2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點(diǎn)分類）解直角三角形的應(yīng)用方向角問題

解直角三角形的應(yīng)用方向角問題50．（2023?通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）?【答案】B處距離燈塔P約有148海里．【分析】根據(jù)題意可得：PC⊥AB，EF∥AB，從而可得∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BFP＝40°，然后在Rt△APC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PC的長，再在Rt△BPC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BP的長，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BFP＝40°，在Rt△APC中，AP＝100海里，∴PC＝AP?sin72°≈100×0.95＝95（海里），在Rt△BCP中，BP=PC∴B處距離燈塔P約有148海里．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，熟練掌銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題52．（2023?眉山）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是63+6【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．證得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°=CH∴CH=33（12+解得CH＝6（3?答：漁船與燈塔C的最短距離是6（3+故答案為：63+【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確根據(jù)題意畫出輔助線，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題49．（2023?廣安）為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園ABC邊上修建一個四邊形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方向170米處，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正北方向，點(diǎn)B、D都在點(diǎn)C的正北方向，BD長為100米，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東30°方向，點(diǎn)D在點(diǎn)E的北偏東58°方向．（1）求步道DE的長度；（2）點(diǎn)D處有一個小商店，某人從點(diǎn)A出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D，也可以經(jīng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D，請通過計算說明他走哪條路較近．（結(jié)果精確到個位）（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，3≈【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【分析】（1）過D作DF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意可得：四邊形ACDF是矩形，從而可得DF＝AC＝200米，然后在Rt△EFD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算，即可解答；（2）先在Rt△EFD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EF的長，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB，BC的長，從而求出DC的長，然后利用矩形的性質(zhì)求出AF的長，從而求出AE的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，比較即可解答．【解答】解：（1）過D作DF⊥AE，垂足為F，由題意得：四邊形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝170米，在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，∴DE=DF∴步道DE的長度約為200米；（2）小紅從A出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程較近，理由：在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米，∴EF=DF在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，AC＝170米，∴BC＝AC?tan60°＝1703（米），∴AB=170∵BD＝100米，∴CD＝BC+BD＝（1703+∵四邊形ACDF是矩形，∴AF＝DC＝（1703+∴AE＝AF﹣EF＝1703+∴某人從A出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程＝AB+BD＝340+100＝440（米），某人從A出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程＝AE+DE＝287.8+283＝570.8（米），∵440米＜570.8米，∴小紅從A出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程較近．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．50．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測量，A在燈塔C的南偏西60°方向，B在燈塔C的南偏東45°方向，且在A的正東方向，AC＝3600米．（1）求B養(yǎng)殖場與燈塔C的距離（結(jié)果精確到個位）；（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請計算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【分析】（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，解直角三角形即可求出BC；（2）求出AD，BD，進(jìn)而求出AB，根據(jù)速度公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°=CDAC，sin60°∴AD＝3600×32=18003（米），在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝1800（米），∴BC=BD2答：B養(yǎng)殖場與燈塔C的距離約為2545米；（2）AB＝AD+BD＝18003+600×9＝5400（米），∵5400米＞4917.6米，∴能在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)求出AD與BD的長度，難度一般．51．（2023?重慶）為了滿足市民的需求，我市在一條小河AB兩側(cè)開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．經(jīng)勘測，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方10千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方14千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東45°方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西60°方向．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3（1）求AD的長度．（結(jié)果精確到1千米）（2）由于時間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請計算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題；勾股定理的應(yīng)用．【分析】（1）過D作DF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意可得：四邊形ABCF是矩形，從而可得AF＝BC＝10千米，然后在Rt△AFD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算，即可解答；（2）先在Rt△ADF中，根據(jù)等腰三角形的判定求出AF的長，再在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB，AE的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，比較即可解答．