2024年初中升學考試專題復習數(shù)學總復習（按知識點分類）相似三角形的判定與性質

相似三角形的判定與性質52．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AC，AD，CE是正五邊形ABCDE的對角線，AD與CE相交于點F．下列結論：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四邊形ABCF是菱形；④AB2＝AD?EF．其中正確的結論是①③④．（填寫所有正確結論的序號）【答案】①③④．【分析】根據(jù)正五邊形的性質得出各角、各邊之間的關系，然后由各角之間的關系以及相似三角形的判定與性質，菱形的判定分別證明即可．【解答】解：①∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝EAB=(5?2)×180°在△ABC中，∠ABC＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=180°?108°同理可得，∠DCE＝∠DEC＝∠EAD＝∠EDA＝36°，∴∠ACE＝∠BCD－∠BCA－∠DCE＝108°－36°－36°＝36°，∴∠ACE＝∠DCE，即CF平分∠ACD，故①正確；②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠AFC＝∠DFE，∴AFDF∵ACDE∴AFDF即AF≠2DF，故②錯誤；③∵∠BAC＝∠ACE＝36°，∴AB∥FC，∵∠EAB＝108°，∠EAD＝36°，∴∠DAB＝∠EAB－∠EAD＝108°－36°＝72°，∵∠ABC＝108°，∴∠ABC＋∠DAB＝108°＋72°＝180°，∴AF∥BC，∴四邊形ABCF是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCF是菱形，故③正確；④∵∠DEF＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE，∴△DEF∽△DAE，∴DEAD∵DE＝AE＝AB，∴ABAD即AB2＝AD?EF，故④正確；綜上，正確的結論是：①③④；故答案為：①③④．【點評】本題主要考查了正多邊形的性質，相似三角形的判定與性質，菱形的判定定理，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．相似三角形的判定與性質47．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2【答案】C【分析】先證∠CAD＝∠BDE，再根據(jù)∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質即可求出AD的長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD＋∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE＋∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴ADDE∵BD＝4DC，∴設DC＝x，則BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴AD2.4∴AD＝3，故選：C．【點評】本題考查了三角形相似的判定與性質，等邊三角形的性質，掌握有兩個角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．相似三角形的判定與性質19．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．【答案】（1）證明見解析；（2）3.6．【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B為公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根據(jù)相似三角形的性質即可求出BD的長．【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴BDBA∴BD6∴BD＝3.6．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟知有兩個角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．相似三角形的判定與性質44．（2023?云南）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上異于B、C的點．⊙O外的點E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA?AC＝DC?AB．設△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2．（1）判斷直線EA與⊙O的位置關系，并證明你的結論；（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常數(shù)m的值．【考點】相似三角形的判定與性質；垂徑定理；圓周角定理；直線與圓的位置關系．【分析】（1）通過證明△ABC∽△DAC，可得∠ACB＝∠ACD，可證OA⊥DE，即可求解；（2）設BO＝OC＝OA＝a，則BC＝2a，由相似三角形的性質可求CD的長，即可求解．【解答】解：（1）AE與⊙O相切，理由如下：如圖，連接OA，∵DA?AC＝DC?AB，∴DADC∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°＝∠ADC，∴△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠ACD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，∴OA∥CD，∴∠OAE＝∠CDE＝90°，∴OA⊥DE，又∵OA為半徑，∴AE與⊙O相切；（2）如圖，∵OA∥CD，∴△AOE∽△DCE，∴AOCD設BO＝OC＝OA＝a，則BC＝2a，∵BC＝BE＝2a，∴S△ABE＝S△ABC，EO＝3a，EC＝4a，∴aCD∴CD=43∵△ABC∽△DAC，∴BCAC∴AC2＝BC?CD=83a∵△ABC∽△DAC，∴S△ACDS△ABC=（AC∴S2=23S∴m=2【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓的有關知識，等腰三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．相似三角形的判定與性質50．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F、N是線段BF上的點，BN＝2NF：M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積【答案】D【分析】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出FBED=FDECD，由已知得出NFME=BFDE，則FDEC=NFME，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△【解答】解：如圖所示，連接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴FBED∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴NF=13BF∴NF∴FDEC又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴S△MCC故選：D．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，平行線的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．