理論力學(xué)-拉格朗日方程

穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束不可解約束可解約束（完整約束）幾何約束運(yùn)動(dòng)約束（微分約束）可積不可積非完整約束在一個(gè)力學(xué)體系中常存在著一些限制各質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件，我們把這些條件叫做約束。約束對(duì)各質(zhì)點(diǎn)位置限制的條件通?？梢员硎緸榱W(xué)體系中質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)、速度和時(shí)間的方程。5.1.2廣義坐標(biāo)對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所形成的力學(xué)體系，如果有k個(gè)幾何約束那么獨(dú)立坐標(biāo)就減小為個(gè)。這些獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目叫做力學(xué)體系的自由度。把3n個(gè)坐標(biāo)用s個(gè)獨(dú)立參數(shù)及t表示這s個(gè)獨(dú)立參量叫做拉格朗日廣義坐標(biāo)。在幾何約束情況下，廣義坐標(biāo)的數(shù)目和自由度的數(shù)目相等。虛位移：不是由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的，它是所有想象中可能的位移，取決于質(zhì)點(diǎn)在此刻的位置和約束條件。在給定瞬時(shí)，力系中各質(zhì)點(diǎn)所作的為約束所允許的、可能發(fā)生的無(wú)限小位移實(shí)位移和虛位移的區(qū)別:

在任意的t時(shí)刻，虛位移可不止一個(gè)，在穩(wěn)定約束條件下，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)，當(dāng)對(duì)于不穩(wěn)定約束，它們并不一致。§5.2虛功原理實(shí)位移1.實(shí)位移和虛位移質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動(dòng)實(shí)際上發(fā)生的位移理想約束條件下，，因此，如果力學(xué)體系處于平衡狀態(tài)，則其平衡條件是由上式可知，受有理想約束的力學(xué)體系平衡的充要條件是此力學(xué)體系的諸主動(dòng)力在任意虛位移中所作的元功之和等于零。這個(gè)關(guān)系叫做虛功原理，也叫虛位移原理。

利用虛功原理可以求解理想約束的力學(xué)體系的平衡問(wèn)題，易簡(jiǎn)單求出主動(dòng)力在平衡時(shí)滿足的條件。

5.2.4廣義力由前面討論我們知的虛位移為所以，虛功原理在廣義坐標(biāo)下的表達(dá)式為式中稱之為廣義力。

它和力學(xué)體系的自由度數(shù)目相等。應(yīng)用虛功原理解題的主要步驟是：(1)明確系統(tǒng)的約束類型,看是否滿足虛功原理所要求的條件；(2)正確判斷系統(tǒng)的自由度,選擇合適的廣義坐標(biāo)；(3)分析并圖示系統(tǒng)受到的主動(dòng)力；(4)各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)表示成廣義坐標(biāo)的函數(shù)

；(5)求主動(dòng)力的虛功并令其為零，由此求出平衡條件。

例三：5.2試用虛功原理解3.4題。相同的兩個(gè)均質(zhì)光滑球懸在結(jié)于定點(diǎn)的兩根繩上，此兩球同時(shí)又支持一個(gè)等重的均質(zhì)球，求角、角之間的關(guān)系。

xy123DP1P3P25.3.1達(dá)朗伯－拉格朗日原理由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所形成的力學(xué)體系，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律的表達(dá)式可寫(xiě)為或通過(guò)數(shù)學(xué)上的移項(xiàng)，將主動(dòng)力和約束反力引起質(zhì)點(diǎn)的加速度當(dāng)作慣性力引入，這樣就把動(dòng)力學(xué)問(wèn)題化為靜力學(xué)問(wèn)題來(lái)處理。這種平衡關(guān)系，通常叫做達(dá)朗伯原理。5.3拉格朗日方程用虛位移標(biāo)乘上式，在理想約束下（），可得：這個(gè)方程是達(dá)朗伯原理和虛功原理的結(jié)合，被稱為達(dá)朗伯－拉格朗日方程。

