數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修二

復數(shù)的概念數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

學習目標1.了解引進虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴充過程.2.理解在數(shù)系的擴充中由實數(shù)集擴展到復數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復數(shù)相等的充要條件.核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、數(shù)學運算情境導入自然數(shù)（正整數(shù)與零）整數(shù)有理數(shù)實數(shù)？計數(shù)的需要表示相反意義的量解方程x+3=1測量、分配中的等分解方程3x=5度量的需要解方程x2=2解方程x2=－1思考：為什么要不斷地擴充數(shù)系？數(shù)系的每一次擴充都是為了滿足社會生產(chǎn)實踐的需要另一方面，數(shù)集的每次擴充都是為了解決數(shù)學內(nèi)部的矛盾。①分數(shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾；②負數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾；③無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾；到此，數(shù)系擴充的腳步就能停止了嗎？我們解決了嗎？虛數(shù)的歷史1545年卡爾丹在解方程的過程中第一次大膽使用了負數(shù)平方根的概念。1637年法國數(shù)學家笛卡爾率先提出“虛數(shù)”這個詞，并在很多方面得到了應用，“虛數(shù)”被證明“不虛”了。1777年著名的數(shù)學家歐拉首次用ｉ表示-1的平方根，但認為它們是虛幻的。1801年，高斯系統(tǒng)地使用這個符號，才使i通行于世。（1）i2=-1;叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：引入一個新數(shù)i，

（2）實數(shù)可以與i進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律(包括交換律、結合律和分配律)仍然成立．(注：0·i=0)概念形成現(xiàn)在我們就引入這樣一個新數(shù)

i

，并且規(guī)定：（3）我們把

i

叫做虛數(shù)單位。（1）i

2

1；即x=i是方程x2+1=0的解（2）實數(shù)可以與

i

進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加法與乘法的運算律(包括交換律、結合律和分配律)仍然成立。形如a+bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)。

全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母C表示。復數(shù)的概念實部復數(shù)的代數(shù)形式復數(shù)通常用字母

z表示，即虛部其中

稱為虛數(shù)單位。（a、b

R）復數(shù)的分類？討論當a=___且b=____時，則z=0當b=___時，則z為實數(shù)當b___時，則z為虛數(shù)當a=___且b___時，則z為純虛數(shù)000≠0≠00復數(shù)集虛數(shù)集實數(shù)集純虛數(shù)集（2）復數(shù)集、虛數(shù)集、實數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關系復數(shù)的分類（1）復數(shù)z=a+bi實數(shù)（b=0）虛數(shù)（b≠0）純虛數(shù)(a=0,b≠0)非純虛數(shù)(a≠0,b≠0)復數(shù)相等的充要條件

兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等思考：兩個復數(shù)能不能比較大小呢？相等

a=cb=d?1、判斷下列命題是否正確：若a、b為實數(shù)，則Z=a+bi為虛數(shù)若b為實數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)若a為實數(shù)，則Z=a

一定不是虛數(shù)思考：Z=a一定不是虛數(shù)？2、實數(shù)m取什么值時，復數(shù)

是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當，即時，復數(shù)z是實數(shù)．（2）當，即時，復數(shù)z是虛數(shù)．（3）當即時，復數(shù)z是純虛數(shù)．3、已知，其中求解：根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得方程組說明:實數(shù)問題復數(shù)問題