專題3.6 定值計算并不難構(gòu)建函數(shù)再消元（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

專題6定值計算并不難，構(gòu)建函數(shù)再消元【題型綜述】在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標(biāo)或動線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值．【典例指引】例1．已知圓與坐標(biāo)軸交于（如圖）．（1）點是圓上除外的任意點（如圖1），與直線交于不同的兩點，求的最小值；（2）點是圓上除外的任意點（如圖2），直線交軸于點，直線交于點．設(shè)的斜率為的斜率為，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出，的直線方程，聯(lián)立直線，分別得出M,N的坐標(biāo)，表示出，求其最值即可；（2）分別寫出E,F的坐標(biāo)，寫出斜率，即可證明為定值．試題解析：（1）由題設(shè)可以得到直線的方程為，直線的方程為由，解得；由，解得．所以，直線與直線的交點，直線與直線的交點，所以．當(dāng)時，，等號成立的條件是．當(dāng)時，，等號成立的條件是．故線段長的最小值是．（2）由題意可知，的斜率為直線的方程為，由，得，則直線的方程為，令，則，即，直線的方程為，由，解得，的斜率（定值）．例2．已知橢圓的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵已知點A、B為動直線與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由e=，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點E，使為定值，定點為（）．試題解析：（Ⅰ）由e=，得=，即c=a，①以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2，此圓與直線2x﹣+6=0相切，∴a==，代入①得c=2，（4分）∴b2=a2﹣c2=2，∴橢圓的方程為．（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點E（m，0），使得為定值，則有=（x1﹣m，y1）?（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）?（x2﹣m）+y1y2==（k2+1）=（k2+1）?﹣（2k2+m）?+（4k2+m2）=，要使上式為定值，即與k無關(guān)，則應(yīng)有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即m=，此時=為定值，定點為（）．點評：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的．定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn)．例3．已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為，短軸長為，直線與橢圓交于、兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與圓相切，探究是否為定值，如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由．【答案】（1）（2）【思路引導(dǎo)】（1）由已知得由此能求出橢圓的方程．（2）當(dāng)直線軸時，．當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線直線與與圓的交點M（x1，y1），N（x2，y2），由直線與圓相切，得，聯(lián)立，得（，由此能證明為定值．試題解析：（1）由題意得（2）當(dāng)直線軸時，因為直線與圓相切，所以直線方程為當(dāng)時，得M、N兩點坐標(biāo)分別為，當(dāng)時，同理；當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)，由,,聯(lián)立得，，=綜上，（定值）【點評】本題考查橢圓方程的求法，角為定值的證明，線段的取值范圍的求法等．解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．例4．已知是圓上任意一點，點的坐標(biāo)為，直線分別與線段交于兩點，且．（1）求點的軌跡的方程；（2）直線與軌跡相交于兩點，設(shè)為坐標(biāo)原點，，判斷的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）（定值）【思路引導(dǎo)】（1）化簡向量關(guān)系式可得，所以是線段的垂直平分線，所以，轉(zhuǎn)化為橢圓定義，求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，再由點到直線的距離公式求三角形高，寫出三角形面積化簡即可證明為定值．試題解析：（1）由可知是線段的中點，將兩邊平方可得，得：，即，所以是線段的垂直平分線，所以，所以，∴點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，所以，所求橢圓方程為：．（2）設(shè)，由得，由得，且有，且有因為，得，即化簡得：滿足，，點到直線的距離，所以（定值）【擴展鏈接】2015全國新課標(biāo)=2\*ROMANII理20題深度分析已知橢圓，直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，線段的中點為．（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．高考試題落實運算求解能力考查的方式：1．考查分析運算條件：平行四邊形的判定定理選擇，為何不選有關(guān)平行與長度的定理來判定平行四邊形，而要選擇對角線相互平分來判定平行四邊形，這種處理方式的優(yōu)點在于弦中點的運算量更?。ㄐ枰綍r訓(xùn)練有這種認(rèn)識）2．考查遇障礙而調(diào)整：若第1小問使用點差法，如何求中點坐標(biāo)，需有目標(biāo)分析及方程思想來指導(dǎo)，利用中點在直線上這個條件列出另一個方程．3．考查確定運算程序：相交求坐標(biāo)，中點關(guān)系構(gòu)建斜率方程這種程序；中點關(guān)系求坐標(biāo)，點在橢圓上構(gòu)建斜率方程這種程序如何選擇？實際上運算難度大體相當(dāng)．4．考查據(jù)算理正確的變形與運算：無論選擇何種運算程序都具有過硬的運算技能，需要發(fā)現(xiàn)特殊代數(shù)結(jié)構(gòu)的能力，在運算中要有求簡的意識．