汽車(chē)振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用電子課件

第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)2.4汽車(chē)車(chē)身單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

2.1.1無(wú)阻尼的自由振動(dòng)無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程：

由方程可知：由于質(zhì)量和剛度恒為正數(shù)，故在單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)中的位移和加速度方向始終相反。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程式的通解為：，時(shí)，代入（2-5）可得：當(dāng)由上式可知，單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由二個(gè)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成，由諧波的合成可知，二個(gè)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍然同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即：（2-5）（2-6）其中：

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由此可知，單自由度系統(tǒng)不論受怎樣的初始干擾，其自由振動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其固有振動(dòng)圓頻率（naturalangularfrequency）為：(rad/s)固有頻率（naturalfrequency）為：

（Hz）固有周期（naturalperiod）為：(s)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1.2具有粘性阻尼的自由振動(dòng)

有阻尼單自由振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：

為無(wú)阻尼固有角頻率；

為阻尼比。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

對(duì)于有阻尼的單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)，除了與系統(tǒng)的初始條件有關(guān)外，還與系統(tǒng)中阻尼的性質(zhì)和大小有關(guān)。1．小阻尼情形即欠阻尼時(shí)系統(tǒng)的自由振動(dòng)形式如下：

式中：為振幅；為衰減系數(shù)；

為有阻固有頻率；為相位角。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)由曲線及式（2-13）可知：欠阻尼的系統(tǒng)作減幅振動(dòng)，振幅隨時(shí)間的增加而按指數(shù)衰減，振動(dòng)趨于消失。單自由度系統(tǒng)的阻尼系數(shù)：2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2．臨界阻尼情形，此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情形如下：

式中：

運(yùn)動(dòng)衰減曲線見(jiàn)圖2.4。此時(shí)系統(tǒng)作逐漸返回平衡位置的非周期性運(yùn)動(dòng)，是從振動(dòng)過(guò)渡到不振動(dòng)的臨界。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

3．大阻尼情形，即過(guò)阻尼時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式如下

運(yùn)動(dòng)衰減曲線見(jiàn)圖2.5。此時(shí)系統(tǒng)不振動(dòng)，只作緩慢地返回其平衡位置的運(yùn)動(dòng)。其運(yùn)動(dòng)是非周期的。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)摩擦阻尼的所產(chǎn)生的阻力雖與運(yùn)動(dòng)速度的大小無(wú)關(guān)，但與運(yùn)動(dòng)的方向有關(guān)。摩擦阻力的方向始終與運(yùn)動(dòng)方向相反，其大小與摩擦部的摩擦系數(shù)及正壓力有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)是個(gè)定值，其運(yùn)動(dòng)方程式為：

2.1.3具有摩擦阻尼的自由振動(dòng)上式整理得：其中：是符號(hào)函數(shù)。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

運(yùn)動(dòng)方程的解為：式中這兩個(gè)特定系數(shù)由振動(dòng)的初始條件決定。當(dāng)時(shí)，其通解為2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

圖2.6為摩擦阻尼的自由振動(dòng)的振動(dòng)波形。該波形與粘性阻尼的自由振動(dòng)有相似性,但當(dāng)波形的極值進(jìn)入時(shí)，由于摩擦阻力大于彈簧恢復(fù)力，將不會(huì)回到原始位置。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.2.1簡(jiǎn)諧激振力作用下系統(tǒng)的響應(yīng)

單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下，所產(chǎn)生的振動(dòng)稱(chēng)為單自由度系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)。其中包括由初始條件決定的隨時(shí)間逐漸減小的自由振動(dòng)和由激勵(lì)函數(shù)決定的受迫振動(dòng)。由于阻尼的存在，自由振動(dòng)將會(huì)很快消失，是系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)；只剩下由激勵(lì)函數(shù)所引起的等幅振動(dòng)，稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)圖2.7簡(jiǎn)諧激勵(lì)的作用下的自由度系統(tǒng)1.振動(dòng)方程和穩(wěn)定解

圖2.7所示的單自由度系統(tǒng)在激振外力的作用下，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：

全解為：

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)其中是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，即前述自由振動(dòng)的解。在小阻尼狀態(tài)下

是非其次方程的特解，特解的形式也是簡(jiǎn)諧函數(shù)，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

式中：-------穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅

------頻率比

----激振頻率

-----相位角

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.系統(tǒng)的幅頻特性與相頻特性在簡(jiǎn)諧激勵(lì)引起的受迫振動(dòng)中，振幅隨頻率比的變化而變化的規(guī)律，稱(chēng)為系統(tǒng)的幅頻特性；激振力與位移之間的相位差隨頻率比的變化而變化的規(guī)律，稱(chēng)為系統(tǒng)的相頻特性。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在靜態(tài)力作用下所產(chǎn)生的靜位移；振幅與靜位移之比，稱(chēng)為振幅放大率，即：

，即很小時(shí)，，振幅接近靜變位。，即時(shí)，達(dá)到最大值，振幅比靜變位成倍的放大，系統(tǒng)產(chǎn)生共振。

，即很大時(shí)，，振幅小于靜變位。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)與激振力的頻率雖然相同，但存在相位差，其具體關(guān)系見(jiàn)下式及圖2.9。從圖可看到，共振時(shí)，無(wú)論系統(tǒng)的阻尼大小如何，受迫振動(dòng)的位移總是比激振力滯后90°

。對(duì)無(wú)阻尼系統(tǒng)，

，即時(shí)，振動(dòng)的位移與激振力同相位，即

，即時(shí)，振動(dòng)的位移與激振力相位相反

，即

對(duì)有阻尼系統(tǒng)，振動(dòng)位移與激振力之間的相位差隨頻率比的增加而逐漸增加，不發(fā)生突然變化，但在共振點(diǎn)前后變化較大。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.2.2簡(jiǎn)諧支承激振下系統(tǒng)的響應(yīng)

1.運(yùn)動(dòng)方程的建立和系統(tǒng)的響應(yīng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

或：其中：2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)振動(dòng)響應(yīng)的振幅和相位差

:2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.幅頻響應(yīng)特性和相頻響應(yīng)特性

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)從圖中可知：

，即很小時(shí)，，響應(yīng)的振幅接近于支承的振幅，系統(tǒng)接近于平動(dòng)。，即時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，放大因子達(dá)到最大值，振幅的大小主要決定于系統(tǒng)的阻尼比，阻尼越大，振幅越小。

，即時(shí)，無(wú)論系統(tǒng)的阻尼值如何，

都等于1；并且只要，響應(yīng)的振幅值要小于支承運(yùn)動(dòng)的振幅。

，即很大時(shí)，，響應(yīng)的振幅大大小于支承的振幅。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.2.3機(jī)械阻抗和導(dǎo)納

1．機(jī)械阻抗

機(jī)械阻抗是描述系統(tǒng)輸入和輸出之間關(guān)系的一個(gè)非常重要的物理量，它只與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，與激勵(lì)力的類(lèi)型和大小無(wú)關(guān)。只是在不同類(lèi)型激勵(lì)力作用下它的表達(dá)形式不同而已。而機(jī)械導(dǎo)納與機(jī)械阻抗是一對(duì)互為倒數(shù)的物理量，一般來(lái)說(shuō)，凡以激振力與響應(yīng)的比值被稱(chēng)為機(jī)械阻抗；若以響應(yīng)比激振力則被稱(chēng)為機(jī)械導(dǎo)納。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)位移阻抗

位移導(dǎo)納

速度阻抗

速度導(dǎo)納

加速度阻抗

加速度導(dǎo)納

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2.傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出的一種函數(shù)。其定義為：當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出（響應(yīng)）與輸入（激勵(lì)）的拉普拉斯變換（以下簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換）之比。求傳遞函數(shù)的步驟為：（1）列出系統(tǒng)的微分方程；（2）假設(shè)全部初始條件等于零，取微分方程的拉氏變換；（3）求輸出量與輸入量之比。2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)設(shè)有一個(gè)線性定常系統(tǒng)，其微分方程為：對(duì)式兩端進(jìn)行拉氏變換，并令其初始條件為零，即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：式中：為的拉氏變換；