相似三角形的判定與性質41．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點D、E為邊AB的三等分點，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點H為AF與DG的交點．若AC＝12，則DH的長為（）A．1 B．32 C．2 【答案】C【分析】首先根據(jù)點D、E為邊AB的三等分點得AB＝3BE，AE＝2AD，再根據(jù)EF∥AC得△BEF和△BAC相似，從而可求出EF＝4，然后根據(jù)DG∥EF得△ADH和△AEF相似，進而可求出DH的長．【解答】解：∵點D、E為邊AB的三等分點，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BE：AB，∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF：12＝BE：3BE，∴BE＝4，∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH：EF＝AD：AE，∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH：4＝AD：2AD，∴DH＝2．故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定和性質，解答此題的關鍵是理解平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似，相似三角形的對應邊成比例．42．（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【答案】15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴ABAD∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴420∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴ACAD∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴1020∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積=12（HK+GF=1＝15．故答案為：15．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例．相似三角形的判定與性質48．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點B和點F關于直線DE對稱．設BCAB=k，若AD＝DF，則CFFA=k【答案】k2【分析】先根據(jù)軸對稱的性質和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC=12k?AB，通過證明△ABC∽△ECF，推出CF=12k2?【解答】解：∵點B和點F關于直線DE對稱，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵點B和點F關于直線DE對稱，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵點B和點F關于直線DE對稱，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴ABEC∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴BEBC∴EC=12∵BCAB=∴BC＝k?AB，∴EC=12k?∴AB1∴CF=12k2?∴CFFA故答案為：k2【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，軸對稱的性質，平行線的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形外角的定義和性質等，有一定難度，解題的關鍵是證明△ABC∽△ECF．49．（2023?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段AB上一點，連結AC、DE交于點F．若AEEB=23，則S【答案】52【分析】通過證明△AEF∽△CDF，可得AECD【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AEBE∴設AE＝2a，則BE＝3a，∴AB＝CD＝5a，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴AECD∴S△ADF故答案為：52【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，證明三角形相似是解題的關鍵．相似三角形的判定與性質45．（2023?邵陽）如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點B是線段AD上的一點，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）證明：△ABC∽△DEB．（2）求線段BD的長．【答案】（1）見解析；（2）3．【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可證明結論；（2）根據(jù)相似三角形的性質即可求出答案．【解答】（1）證明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴ACBD∴6BD∴BD＝3．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解決問題的關鍵．相似三角形的判定與性質48．（2023?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于點P，對角線BD交AF于點H，連接HM，CM，DM，BM，下列結論正確的是（）①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當點E運動到AB的中點，tan∠BHF＝22；⑤EP?DH＝2AG?BH．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性質和翻折的性質，對每個選項的結論逐一判斷，即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠ABF＝90°，DA＝AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED＝90°，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠AED＝∠BFA，在△ABF和△DAE中，∠ABF=∠DAE=90°∠BFA=∠AED∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE．故①正確；∵將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE．