備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列的其他應(yīng)用

專題7.5數(shù)列的其他應(yīng)用

題型一分段遞推數(shù)列求通項公式

題型二公共項數(shù)列

題型三插項數(shù)列

題型四數(shù)列中的新定義問題

題型五數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良

題型六遞推數(shù)列的實際應(yīng)用

才典例集練

題型一分段遞推數(shù)列求通項公式

[2a,n=2k-l,

例1.（2023?江西南昌?統(tǒng)考三模）已知數(shù)列｛氏｝滿足％=1,%=其中左wN*,則數(shù)列｛%｝的前2〃

[為+1,〃=2k,

項和S2?為.

fa+1,w為奇數(shù)

例2.（2023春?廣東佛山?高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列｛%｝滿足4=0,n

\an+2,〃為偶數(shù)'

則（）

A.%=5

3H

B.當(dāng)"為偶數(shù)時，g=--2

C.an+2=an+3

D.數(shù)列｛（-1廣％,｝的前2〃+1項和為2”

舉一反三

練習(xí)1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛叫滿足4=1,-=I"”""為奇數(shù)，記么=%,，求數(shù)列｛%｝

q-2〃,〃為偶數(shù)

的通項公式.

為奇數(shù)，物司,

練習(xí)2.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,a幾為偶數(shù);數(shù)列”

n+l

滿足包=的“.

⑴求數(shù)列抄“｝的通項公式；

⑵求數(shù)列j-^―1的前〃項和S".

〔她+iJ

I/7-L0M—2k—1ke

練習(xí)3.（2。23秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）己知數(shù)歹出卜滿足'口入N*'…令……

⑴寫出4，b2,并求出數(shù)列低｝的通項公式;

⑵記％=log3bn,求匕｝的前10項和.

""2an+cosnn,〃為奇數(shù)

練習(xí)4.（2023?陜西安康?陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的首項為1,。用n

?n+COSH7l,〃為偶數(shù)

數(shù)列一”+2的前〃項和小于實數(shù)聞,則M的最小值為（）

n+i

[an+l-an-2]

2

ABD.

-2-IcI3

練習(xí)5.（2023春?重慶渝中?高二重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足：①4=5；②

[4+2,（〃為奇數(shù)）（、,、°

〃用二；二班便工、?則?！ǖ耐椆?=______；設(shè)S〃為叫的前〃項和，則S2023=__________.（結(jié)果用指數(shù)累

3%+2,（〃為偶數(shù)）

表示）

題型二公共項數(shù)列

例3.（2023春?河北石家莊?高二石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列｛q｝,｛2｝的通項公式分別為=3〃-1和

fe?=4n-3（neN,）,設(shè)這兩個數(shù)列的公共項構(gòu)成集合A,則集合Ac｛〃|“V2023,"eN*｝中元素的個數(shù)為（）

A.167B.168C.169D.170

例4.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列抄,｝是公比為2的等比數(shù)列，且

滿足q+%=4+仇+&%+%=%+&-將數(shù)列｛%｝與抄“｝的公共項按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列￡｝.

⑴證明：cn=b2n;

⑵求數(shù)列｛%g｝的前"項和S,.

幽一反三

練習(xí)6.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）將數(shù)列｛2"｝與｛3〃-2｝的公共項由小到大排列得到數(shù)列｛外｝,

則數(shù)列｛〃"｝的前”項的和為.

練習(xí)7.（2023?全國?高三專題練習(xí)汜知〃eN*,將數(shù)列｛2“-1｝與數(shù)列｛川-1｝的公共項從小到大排列得到新數(shù)列｛。0｝,

111

則—+_++—=.

練習(xí)8.（2022秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且

55=2〃4+11,。5=%+。3+3.

（1）求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

（2）若數(shù)列抄“｝由｛S?｝與｛??｝的公共項按從小到大的順序排列而成，求數(shù)列也｝落在區(qū)間（0,2022）內(nèi)的項的個數(shù).