為的拉氏變換；

為拉氏算子。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)作為傳遞函數(shù)的一個(gè)特例，頻率響應(yīng)函數(shù)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)頻響函數(shù)）是簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的傳遞函數(shù)。其定義為：在定常線性系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)輸出與輸入的傅里葉變換（以下簡(jiǎn)稱(chēng)傅式變換）之比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式可從式中令求得：式中：為的傅式變換；

為的拉氏變換。

2.2單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)名稱(chēng)傳遞函數(shù)（任意激勵(lì)）頻響函數(shù)（簡(jiǎn)諧激勵(lì)）位移導(dǎo)納（動(dòng)柔度）位移阻抗（動(dòng)剛度）速度導(dǎo)納（機(jī)械導(dǎo)納）速度阻抗（機(jī)械阻抗）加速度導(dǎo)納（機(jī)械慣性）加速度阻抗（動(dòng)態(tài)質(zhì)量）表2.1傳遞函數(shù)的不同表達(dá)形式2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)2.3.1一般周期激振下系統(tǒng)的響應(yīng)

由于任何周期函數(shù)都可按傅立葉級(jí)數(shù)分解為一系列頻率成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)諧函數(shù)，因此對(duì)于具有一般周期的激振力或支承運(yùn)動(dòng)，其線性振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)便可按疊加原理將每一單獨(dú)的簡(jiǎn)諧函數(shù)作用的響應(yīng)求出后，再全部疊加起來(lái)便可得到總的響應(yīng)。

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

設(shè)一般周期激振力作用于有阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程式為：

因第一項(xiàng)是常力，當(dāng)它作用于系統(tǒng)時(shí)只會(huì)影響系統(tǒng)的平衡位置。如果坐標(biāo)原點(diǎn)選在新的平衡位置上，則系統(tǒng)的響應(yīng)與該項(xiàng)無(wú)關(guān)。此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定解為：

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)2.3.2任意激振下系統(tǒng)的響應(yīng)在許多實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)系統(tǒng)的激振并非周期性的，而是任意的時(shí)間函數(shù)，或是極短時(shí)間間隔內(nèi)的沖擊作用，當(dāng)激振作用的時(shí)間比系統(tǒng)的固有時(shí)間更短時(shí)，稱(chēng)為沖擊。對(duì)于任意激振，系統(tǒng)沒(méi)有穩(wěn)定響應(yīng)，只有瞬態(tài)響應(yīng)。在激振力作用停止后，系統(tǒng)按固有頻率作自由振動(dòng)。瞬態(tài)響應(yīng)和自由振動(dòng)就構(gòu)成了任意激勵(lì)的響應(yīng)。

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)1．杜哈梅積分法

杜哈梅積分法的基本思想是將激振力分解為一系列脈沖的連續(xù)作用，各脈沖的大小和作用時(shí)間由決定。先求出每個(gè)脈沖單獨(dú)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)，然后按線性系統(tǒng)的疊加原理將其疊加起來(lái)，即得出系統(tǒng)對(duì)激振的響應(yīng)。

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)：

通過(guò)對(duì)上式的積分求得：

上式為杜哈梅積分式。

杜哈梅積分的解即為系統(tǒng)的初始條件為零時(shí)的全解，包括了瞬態(tài)振動(dòng)及穩(wěn)定振動(dòng)。

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)2.單位脈沖響應(yīng)函數(shù)法單位脈沖函數(shù)即函數(shù)，這是一個(gè)廣義函數(shù)，有如下定義：

及

上式即定義單位脈沖函數(shù)的沖量為一個(gè)單位，利用上述特征，我們可以定義一個(gè)發(fā)生在某時(shí)刻的單位脈沖函數(shù)：

及

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)將作自由振動(dòng)，得系統(tǒng)的響應(yīng)為：上式即為系統(tǒng)單位脈沖瞬間的響應(yīng)方程，并記作，即稱(chēng)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

系統(tǒng)若在激振力作用下，在時(shí)刻，產(chǎn)生的沖擊輸入為，系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)則為，故欲求系統(tǒng)在時(shí)刻的響應(yīng)，無(wú)疑應(yīng)為之間的沖擊響應(yīng)全部疊加，即

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.傅氏積分法若把非周期激振視為具有無(wú)限長(zhǎng)周期激振時(shí)，也可以把此任意激振表示成傅氏級(jí)數(shù)形式，而用一般的方法求解。非周期激振可表示為：

（2-49）（2-50）2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)式（2-50）稱(chēng)為函數(shù)的傅氏積分；相應(yīng)的式（2-49）叫做傅氏反變換（或反傅氏變換）。

由式（2-49）和式（2-50）所聯(lián)系的兩個(gè)量和稱(chēng)為一個(gè)傅氏變換對(duì)。

通常，響應(yīng)也是非周期的，它可以用傅氏積分式表示為：式中，，是對(duì)響應(yīng)作傅氏變換。它表示輸出和輸入傅氏變換之比等于確定的頻率響應(yīng)函數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)頻響函數(shù)）。

（2-51）2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)在一般情況下，線性單自由度系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)式可寫(xiě)為：

它的模：

和幅角：

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)單位脈沖輸入的響應(yīng)就是脈沖響應(yīng)函數(shù)，其傅氏變換：

其輸出的傅氏變換為：代入式（2-51）得單位脈沖的輸出響應(yīng)，即脈沖響應(yīng)函數(shù)：顯然，能由此式直接寫(xiě)出：（2-53）（2-54）式（2-53）和（2-54）表示頻率響應(yīng)函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì)。2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)綜合上述可知：系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性在頻率域內(nèi)能用頻率響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述；而在時(shí)間域內(nèi)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述。這兩種情況可用圖2.12所示的方框圖來(lái)說(shuō)明。圖2.12系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性圖2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)4.拉氏變換法因?yàn)楦凳献儞Q對(duì)函數(shù)有一定的限制，因此，工程上許多函數(shù)不能采用傅氏變換，這使傅氏變換的應(yīng)用有一定的局限性。為了克服這一缺點(diǎn)，在傅氏變換的基礎(chǔ)上，引入求解線性系統(tǒng)振動(dòng)比較有效的拉氏變換法。函數(shù)的拉氏變換記為，是由下列無(wú)窮積分定義的變量的函數(shù)：式中，是一個(gè)復(fù)數(shù)參量。2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)根據(jù)這個(gè)定義可求得導(dǎo)函數(shù)的拉氏變換：式中，是在時(shí)的值，如表示質(zhì)量的振動(dòng)位移，則表示初始位移。

同樣可求得二階導(dǎo)函數(shù)的拉氏變換：式中，是在時(shí)的值，表示質(zhì)量的初始速度。2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)利用上述關(guān)系對(duì)任意激振作用下的微分方程：等式兩邊取拉氏變換后，整理得:式中：是激振函數(shù)的拉氏變換。

若不計(jì)隨時(shí)間衰減的齊次解，令，則可得到激振和響應(yīng)間拉氏變換的比例關(guān)系。

式中，，分別表示與的拉氏變換；稱(chēng)為系統(tǒng)的廣義阻抗。

2.3非簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)的倒數(shù)為：

稱(chēng)為系統(tǒng)的導(dǎo)納或叫做傳遞函數(shù)，常用表示，即：由此可見(jiàn)，傳遞函數(shù)可視為一個(gè)代數(shù)運(yùn)算子，它作用在激振的拉氏變換上就可得到響應(yīng)的拉氏變換。然后根據(jù)拉氏反變換的定義和公式，便可求出系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)：（）2.4汽車(chē)車(chē)身單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

2.4.1系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

圖2.14汽車(chē)車(chē)身單自由度系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

此方程的解是自由振動(dòng)齊次方程的解與非齊次方程特解之和組成。汽車(chē)懸架系統(tǒng)阻尼比的數(shù)值通常在0.25左右，屬于小阻尼，此時(shí)齊次方程的通解為：

