矩陣與線性方程組

關(guān)于矩陣與線性方程組設(shè)n元線性方程組為記，第2頁,共28頁，2024年2月25日，星期天利用矩陣的乘法，方程組寫成矩陣乘法的形式：Ax=b,其中A為線性方程組的系數(shù)矩陣，稱x為未知列向量，b為右端常向量。當b=0時，方程組為齊次線性方程組。線性方程組的增廣矩陣是一個m×(n+1)矩陣第3頁,共28頁，2024年2月25日，星期天若x1=c1,x2=c2,…,xn=cn是線性方程組的一個解，則它必滿足矩陣等式：若記c=(c1,c2,…,cn)T,則上述矩陣等式可簡寫為：Ac=b.用矩陣的初等行變換求解線性方程組的原理見書中P76第4頁,共28頁，2024年2月25日，星期天問題：證必要性.(),,nDnAnAR階非零子式中應(yīng)有一個則在設(shè)=(),根據(jù)克拉默定理個方程只有零解所對應(yīng)的nDn從而第5頁,共28頁，2024年2月25日，星期天這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=設(shè).個自由未知量從而知其有rn-任取一個自由未知量為１，其余自由未知量為０，即可得方程組的一個非零解.第6頁,共28頁，2024年2月25日，星期天推論1：含有n個方程的n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是，且當它有非零解時，必有無窮多個非零解。推論2：若方程組Ax=0中方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則方程組必有非零解。第7頁,共28頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)有唯一解bAx=()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無窮多解.bAx=第8頁,共28頁，2024年2月25日，星期天齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；第9頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例1

求解齊次線性方程組第10頁,共28頁，2024年2月25日，星期天解第11頁,共28頁，2024年2月25日，星期天即得與原方程組同解的方程組第12頁,共28頁，2024年2月25日，星期天由此即得第13頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例2求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進行初等變換第14頁,共28頁，2024年2月25日，星期天故方程組有解，且有第15頁,共28頁，2024年2月25日，星期天所以方程組的通解為第16頁,共28頁，2024年2月25日，星期天例3

設(shè)有線性方程組解第17頁,共28頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共28頁，2024年2月25日，星期天其通解為第19頁,共28頁，2024年2月25日，星期天這時又分兩種情形：第20頁,共28頁，2024年2月25日，星期天見書中例1－3（P76－79）第21頁,共28頁，2024年2月25日，星期天()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無窮多解.bAx=非齊次線性方程組齊次線性方程組三、小結(jié)第22頁,共28頁，2024年2月25日，星期天思考題第23頁,共28頁，2024年2月25日，星期天思考題解答解第24頁,共28頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共28頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共28頁，2024年2月