練習(xí)9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）記S,,為公比不為1的等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，%-。4=-8出+8《，56=21.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)用=log2%,若由｛心｝與｛，｝的公共項從小到大組成數(shù)列｛%｝,求數(shù)列匕｝的前n項和Tn.

練習(xí)10.（2022秋?山東濟寧.高三統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù),

三三數(shù)之剩二，五五數(shù)值剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所以被3除余2的自然數(shù)從小到大

組成數(shù)列｛叫，所有被5除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列也｝,把｛4｝和也｝的公共項從小到大得到數(shù)列｛%｝,

則（）

A.a3+b5=c3B.%8=GOC.a5b2>c8D.c9-b9=a26

題型三插項數(shù)列

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可以形成一個新的數(shù)列，再把所得

數(shù)列按照同樣的方法可以不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)將數(shù)列1,3進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,4,3；第2次得到數(shù)

列1,5,4,7,3；依次構(gòu)造，第九（weN"）次得到數(shù)列1,占,馬,飛廠..,4,3.記=1+玉+尤2++4+3,若%>4378

成立，則〃的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

例6.（2023?安徽滁州??？寄M預(yù)測）已知等比數(shù)列｛叫的前〃項和為%且S“=4+「2（〃eN*）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）在與。角之間插入"個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4的等差數(shù)列，求數(shù)列的前〃項和1.

舉一反三

練習(xí)11.（2023秋?江蘇鹽城?高三江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知數(shù)列｛4｝的通項公式=5〃+15,在數(shù)列｛%｝的

任意相鄰兩項ak與4包（無=1,2,…）之間插入2上個4,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列｛4｝,記新數(shù)列｛2｝的

前力項和為S“，則560的值為.

練習(xí)12.（2023?全國?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足。角=34-2“1（”22），4=1,%=2.

（1）求數(shù)列｛。,｝的通項公式；

⑵在數(shù)列｛%｝的任意做與項之間，都插入左,eN*）個相同的數(shù)（-1）黑，組成數(shù)列也｝,記數(shù)列也｝的前〃項的

和為T,,求為的值.

練習(xí)13.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛叫的前〃項和為%且S“=2"+l.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）保持｛?！埃懈黜椣群箜樞虿蛔?，在《與之間插入七個1,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列｛2｝,記｛〃｝

的前w項和為北，求幾。的值（用數(shù)字作答）.

練習(xí)14.（2023春?遼寧錦州?高三?？计谥校┯汼,為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前“項和，$3=14,且％,3%,

%成等差數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵在巴和。用之間插入〃個數(shù)，使得這（〃+2）個數(shù)依次組成公差為4的等差數(shù)列，求數(shù)列的前w項和［.

練習(xí)15.（2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的前"項和S"，4=3,且SK+1=2s“+〃+3.數(shù)列也｝滿足仇=1,

（1）求數(shù)列｛。"｝,｛2｝的通項公式；

（2）將數(shù)列抄“｝中的項按從小到大的順序依次插入數(shù)列｛%｝中，在任意的怎，出華之間插入2人-1項，從而構(gòu)成一個

新數(shù)列｛%｝，求數(shù)列｛g｝的前100項的和.

題型四數(shù)列中的新定義問題

例7.（2023?全國.高三對口高考）對于數(shù)歹式?！埃?定義｛△4｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a“=a”+「4（〃eN*）

⑴若數(shù)列｛%｝的通項公式%一求｛△”,｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛為｝的首項是1,且滿足△氏-。，=2",證明數(shù)列［會］為等差為數(shù)列.

例8.（2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測）（多選）所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)的比，例如0.7=0.7777,0.7如何

777f71

表示成兩個整數(shù)的比值呢？0-7=歷+需+油+代表了等比數(shù)列|而）的無限項求和，可通過計算該數(shù)列的前,

7777

項的和，再令力一”獲得答案.此時5“=八-不大，當(dāng)〃—”時，5"一八，即可得0.7=八.則下列說法正確的是

99x1099

(

A.0.45=—

90

《為無限循環(huán)小數(shù)

B.

g為有限小數(shù)

C.