其中：（2-61）2.4汽車(chē)車(chē)身單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.4.2系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，記為

式中，復(fù)振幅，

代入式（2-63）得：（2-63）寫(xiě)成指數(shù)形式時(shí)

比較以上兩式可以看出，。它是輸出、輸入諧量的幅值比，稱(chēng)為幅頻特征。表示輸出與輸入諧量的相位差，稱(chēng)為相頻特征。

2.4汽車(chē)車(chē)身單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)對(duì)式（2-61）進(jìn)行傅里葉變換或?qū)⒏鲝?fù)振幅代入該式，令，，，，得復(fù)數(shù)方程：并由此得頻響函數(shù)：將頻率比

（）和阻尼比代入上式，得：

此式的模為幅頻特征性，即：（2-66）2.4汽車(chē)車(chē)身單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)圖2.15為用雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)畫(huà)出的式（2-66）所示的幅頻特征。2.4汽車(chē)車(chē)身單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1）低頻段在這一頻段，略大于1，不呈現(xiàn)明顯的動(dòng)態(tài)特征，懸架的阻尼比對(duì)這一頻段的影響不大。

2）共振段在這一頻段，出現(xiàn)峰值，將輸入位移放大，加大懸架的阻尼比可使共振峰明顯下降。

3）高頻段在時(shí)，，與無(wú)關(guān)，在時(shí)，對(duì)輸入位移起衰減作用，懸架阻尼比減小對(duì)減振有利。

第3章二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.1二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.3有阻尼二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.1二自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程圖3-1二自由度振動(dòng)系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可根據(jù)動(dòng)力學(xué)原理或運(yùn)用拉格朗日第二類(lèi)方程建立如下：

將上式縮寫(xiě)成矩陣形式可得：

或（3-3）3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)無(wú)阻尼的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程式為：

或（3-4）（3-5）3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.2.1固有頻率和固有振型為討論系統(tǒng)的固有特性，令激勵(lì)，則式(3-5)變?yōu)椋?/p>

其解的形式為：其中位移坐標(biāo)幅值向量為：

（3-6）代入式(3-6)得：這是廣義的特征值問(wèn)題。

3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)適當(dāng)選取坐標(biāo)系可使慣性矩陣對(duì)角，而剛度矩陣是對(duì)稱(chēng)的，因此上式可寫(xiě)成：

有非零解的條件是特征矩陣的值為零。即：展開(kāi)得：此為系統(tǒng)的頻率方程，亦稱(chēng)特征方程。

（3-9）3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)特征方程的特征根為：

其中：分別將代入式(3-9)即可得相應(yīng)的振幅比。

由上可知：及只決定于系統(tǒng)本身的物理特性，而與外部激勵(lì)及初始條件無(wú)關(guān)。

3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.2.2對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程式(3-4)是由二個(gè)二階微分方程組成的齊次方程組。根據(jù)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型，二自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的解是兩種不同頻率的主振動(dòng)的疊加，有如下形式：

3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)式中：是任意常數(shù)，由初始條件決定。當(dāng)t=0,時(shí)，任意常數(shù)為：3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)3.2.3對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)當(dāng)二自由度系統(tǒng)的各質(zhì)量上受有頻率相同的諧波激勵(lì)時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可表示為：

（3-16）代入式(3-16)可得：上述系數(shù)矩陣記作；3.2無(wú)阻尼二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)令，于是得，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：式中：則：3.3有阻尼二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.3.1對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)

當(dāng)沒(méi)有激勵(lì)作用于二自由度阻尼系統(tǒng)時(shí)，式(3-3)變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

方程的通解為：代入上式得：

有非零解的條件是：展開(kāi)得：對(duì)于圖3-1所示系統(tǒng)，上式為：3.3有阻尼二自由度振動(dòng)系統(tǒng)1.小阻尼情形

上式的系數(shù)全為正數(shù)，故解只能是負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)。即存在三種可能：(1)全是負(fù)實(shí)數(shù)；(2)兩對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)；(3)兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)和一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)。方程的通解為：

3.3有阻尼二自由度振動(dòng)系統(tǒng)2.大阻尼情形

如果系統(tǒng)阻尼非常大，特征方程的根全是負(fù)實(shí)根，響應(yīng)將不具有振動(dòng)形式。此時(shí)解為：3.臨界阻尼情形臨界阻尼時(shí)，特征方程的根是兩個(gè)負(fù)實(shí)根和一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，此時(shí)的響應(yīng)也不具有振動(dòng)形式。3.3有阻尼二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.3.2對(duì)外激勵(lì)的響應(yīng)當(dāng)有外激勵(lì)作用于二自由度阻尼系統(tǒng)時(shí)，式(3-3)變?yōu)橐韵滦问剑浩浞€(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式為：

代入上式得：式中系數(shù)矩陣記作，且設(shè)為對(duì)角型，則：（3-33）令并代入式(3-33)得：

3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.4.1汽車(chē)車(chē)身車(chē)輪振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程與振型分析圖3-2汽車(chē)車(chē)身車(chē)輪二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的模型圖3-2為汽車(chē)車(chē)身車(chē)輪二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的模型，其運(yùn)動(dòng)方程為：無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程變成：

3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)由運(yùn)動(dòng)方程可知，和的振動(dòng)是相互耦合的。若車(chē)輪不動(dòng)（）則得：

這相當(dāng)于只有車(chē)身的單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)，其車(chē)身部分的固有圓頻率（偏頻）為

即：同樣，若車(chē)身不動(dòng)（），則相當(dāng)于只有車(chē)輪的單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)。

其車(chē)輪部分的固有圓頻率即：

3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，設(shè)兩個(gè)質(zhì)量以相同的圓頻率和相位角作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為和，則解為；；代入微分方程組，并將；代入上式，可得此方程有非零解的條件是和的系數(shù)行列式為零。整理得

上式稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率方程或特征方程，它的兩個(gè)根為雙質(zhì)量系統(tǒng)的主頻率（3-42）3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)某一汽車(chē)rad/s；車(chē)身與車(chē)輪的質(zhì)量比；輪胎與懸架的剛度比，則將上述關(guān)系代入式（3-42）可得：

代入確定兩個(gè)主振型的中和的振幅比

一階主振型

二階主振型

3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)車(chē)身和車(chē)輪兩自由度系統(tǒng)的主振型如圖3-3所示。

圖3-4車(chē)身和車(chē)輪兩自由度系統(tǒng)的主振型3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.4.2車(chē)身車(chē)輪振動(dòng)系統(tǒng)的傳遞特性對(duì)于車(chē)身車(chē)輪的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)輸入為：則輸出有：；代入可得：3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)由上式，可得，及的頻率響應(yīng)函數(shù)。其中3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)由此可得車(chē)身車(chē)輪兩個(gè)輸出相對(duì)于路面輸入的幅頻特性如下。

式中：

---------為頻率比，

---------為懸架阻尼比。

3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)圖3-4，圖3-5分別示出了車(chē)身車(chē)輪的幅頻特性，。

圖3-4車(chē)輪的幅頻特性圖3-5車(chē)身的幅頻特性從曲線上可看出，對(duì)于這個(gè)車(chē)身車(chē)輪二自由度的振系，當(dāng)激振頻率接近系統(tǒng)的兩階固有頻率和時(shí)，都會(huì)發(fā)生共振，車(chē)身位移的幅頻特性和車(chē)輪位移的幅頻特性，有低頻、高頻兩個(gè)共振峰。3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)得到頻率響應(yīng)函數(shù)后，根據(jù)式（2-38）求響應(yīng)的傅氏變換，即其中，路面不平激勵(lì)的傅氏變換。對(duì)上式進(jìn)行傅氏反變換：這樣，就可以最終得到車(chē)身與車(chē)輪響應(yīng)的時(shí)域解為3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)3.4.3雙軸汽車(chē)振動(dòng)模型圖3-14雙軸汽車(chē)的振動(dòng)模型3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)根據(jù)圖3-14可寫(xiě)出車(chē)身的平面運(yùn)動(dòng)微分方程：

