機器人控制技術基礎：動力學

機械手的運動

MovementofRobotics2.1機械手運動的表示方法2.2手爪位置和關節(jié)變量的關系2.3雅可比矩陣2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系2.5機械手運動方程式的求解Robotics運動(動力學)運動學：是反映的關節(jié)和末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)的時間函數(shù)關系，是一種因果關系動力學：則要研究是另外一種因果關系，及力（力矩）與由之而產(chǎn)生運動之間的關系。平動轉(zhuǎn)動Robotics運動(動力學)剛體定點運動的歐拉動力學方程角動量定理：質(zhì)點系的定點動量矩對時間的絕對導數(shù)等于質(zhì)點系外力對該點的主矩。

歐拉動力學方程如果只繞z軸旋轉(zhuǎn)，Robotics運動(動力學)2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系2.4.1虛功原理約束力不作功的力學系統(tǒng)實現(xiàn)平衡的必要且充分條件是對結構上允許的任意位移（虛位移）施力所做功之和為零如何理解？約束力平衡對虛位移施力所做功之和為零如何理解虛位移？簡單地可以理解為機構所允許的運動趨勢Robotics運動(動力學)2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系虛位移平衡態(tài)，尋找虛位移和約束力Robotics運動(動力學)2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系2.4.1虛功原理平衡時的靜力Robotics運動(動力學)2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系2.4.2機械手靜力學關系式的推導

手爪的虛位移

關節(jié)的虛位移手爪力關節(jié)驅(qū)動力

Robotics運動(動力學)2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系2.4.2機械手靜力學關系式的推導雅可比矩陣不僅反映速度映射，而且力的映射關系靜力學,普適性Robotics運動(動力學)2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系2.4.2機械手靜力學關系式的推導求產(chǎn)生FA或FB的驅(qū)動力概念：廣義力對應廣義坐標關節(jié)力（矩）對應關節(jié)坐標

若J是關節(jié)空間向操作空間的映射（微分運動矢量），則把操作空間的廣義力矢量映射到關節(jié)空間的關節(jié)力矢量。關節(jié)空間操作空間雅可比J力雅可比JTRobotics運動(動力學)2.4手爪力和關節(jié)驅(qū)動力的關系Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.1慣性矩平動與質(zhì)量相關，而轉(zhuǎn)動與慣性矩相關平動轉(zhuǎn)動力(扭)矩慣性矩的定義r：質(zhì)點到（可自定義）旋轉(zhuǎn)軸的距離繞固定軸轉(zhuǎn)動的動力學Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.1慣性矩（微元法）繞一端旋轉(zhuǎn)慣性矩繞重心旋轉(zhuǎn)慣性矩Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.1慣性矩（微元法）hIc平行軸定理說明：質(zhì)心處的慣性矩最小Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.2牛頓-歐拉方程式力：Fc力矩：N平移轉(zhuǎn)動vcω歐拉動力學方程牛頓動力學方程（矩陣）向量表達式Robotics運動(動力學)慣性張量

令｛c｝是以剛體的質(zhì)心c為原點規(guī)定的一個坐標系，相對于該坐標系｛c｝，慣性張量定義為３×３的對稱矩陣：式中，對角線元素是剛體繞三坐標軸x，y，z的質(zhì)量慣性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素為慣性積。

慣性張量表示剛體質(zhì)量分布的特征。其值與選取的參考坐標系有關，若選取的坐標系使慣性積都為零，相應的質(zhì)量慣性矩為主慣性矩。Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.2牛頓-歐拉方程式平行軸定理I如何求？問題：為什么只有z軸的力矩？其它軸呢？自由運動的物體呢?Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解說明：1.建立動力學方程一定要針對一個對象

質(zhì)心，以及所對應的坐標軸2.六自由度運動物體和運動受限物體不同

六自由度運動分別分析力和力矩運動受限物體在約束方向上力與力矩平衡Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式動能勢能拉格郎日算子廣義力（非勢力）廣義坐標保守力(勢力)

凡其作功與路徑無關，僅與始、末位置有關的力稱為保守力。Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式

系統(tǒng)中相互作用的重力和彈性力，萬有引力（其實重力就是一種萬有引力）、分子間相互作用的分子力、靜電力等都屬于保守力。由于保守力作功與路徑無關特點與保守力F沿任意閉合路徑所作的功為零的特點是一致的

非保守力

凡作功與路徑有關的力稱為非保守力。Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式

常見的摩擦力，物體間相互間做非彈性碰撞時的沖擊力都屬于非保守力。非保守力具有沿任意閉合路徑作功不等于零的特點廣義坐標：一組足以規(guī)定系統(tǒng)位形的參數(shù)Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式當主動力中有非勢力時：

Qj:為非勢的廣義力當含有粘性阻尼時，方程變?yōu)椋?，Φ：瑞利耗散函?shù)Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式說明：系統(tǒng)的動能和勢能可以用任何能使問題簡化的坐標系統(tǒng)來表示，并不一定要使用笛卡爾坐標

Qi是對應的力或力矩，Qi是力還是力矩，這取決于qi是直線坐標還是角度坐標。這些力、力矩和坐標分別稱為廣義力、廣義力矩和廣義坐標。Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式θ為廣義坐標與牛頓－歐拉方法結果一致Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式均勻桿轉(zhuǎn)動+質(zhì)心點平移Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式例：圖示為振動系統(tǒng)方程動能位能耗能外力功M0x1x0kcM1FF含有粘性阻尼項Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式當時,取為廣義坐標，有當，都為廣義坐標，動能只和廣義坐標導數(shù)有關Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式

求取動力學方程的關鍵是求出各能量函數(shù)K、P、D、W的廣義坐標表達式。對稱正定Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式第i個連桿質(zhì)量中心的位置向量

θ1,θ2為廣義坐標Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式先分別對t求導，再計算平方和Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式代入Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解慣性力；

離心力，哥氏力；

重力項機器人動力學模型的一般形式物理意義補充知識

力矩慣量向心加速度系數(shù)哥氏加速度系數(shù)重力Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解補充知識Dii:關節(jié)i

的等效慣量；Dij

:關節(jié)i

和關節(jié)

j之間的耦合慣量；Dijj

:由于關節(jié)j

的速度所產(chǎn)生的作用在關節(jié)i

上的向心力；Dijk

:由于關節(jié)

j和關節(jié)k

的速度所產(chǎn)生的作用在關節(jié)

i上的哥氏向心力；Di

:關節(jié)

i上的重力負載。Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解補充知識是對稱正定矩陣反對稱矩陣哥氏矩陣，可以有多種選擇說明Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解2.5.3拉格郎日運動方程式推導步驟（1）計算任一連桿上任一點的速度（2）計算各連桿的動能和機械手總動能（3）計算各連桿的位能和機械手總位能（4）建立機械手系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)（5）對拉格朗日函數(shù)求導，得到動力學方程Robotics運動(動力學)2.5機械手運動方程式的求解說明:1.牛頓－歐拉方法針對每一個連桿建立動力學方程，拉格郎日方法針對系統(tǒng)建立方程2.牛頓－歐拉方法得到的是多個動力學方程的遞推組合，拉格郎日方法得到的是解析的，標準的動力學方程式3.一般而言牛頓－歐拉方法易于