【解答】解：（1）過D作DF⊥AE，垂足為F，由題意得：四邊形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD=AFsin45°=∴AD的長度約為14千米；（2）小明應(yīng)該選擇線路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，∴AE＝AB?tan30°＝24×33=EB＝2AE＝163千米，按路線①A﹣D﹣C﹣B走的路程為AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）按路線②A﹣E﹣B走的路程為AE+EB＝83+163∵38千米＜41.52千米，∴小明應(yīng)該選擇線路①．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題52．（2023?聊城）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向1200m處．在明珠大劇院P測得角樓A在北偏東68.2°方向，南關(guān)橋C在南偏東56.31°方向（點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi)），求明珠大劇院到龍堤BC的距離（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin68，2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）【答案】明珠大劇院到龍堤BC的距離約為1320m．【分析】過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DE＝AB＝520m，設(shè)PD＝xm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，則四邊形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝520m，設(shè)PD＝xm，在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，∴AD=PDtan68.2°∴BE＝AD=x2.5∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200?2x5）在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°=PE解得x＝800，∴PD＝800m，∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），答：明珠大劇院到龍堤BC的距離約為1320m．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，矩形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，53．（2023?郴州）某次軍事演習(xí)中，一艘船以40km/h的速度向正東航行，在出發(fā)地A測得小島C在它的北偏東60°方向，2小時后到達(dá)B處，瀏得小島C在它的北偏西45°方向，求該船在航行過程中與小島C的最近距離（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73．結(jié)果精確到0.1【答案】該船在航行過程中與小島C的最近距離為29.2海里．【分析】由題意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，過C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意得，AB＝40×2＝80（海里），∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴AD=3∵AB＝80海里，∴3CD+CD＝80，解得CD＝403?答：該船在航行過程中與小島C的最近距離為29.2海里．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形應(yīng)用﹣方向角問題、勾股定理的應(yīng)用等知識，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題54．（2023?株洲）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點(diǎn)A處等候“綠燈”，一輛車從被山峰POQ遮擋的道路②的點(diǎn)B處由南向北行駛．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，線段AO的延長線交直線BC于點(diǎn)D．（1）求∠COD的大小；（2）若在點(diǎn)B處測得點(diǎn)O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD＝12米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車？（當(dāng)該轎車行駛至點(diǎn)D處時，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)?【答案】（1）30°；（2）24米．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠POD＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，根據(jù)垂直的定義得到∠COQ＝90°，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AO⊥OP，∴∠POD＝90°，∵∠POQ＝30°，∴∠DOQ＝∠POD﹣∠POQ＝90°﹣30°＝60°，∵OC⊥OQ，∴∠COQ＝90°，∴∠COD＝∠COQ﹣∠DOQ＝90°﹣60°＝30°，即∠COD的大小為30°；（2）∵BC∥OQ，∴∠BCO＝180°﹣∠COQ＝90°，在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝12米，∴CD=1∴OC=OD2∵tanα=tan∠OBC=3∴BC=OC∴BD＝BC﹣CD＝30﹣6＝24（米），即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車．【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，平行線的性質(zhì)，正確地求出結(jié)果是解題關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題57．（2023?內(nèi)蒙古）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個檢查點(diǎn)，分別為B點(diǎn)和C點(diǎn)，行進(jìn)路線為A→B→C→A．B點(diǎn)在A點(diǎn)的南偏東25°方向32km處，C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東80°方向，行進(jìn)路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°．（1）求行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)；（2）求檢查點(diǎn)B和C之間的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)為60°；（2）檢查點(diǎn)B和C之間的距離（3＋3）km【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，從而利用平角定義可得∠CAB＝75°，然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可解答；（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD和BD的長，再在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，然后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：（1）由題意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，∴行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)為60°；（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，AB＝32km，∠ABC＝45°，∴AD＝AB?sin45°＝32×22BD＝AB?cos45°＝32×22在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，CD=ADtan60°=∴BC＝BD＋CD＝（3＋3）km∴檢查點(diǎn)B和C之間的距離（3＋3）km【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題44．（2023?連云港）漁灣是國家“AAAA”級風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達(dá)B處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角?7°的山坡向上走了30m到達(dá)C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分別在Rt△ABE和Rt△CBF中分別解三角形求出BE，CF的長，二者相加就是CD的長．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，sin∠BAE=BE∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.