故②正確；當CM⊥FM時，∠CMF＝90°，∵∠AMF＝∠ABF＝90°，∴∠AMF+∠CMF＝180°，即A，M，C在同一直線上，∴∠MCF＝45°，∴∠MFC＝90°﹣∠MCF＝45°，由翻折的性質可得：∠HBF＝∠HMF＝45°，BF＝MF，∴∠HMF＝∠MFC，∠HBC＝∠MFC，∴BC∥MH，HB∥MF，∴四邊形BHMF是平行四邊形，∵BF＝MF，∴平行四邊形BHMF是菱形，故③正確；當點E運動到AB的中點，如圖，設正方形ABCD的邊長為2a，則AE＝BF＝a，在Rt△AED中，DE=A∵∠AHD＝∠FHB，∠ADH＝∠FBH＝45°，∴△AHD∽△FHB，∴FHAH∴AH=2∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，∴△AGE∽△ABF，∴AEAF∴EG=55BF=∴DG=ED?EG=455∵∠BHF＝∠DHA，∴在Rt△DGH中，tan∠BHF=tan∠DHA=DG故④錯誤；∵△AHD∽△FHB，∴BHDH∴BH=13BD=∵AF⊥EP，根據(jù)翻折的性質可得：EP=2EG=2∴EP?DH=255a?423a=81015a2，2AG∴EP?DH＝2AG?BH，故⑤正確．綜上分析可知，正確的是①②③⑤．故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質，翻折的性質，相似三角形的判定和性質，正切的概念，熟練按照要求做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關鍵．49．（2023?黑龍江）如圖①，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點F，G，H分別是DE，DC和BC的中點，連接FG，F(xiàn)H．易證：FH=3FG若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如圖③；其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．【答案】如圖②；FH=2FG，證明見解析；如圖③；FH＝FG【分析】如圖②；連接AH，CE，AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=12BC，AF=EF=12DE，求得∠CAH＝∠EAF＝45°，根據(jù)相似三角形的性質得到CE=2FH，根據(jù)三角形中位線定理得到CE如圖③；連接AH，CE，AF，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=12×120°=60°，根據(jù)相似三角形的性質得到CE＝2FH，根據(jù)三角形中位線定理得到CE＝2FG，于是得到FH【解答】解：如圖②；FH=2FG證明：連接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F(xiàn)，H分別是DE，BC的中點，∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=1∴∠CAH＝∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAC，AHAC∴△AHF∽△ACE，∴FHCE∴CE=2FH∵點F，G分別是DE，DC的中點，∴CE＝2FG，∴FH=2FG如圖③；FH＝FG，證明：連接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，∵點F，H分別是DE，BC的中點，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF=1∴∠HAF＝∠EAC，AHAC∴△AHF∽△ACE，∴FHCE∴CE＝2FH，∵點F，G分別是DE，DC的中點，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，等腰三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．相似三角形的判定與性質50．（2023?綏化）如圖，在正方形ABCD中，點E為邊CD的中點，連接AE，過點B作BF⊥AE于點F，連接BD交AE于點G，F(xiàn)H平分∠BFG交BD于點H．則下列結論中，正確的個數(shù)為（）①AB2＝BF?AE②S△BGF：S△BAF＝2：3③當AB＝a時，BD2﹣BD?HD＝a2A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】①根據(jù)題意可得∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，則cos∠ABF＝cos∠EAD，即BFAB=ADAE，又AB＝AD，即可判斷①；②設正方形的邊長為a，根據(jù)勾股定理求得AF，證明△GAB∽△GED，根據(jù)相似三角形的性質求得GE，進而求得FG，即可判斷②；過點H分別作BF，AE的垂線，垂足分別為M，N根據(jù)②的結論求得BH，勾股定理求得【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝AD，∵BF⊥AE，∴∠ABF＝90°﹣∠BAF＝∠DAE，∴cos∠ABF＝cos∠EAD，即BFAB又AB＝AD，∴AB2＝BF?AE．故①正確；設正方形的邊長為a，∵點E為邊CD的中點，∴DE=a∴tan∠ABF=tan∠EAD=1在Rt△ABE中，AB=A∴AF=5在Rt△ADE中，AE=A∴EF=AE?AF=5∵AB∥DE，∴△GAB∽△GED，∴AGGE∴GE=1∴FG=AE?AF?GE=5∴AFFG∴S△BGF：S△ABF＝2：3．故②正確；∵AB＝a，∴AD＝AB＝a，∴BD2＝AB2+AD2＝2a2，如圖所示，過點H分別作BF，AE的垂線，垂足分別為M，N，如圖，又∵BF⊥AE，HM⊥BF，HN⊥AE，∴四邊形FMHN是矩形，∵FH是∠BFG的角平分線，∴HM＝HN，∴四邊形FMHN是正方形，∴FN＝HM＝HN，∴BF=2AF=255∴MHBM設MH＝b，則BF＝BM+FM＝BM+MH＝3b+b＝4b，在Rt△BMH中，BH=B∵BF=2∴25解得：b=5∴BH=10∴BD2﹣BD?HD＝2a2?2a×22a＝故③正確．故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，正方形的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．51．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，且AD＝2，過點D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點順時針旋轉到圖2的位置．則圖2中BDCE的值為45【答案】45【分析】利用勾股定理求得線段AC的長度，利用平行線的性質和相似三角形的判定與性質得到ADAB∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定與性質得到BDEC【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC=A∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∵將△ADE繞A點順時針旋轉到圖2的位置，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴BDEC故答案為：45【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質定理是解題的關鍵．相似三角形的判定與性質40．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC=5，BC＝25，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得∠BDE＝∠BAC，進而可以證明結論；（2）過點C作CG⊥AB，垂足為G，證明△DBE∽△ABC，得BDAB【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵BC所對的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過點C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC=5，BC＝25∴AB=A∵CG⊥AB