D.數(shù)列的無限項求和是有限小數(shù)

舉一反三

練習(xí)16.（2023?江蘇揚州?揚州中學(xué)校考模擬預(yù)測）若數(shù)列｛4｝滿足4向=可，則稱數(shù)歹￡4｝為“平方遞推數(shù)列”.已

知數(shù)列｛。"｝中，4=9,點（%,%+）在函數(shù)/（x）=/+2x的圖象上，其中九為正整數(shù)，

⑴證明：數(shù)列｛。"+1｝是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列他（%+1）｝為等比數(shù)列；

⑵設(shè)2=lg（%+l）,c,=2〃+4,定義。*6=[a"，且記4=或*。,，求數(shù)列｛4｝的前”項和.

練習(xí)17.（2023糊北武漢?統(tǒng)考三模）將12…,〃按照某種順序排成一列得到數(shù)列｛qj,對任意l<i<j<n,如果q>%,

那么稱數(shù)對（%%）構(gòu)成數(shù)列｛%｝的一個逆序?qū)?若"=4,則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列｛為｝的個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

練習(xí)18.（2023?北京?人大附中校考三模）已知數(shù)列｛%｝滿足：對任意的weN*,總存在根eN*,使得S“=4"，則

稱｛g｝為“回旋數(shù)列以下結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①若。“=2023〃，則｛%｝為“回旋數(shù)列”；

②設(shè)｛0｝為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則｛4｝為“回旋數(shù)列”；

③設(shè)｛。,｝為等差數(shù)列，當(dāng)q=l,d<0時，若｛%｝為“回旋數(shù)列"，則d=—l;

④若｛a"｝為“回旋數(shù)列”，則對任意“eN*,總存在相eN*,使得巴=黑.

A.1B.2C.3D.4

練習(xí)19.（2023?重慶沙坪壩?重慶八中校考二模）（多選）在數(shù)列｛%｝中，吊-〃3=P（"22"EN*,〃為非零常數(shù)），

則稱｛〃”｝為"等方差數(shù)列”，P稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）

A.｛（-2）"｝是等方差數(shù)列

B.若正項等方差數(shù)列｛%｝的首項弓=1,且外出，內(nèi)是等比數(shù)列，則q=公

C.等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列

D.存在數(shù)列｛《,｝既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列

練習(xí)20.（2023?江蘇蘇州?校聯(lián)考三模）（多選）若數(shù)列｛凡｝滿足：對任意的〃eN*（“23）,總存在i,jeN*,使

4=6+%?/〃?<〃，/<"）,則稱｛%｝是“歹數(shù)列則下列數(shù)列是“廠數(shù)列''的有（）

A.an=2nB.〃

C.%=3〃

題型五數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良

例9.（2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列㈤｝的前〃項和為S,,,%=3,S5=4（%+生）+1.

⑴求｛%｝的通項公式及S“；

（2）設(shè),求數(shù)列出｝的前〃項和1.

在①2=廠；②勿=居」；③2=一'一這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解.

ss

gi+M?n+ia?a?+i

注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

例10.（2023秋?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列｛叫的前"項和為S"，在①匕=0（〃eN*）,

且4=3；②3%=3+2S”（〃eN*）；③J=%eN*）,%=3,這三個條件中任選一個，解答下列問題：

am

（1）證明數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

2〃1

（2）設(shè)2=3.+i），數(shù)列抄“｝的前〃項和為小若恒成立，求4的最小值?

注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.

舉一反三

練習(xí)21.（2023春?廣西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，在①%=二61（,亞2）且01=1；

②2S〃=/+〃；③Q“+Q計2-24+l=。且。l=l,%=3,這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：

（1）已知數(shù)列｛%｝滿足,求｛%｝的通項公式；

⑵己知正項等比數(shù)列也｝滿足々=?2,仇+么=12,求數(shù)列j~:|的前〃項和T?.

