新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí) 第13講雙變量問(wèn)題學(xué)生版

第13講雙變量問(wèn)題

一.選擇題（共5小題）

1.（2021?海淀區(qū)校級(jí)月考）若2'-2，<37-3一，則（

A.—x+l)>OB./λ∕(y-x+l)<0C.ln?xy?>0D.ln?xy?<0

yx

2.（2021?全國(guó)月考）已知實(shí)數(shù)X,?y?ySIog2x?ve~<Iog2y+e~9則下列結(jié)論一定正確的

是（）

B.ln?x-y??QC.In?x-y+??>0D.ln?y-x+??>O

3.（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）已知α,β∈（0,?）,a≠β,若e0-e"=COSa-2cos∕,則下

列結(jié)論一定成立的是（）

A.Sina<sin/?B.cosσ<COSy0C.Sina>sin￡D.cosa>cosy0

4.（2021春?順義區(qū)期末）已知函數(shù)/（x）=e"g（x）=-x2+?x（其中aeR）.對(duì)于不相等

的實(shí)數(shù)不，χ2,設(shè)加=/（占）一/（七）,”=g（xMg（z）,給出下列三個(gè)結(jié)論：

X1-X2X1-X2

①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)占，X2,都有"?>0；

②對(duì)于任意的α及任意不相等的實(shí)數(shù)占，x2,都有〃<0；

③對(duì)于任意的”,存在不相等的實(shí)數(shù)占，與，使得加=〃.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

5.（2021?龍鳳區(qū)校級(jí)月考）已知α<0,不等式x"+∣2e*+α加x..0對(duì)于任意XW（L+∞）恒成立,

則。的取值范圍是（）

A.[-e,-1]B.[-e,0）C.（-∞,-l）D.（→o,-e]

二.多選題（共1小題）

6.（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)期中）已知正實(shí)數(shù)X,y滿(mǎn)足log2X+log∕<d）"-d）'',則下列結(jié)論

正確的是（

A.一<一X5<yC.ln(y-x+↑)>0D.2x-y<-

Xy

三.解答題（共45小題〉

7.（2021?揚(yáng)州月考）已知函數(shù)/（x）=χ3+h%AreR）,廣⑶為/（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）當(dāng)k=l時(shí)，求函數(shù)g（x）=M?'（x）-2/（X）-X3+χ+2的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)匕.0時(shí)，求證：對(duì)任意的士，X2ER,且再>z，有〃XMfa2）<八再）+尸（々）.

x1-X22

8.(2021?浙江月考)已知α>O且α≠l,函數(shù)/(x)=x"-"(x>0).

(I)當(dāng)α=2時(shí),設(shè)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(X),求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)y=/(x)恰有兩個(gè)互異的零點(diǎn)m,n[m>?>0).

(i)求實(shí)數(shù)α的取值范圍；

(ii)求證：mn>e2.

9.(2021?南平月考)已知函數(shù)f(χ)=2∑L.

ex

Q)求f(*)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)設(shè)m,〃為兩個(gè)不相等的正數(shù)，旦mlnn-nlnm=m-n,證明：mn>el.

10.(2021?廣州月考)已知函數(shù)/(x)=e2'-α(x-l).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若α>0,設(shè)廠(chǎng)(X)為“X)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x2,求證：

ΛΛ?)<0.

11.(2021?和平區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知函數(shù)/(X)=4-阮V.

(I)若/(X)在X=X],工2(*二工2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：JXIX2=2(4^+T)；

(H)在(I)的條件下，證明：/(x,)+/(x2)>8-8∕n2;

(III)若α.3-4/〃2,證明：對(duì)于任意人>(),直線(xiàn)y=?r+α與曲線(xiàn)y=∕(x)有唯一公共點(diǎn).

12.(2021春?浙江月考)已知函數(shù)/(X)=加x+巴

X

(1)若函數(shù)/(x)有極值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，若/(x)在X=X1,工2(工1工工2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/(為)+/(々)>1+2"2；

7

(3)若函數(shù)/(x)在(0,+oo)上有兩個(gè)零點(diǎn)七，x(x≠x),證明：x+x>-.

2l212e

13.設(shè)函數(shù)/(x)=；--a%+(々一])/〃％,a>?.

(1)曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線(xiàn)與X軸平行，求實(shí)數(shù)Q的值；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)證明：若α<5,則對(duì)任意$，x2∈(0,+oo),xl≠x2f有"?)一”<)>-1.

演T2

2[

14.(2012春?順慶區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(X)="士!■是奇函數(shù)，且/(1)=2.

x+b

⑴求/(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

2

(3)若Xi，x2e(l,+∞),且x∣≠X2?求證*)<；[/(?)+j?%)].

15.(2021?湖北月考)已知函數(shù)f(x)=3^-的定義域?yàn)镽?

