廣東省梅州市豐良中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省梅州市豐良中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.點(diǎn)P（﹣1，2）到直線8x﹣6y+15=0的距離為（）A．2 B． C．1 D．參考答案：B【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】點(diǎn)P（x0，y0）到直線ax+by+c=0的距離：d=，由此能求出點(diǎn)P（﹣1，2）到直線8x﹣6y+15=0的距離．【解答】解：點(diǎn)P（﹣1，2）到直線8x﹣6y+15=0的距離：d==，故選B．2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）

A.64

B.45

C.36

D.27參考答案：B3.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的x的取值范圍是（）A.(－2,0)∪(0,2) B.(－∞,－2)∪(2,+∞)C.(－2,0)∪(2,+∞) D.(－∞,－2)∪(0,2)參考答案：D【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得在上為減函數(shù)，可得在區(qū)間和上，都有，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得在區(qū)間和上，都有，原不等式等價(jià)于或,從而可得的值范圍.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)，又由當(dāng)時(shí)，，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又由，則在區(qū)間上，，又由，則，在區(qū)間上，，又由，則，則在和上，，又由為奇函數(shù)，則在區(qū)間和上，都有，或，解可得或，則的取值范圍是，故選D.【點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，常可使問(wèn)題變得明了，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類(lèi)不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項(xiàng)的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).4.如果（

）A． B． C．6 D．8參考答案：C5.已知向量與的夾角為30°，且，，則等于(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】把平方化簡(jiǎn)即得解.【詳解】由得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，則A． B． C． D．參考答案：C略7.如圖是某電視臺(tái)綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(

)A．84,4.8

B．84,1.6

C．85,4

D．85,1.6參考答案：D8.若三條線段的長(zhǎng)為5、6、7，則用這三條線段（）A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形參考答案：B【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【分析】利用余弦定理可判斷最大角，從而可得答案．【解答】解：∵三條線段的長(zhǎng)為5、6、7，∴滿足任意兩邊之和大于第三邊，∴能構(gòu)成三角形，可排除D；設(shè)此三角形最大角為A，∵52+62﹣72=25+36﹣49=12＞0，∴cosA＞0，∴能組成銳角三角形．故選B．9.設(shè)，，則的值為（

）A.；

B.；

C.；

D.參考答案：A略10.函數(shù)R）是（A）周期為的奇函數(shù)

（B）周期為的偶函數(shù)（C）周期為的奇函數(shù)

（D）周期為的偶函數(shù)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若不等式的解集是（4，m），則a=

，m=

.參考答案：

略12.已知點(diǎn)及橢圓上任意一點(diǎn)，則最大值為

。參考答案：略13.已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程為，若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．參考答案：14.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則

。參考答案：3略15.若正數(shù)a，b滿足+=1，則+的最小值為

．參考答案：4【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由+=1得到b=＞0，代入代數(shù)式變形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正數(shù)a，b滿足+=1，∴b=＞0，解得a＞1，同理b＞1，則+=+=+4（a﹣1）≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)取等號(hào)（此時(shí)b=3）．∴+的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16.如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式，那么的最大值是____▲____.參考答案：略17.“”是“函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)”的__________條件參考答案：充分不必要條件三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分16分)已知圓有以下性質(zhì)：①過(guò)圓C上一點(diǎn)的圓的切線方程是.②若為圓C外一點(diǎn)，過(guò)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為.③若不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)為圓C外一點(diǎn)，過(guò)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則垂直，即，且OM平分線段AB.(1)類(lèi)比上述有關(guān)結(jié)論，猜想過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程(不要求證明)；(2)過(guò)橢圓外一點(diǎn)作兩直線，與橢圓相切于A，B兩點(diǎn)，求過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程；(3)若過(guò)橢圓外一點(diǎn)（M不在坐標(biāo)軸上）作兩直線，與橢圓相切于A，B兩點(diǎn)，求證：為定值，且OM平分線段AB.參考答案：（1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程是………2分（2）設(shè)由（1）可知，過(guò)橢圓上點(diǎn)的切線的方程是過(guò)橢圓上點(diǎn)的切線的方程是………4分因?yàn)槎歼^(guò)點(diǎn)，則，則過(guò)兩點(diǎn)的直線方程是………………8分

（3）由（2）知，過(guò)兩點(diǎn)的直線方程是為定值.…10分設(shè)設(shè)為線段的中點(diǎn)，則坐標(biāo)為因?yàn)榫跈E圓上，故①，②②－①可得即所以，………………12分又所以，又，所以………………14分所以三點(diǎn)共線.所以平分線段………………16分

19.（本小題滿分14分）已知點(diǎn)、，若動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；（2）在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線：的距離最?。畢⒖即鸢福海?）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，.因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為………6分(2)設(shè)與橢圓相切并且直線平行的直線的方程為：由得故當(dāng)時(shí)，直線與已知直線的距離最小，并且

……………12分將代入中得代入中得即點(diǎn)坐標(biāo)為.………………14分20.（本題滿分10分）在拋物線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線的距離最短．參考答案：設(shè)點(diǎn)，距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為所求的點(diǎn)．21.某同學(xué)參加學(xué)校自主招生3門(mén)課程的考試，假設(shè)該同學(xué)第一門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)概率為，第二、第三門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立，記ξ為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為ξ0123pxy（Ⅰ）求該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求該生取得優(yōu)秀成績(jī)課程門(mén)數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】（Ⅰ）由已知得該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的對(duì)立事件是ξ=0，由此能求出該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率，再由P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，列出方程組，能求出p，q．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由已知得該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率：P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=．∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，∴，解得p=，q=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，P（ξ=1）=++=，P（ξ=2）=+=，∴Eξ==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．22.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面,,為中點(diǎn)，底面是直角梯形，,，,．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)設(shè)為棱上一點(diǎn)，,試確定的值使得二面角為．參考答案：(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).

試題解析：(1)令中點(diǎn)為，連接，AF

1分點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，,.四邊形為平行四邊形.

2分,平面,

平面

3分（2）在梯形中,過(guò)點(diǎn)作于,在中，,.又在中，,,,.

4分面面,面面,,面,面,

,

5分,平面,平面平面,

6分平面,平面平面

7分（3）作于R，作于S，連結(jié)QS由于QR∥PD，∴

8分∴∠QSR就是二面角的平面角

10分∵面面，且二面角為∴∠QSR=

∴SR=QR設(shè)SR=QR=x，則RC=2x，DR=，

∵QR∥PD

∴∴

12分考點(diǎn)：空間直線與平面的平行于垂直位置關(guān)系