即：（3-51）3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)設(shè)，代入上式，并引入下列參數(shù)：3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)于是將式（3-51）簡(jiǎn)化為求，對(duì)應(yīng)于輸入的頻率響應(yīng)函數(shù)，。

3.4汽車(chē)的二自由度振動(dòng)系統(tǒng)同理，可求出，，對(duì)應(yīng)于輸入的頻率響應(yīng)函數(shù)，。

根據(jù)以上的結(jié)果，便可寫(xiě)出完全確定的頻率響應(yīng)矩陣：第4章多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)4.1多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)4.4拉格朗日方程在振動(dòng)分析中的應(yīng)用4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型4.1多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可根據(jù)動(dòng)力學(xué)原理或運(yùn)用拉格朗日第二類(lèi)方程建立如下。其一般可寫(xiě)成矩陣形式如下：

（4-2）對(duì)于個(gè)自由度系統(tǒng)，慣性矩陣，剛度矩陣及阻尼矩陣都是矩陣。

其固有頻率及固有振型可通過(guò)求解系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程得到。

設(shè)解的形式為：代入式(4-2)得：這是廣義的特征值問(wèn)題。

（4-4）4.1多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式特征矩陣兩特征方程分別為：

將特征行列式展開(kāi)后，得到一個(gè)的階的多項(xiàng)式。對(duì)于正定系統(tǒng)，求解該式后可得到的個(gè)大于零的正實(shí)根，稱(chēng)為特征值。將特征值開(kāi)方后可求得個(gè)，稱(chēng)為系統(tǒng)的固有頻率。在大多數(shù)情況下，這個(gè)固有頻率互不相等，可由小到大，按次序排列為，并分別稱(chēng)為一階固有頻率，二階固有頻率，。。。，階固有頻率。系統(tǒng)的固有頻率，只與系統(tǒng)本身的系統(tǒng)本身的物理特性有關(guān)，而與外部激勵(lì)及初始條件無(wú)關(guān)。4.1多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式圖4.1三自由度振動(dòng)系統(tǒng)及其主振型圖4.1所示的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式為：寫(xiě)成矩陣形式為：4.1多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式令，，

則系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為：

由特征方程可得系統(tǒng)的固有頻率為：4.1多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式將固有頻率帶入（4-4），并令第一元素為1，可得系統(tǒng)的固有振型如下：

系統(tǒng)的模態(tài)矩陣為：4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.2.1固有振型的正交性

由式(4-4)可得：

用左乘式(4-6)的兩端得；

（4-6）（4-7）將式(4-7)的兩端分別轉(zhuǎn)置并用右乘得：（4-8）（4-9）式(4-8)～(4-9)得：

4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)當(dāng)時(shí)，必有：同樣可得：式(4-11)表示不同模態(tài)的固有振型對(duì)于慣性矩陣的正交性，式(4-12)表示不同模態(tài)的固有振型對(duì)于剛度矩陣的正交性。

（4-11）（4-12）4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)4.2.2模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)

應(yīng)用模態(tài)矩陣作為變換矩陣，可對(duì)以下廣義坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程：作坐標(biāo)變換并在等式兩邊左乘后，得到以下的運(yùn)動(dòng)方程：4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)由于主模態(tài)固有振型對(duì)都有正交性，即因此上式變?yōu)椋夯颍?.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)將模態(tài)質(zhì)量矩陣正則化為單位矩陣得：

即：式中：

稱(chēng)為關(guān)于模態(tài)質(zhì)量矩陣的正則振型。

稱(chēng)為正則化因子。

4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)圖4.1所示系統(tǒng)的模態(tài)矩陣為：

由此可得系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)剛度矩陣如下：

4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)則歸一化因子所組成的矩陣為：正則振型矩陣為：4.2固有振型的正交性，模態(tài)坐標(biāo)和正則坐標(biāo)正則模態(tài)質(zhì)量矩陣為：正則模態(tài)剛度矩陣為：4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)4.3.1無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)

正則坐標(biāo)下無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程為：

這個(gè)方程是各自獨(dú)立的，因而可運(yùn)用單自由度情形的解法分別求解。

設(shè)物理坐標(biāo)系中的初始條件時(shí)，，。

由正則變換可得正則坐標(biāo)下的初始條件時(shí)，，。

當(dāng)時(shí)，

為系統(tǒng)對(duì)初始條件的正則響應(yīng)，同樣再由正則變換變回原物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。

4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)4.3.2模態(tài)阻尼

對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，由于它的阻尼矩陣對(duì)于固有振型不一定正交，則方程的阻尼項(xiàng)不能解除耦合。要使以上的模態(tài)分析法同樣適用于阻尼系統(tǒng)，阻尼矩陣必須滿足以下條件：

即主模態(tài)固有振型不僅對(duì)是正交性，而且對(duì)是正交的。要使上式成立，阻尼必須是比例粘性阻尼。即阻尼矩陣必須是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合。4.3多自由度系統(tǒng)的響應(yīng)嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，滿足要求的比例粘性阻尼，應(yīng)具有的必要而充分的條件是：對(duì)于滿足比例粘性阻尼的方程作坐標(biāo)變換，則有：

或

式中，為模態(tài)阻尼矩陣。為階模態(tài)阻尼系數(shù)。4.4拉格朗日方程在振動(dòng)分析中的應(yīng)用多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程除了用傳統(tǒng)的力學(xué)分析來(lái)求得外，還常用拉格朗日法來(lái)得到系統(tǒng)方程組。拉格朗日法是從能量的觀點(diǎn)建立系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和功之間的標(biāo)量關(guān)系，研究靜、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一種方法。

其處理的方法為：取自由度系統(tǒng)的個(gè)互為獨(dú)立的變量，，，…，為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日方程的形式為（）4.4拉格朗日方程在振動(dòng)分析中的應(yīng)用根據(jù)的不同表達(dá)形式，拉格朗日方程存在以下的幾種表達(dá)方式：（1）當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，即系統(tǒng)作用的主動(dòng)力僅為勢(shì)力時(shí)，廣義力可以表達(dá)為式中，為系統(tǒng)的勢(shì)能。則保守系統(tǒng)的拉格朗日方程可表示為（）4.4拉格朗日方程在振動(dòng)分析中的應(yīng)用（2）當(dāng)系統(tǒng)除了勢(shì)力作用以外，還存在其他非勢(shì)力的作用，則將這部分非勢(shì)力的虛功記為式中，為非勢(shì)力廣義力。因此，此時(shí)拉格朗日方程推廣到非保守系統(tǒng)，可表示為（）（3）如果將因?yàn)槟芰亢纳⒑瘮?shù)引起的阻尼力也從其他的非勢(shì)力的廣義力中分離來(lái)，并使僅代表外部作用的廣義激振力（力或力矩等），則可將非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程改寫(xiě)為（）4.4拉格朗日方程在振動(dòng)分析中的應(yīng)用圖4.2所示的系統(tǒng)為多自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)。利用拉格朗日方法該振動(dòng)系統(tǒng)建立微分方程，其拉格朗日方程形式為

（）4.4拉格朗日方程在振動(dòng)分析中的應(yīng)用三自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程組可表示為

將上述方程組改寫(xiě)為矩陣形式，即4.4拉格朗日方程在振動(dòng)分析中的應(yīng)用上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為其中：