練習(xí)22.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，記S”為｛4｝的前〃項和.

（1）從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；

①〃+1=2+。〃；

@52=4S1；

③+JS?+2=2jS〃+i.

T111

=+

（2）在（1）的條件下，若。1=2,^Tnr^-z-rr—++/.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

練習(xí)23.（2023春?浙江杭州?高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）在①4=2〃-1,32=2騫+3；②2S“=*+a“也=的足

這兩組條件中任選一組，補充下面橫線處，并解答下列問題.

己知數(shù)列｛g｝的前“項和是S“，數(shù)列抄”｝的前〃項和是T”，.

⑴求數(shù)列｛叫,也｝的通項公式；

（2）設(shè)與=小，數(shù)列￡｝的前"項和為&,求

un

練習(xí)24.（2023秋?云南昆明?高三統(tǒng)考期末）已知S“是數(shù)列｛%｝的前，項和，①2a,-S“=2,②

/*\?1

a==

4+4-1---^-\a>2,nGNI,且%=4,③---~,q=2

nnan+i,

請從①②③中選擇一個條件進行求解.

注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵數(shù)列7―而I——的前〃項和為T“，是否存在正整數(shù)加，使妥丁m恒成立？若存在，求出加的最大值；若

（n+l）log2tznJ2023

不存在，請說明理由.

練習(xí)25.（2023春?北京海淀?高三中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列｛4｝中，4=1,,其中“eN*.

從①數(shù)列｛。“｝的前w項和S"=2"-1,②4用=24，③&=8且a"=a“a”+2,這三個條件中一個，補充在上面的問

題中并作答.

注：若選作多個條件分別解答，按第一個解答計分.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

⑵設(shè)a=log?%,求證：數(shù)列。｝是等差數(shù)列;

（3）設(shè)數(shù)列c?=—,求數(shù)列｛g｝的通項公式及前20項和.

bb

n+ln+2

題型六遞推數(shù)列的實際應(yīng)用

例H.（2023?全國?高三專題練習(xí)）農(nóng)歷是我國古代通行歷法，被譽為“世界上最突出和最優(yōu)秀的智慧結(jié)晶”.它以月

相變化周期為依據(jù)，每一次月相朔望變化為一個月，即“朔望月”，約為29.5306天.由于歷法精度的需要，農(nóng)歷設(shè)置

“閏月”，即按照一定的規(guī)律每過若干年增加若干月份，來修正因為天數(shù)的不完美造成的誤差，以使平均歷年與回歸

111

1

年相適應(yīng)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足-4+「一仿+—r，其中力均為正整數(shù)，且偽=2,d=i,&=2,&=i,

“2b-\——

2b3

4=1,b6=16,那么第w級修正是“平均一年閏。“個月”，已知我國農(nóng)歷為“19年共閏7個月”，則它是（）

A.第3級修正B.第4級修正C.第5級修正D.第6級修正

例12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）（多選）1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1,1,

2,3,5,8,13,21L該數(shù)列的特點是前兩項為1,從第三項起，每一項都等于它前面兩項的和，人們把這樣的一

列數(shù)組成的數(shù)列｛%｝稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問題派

生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記S“為該數(shù)列的前w項和，則下列結(jié)論正確的是（）

A.知=89B.。2023為偶數(shù)

C.++°5+?一+〃2023—。2024D.+“4++…+〃2024—^2023

第二及三

練習(xí)26.（2022秋?福建漳州?高三統(tǒng)考期末）（多選）被譽為“閩南第一洞天”的風(fēng)景文化名勝——漳州云洞巖，有大

小洞穴四十余處，歷代書法題刻二百余處.由于巖石眾多，造就了云洞巖石頭上開鑿臺階的特色山路，美其名曰：天

梯，其中有一段山路需要全程在石頭上爬，旁邊有鐵索可以拉，十分驚險.某游客爬天梯，一次上1個或2個臺階,

設(shè)爬上第〃個臺階的方法數(shù)為凡，下列結(jié)論正確的是（）

72022

A.%=13B.3a“+]=a,—+C.D.=%022%023-1

i=li=l

練習(xí)27.（2021秋?重慶?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）阿司匹林（分子式C9H80「分子質(zhì)量180）對血小板聚集的抑制作

