinx-sinx+cosx-cosx=0；

當(dāng)多+2hr<X<2TT+2k7r,keN時(shí),f(x)=sin|x|+1sinx|+cos|x|+|cosx|

=sinx-sinx+cosx+cosx=2cosx,

因?yàn)檠?2k兀Wx<2乃+2左匹％wN,

所以O(shè)Wcosxvl,所以0"(x)v2,

所以，綜上所述，當(dāng)xNO時(shí)，“X)的最大值為2及，由于“X)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，“X)的

最大值也為2板，故y=/(x)的最大值為2及，故④正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用四個(gè)象限對y=/(x)進(jìn)行討論，根據(jù)三角函數(shù)符號去掉絕對值，然后利用

三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解值域

三、解答題

sin(兀一a)cos

17.已知〃a)=

⑴化簡/(a);

(2)已知+.-,求cos（2a+。）的值.

【答案】⑴/(a)=-cosa

⑵-g

【分析】（I）直接利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡;

（2）直接利用倍角公式求解.

sin(7i-a)cos--a

sinasinasinasina

【詳解】⑴/（?）=-----------=---------：---=-cosa；

sin6Z

-sinatana_sinax

cosa

(2)由(1)得/(a+t)=-cos(a+t)=-；,

.(TIY_1

I6)2

18.己知單位向量I與方的夾角為g.

（1）求證（2<-02）_1_02;

（2）若機(jī)=+e2,n=3e,-2e2,且網(wǎng)=”,求2的值.

【答案】（1）證明見解析

⑵2=2或4=—3.

【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算即可證明；

（2）根據(jù)向量的模和數(shù)量積的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)橥?厘|=1,I與2的夾角為?，

所以-%）?/=26?e,-e,=2p|p|cos1-p|2=2xlxlxl-l2=0,

所以（2q-e2）J_e2.

（2）由時(shí)=W得（彳6+e?）=（3q—Ze?）,

即（下-9）/+（2/1+12后￡-3￡=0.

因?yàn)橥?同=1，1與1的夾角為:，

所以不=$=1，I4=lxlxcos；=；,

所以（42-9）xl+（24+12）x；-3xl=0,

即力+2-6=0.所以2=2或4=-3.

19.已知向量玩=(cosx,sin2x),H=(2cosx,—l)J(x)=應(yīng)

⑴求函數(shù)/（切的最小正周期和嚴(yán)格增區(qū)間,

jrjr

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時(shí)x的值.

_o2_

【答案】⑴最小正周期為7=兀；嚴(yán)格增區(qū)間為「航-e,伙eZ)

OO

(2)故x=-9時(shí)，/(x)取得最大值為及+1;當(dāng)》=稱時(shí)，〃X)取得最小值，最小值為-a+L

OO

【分析】(1)首先根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算公式求出/(X)的解析式，然后通過三角函數(shù)恒等變換

公式將其化簡整理成余弦型函數(shù)，最后根據(jù)余弦型函數(shù)圖像求解其周期與增區(qū)間.

(2)直接根據(jù)三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)求解［-白(］上的最大值與最小值即可.

【詳解】(1)已知向量加=(cosx,sin2x),w=(2cosx,-l),

所以/(x)=加=2cos?x-sin2x=1+cos2x-sin2x=5/5cos(2x+：)+1.

故函數(shù)〃X)的最小正周期為T吟=n；

7T57r7T

由2E—7iW2x+—W2也，解得：ATI----?xK5—，keZ,

488

故函數(shù)〃X)的嚴(yán)格增區(qū)間為令，收

OO_

“、」十兀兀/nr?！赴?兀

(2)由于，得+0,—.

82J44」

故當(dāng)2x+?=0,即x=-g時(shí)，“X)取得最大值，最大值為&+1；

4o

當(dāng)2》+1=兀，即苫=暫時(shí)，/(x)取得最小值，最小值為一0+1.

4o

20.在CJ43C中，角48,C的對邊分別為a,6,c,已知asin71+asinCcos8+6sinCcos/=6sin8+csiivl.

(1)求角8的大小；

(2)若。=2,且口N8C為銳角三角形，求！142c的周長的取值范圍；

【答案】(l)B=g

(2)(3+73,6+273)

【分析】(1)直接利用正余弦定理即可求解;

(2)利用正弦定理將周長轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域即可求解;

【詳解.】(1)由正弦定理‘扁=福

sinC

由QsinJ+QsinCcosH+bsinCcos力=bsinB+csirU

可得/+accosB+bccosA=〃+ac，

由余弦定理2accosB=a2+c2-b2,2bccosA=b2+c2-a2,

則則COS8=^^=5

因?yàn)椤?lt;8<兀，所以3=5；

兀兀

(2)由口48。為銳角三角形,3可得

652

2bc

由正弦定理三

sirUsin8sine

則，Vil3JsinJ+Geos/.yficosA,

b=———,c=--------------=------------------=14------；------

sirt4sin4sirt4sin4

j12cos2_伺

則口48。的周長為。+6+。=3+員絲丁=3+辰———T=3+衛(wèi)7

A

S1IL42csi?n—&cos—,tan—4

222

由北艇),嗚｛蕓》因?yàn)閲Z\_taA邛'整理得

血12

tan-F2>/3tan-----1=0,解得tan—=2—或tan—=—2—\/3(舍去)，

12121212

所以tange(2-G,l),則周長范圍是(3+百,6+2百).

21.己知函數(shù)y=/(x),xeD,如果對于定義域。內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,對于給定的非零常數(shù)P,總

存在非零常數(shù)7,恒有/(x+T)<P?/(x)成立，則稱函數(shù)/(用是。上的P級遞減周期函數(shù)，周期

為T;若恒有〃x+T)=P?/(x)成立，則稱函數(shù)“X)是。上的尸級周期函數(shù)，周期為7.

⑴判斷函數(shù)/(x)=x2+3是R上的周期為1的2級遞減周期函數(shù)嗎，并說明理由？

⑵已知7=］,V=/(x)是［0,+巧上的尸級周期函數(shù)，且y=/(x)是［0,+助上的嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)

xe0目時(shí)，/(x)=sinx+l.求當(dāng)xe臥和+1))("eN")時(shí)，函數(shù)y=/(x)的解析式，并求實(shí)

數(shù)尸的取值范圍；

(3)是否存在非零實(shí)數(shù)A,使函數(shù)=-cosH是R上的周期為7的7級周期函數(shù)？請證明你

的結(jié)論.

【答案】(1)是，理由見解析;

(2)當(dāng)》6[]〃,](〃+1))(〃€1>4*)時(shí)，f(x)=P"sin^x-yrtj+l,且Pe[2,+co)；

(3)存在，k=^^-,meZ.

【分析】(1)利用P級遞減周期函數(shù)定義，計(jì)算驗(yàn)證作答.

(2)根據(jù)給定條件，利用P級周期函數(shù)定義，依次計(jì)算〃=1,2,3時(shí)解析式，根據(jù)規(guī)律寫出結(jié)論作

答.

(3)假定存在符合題意的/值，利用P級周期函數(shù)定義列出方程，探討方程解的情況即可作答.

【詳解】(1)依題意，函數(shù)/(》)=/+3定義域是R,

2/(x)-/(x+1)=2(x2+3)-[(x+1)2+3]=x2-2%+2=(x-1)2+1>0,

即VxeR,?x+l)<2f(