-------為質(zhì)量矩陣；

------為阻尼矩陣；

------為阻尼矩陣；

4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型4.5.1汽車(chē)車(chē)身車(chē)輪的四自由度模型汽車(chē)的四自由度振動(dòng)模型如圖4.3所示在此模型中，主要有車(chē)身的垂直、俯仰兩個(gè)自由度和前后車(chē)軸質(zhì)量?jī)蓚€(gè)垂直自由度，共四個(gè)自由度。4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型汽車(chē)四自由度模型的運(yùn)動(dòng)方程可由以下兩種方式給出。若根據(jù)車(chē)身質(zhì)心處的垂向振動(dòng)量和俯仰角，運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型當(dāng)俯仰角較小時(shí)，近似有：因此，運(yùn)動(dòng)方程式可表達(dá)成另一種形式：對(duì)傳統(tǒng)的被動(dòng)懸架系統(tǒng)而言，其前、后懸架力分別為：

4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型4.5.2整車(chē)七自由度模型圖4.4整車(chē)七自由度模型4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型在俯仰角和側(cè)傾角較小時(shí)，車(chē)身四個(gè)端點(diǎn)（A、B、C和D）處的垂向位移有如下關(guān)系：

因而，車(chē)身質(zhì)心處的垂向運(yùn)動(dòng)微分方程為：車(chē)身俯仰運(yùn)動(dòng)方程為：4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型車(chē)身側(cè)傾運(yùn)動(dòng)方程為：四個(gè)非簧載質(zhì)量的垂向運(yùn)動(dòng)微分方程為：4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型4.5.3扭振系統(tǒng)模型與分析以某六缸發(fā)動(dòng)機(jī)貨車(chē)動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)為例，其扭振系統(tǒng)力學(xué)模型如圖4.5所示，符號(hào)說(shuō)明及參數(shù)值見(jiàn)表4.1。4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型1.當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是指?jìng)鲃?dòng)系統(tǒng)中與曲軸不同速旋轉(zhuǎn)零部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量換算成與曲軸同速旋轉(zhuǎn)條件下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例如當(dāng)車(chē)輪滾動(dòng)半徑為時(shí)，車(chē)輛平動(dòng)質(zhì)量的當(dāng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量記為，等于2.當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算設(shè)半軸軸段的實(shí)際扭轉(zhuǎn)剛度為，輪胎實(shí)際扭轉(zhuǎn)剛度為，則其相應(yīng)的當(dāng)量扭轉(zhuǎn)剛度分別為：

4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型3.扭振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)所建立的系統(tǒng)扭振模型，可寫(xiě)出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程如下：將系統(tǒng)微分方程組改寫(xiě)成矩陣形式的動(dòng)力學(xué)方程通式，即：4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型式中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣

阻尼陣

剛度陣

角位移矢量

若以發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)為系統(tǒng)輸入陣，則：4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型4.固有頻率與振型分析在不考慮外部激勵(lì)情況下，系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)可寫(xiě)成如下齊次方程：假定系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，各圓盤(pán)作同頻率、同相位，僅振幅不同的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則微分方程組式有如下形式的解：（4-66）（4-67）將式（4-67）代入式（4-66），可得：根據(jù)線性代數(shù)可知，只有當(dāng)矩陣的行列式為零時(shí)，上式才有非零解，系統(tǒng)的特征方程即為：（4-68）（4-69）4.5汽車(chē)多自由度振動(dòng)模型根據(jù)式（4-69）求得的特征值就是扭振系統(tǒng)的固有圓頻率，其對(duì)應(yīng)的特征矢量就是該固有頻率所對(duì)應(yīng)的振型。此外，可根據(jù)求得的振型畫(huà)出振型圖，并將振型圖中振幅為零的質(zhì)點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。本例計(jì)算得出的六節(jié)點(diǎn)以下的固有頻率及其振型如表4.2示，振動(dòng)頻率為5.3Hz的單節(jié)點(diǎn)振型圖如圖4.6所示。

圖4.6振動(dòng)頻率為5.3Hz的單節(jié)點(diǎn)振型圖第5章隨機(jī)振動(dòng)理論5.1隨機(jī)振動(dòng)概述5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算5.4隨機(jī)振動(dòng)在汽車(chē)振動(dòng)分析中的應(yīng)用5.1隨機(jī)振動(dòng)概述對(duì)于汽車(chē)而言，最典型的非確定性振動(dòng)是由于路面不平度引起的汽車(chē)振動(dòng)。這些振動(dòng)的共同特征是系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)在事先都無(wú)法利用時(shí)間的確定性函數(shù)予以描述，我們稱(chēng)這種不確定性的振動(dòng)過(guò)程為隨機(jī)振動(dòng)。

隨機(jī)振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述為隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程為大量現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，因此，需要在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行同樣的試驗(yàn)。

例如，在同樣的道路以及同樣的行駛工況下進(jìn)行次道路行駛試驗(yàn)，記錄車(chē)身上特定點(diǎn)加速度的時(shí)間歷程。每次的記錄稱(chēng)為一個(gè)樣本函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程為所有樣本函數(shù)的集合，記作。在任一采樣時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程的各個(gè)樣本函數(shù)值都不相同，構(gòu)成隨機(jī)變量。

5.1隨機(jī)振動(dòng)概述對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的研究不是局限于樣本函數(shù)本身，而是在于隨機(jī)過(guò)程的總體統(tǒng)計(jì)特性。例如，隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合平均為再如，隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻和的兩個(gè)隨機(jī)變量和，對(duì)于各樣本的和的乘積的集合平均為5.1隨機(jī)振動(dòng)概述如果隨機(jī)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)與采樣時(shí)刻無(wú)關(guān)，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程為（弱）平穩(wěn)過(guò)程。對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程，均值為常數(shù)，即自相關(guān)函數(shù)僅僅是時(shí)間差的函數(shù)，即如果平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)可以利用任何一個(gè)足夠長(zhǎng)的樣本函數(shù)的時(shí)間平均值來(lái)計(jì)算，即5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性5.2.1幅值域（時(shí)域）特性（1）均值對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的離散數(shù)據(jù)系列：（2）方差和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的離散數(shù)據(jù)系列：方差的計(jì)算公式為：

方差的開(kāi)方值稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算公式為：

對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的離散數(shù)據(jù)系列：5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性（3）均方值和有效值對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的離散數(shù)據(jù)系列：均方值的計(jì)算公式為：

在工程應(yīng)用中，經(jīng)常希望利用一個(gè)當(dāng)量幅值來(lái)表示信號(hào)的大小，即稱(chēng)為有效值，它是均方值的根值，也稱(chēng)為均方根值。計(jì)算公式為：對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的離散數(shù)據(jù)系列：（4）均值、方差和均方值之間的關(guān)系均方值等于方差與均值的平方之和，即5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性圖5.1所示的三角波的方程為：

計(jì)算得均值為：

均方值為：

方差為：5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性5.2.2相關(guān)域特性自相關(guān)函數(shù)表征隨機(jī)過(guò)程在一個(gè)時(shí)刻和另外一個(gè)時(shí)刻采樣值之間的相互依賴(lài)程度，即表征信號(hào)隨機(jī)變化的程度。表征隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻和的相關(guān)性的自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式為5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性5.2.3頻率域特性對(duì)于隨機(jī)過(guò)程在頻率域內(nèi)的描述，主要是應(yīng)用功率譜密度函數(shù)來(lái)表征隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程在各頻率成分上的統(tǒng)計(jì)特性。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，即其逆變換為以上兩式構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，稱(chēng)為維納—辛欽關(guān)系式。如果，則

5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性在隨機(jī)振動(dòng)中，表示能量在各圓頻率上的分布密度。根據(jù)其物理意義可知，。

由此可知，為的偶函數(shù)。5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性在整個(gè)頻率域內(nèi)定義的為雙邊功率譜。在非負(fù)頻率范圍內(nèi)定義的功率譜稱(chēng)為單邊功率譜，記作。

單邊譜和雙邊譜的關(guān)系為

實(shí)際計(jì)算功率譜時(shí)，通常利用頻率代替圓頻率，則維納—辛欽關(guān)系式變化為（5-25）式（5-25）變化為5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性5.2.4隨機(jī)振動(dòng)的概率分布（1）基本概念如圖5.2所示的隨機(jī)過(guò)程，中小于的概率，記為，即