用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的發(fā)病風(fēng)險.對于急性心肌梗死疑似患者，建議第一次服用劑量300睢，嚼

碎后服用以快速吸收，以后每24小時服用200mg.阿司匹林口服后經(jīng)胃腸道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解為

主要代謝產(chǎn)物水楊酸（分子式C7H6。3,分子質(zhì)量138）,降解過程生成的水楊酸的質(zhì)量為阿司匹林質(zhì)量的荒，水楊

酸的清除半衰期（一般用物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述衰減情況，這個時間被稱作半衰期）約為12小時.（考

慮所有阿司匹林都降解為水楊酸）

（1）求急性心肌梗死疑似患者第1次服藥48小時后第3次服藥前血液中水楊酸的含量（單位mg）；

（2）證明：急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會超過230mg.

練習(xí)28.（2023春?山西太原?高三山西大附中校考階段練習(xí)）某地出現(xiàn)了蟲害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列

{1},{/}表示第〃周的蟲害的嚴(yán)重程度，蟲害指數(shù)越大，嚴(yán)重程度越高.為了治理害蟲，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲，

然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個策略之一：

策略A環(huán)境整治，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：7+7=1.021-0.2.

策略B：殺滅害蟲，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：Z+i=1.08Z-0.46.

當(dāng)某周“蟲害指數(shù)”小于1時，危機就在這周解除.

（1）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)8],用哪一個策略將使第二周的蟲害的嚴(yán)重程度更??？

（2）設(shè)第一周的蟲害指數(shù)乙=3,如果每周都采用最優(yōu)策略，蟲害的危機最快將在第幾周解除？

練習(xí)29.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為10%,且每

年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，S”為{g}的前〃項和，則$6=

.（結(jié)果保留成整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：1.F"611,1.心1.771,1.g.949）

練習(xí)30.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，有標(biāo)號為1,2,3的三根柱子，在1號柱子上套有〃個金屬圓片，

從下到上圓片依次減小.按下列規(guī)則，把金屬圓片從1號柱子全部移到3號柱子，要求：①每次只能移動一個金屬

圓片；②較大的金屬圓片不能在較小的金屬圓片上面.

若〃=3,則至少需要移動次；

將〃個金屬圓片從1號柱子全部移到3號柱子，至少需要移動次.

專題7.5數(shù)列的其他應(yīng)用

題型一分段遞推數(shù)列求通項公式

題型二公共項數(shù)列

題型三插項數(shù)列

題型四數(shù)列中的新定義問題

題型五數(shù)列的結(jié)構(gòu)不良

題型六遞推數(shù)列的實際應(yīng)用

望典例集練

題型一分段遞推數(shù)列求通項公式

[2a,n=2k-l,

例1.（2023?江西南昌?統(tǒng)考三模）已知數(shù)列｛氏｝滿足％=1,%=其中左wN*,則數(shù)列｛%｝的前2〃

[為+1,〃=2k,

項和S2?為.

【答案】3x2B+1-3n-6

【分析】根據(jù)遞推公式將偶數(shù)項轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項，再運用遞推公式求出奇數(shù)項的通項公式，再求和.

（2a,n=2k-l

【詳解】由遞推公式%+1=,，得4=1,g=2,%=3,%=6,%=7,%=14,

\an+l,n=2k

a

即a2k=2a2k-i?2k+i=%+1=2alk-i+1，%+i+1=2（%1+1），（左￡N）,

數(shù)列｛為+1+l｝是首項為1+1=2,公比9=2等比數(shù)列，「.%1+1=2。（林網(wǎng),

S2n=%+Cl[+生+“4++。2〃-1+。2n=3%+3%++3%〃_]

=3[（q+1）+3+1）+3+i）++（%〃_i

i-9n

=3x2x-----3n=3?2n+1-3n-6；

1-2

故答案為：3?2用—3〃—6.