5.3.3基本形式的拉格朗日方程將達(dá)朗伯－拉格朗日方程作廣義坐標(biāo)變換，得：交換上式的求和順序，有上式方括號(hào)中的第一項(xiàng)即為廣義坐標(biāo)的廣義力。第二項(xiàng)稱之為廣義慣性力。

5.3.2拉格朗日關(guān)系式考察由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的理想約束系統(tǒng)，受有k個(gè)完整約束，其廣義坐標(biāo)數(shù)s=3n-k。第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位矢①將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)式中廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的變化率稱為廣義速度。將上式對(duì)廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)。因和僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，與無(wú)關(guān)，故得第一個(gè)拉格朗日關(guān)系式再將對(duì)任一廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)數(shù)，得：

②另一方面，將位矢直接對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)后，再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得：③比較②、③式，可得第二個(gè)拉格朗日關(guān)系式對(duì)時(shí)間t的微商和對(duì)廣義坐標(biāo)的微商可以對(duì)易?？紤]第一、第二拉格朗日關(guān)系式，可得：

引入動(dòng)能函數(shù)慣性力可以寫(xiě)成所以，廣義坐標(biāo)形式的達(dá)朗伯-拉格朗日原理表達(dá)式為：由于的獨(dú)立性，可得：這就是拉格朗日方程的基本形式。5.3.4

保守系的拉格朗日方程對(duì)保守力系基本形式的拉格朗日方程成為由于勢(shì)能不是廣義速度的函數(shù)，即其中V為系統(tǒng)的勢(shì)能。所以，（1）式可以寫(xiě)成引入拉格朗日函數(shù)，代表動(dòng)能勢(shì)能之差可得保守力系下的拉格朗日方程為：（1）解題步驟（1）確定自由度（2）選取廣義坐標(biāo)（3）寫(xiě)出用廣義坐標(biāo)表示的T、V及L的表達(dá)式（4）將拉格朗日函數(shù)L代入拉格朗日方程保守力系下的拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)例一：滑輪組：求每個(gè)砝碼的加速度例二：用拉格朗日方程求橢圓擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。例三：在平衡位置令略去高價(jià)小量，取5.3.5循環(huán)積分拉格朗日方程在某些特殊情況下，部分第一積分甚易獲得。如果拉格朗日函數(shù)中不顯含某一坐標(biāo)，此時(shí)，保守力系下拉格朗日方程變?yōu)椋杭矗匠?shù)（1）則該坐標(biāo)就叫循環(huán)坐標(biāo)。對(duì)應(yīng)于該循環(huán)坐標(biāo)的積分叫做循環(huán)積分。

拉格朗日方程以質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)為例：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為：勢(shì)能故拉格朗日函數(shù)為表達(dá)式中不包含θ，因此θ為循環(huán)坐標(biāo)。由（1）式可直接得出循環(huán)積分5.3.6能量積分

（1）動(dòng)能的表達(dá)式即。式中分別是廣義速度的二次、一次和零次函數(shù)。分別代表上式中的第一項(xiàng)、第二項(xiàng)和第三項(xiàng)。對(duì)于穩(wěn)定力學(xué)體系，中不含t，因而，上式中第二項(xiàng)、第三項(xiàng)等于零。動(dòng)能T僅為廣義速度的二次齊次函數(shù)。

歐拉齊次式定理：則拉格朗日函數(shù)可以寫(xiě)為：（2）廣義能量積分如果系統(tǒng)主動(dòng)力皆為保守力，且拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間：則主動(dòng)力為保守力：所以，將上式移項(xiàng)得：即：－廣義能量積分或廣義能量守恒。廣義能量積分變?yōu)椋豪窭嗜蘸瘮?shù)：可推出：對(duì)于穩(wěn)定力學(xué)體系，有：，，故如果主動(dòng)力皆為保守力，且拉格朗日函數(shù)中不顯含時(shí)間項(xiàng)，則可直接列出廣義能量守恒表達(dá)式。稱之為能量積分。例四：

例五：

例六：

5.4哈密頓正則方程5.4.1勒襄特變換設(shè)，則式中我們?cè)谶@里用x，y作為獨(dú)立變量。如果我們把u，y當(dāng)作獨(dú)立變量，則x，v可表示為。這時(shí)函數(shù)亦可表示為，該函數(shù)的全微分為：其中