圖5.2累積概率的計(jì)算方法5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性由此可以得到圖5.3所示的累積概率分布函數(shù)，取值在0~1之間。圖5.3累積概率和概率密度函數(shù)5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性如果要求取值位于和之間的概率，應(yīng)為引入概率密度函數(shù)，為

與二者存在以下關(guān)系：

另外

這說(shuō)明，曲線下面的面積總和為1。5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過(guò)程時(shí)域統(tǒng)計(jì)特性與概率密度函數(shù)的關(guān)系為均值

方差均方值

5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性（2）概率分布正態(tài)分布和瑞利分布是兩種最常見(jiàn)的概率分布，數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為正態(tài)分布

瑞利分布

5.2隨機(jī)振動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性兩種概率分布的函數(shù)如圖5.4和5.5所示。圖5.4正態(tài)分布圖5.5瑞利分布5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算5.3.1線性系統(tǒng)隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性線性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的解可以根據(jù)杜哈梅積分寫(xiě)出：將積分的上、下限擴(kuò)展為和不影響積分結(jié)果，即5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算因?yàn)榧?lì)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，因此，響應(yīng)也是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其統(tǒng)計(jì)特性可以按照以下的方法進(jìn)行計(jì)算。（1）均值（2）自相關(guān)函數(shù)5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算（3）激勵(lì)與響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)（4）響應(yīng)自譜5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算（5）均方值當(dāng)激勵(lì)為白噪聲時(shí)，激勵(lì)譜為常數(shù)，所以積分，其中，的求解見(jiàn)表5.1。5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算（6）激勵(lì)與響應(yīng)的互譜對(duì)激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)作傅里葉變換得到互譜，即（7）譜相干函數(shù)對(duì)于線性系統(tǒng)：5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算上述的分析結(jié)果對(duì)于SISO（單輸入單輸出）、SIMO（單輸入多輸出）和MIMO（多輸入多輸出）系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)問(wèn)題同樣適用。

對(duì)于MIMO系統(tǒng)相對(duì)比較復(fù)雜，假設(shè)自由度線性系統(tǒng)受到個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)，則第個(gè)坐標(biāo)對(duì)于沿第個(gè)坐標(biāo)的激勵(lì)的的脈沖響應(yīng)函數(shù)為，頻率響應(yīng)函數(shù)為，它們構(gòu)成脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣和頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，即

5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算將和排成陣列，即忽略中間的推導(dǎo)過(guò)程，得到響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算公式為：（1）響應(yīng)的自相關(guān)矩陣（2）響應(yīng)的自譜矩陣（3）響應(yīng)的自相關(guān)矩陣（4）激勵(lì)與響應(yīng)的互譜矩陣5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算5.3.2線性系統(tǒng)傳遞特性頻率響應(yīng)函數(shù)是指初始條件為零時(shí)系統(tǒng)的輸出與輸入的傅里葉變換的比值。其求解的基本過(guò)程為：1）列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；2）假設(shè)全部初始條件為零，對(duì)微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換；3）求系統(tǒng)的輸出量與輸人量之比；4）將代入輸出量與輸入量的比值，得到頻率響應(yīng)函數(shù)。5.3線性振動(dòng)系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算圖5.6所示的為汽車(chē)車(chē)身單質(zhì)量系統(tǒng)振動(dòng)模型：圖5.6汽車(chē)車(chē)身單質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)（1）系統(tǒng)的微分方程為（2）拉氏變換（3）輸入輸出比值（4）頻率響應(yīng)函數(shù)5.4隨機(jī)振動(dòng)在汽車(chē)振動(dòng)分析中的應(yīng)用對(duì)于圖5.6所示的汽車(chē)單質(zhì)量系統(tǒng)振動(dòng)模型，若路面不平度的激勵(lì)譜為，其中，為車(chē)速

求得頻率響應(yīng)函數(shù)為：

則

所以，響應(yīng)的均方值為其中：得到5.4隨機(jī)振動(dòng)在汽車(chē)振動(dòng)分析中的應(yīng)用圖5.7所示的為汽車(chē)雙質(zhì)量系統(tǒng)振動(dòng)模型：

圖5.7汽車(chē)的車(chē)身車(chē)輪雙質(zhì)量振動(dòng)系統(tǒng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為寫(xiě)成矩陣形式為5.4隨機(jī)振動(dòng)在汽車(chē)振動(dòng)分析中的應(yīng)用兩邊進(jìn)行拉氏變換，得到5.4隨機(jī)振動(dòng)在汽車(chē)振動(dòng)分析中的應(yīng)用將代入上式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)為即其中，5.4隨機(jī)振動(dòng)在汽車(chē)振動(dòng)分析中的應(yīng)用（1）響應(yīng)的均值響應(yīng)的均值為

（2）響應(yīng)的功率譜（3）響應(yīng)的均方值第6章汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的振動(dòng)分析6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩6.1.1單缸發(fā)動(dòng)機(jī)的激勵(lì)源討論發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)時(shí),在保持重心位置和總質(zhì)量不變的條件下，把整套曲柄連桿機(jī)構(gòu)的質(zhì)量用集中在曲柄銷(xiāo)與活塞銷(xiāo)上的兩質(zhì)量代替。曲柄連桿機(jī)構(gòu)可簡(jiǎn)化為圖6.1所示的系統(tǒng)。

6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩活塞的運(yùn)動(dòng)方程式及活塞的運(yùn)動(dòng)速度和加速度為：

其中：6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩對(duì)于不同的值，可算出各項(xiàng)系數(shù)的值。如略去高階微小量，用前面兩項(xiàng)近似表示，則

6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩集中質(zhì)量的往復(fù)慣性力的大小等于質(zhì)量與活塞加速度的乘積，而方向與加速度方向相反，即

其中：

--------一級(jí)往復(fù)慣性力--------二級(jí)往復(fù)慣性力

--------四級(jí)往復(fù)慣性力

6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩往復(fù)慣性力也是一個(gè)收斂很快的三角級(jí)數(shù)，二級(jí)以上的慣性力很小，略去不計(jì)，于是可把集中質(zhì)量的往復(fù)慣性力近似的表示為當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)，作用在曲柄連桿機(jī)構(gòu)上的主動(dòng)力是式中：

--------活塞頂面上氣體的爆發(fā)壓力；

--------活塞直徑。（6-6）6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩圖6.2單缸發(fā)動(dòng)機(jī)6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，系統(tǒng)加上移動(dòng)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量的慣性力和后，可利用平衡條件來(lái)分析受力情況。寫(xiě)出活塞的受力平衡方程：

由此可解出連桿的軸向力和活塞的側(cè)向壓力：分析曲軸的受力情況?？汕蟪銎仁骨S旋轉(zhuǎn)的主動(dòng)力矩：6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩由曲軸的平衡方程求得：解出支承的反作用力：根據(jù)作用力和反作用力定律，可確是作用在發(fā)動(dòng)機(jī)缸體上的氣體壓力，（作用在氣缸頂）；通過(guò)活塞作用在缸體上的側(cè)壓力；通過(guò)曲軸作用在主軸承上的壓力。如圖6.2（c）所示。6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩6.1.2多缸發(fā)動(dòng)機(jī)的激勵(lì)源多缸直列汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)，可視為由曲軸連接起來(lái)的幾個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)。作用在整個(gè)缸體上的干擾力，應(yīng)是各單缸體受到的干擾力組成的一組空間力系。如圖6.3所示。一般情況下，此力系可簡(jiǎn)化為圖6.4所示的受力情況，圖中的干擾力和干擾力矩按下式計(jì)算。圖6.3多缸發(fā)動(dòng)機(jī)的受力情況圖6.4缸體受力情況6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩設(shè)以表示第個(gè)曲柄相對(duì)于第一個(gè)曲柄的夾角，于是