1y^T

“”+="二限,

｛a〃+2,"為偶數(shù)

則()

A.%=5

B.當(dāng)〃為偶數(shù)時，4=種-2

C.4+2=4+3

D.數(shù)列[(T)'"1｝的前2"+1項和為2“

【答案】BCD

【分析】根據(jù)已知遞推出。5可判斷A；令〃=2A-1(笈eN*),由已知可得知="2i+l，/k+i=%?+2可得

aa3

2k+i~2k-i=;令〃=2%(%cN*),由已知可得知+1=%+2,a2k+2=a2k+l+l,所以自+2-%=3可判斷BC；計

算出前2〃+1項中的奇數(shù)項和、

偶數(shù)項和可判斷D.

【詳解】對于A,因為。i=。，%=。1+1=1，。3=%+2=3,〃4=。3+1=4,。5=%+2=6,故A錯誤；

對于B,令〃=2左—1(%wN*),由已知可得知=〃2i+1，。2%+1=。2%+2,

所以a2k+\~a2k-\=3,又4=0,

所以%j=。+3(左一1)=3左一3,a2k=1+3(左一1)=3左一2,

令n=2k,所以左=3，當(dāng)〃為偶數(shù)時，??=^-2,故B正確；

對于C,由B可知，電加1一電1=3,令”=2左(左?]\*),由已知可得外k+\=a2k+2，a2k+2=a2k+\+，

所以。2A2=3,綜上凡+2=凡+3,故C正確；

對于D,前2〃+1項中的奇數(shù)項和5奇=”2組(〃+1)=上段(〃+1),

前2九+1項中的偶數(shù)項和S儡=&產(chǎn)〃=二Z〃=11〃，

所以數(shù)列｛(T廣%｝的前2n+1項和為S=S奇-S偶=上手(〃+1)-暝n=2n,故D正確.

故選：BCD.

舉一反三

練習(xí)1.(2023?全國?高二專題練習(xí))已知數(shù)列｛■滿足4=1,1=<5""+"T"為奇數(shù)，記2=%，求數(shù)列｛4｝

q-2〃,〃為偶數(shù)

的通項公式.

-2n+2,“為奇數(shù)

2斤

【答案】。，=

士,"為偶數(shù)

【分析】推導(dǎo)出數(shù)列｛4｝（AeN*）為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列｛%）（此N*）的表達式，根據(jù)

數(shù)列｛4｝的遞推公式可得出數(shù)列｛的i｝化eN*）的表達式，然后對"為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，可得出數(shù)列｛%｝的

通項公式.

【詳解】解:因為數(shù)列解“｝滿足%=1,%=丁+1"為奇數(shù)，則電f,

冊-2幾，〃為偶數(shù)~一

因為2=a筋,所以，bk+l=a2k+2=|a2k+l+2左+1-1=；（%-4左）+2左=g%=%（左?N*）,

所以，數(shù)列色｝依eN*）是首項為白公比為[的等比數(shù)列，

所以，陽=%=!1￡!4

因為。2%1+(2%-1)-1=5。2左-1+22-2,

所以，a2k-i=2a2k-4%+4=一4左+4.

?aa1

所以，當(dāng)力為偶數(shù)時，設(shè)〃=2M《WN*）,則左=9所以，n=2k=—

2/

當(dāng)“為奇數(shù)時，設(shè)”=2左一1伏eN*）,貝|左=罟，

11〃+1,1CC

止匕時，=正―44k+44=F—4X—y-+4=工—2〃+2.

2222

-4r-2幾+2,〃為奇數(shù)

2丁

綜上所述，a=<：

n4，”為偶數(shù)

_]%+〃,幾為奇數(shù),

練習(xí)2.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,島為偶數(shù)

滿足包=a2n.