運算求解過程中，大體會涉及到以下代數(shù)式運算與化簡：（1）中點坐標(biāo)：①韋達(dá)定理：或②解方程組；（2）點坐標(biāo)：解方程組；（3）解斜率方程：①；或②，特別是如何正確解出第2個方程；特別要注意到相約，，9及公因式，然后約因式才會得到二次方程：4．解法的幾何變換化簡析：設(shè)，則橢圓變?yōu)閳A：，，同理可得：，在圓中易知，則可得：，在圓中易知為菱形，且，則易得：5．問題一般化設(shè)直線與橢圓相交于點，且線段的中點為，直線與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，則參數(shù)滿足，易知中點滿足，點在橢圓上，則，這就是說，這種形式的平行四邊形法則對任何橢圓均存在附命題人的分析及參考答案：【解題思路】（1）思路1將的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得點的坐標(biāo)，計算可得常數(shù)（其中為直線的斜率），完成證明．思路2將點的坐標(biāo)分別代入橢圓方程，兩式相減，可得到的關(guān)系式，通過適當(dāng)變形，即可完成證明．（2）思路1利用直線過點，將參數(shù)用表示，然后將直線的方程代入橢圓方程中，得到點的橫坐標(biāo)，根據(jù)第（1）問的結(jié)論，可設(shè)直線的方程為，將它代入橢圓方程，得到點的橫坐標(biāo)，因為“四邊形為平行四邊形”的充分必要條件是“線段與線段互相平分”，因此有，由此得到關(guān)于的方程．若此方程有解，則四邊形可以為平行四邊形，且此時方程的解即為使得四邊形為平行四邊形時的斜率；若此方程無解，則說明四邊形不能構(gòu)成平行四邊形．思路2由點既在橢圓上，也在直線上，可以聯(lián)立橢圓與的方程，解得，再將直線的方程與方程聯(lián)立，可解得，于是有關(guān)于的方程，后同思路1．思路3與思路1類似，將參數(shù)用參數(shù)和表示，聯(lián)立與直線的方程，可解得點的坐標(biāo)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得關(guān)于和的方程，后同思路1．【答案】（1）證法1如下圖所示，設(shè)直線，，將代入，得，故，于是直線的斜率，即，所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．證法2設(shè)直線，，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，有①，②，①-②，整理可得，即，故直線的斜率，即，所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）解法1四邊形能為平行四邊形（見下圖）因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是．由（1）得的方程為，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，由，得，則，將點的坐標(biāo)代入的方程得，然后將的方程代入橢圓方程，可得，四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即，于是，解得因為，所以當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形．解法2四邊形能為平行四邊形，設(shè)，由（1）得，因為在橢圓上，所以有，解得①，由四邊形為平行四邊形，可知，解得：②據(jù)①②有，即，解得，以下同解法1．解法3四邊形能為平行四邊形（見下圖）將點的坐標(biāo)代入的方程得，即的方程為，由（1）得直線的方程為，因為既在上，也在上，所以有，解得，設(shè)點的坐標(biāo)為，則“四邊形為平行四邊形”的充要條件是，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程有，化簡可得，解得，以下同解法1．【新題展示】1．【2019閩粵贛三省十校聯(lián)考】已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，左右焦點分別為，．（1）求橢圓的方程；（2）是上異于的兩點，若直線與直線的斜率之積為，證明：兩點的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)．【思路引導(dǎo)】（1）利用橢圓的離心率和橢圓上的點，構(gòu)造關(guān)于的方程，求解得到橢圓方程；（2）假設(shè)三點坐標(biāo)和直線方程，代入橢圓后利用韋達(dá)定理表示出，從而可用，表示出；再利用，表示出，根據(jù)，可將與作和整理得到結(jié)果．2．【2019廣東江門一?！恳阎獧E圓：（）的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，，橢圓的離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）、是橢圓上另外兩點，若△的重心是坐標(biāo)原點，試證明△的面積為定值．（參考公式：若坐標(biāo)原點是△的重心，則）【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)題意得到，得，，進而得到方程；（2）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，求得弦長AB，再由點到直線的距離得到，根據(jù)點P在曲線上得到參數(shù)k和m的等量關(guān)系，得證．3．【2019湖南懷化3月一?！恳阎獧E圓的中心在原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率等于．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，交軸于點，若，，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓的焦點位置及拋物線的焦點坐標(biāo)，設(shè)出其方程，利用頂點和離心率確定其中的參數(shù)，即可求解其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）寫出橢圓的右焦點，然后，設(shè)出直線的方程和點的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算，即可求解．4．【2019湘贛十四校聯(lián)考】橢圓：的左焦點為且離心率為，為橢圓上任意一點，的取值范圍為，．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)圓是圓心在橢圓上且半徑為的動圓，過原點作圓的兩條切線，分別交橢圓于，兩點．是否存在使得直線與直線的斜率之積為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）利用離心率得到的關(guān)系；然后表示出，通過的范圍得到，由得到，從而求得方程；（2）假設(shè)圓的方程，利用直線與圓相切，得到關(guān)于的方程，從而得到的表達(dá)式，從而得到當(dāng)時，為定值，求得結(jié)果．