由式（6-6）得6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩于是總鉛垂干擾力為水平干擾力僅與旋轉(zhuǎn)慣性力的水平分量有關(guān)6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)的干擾力矩等于各缸鉛垂干擾力對(duì)軸的力矩，即繞鉛垂軸的干擾力矩等于各缸水平干擾力對(duì)軸之矩，它僅與旋轉(zhuǎn)慣性力有關(guān)，即：6.1發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的干擾力和力矩繞曲軸軸線的干擾力矩是與慣性力及氣體壓力有關(guān)的周期函數(shù)，表示成如下的三角級(jí)數(shù)為：由上分析可以看出，作用在直列多缸發(fā)動(dòng)機(jī)上的干擾力和干擾力矩都是曲軸轉(zhuǎn)角的周期函數(shù)，它們將引起發(fā)動(dòng)機(jī)和車(chē)架的振動(dòng)，為了減小這種有害的振動(dòng)，除合理布置曲柄間的相互位置、采取有效的平衡方法和點(diǎn)火順序來(lái)消除或減少干擾外，還應(yīng)采取隔振措施來(lái)減少發(fā)動(dòng)機(jī)傳給車(chē)架的干擾力。

6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析6.2.1發(fā)動(dòng)機(jī)的垂直振動(dòng)圖6.6發(fā)動(dòng)機(jī)的垂直振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程式：

即微分方程式的解為6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析式中：若不計(jì)支承系統(tǒng)的阻尼（c=0），則發(fā)動(dòng)機(jī)的鉛垂振動(dòng)規(guī)律式可簡(jiǎn)化成如下形式

6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析6.2.3回轉(zhuǎn)力矩引起的發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)繞曲軸中心振動(dòng)的微分方程

式中：

-------發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)于曲軸中心線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

令把上式簡(jiǎn)化為：6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析采用第2章所介紹的方法，可求出上式的解：其中：

在的無(wú)阻尼情況時(shí)，上式可簡(jiǎn)化為：6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析6.2.4發(fā)動(dòng)機(jī)繞橫軸的振動(dòng)根據(jù)圖6.7，發(fā)動(dòng)機(jī)繞水平橫軸振動(dòng)的微分方程式為

或令

于是上式可簡(jiǎn)化為6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析此微分方程式的解為其中6.2發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)的隔振分析為了減小繞橫軸的振動(dòng)，發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)軸B端后支承與發(fā)動(dòng)機(jī)A端前支承的連線，應(yīng)通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)的重心，如圖6.8所示。另外，前、后支承彈簧的剛度與總剛度之間成下面的比例關(guān)系：這樣布置的發(fā)動(dòng)機(jī)彈性支承，就能夠使垂直方向的振動(dòng)和繞水平橫軸的回轉(zhuǎn)振動(dòng)兩者的合成振動(dòng)減小。圖6.8發(fā)動(dòng)機(jī)支承6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.3.1發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)概述發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的最基本的功能是：

（1）固定并支承汽車(chē)動(dòng)力總成；（2）承受動(dòng)力總成內(nèi)部因發(fā)動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)和平移質(zhì)量產(chǎn)生的往復(fù)慣性力及力矩；（3）承受汽車(chē)行駛過(guò)程中作用于動(dòng)力總成上的一切動(dòng)態(tài)力；（4）隔離由于發(fā)動(dòng)機(jī)激勵(lì)而引起的車(chē)架或車(chē)身的振動(dòng)；（5）隔離由于路面不平度以及車(chē)輪所受路面沖擊而引起的車(chē)身振動(dòng)向動(dòng)力總成的傳遞。

下面介紹幾種常用的懸置材料。

6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)1.橡膠懸置為降低振動(dòng)、提高乘坐舒適性，人們進(jìn)行了懸置元件本身結(jié)構(gòu)性能的設(shè)計(jì)，把橡膠硫化到各種形狀金屬骨架上面，形成了各式結(jié)構(gòu)的橡膠懸置。橡膠懸置由于其結(jié)構(gòu)緊湊，價(jià)格便宜，便于維護(hù)，使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用。但是橡膠懸置在高頻時(shí)具有較大的動(dòng)剛度，并且橡膠材料耐溫、耐油性能較差，通常用天然橡膠制成的減振橡膠塊，不能在70℃以上的高溫下使用。這些特性限制了橡膠懸置的進(jìn)一步發(fā)展，促使技術(shù)人員開(kāi)發(fā)新一代懸置系統(tǒng)。

6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)2.液壓懸置液壓懸置能夠獲得廣泛的應(yīng)用主要取決于兩個(gè)方面的原因，其一是由于轎車(chē)設(shè)計(jì)向著大扭矩、輕量化方向發(fā)展，其二是液壓懸置具有頻變和幅變特性的優(yōu)點(diǎn)。液壓懸置經(jīng)歷了不斷發(fā)展和完善的過(guò)程，現(xiàn)在應(yīng)用的主要有簡(jiǎn)單節(jié)流孔式、慣性通道式、慣性通道——解耦膜式等幾種。

簡(jiǎn)單節(jié)流孔式慣性通道式慣性通道——解耦膜式6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)3.半主動(dòng)懸置

半主動(dòng)懸置按其結(jié)構(gòu)方式和工作原理可以分為：控制節(jié)流孔開(kāi)度的半主動(dòng)懸置、電流變液體半主動(dòng)懸置、磁流變液體半主動(dòng)懸置等幾種。用電磁閥控制半主動(dòng)液壓懸置6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)4．主動(dòng)懸置主動(dòng)懸置一般由被動(dòng)式液壓懸置、作動(dòng)器、傳感器和控制機(jī)構(gòu)組成。1988年P(guān)eterL．Graf等人設(shè)計(jì)了一種采用液壓作動(dòng)器的主動(dòng)懸置。

1994年德國(guó)人MichaelMuller等研究了帶有電磁作動(dòng)器的主動(dòng)液壓懸置

1995年日本人，ToshiyukiShibayama等發(fā)表文章介紹了他們應(yīng)用壓電陶瓷作動(dòng)器的發(fā)動(dòng)機(jī)主動(dòng)懸置

2002年南韓人Y-W-Lee，把電磁作動(dòng)器與液壓懸置的解耦盤(pán)連接，形成一個(gè)作動(dòng)的活塞，直接驅(qū)動(dòng)液壓懸置內(nèi)的液體，改變懸置的動(dòng)剛度，降低振動(dòng)的幅值

2002年加拿大人M．S．Foumani利用形狀記憶合金的形狀記憶效應(yīng)設(shè)計(jì)了一種形狀記憶金屬式的主動(dòng)懸置

2003年日本五十鈴公司日刊采用了電磁作動(dòng)器與液壓懸置結(jié)合，對(duì)重型柴油機(jī)振動(dòng)實(shí)施主動(dòng)控制6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.3.2發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)就簡(jiǎn)化成一個(gè)六自由度的剛體振動(dòng)模型。如圖6.12所示。

圖6.12發(fā)動(dòng)機(jī)與其懸置系統(tǒng)1.發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能應(yīng)為其隨質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和，即6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)的總動(dòng)能為

6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)寫(xiě)成矩陣形式

其中稱(chēng)為發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，它是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣。是系統(tǒng)廣義速度列陣。6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)如果是發(fā)動(dòng)機(jī)總成的慣性主軸，則，此時(shí)可把發(fā)動(dòng)機(jī)總成的動(dòng)能表示成：此時(shí)相應(yīng)的質(zhì)量矩陣是對(duì)角矩陣6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)2.發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)時(shí)的勢(shì)能支承點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移矢量為

比較等式兩端系數(shù)得

6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)用矩陣表示式中是由支承點(diǎn)位置決定的矩陣。6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)支承系統(tǒng)的勢(shì)能式中6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)3.發(fā)動(dòng)機(jī)在車(chē)架上的自由振動(dòng)微分方程求得發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能后，就可利用拉格朗日方程寫(xiě)出系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程。由于我們所研究的系統(tǒng)是保守的機(jī)械系統(tǒng)，因此，自由振動(dòng)的一般式為拉格朗日方程式