Or-+3

(1)當(dāng)。取得最小值時(shí)，記函數(shù)/(x)在x=ɑ處的切線(xiàn)方程為y=g(x).若/(x)?.g(x)恒成

立且αeZ,求”的最大值；

(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)將和x,,求證：L?Z2<八項(xiàng))+/區(qū))<3+土.

22axl÷x244a

16.(2009?盧灣區(qū)二模)已知函數(shù)/(x)=∣2i-l∣,(xeR).

(1)證明:函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)，并指出函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,1)上的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)的圖象與直線(xiàn)y=f有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(m,t),B(n,t),其中m<n,^<.m+n

的取值范圍.

17.(2021?商丘二模)已知直線(xiàn)y=x+b與函數(shù)/(x)=/〃x的圖象交于兩個(gè)不同的點(diǎn)4,B,

其橫坐標(biāo)分別為巧，x2,且西<々

(I)求b的取值范圍；

(II)當(dāng)々..2時(shí)，證明再?*<2.

18.(2021?西湖區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)函數(shù)/(x)=χ2+H”(]+χ)有兩個(gè)極值點(diǎn)引,χ2,且不<%.

(1)求。的取值范圍，并討論/(X)的單調(diào)性.

(2)證明：/(乙)>匕詈.

19.(2010?遼寧)已知函數(shù)/(x)=m+l)∕nx+a√+ι.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)α<-l.如果對(duì)任意X],x2∈(0,+∞),∣∕(X∣)-∕(X2)∣...4∣X∣-X2I>求α的取值范圍.

20.(2015?南通校級(jí)模擬)已知函數(shù)〃幻=5+1)欣+加+1.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)α<T,若對(duì)任意再、%恒有1/(西)一/(%)1…求°的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(x)="x-x",xeR.其中〃eN.n..2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)曲線(xiàn)y=∕(x)與X軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線(xiàn)在點(diǎn)尸處的切線(xiàn)方程為y=g(x),求

證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)X,都有/(x),g(x);

⑶設(shè)〃=5,若關(guān)于X的方程f(x)=α(α為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)根再,x,,求證：?χ-χ?<2--.

2l4

22.(2015?天津)已知函數(shù)/'(X)="x-x",XWR,其中〃∈N,且以.2.

3

(I)討論/(χ)的單調(diào)性；

(∏)設(shè)曲線(xiàn)y=∕α)與X軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y=g(x),求

證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)X,都有/(x,g(x);

(In)若關(guān)于X的方程/(x)="(α為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根占,%，求證:lx2^xι|<——+2.

1-n

23.(2021?呼和浩特二模)已知函數(shù)/(x)=M-0√+(2-α)x.

①討論f(x)的單調(diào)性；

②設(shè)0>0,證明：當(dāng)O<x<L時(shí)，f(—+x)>f(--x)；

aaa

③函數(shù)y=∕(x)的圖象與X軸相交于/、B兩點(diǎn),線(xiàn)段48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為天,證明

Λ?)<0?

24.(2021?定遠(yuǎn)縣期末)已知函數(shù)/(x)=；/-x+a∕"x(α>0).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X1,x2,求證：/(x1)+/(x2)>.

25.(2021?臨沂期中)已知函數(shù)Ax)=；/-χ+α加χ(q>o).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X],x2(xl<X2),且不等式/(xj+WX2…°恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍.

26.(2021春?新鄉(xiāng)期末)已知函數(shù)/(x)=；，+l)+a(/〃x-4x+l).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)再，X2,且(XlX2)-4a,求°的取值范圍.

27.(2021?湖北月考)已知函數(shù)/(x)=gθχ2-χ+2α2∕"χ(a7io)

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

XY

(2)若/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)芭，x2,證明：./(I)-/(-2)<1+_L

XI-X2X1X2

28.(2021?登封市校級(jí)月考)已知函數(shù)/(工)=3-2)，+。(;—1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求α的取值范圍；

(2)已知g(x)圖象與y=/(x)圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，證明：當(dāng)x<l時(shí)，/(x)<g(x)?

(3)設(shè)項(xiàng)，工2是兩個(gè)零點(diǎn)，證明：玉+工2<2.

29.(2010?湖南)已知函數(shù)/(x)=x2+6x+c(6,c∈A),對(duì)任意的xeR,恒有八力J(X).

(I)證明：當(dāng)X…0時(shí)，/(瓊，a+。)？；

(II)若對(duì)滿(mǎn)足題設(shè)條件的任意b,C,不等式/(c)-/(b),,Md-/)恒成立，求M

的最小值.

30.(2009?海南)已知函數(shù)/(x)=(χ3+3χ2+θr+6)e-*.

(1)如α=6=-3,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)在(-8,a),(2,尸)單調(diào)增加,在(a,2),(A+∞)單調(diào)減少,證明：β-a>6.

31.(2021春?深圳月考)已知函數(shù)/(x)=e*,xeR,g(x)=Inx,x∈(0,+∞).