5．【2019江西重點中學(xué)盟校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，焦點分別為，點是橢圓上的點，面積的最大值是．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標(biāo)原點，若判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由題意得到的方程組，求出的值，即可得出橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，易求出四邊形的面積；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合判別式和韋達(dá)定理，可表示出弦長，再求出點到直線的距離，根據(jù)和點在曲線上，求出的關(guān)系式，最后根據(jù)，即可得出結(jié)果．6．【2019四川瀘州二診】已知，橢圓過點，兩個焦點為，，是橢圓上的兩個動點，直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)．求橢圓的方程；求證：直線的斜率為定值．【思路引導(dǎo)】由焦點坐標(biāo)求得，可設(shè)橢圓方程為，可得，解方程即可；設(shè)，，設(shè)直線的方程為，代入，求出點的坐標(biāo)，再將換為，求出的坐標(biāo)，即可求出直線的斜率，再化簡即可得結(jié)果．7．【2019廣東廣州天河區(qū)綜合測試】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點在x軸上的橢圓的右頂點和上頂點分別為A，B，M為線段AB的中點，且．求橢圓的離心率；四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，記直線AD，BC的斜率分別為、，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】，，線段AB的中點從而，由，求出，由此能求出橢圓的離心率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，直線BC的方程為，聯(lián)立直線BC和橢圓方程得到點C坐標(biāo)，聯(lián)立直線AD和橢圓方程，得，，代入點坐標(biāo)化簡，由此能證明為定值．8．【2019河北五個一名校聯(lián)盟一診】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線過曲線的焦點，與曲線交于、兩點，且，都垂直于直線，垂足分別為，直線與軸的交點為，求證為定值．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為C(x，y)，由題意得，能求出曲線方程；（2）設(shè)代入9．【2019遼寧葫蘆島調(diào)研】已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點作直線（軸除外）與橢圓交于不同的兩點，，在軸上是否存在定點，使為定值？若存在，求出定點坐標(biāo)及定值，若不存在，說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由離心率及2ab＝4，結(jié)合a2＝b2+c2，解得a、b，即可求得橢圓C的方程；（2）由題意可設(shè)直線l：x＝my，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，將?用m與x0表示，利用對應(yīng)系數(shù)成比例，即可求得x0，代入得?為定值；10．【2019福建漳州一?！恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點且斜率存在的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值．【思路引導(dǎo)】(1)先由題意設(shè)橢圓的方程，再結(jié)合條件列出方程，從而可求出橢圓的方程；(2)先設(shè)直線的方程，由直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，以及，化簡之后作商，即可證明結(jié)論．11．【2019福建泉州1月質(zhì)檢】已知中，，，，點在上，且．（1）求點的軌跡的方程；（2）若，過點的直線與交于兩點，與直線交于點，記，，的斜率分別為，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合題意，證明到，發(fā)現(xiàn)軌跡是橢圓，結(jié)合橢圓性質(zhì)，即可。（2）設(shè)出直線MN的方程，代入橢圓方程，設(shè)出M，N坐標(biāo)，利用坐標(biāo)，計算，代入，即可。12．【2019陜西榆林一?！恳阎獧E圓的離心率，左頂點到直線的距離，為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，證明：到直線的距離為定值．【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合離心率，計算出a，b，c之間的關(guān)系，利用點到直線距離，計算a，b值，即可。（2）分直線AB斜率存在與不存在討論，結(jié)合直線方程和橢圓方程，并利用，計算O到直線距離，即可．【同步訓(xùn)練】1．如圖，點是拋物線：（）的焦點，點是拋物線上的定點，且，點，是拋物線上的動點，直線，斜率分別為，．（1）求拋物線的方程；（2）若，點是拋物線在點，處切線的交點，記的面積為，證明為定值．2．已知常數(shù)，在矩形ABCD中，，，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由．3．已知是橢圓的左、右焦點，橢圓的離心率為，過原點的直線交橢圓于兩點，若四邊形的面積最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于且，求證：原點到直線的距離為定值．4．已知橢圓：的短軸長為，離心率為，圓的圓心在橢圓上，半徑為2，直線與直線為圓的兩條切線．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試問：是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．5．已知橢圓：的左右焦點分別是，直線與橢圓交于兩點，當(dāng)時，恰為橢圓的上頂點，此時的面積為6．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點為，直線與直線分別相交于點，問當(dāng)變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定