把前面計(jì)算的結(jié)果代入拉格朗日方程式就得發(fā)動(dòng)機(jī)在懸置上振動(dòng)的微分方程為避免復(fù)雜的運(yùn)算，我們用矩陣形式表示，即

6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)設(shè)方程解為：代入上式，簡(jiǎn)化后得

乘等式兩端得

，則上式簡(jiǎn)化為

是矩陣的特征值，而是它的特征向量，矩陣是非對(duì)稱(chēng)矩陣，它的特征值和特征向量都是實(shí)的，可用求解非對(duì)稱(chēng)實(shí)陣的一般方法求得。

6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)6.3.3動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)的隔振1.隔振系統(tǒng)的傳遞率對(duì)動(dòng)力總成來(lái)說(shuō)，激勵(lì)力來(lái)自發(fā)動(dòng)機(jī)，基礎(chǔ)是車(chē)身或車(chē)架，假設(shè)基礎(chǔ)不動(dòng)。那么，傳遞到基礎(chǔ)上的力的幅值與激勵(lì)力的幅值之比的絕對(duì)值，稱(chēng)為傳遞率，其表達(dá)式為式中，

為隔振器阻尼比；為激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率之比。6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)2.懸置系統(tǒng)的模態(tài)能量解耦如圖6.11所示，動(dòng)力總成有6個(gè)自由度，對(duì)應(yīng)的有6個(gè)模態(tài)。模態(tài)彼此獨(dú)立的情況，稱(chēng)為模態(tài)解耦。然而，在實(shí)際工程中，要使所有的模態(tài)完全解耦是不可能的。在某個(gè)頻率下，如果有兩種或兩種以上的模態(tài)存在，即存在兩種或兩種以上的運(yùn)動(dòng)形式，那么這種多模態(tài)并存的情況稱(chēng)為模態(tài)耦合。動(dòng)力總成做自由振動(dòng)時(shí)，每個(gè)模態(tài)都有一定的能量，系統(tǒng)的能量表示為系統(tǒng)在第階模態(tài)頻率下，所有模態(tài)能量之和為該頻率下模態(tài)總能量，用表示展開(kāi)得6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)于第階模態(tài)頻率，作用于第個(gè)廣義坐標(biāo)的能量為那么，在第階模態(tài)頻率，單個(gè)模態(tài)能量與總模態(tài)能量的比值，就表示該階模態(tài)能量的強(qiáng)弱，稱(chēng)為解耦度，用表示如下：6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)3.模態(tài)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

某轎車(chē)動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)，其慣性參數(shù)如表6.2所列；懸置系統(tǒng)3個(gè)懸置元件的三向剛度列表如表6.3.表6.2動(dòng)力總成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表6.3懸置元件三向剛度6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)（1）動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)有限元模型。

圖6.13動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)有限元模型6.3發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)及其優(yōu)化設(shè)計(jì)（2）懸置系統(tǒng)模態(tài)分析。

表6.4懸置系統(tǒng)模態(tài)能量分布百分比第7章人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)和路面輸入

7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性7.3路面輸入模型7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)7.1.1概述關(guān)于人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)，首先可將振動(dòng)輸入按以下屬性分類(lèi)：

1）振動(dòng)的幅值和頻率。2）作用的位置和方向。3）作用時(shí)間。人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)還可以按照各種不同的方式分類(lèi)，如：健康狀況、舒適程度、工作效能、主觀感覺(jué)、暈車(chē)反應(yīng)等。

7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)7.1.2ISO2631標(biāo)準(zhǔn)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）于1974年頒布了ISO2631的最初版本——《人體承受全身振動(dòng)評(píng)價(jià)指南》。最初的ISO2631標(biāo)準(zhǔn)（1974年版）推薦值均以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，被試驗(yàn)者承受垂向、橫向和縱向的不同頻率范圍內(nèi)的正弦波振動(dòng)，根據(jù)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，以三個(gè)推薦的指標(biāo)來(lái)表征加速度界限值，即：（1）暴露界限人體可承受的振動(dòng)量上限，如超過(guò)此界限，可能損害人體健康。（2）疲勞-工效降低界限該指標(biāo)與人能保持工作效能有關(guān)，在此界限內(nèi)，人能夠正常駕駛及操作，如圖7.1所示。。（3）舒適性降低界限保持良好感覺(jué)及舒適性界限。這些界限值均以1~80Hz振動(dòng)頻率范圍內(nèi)不同暴露時(shí)間下的加速度方均根值來(lái)表達(dá)。

7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)圖7.1疲勞-工效降低界限7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)目前最新的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為ISO2631-1：1997（E）《人體承受全身振動(dòng)評(píng)價(jià)—第一部分：一般要求》，該標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于評(píng)級(jí)長(zhǎng)時(shí)間作用的隨機(jī)振動(dòng)和多輸入點(diǎn)多軸向振動(dòng)環(huán)境對(duì)人體影響時(shí)，能與主觀感覺(jué)更好的吻合。該標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的人體坐姿受振模型如圖7.2所示，同樣考慮了12個(gè)方向的振動(dòng)分量對(duì)人體振動(dòng)的綜合影響；其基本頻率范圍擴(kuò)展到0.5～80Hz，規(guī)定了人體對(duì)不同軸向分量及不同頻率的振動(dòng)的不同敏感程度，圖7.3中給出了各振動(dòng)分量在0.5～80Hz頻率范圍內(nèi)的加權(quán)函數(shù)，表7.1給出了各軸向振動(dòng)分量的加權(quán)函數(shù)。7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)圖7.2人體坐姿受振模型圖7.3各振動(dòng)分量的頻率加權(quán)函數(shù)7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)對(duì)人體舒適性評(píng)價(jià)的計(jì)算方法還取決于峰值系數(shù)，其定義為頻率加權(quán)加速度（weightedacceleration）的峰值與方均根值之比。ISO2631-1：1997（E）標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，如果加權(quán)后的峰值系數(shù)＜9時(shí)，可直接采用總加權(quán)加速度方均根值來(lái)評(píng)價(jià)振動(dòng)對(duì)人體舒適和健康的影響。時(shí)域積分方法求出的方均根值頻率加權(quán)后的加速度方均根值

7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)其中各軸向頻率加權(quán)函數(shù)可根據(jù)圖7.3中的函數(shù)曲線漸進(jìn)逼近，由以下公式近似表示：

7.1人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)根據(jù)求出的各軸向加速度方均根值，再根據(jù)表7.1給出的各軸向振動(dòng)分量的加權(quán)系數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和，就得出了總的加權(quán)加速度方均根值，即：

表7.2給出了加權(quán)振級(jí)和加權(quán)加速度方均根值與人的主觀感覺(jué)之間的關(guān)系。

加速度方均根值

加權(quán)振級(jí)

人的主觀感覺(jué)<0.315110沒(méi)有不舒適0.315～0.63110～116有一些不舒適1.5～1.0114～120相當(dāng)不舒適0.8～1.6118～124不舒適1.25～2.5112～128很不舒適>2.0126極不舒適7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性7.2.1路面不平度的測(cè)量為了精確預(yù)測(cè)車(chē)輛對(duì)路面激勵(lì)輸入的響應(yīng)，首先要做的工作就是對(duì)路面本身進(jìn)行恰當(dāng)描述及表達(dá)。獲得路面特征的唯一方法就是測(cè)量，有以下幾種測(cè)量技術(shù)可供使用：（1）經(jīng)典測(cè)量技術(shù)

（2）路面不平度測(cè)量?jī)x

（3）非接觸式路面測(cè)量裝置

7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性通常實(shí)測(cè)所得的路面不平度（路面相對(duì)基準(zhǔn)平面的高度）是沿道路走向長(zhǎng)度的變化函數(shù)，稱(chēng)為路面不平度函數(shù)（圖7.6）。

圖7.6路面不平度函數(shù)7.2路面不平度的統(tǒng)計(jì)特性7.2.2路面不平度的功率譜密度路面功率譜密度