⑴求數(shù)列出｝的通項公式;

⑵求數(shù)列乙二的前〃項和s，「

也〃+J

【答案】⑴d=%=〃+1

【分析】（1）根據(jù)數(shù)列｛%｝的遞推公式依次寫出4,出，％，4，%,，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

（2）由（1）可寫出數(shù)列—的表達式，根據(jù)裂項求和的方法可求出前〃項和S”.

〔她+J

【"I羊解】（1）由題思知，4—1,%=%+1,—電—2,4=%+3,%—%-4,...,生”-1=%”-2—（2n—2）,

a2n=。2葭-1+2〃—1,從而b〃—a2rl=1+（1—2）+（3—4）+,—F（2〃一3—2zt+2）+2zi—1—n+1.

/、/、1_111W11111111

（2）由（1）皈r（/+D（〃+2廠所以S"=]一§+§一]+…=5一

zj_i_oYt-2k_1keN

練習(xí)3.（2023秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足，。2=\"；一…,4=2,令＞“=%”.

3an一2,〃=2左，左￡N

⑴寫出偽，b2,并求出數(shù)列圾｝的通項公式；

⑵記c?=log3bn,求｛g｝的前10項和.

【答案】（1）4=4,%=12,d=4x3"i

（2）45+201og32

【分析】（1）由遞推關(guān)系既可求得偽，b2,再由數(shù)列｛%｝的通項公式代入到么=的“，可求得數(shù)列圾｝的通項公式;

（2）將數(shù)列｛〃,｝的通項公式代入到%=log3b“，可求得%,由分組求和方法計算即可得出｛%｝的前10項和

[a+2,〃=2%—1,左￡N*

【詳解】（1）因為4=2,,所以％=4+2=4,。3=3/-2=10,?4=<7,+2=12

[3?！ā?,n=2K,KGIN

又b"=a?"，所以，4=a2=4,b2=a4=12,

當(dāng)〃=2左一1,AwN*時，a2k=a2k-l+；

當(dāng)n=2k,左eN*時，a2k+i=3a2k—2,

當(dāng)上>1時，a2（k-i）+i=3%1）—2,即4k-i=3a2（J）—2,

a

則2k=+2=3%J）,?他=a2n=34（,_]）=32T,

數(shù)列也“｝是以4=4為首項,3為公比的等比數(shù)列，

故》=4x3*1

（2）由（1）可得g=1%4+〃-1,

記｛%｝的前項和為品），

貝!J$10=%+%+“3++〃10

=10(log34-l)+=45+2010g32.

an+cosn7i,〃為奇數(shù)

練習(xí)4.（2023?陜西安康?陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝的首項為1M用n

an+COS7OT,〃為偶數(shù)

n+2

數(shù)列的前〃項和小于實數(shù)則M的最小值為（）

“用4,.2角

A-B-1D-I

【答案】C

【分析】先分奇偶求出通項公式，再應(yīng)用裂項相消法即可得前〃項和，則得"的最小值.

【詳解】當(dāng)…*時，招*,嗡/

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時,是常數(shù)列.又4=1,

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時，4=?=1,即4="，

n1

當(dāng)"為偶數(shù)時，an=an+i-l=n+l-l=n,

所以當(dāng)“eN*時，an=n.

7〃+27n+211

設(shè)b“=a則(n+l)-2"+1~~n

Un+1UnN".2〃(〃+1"”

/、

111111I

故｛4｝的前幾項和為4+匕2+4++bn=-2+2-3+...+

1x2'2x22x23x2n?2"+

1111

<2-當(dāng)〃趨向于無窮大時，前"和趨向于1

1^2)~(n+l)-2n+1

所以M的最小值為，

故選：C.