(I)若直線(xiàn)y=Ax+2與g(x)的圖象相切，求實(shí)數(shù)上的值；

(II)設(shè)x>0,討論曲線(xiàn)y=∕(x)與曲線(xiàn)歹=以2(〃?>0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(IH)設(shè)α<6,比較/⑷十八"與」他二3的大小,并說(shuō)明理由.

2b-a

7

32.(2006?四川)已知函數(shù)/(x)=∕+W+出NX(X>0),/(x)的導(dǎo)函數(shù)是r(x).對(duì)任意兩個(gè)

X

不相等的正數(shù)占、X2,證明：

(1)當(dāng)α.O時(shí)，Z?λt2?2>y?(ΞL?.).

22

(II)當(dāng)q,4時(shí)，∣∕α)-八*2)|>|八-%1-

33.(2013?揭陽(yáng)二模)已知Q>0,函數(shù)/(x)=0χ2-阮V.

(1)求“X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)α=:時(shí)，證明：方程/(x)=∕g)在區(qū)間(2,+8)上有唯一解:

(3)若存在均屬于區(qū)間［1,3］的α,￡且夕-α.J,使/(a)=∕(0,證明：,n3~ln2^等.

34.(2021?金安區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=gχ2-2x+Hnx.

(1)若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)用，x2(xt<x2),求α的取值范圍；

(2)在ɑ)的條件下，若不等式/(占)…加々恒成立，求機(jī)的取值范圍.

35.(2021?信陽(yáng)月考)已知函數(shù)/(x)=4x-R"x-3χ2-2,其中”為正實(shí)數(shù).

(I)若函數(shù)N=/(x)在X=I處的切線(xiàn)斜率為2,求”的值；

(II)討論函數(shù)y=F(X)的單調(diào)性；

(In)若函數(shù)I=/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)芭,x2,求證：/(x1)+f(x2)<6-lna.

5

36.(2021?和平區(qū)校級(jí)月考)已知函數(shù)/(x)=-∕χ2+ar-∕"χ(αeR).

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)再,x2(x1<x2),求證：4f(xl)-2f(x2),,l+3∕n2.

37.(2021?茂名月考)已知函數(shù)/(x)=∕nx+χ2一6.

(1)當(dāng)α=3時(shí)，求曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)尸(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；

∩~64—I

(2)若西，工2區(qū)〈9)是函數(shù)/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：/(王)-/(工2)>/〃可+市/一.

38.(2021?沈陽(yáng)月考)已知函數(shù)/(x)=e'-雙有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)，x2,且χ<w?

(1)求證：a>e；

(2)求證：xl+x2>2.

39.(2021?海淀區(qū)校級(jí)月考)已知。>0,函數(shù)/(x)=x∕-0r.

(I)當(dāng)〃=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=∕(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；

(II)求/(工)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(In)若存在a,使得/(x)>b-α對(duì)任意XER成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

40.(2021?重慶月考)已知函數(shù)/(x)=Orer+x-比X有三個(gè)不同的極值點(diǎn)再，x2,X3,且

X1<X2<X3.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若X+2-2+3J?2+5加3,求馬的最大值.

再

41.(2021?浙江月考)已知α∈R,函數(shù)/(x)=(x+α)2+歷x.

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(∏)若/,(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)再，當(dāng)且用<%2，試把王?∕(Z)表示成￡的函數(shù)，并證明此函

數(shù)存在極值點(diǎn)工3，%，且工3e(乎?，工4€(北+8).

42.(2021?廣州月考)已知函數(shù)/(x)=e'-0x+x—Z)(α∕∈R).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

ηx2

(2)當(dāng)α=3時(shí)，函數(shù)/(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)七，x2(x1<X2),求證：β+e>4.

43.(2021?長(zhǎng)治月考)已知函數(shù)/(x)=jχ2-40x+4>x+l,aeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)再,x2(xl>x2),求證：/(,)一］(%2)v-2(αT)(Xl-X2)?

6

jt

44.(2021?河北月考)已知/(x)=ge2-O2χ,d>θ.

(1)若/(x)…0,求α的取值范圍；

(2)若/a)=∕'(w)，且XlWX2，證明：e*+e*>2α.

11

45.(2021?涪城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))已知函數(shù)f(x)=lnx+-ax2-2x+-(a>0).

(1)討論/(x)在的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)2,x2,證明：/(x1)+/(?)<0.

46.(2021?光明區(qū)月考)已知函數(shù)/(x)=g"e"-χ2-αχ,a&R.

(1)當(dāng)α=l時(shí)，求函數(shù)g(x)=∕(x)+r的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0<“<-rJ,時(shí)，函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)再，x2(x,<x2),證明：x2-x,>2.

e-1

47.(2021春?洛陽(yáng)期中)已知函數(shù)/(x)=H"x-Jχ2-(α-l)x