由上式得：

式中。上述推導(dǎo)表明：如果變量由變?yōu)?，則用形式為的函數(shù)才能將用偏微商的形式表示出來(lái)，這就是勒襄特變換的基本法則。5.4.2正則方程拉格朗日函數(shù)是及時(shí)間t的函數(shù)，由此得出的拉格朗日方程是二階常微分方程組，如果把拉格朗日函數(shù)中的廣義速度換成廣義動(dòng)量就可以使方程組由二階降到一階，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。如果通過(guò)勒襄特變化，使拉格朗日函數(shù)中的一種獨(dú)立變量由變?yōu)椋?，由拉格朗日方程可推出）則應(yīng)引入新函數(shù)H使對(duì)上式全微分得：而拉格朗日函數(shù)的全微分：將上式代入函數(shù)H的全微分表達(dá)式中：而H的全微分表達(dá)式還可寫(xiě)為:比較以上兩式，對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等，得：

上式中的前兩式通常叫做哈密頓正則方程，簡(jiǎn)稱正則方程，而函數(shù)H則叫哈密頓函數(shù)。5.4.3能量積分與循環(huán)積分（1）能量積分

哈密頓函數(shù)對(duì)時(shí)間的微分可寫(xiě)為：

得：如H中不顯含t，則因而如為穩(wěn)定約束，可將動(dòng)能表示為廣義速度的二次齊次函數(shù)，則有：如為不穩(wěn)定約束，則它等于（2）循環(huán)積分

如果哈密頓函數(shù)中不顯含某項(xiàng)，則該項(xiàng)為循環(huán)坐標(biāo)。

該項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量。例一：p367-5.22試寫(xiě)出《理論力學(xué)教程》§3.9中拉格朗日陀螺的哈密頓函數(shù)，并由此求出它的三個(gè)第一積分。解：（一）拉格朗日陀螺的自由度為選廣義坐標(biāo)（二）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中拉格朗日陀螺

動(dòng)能①而②

③

④將代入①式，且

⑤⑥聯(lián)立②③④⑤⑥后求得體系動(dòng)能因?yàn)閯?dòng)能是廣義速度的二次齊次式H中不顯含時(shí)間tH＝常數(shù)H中不顯含＝常數(shù)H中不顯含＝常數(shù)1.泊松括號(hào)設(shè)§5.6泊松括號(hào)和泊松定理

代入得到其中泊松括號(hào)若則反之，若則是正則方程的一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，因?yàn)橛卸x2.泊松定理利用泊松括號(hào)，可以從正則方程的兩個(gè)積分，求另一個(gè)積分若則利用得到于是H不是t的顯函數(shù)時(shí)，H=h是正則方程的一個(gè)積分，若由泊松定理但故依此類推，可得§5.7哈密頓原理

1.變分運(yùn)算的幾個(gè)法則1）2）但是可見(jiàn)一般不能對(duì)易。若則等時(shí)變分不等時(shí)變分2.哈密頓原理

保守的、完整的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一位形轉(zhuǎn)移到另一位形的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)具有穩(wěn)定值。即對(duì)于真實(shí)運(yùn)動(dòng)來(lái)講，主函數(shù)的變分為零。由拉氏方程可得但因?yàn)榉Q為作用函數(shù)或主函數(shù)§5.8正則變換1.正則變換的目的和條件由正則方程知，H不含某個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)積分。而H中有沒(méi)有循環(huán)坐標(biāo)，與所選坐標(biāo)系有關(guān)。

如果通過(guò)坐標(biāo)和動(dòng)量的某種變換，使新的H*中出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，而正則方程的形式不變，為正則變換。設(shè)變換后則有定理設(shè)顯含時(shí)間t，則正則變換的條件是式中dU為恰當(dāng)微分，而為用新變量表示的新哈密頓函數(shù)。證明設(shè)有變分因(5.8.2)變?yōu)橛钟?5.8.2)得對(duì)