練習(xí)5.（2023春?重慶渝中?高二重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛《,｝滿足：①％=5；②

%+2,（〃為奇數(shù)）

w.+2（為偶器.則｛帽的通項公式%=

an+\=;設(shè)乂為｛%｝的前"項和，貝"邑⑵,（結(jié)果用指數(shù)累

表示）

n+3

3〒-4,(“為奇數(shù))

【答案】1013

n+22X3-6079

3方-2,(w為偶數(shù))

【分析】當(dāng)〃為奇數(shù)時令〃=2左-1,左eN*可得出上=01+2,當(dāng)，為偶數(shù)時令”=2左，左eN*,可得

出E+4=3（%I+4）,即可得到｛%"1+4｝是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而求出通項公式，再利用分組求

和法計算可得.

【詳解】當(dāng)〃為奇數(shù)時％+i=%+2,令〃=2氏-1,此N*,貝！|%?=。21+2,

當(dāng)”為偶數(shù)時風(fēng)包=34+2,令n=2k,keN*,則%=34上+2=3（%1+2）+2=3%i+8,

則a2k+i+4=3（%"]+4）,

當(dāng)％=1時4+4=9,所以｛%j+4｝是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以g-+4=9x3i=31，

fcA

所以明=3-4,則a2k=*+2=32一4+2=3川一2,

n+1n+1,n+3

當(dāng)〃為奇數(shù)時，由“=2左一l#eN*,則左=卓，所以q=3h一4=3〒一4,

2n

當(dāng)幾為偶數(shù)時，由〃=2左水￡N*,則左=],所以%=3導(dǎo)|_2=3等_2,

n+3

3~-4,(“為奇數(shù))

所以＜〃+2

-2,（〃為偶數(shù)）

所以S2023=(《+/++/023)+(%+。4++%022)

=(32+33++31013-4X1012)+(32+33++31012-2x1011)

\

-4x1012-2x1011

7

=2X31013-6079

n+3

3〒一4,(〃為奇數(shù))

故答案為：冊=n+2,2x3皿3一6079

3〒-2,(〃為偶數(shù))

題型二公共項數(shù)列

例3.（2023春?河北石家莊?高二石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列｛見｝,｛〃｝的通項公式分別為4=3”-1和

^,=4n-3（neN*）,設(shè)這兩個數(shù)列的公共項構(gòu)成集合A,則集合Ac｛H〃W2023,"eN*｝中元素的個數(shù)為（）

A.167B.168C.169D.170

【答案】C

【分析】利用列舉法可知，將集合A中的元素由小到大進行排序，構(gòu)成的數(shù)列記為｛c,J,可知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列,

求出數(shù)列｛%｝的通項公式，然后解不等式c.42023,即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛%｝：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、L,

數(shù)歹！5、9、13、17、21、25、29、33、37、L,

將集合A中的元素由小到大進行排序，構(gòu)成數(shù)列｛4｝：5、17、29、L,

易知數(shù)列｛的｝是首項為5,公差為12的等差數(shù)列，則?！?5+125-1）=12〃-7,

由c,=12〃-7W2023,可得"V&^=169+L

66

因此，集合Ac｛〃1V2023,”eN*｝中元素的個數(shù)為169.

故選：C.

例4.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列也“｝是公比為2的等比數(shù)列，且

滿足4+4=々+8+b3,a2+a4=b2+”.將數(shù)列｛%｝與也｝的公共項按照由小到大的順序排列，構(gòu)成新數(shù)列｛%｝.

⑴證明：cn=b2n-

⑵求數(shù)列｛%c,｝的前〃項和.

【答案】（1）證明見解析

⑵s,=w+|

【分析】（1）利用基本量代換列方程組求出4,4，得到｛4｝,也“｝的通項公式，進而判斷出是數(shù)列｛q"的項，

即可證明；（2）利用錯位相減法求和.

【詳解】（1）由％+生=偽+優(yōu)+&，得2《+6=74，

由出+&=°2+°4,得2%+12=106],

解得，％=4也=2.

因為數(shù)列｛%｝的公差為3,數(shù)列｛a｝的公比為2,

所以=3〃+1也=2"

4=2不是數(shù)列｛5｝的項，瓦=4是數(shù)列｛6｝的第1項.

設(shè)a=2*=3〃z+l,則

仄+]=21=2x2&=