穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

關(guān)于穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)4/7/20242一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)載和能源的波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會(huì)在任何微小的擾動(dòng)作用下偏離原來(lái)的平衡狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。穩(wěn)定的充要條件和屬性

穩(wěn)定的基本概念：設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當(dāng)外作用消失后，如果經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間它能回復(fù)到原來(lái)的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。第2頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/20243

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根?；蛘哒f(shuō)，特征方程的根應(yīng)全部位于s平面的左半部，則系統(tǒng)的暫態(tài)分量隨時(shí)間增加逐漸消失為零，這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果有一個(gè)或一個(gè)以上的閉環(huán)特征根位于s平面右半部或虛軸上，則此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的充要條件和屬性穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面第3頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/20244充要條件說(shuō)明

如果特征方程中有一個(gè)正實(shí)根，它所對(duì)應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)將隨時(shí)間單調(diào)增長(zhǎng)；如果特征方程中有一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，它的對(duì)應(yīng)項(xiàng)是發(fā)散的周期振蕩。上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征方程中有一個(gè)零根，它所對(duì)應(yīng)于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)；如果特征方程中有一對(duì)共軛虛根，它的對(duì)應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。從控制工程的角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面第4頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/20245第5頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/20246充要條件說(shuō)明注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號(hào)無(wú)關(guān)，與初始條件無(wú)關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無(wú)關(guān)。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為：

1、特征多項(xiàng)式所有的系數(shù)符號(hào)相同；

2、特征多項(xiàng)式所有系數(shù)都不為零。（無(wú)缺項(xiàng)）

如果系統(tǒng)的特征方程成不滿足上述條件，則可立即斷定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果滿足上述條件，系統(tǒng)不一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樗皇潜匾獥l件。第6頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/20247

但對(duì)于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。第7頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/20248二、勞斯穩(wěn)定性判據(jù)（一）勞斯判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為勞斯陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，…項(xiàng)系數(shù)組成，第二行為2，4，6，…項(xiàng)系數(shù)組成。勞斯判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列各元素嚴(yán)格為正。反之，如果第一列出現(xiàn)小于或等于零的元素，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各元素符號(hào)的改變次數(shù)，代表特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。第8頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/20249第9頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202410例：系統(tǒng)特征方程為，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且第一列數(shù)字元素有兩次變號(hào)，故系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根。第10頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202411例：系統(tǒng)特征方程為，試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且第一列數(shù)字元素有兩次變號(hào)，故系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，用某個(gè)正數(shù)去乘或除勞斯表中任意一行的系數(shù)，并不會(huì)改變系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。第11頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202412

在運(yùn)用勞斯判據(jù)判斷判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到兩種特殊情況，這時(shí)必須進(jìn)行一些相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理。（1）勞斯陣列某一行中的第一列數(shù)字元素等于零，而該行的其余各列元素不為零或不全為零。處理辦法：用一個(gè)小正數(shù)來(lái)代替該行第一列元素零，據(jù)此算出其余各項(xiàng)元素，完成勞斯陣列的排列。如果與其上項(xiàng)或下項(xiàng)元素的符號(hào)相反，則記作一次符號(hào)變化。如果勞斯陣列第一列元素的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該系統(tǒng)在S右半平面上特征根的數(shù)目，表明該系統(tǒng)不穩(wěn)定。第12頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202413例：系統(tǒng)特征方程為，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素有兩次變號(hào)，因此系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根。第13頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202414例：系統(tǒng)特征方程為，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表，即結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列元素有兩次變號(hào)，因此系統(tǒng)有兩個(gè)正實(shí)部的根。第14頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202415（2）勞斯陣列某一行的所有元素全部為零

這種情況表明系統(tǒng)的特征方程存在著大小相等而徑向位置相反的根，至少存在下述幾種特征根之一，比如大小相等、符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)數(shù)，或共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。這說(shuō)明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定的。處理辦法：利用該全零行的上一行元素構(gòu)成一個(gè)輔助方程，并將該輔助方程對(duì)復(fù)變量s求導(dǎo)，用求導(dǎo)以后方程的系數(shù)取代全零行元素，繼續(xù)勞斯陣列的排列。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它的根即為那些大小相等而徑向位置相反的根。第15頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202416例：系統(tǒng)特征方程為，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表，即顯然，系統(tǒng)不穩(wěn)定。用一行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程：對(duì)s求導(dǎo)后得到新方程：第16頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202417其系數(shù)（即4和6）代替第三行全為零的元素，然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算第17頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202418

可見，系統(tǒng)雖不穩(wěn)定，但第一列數(shù)字元素并不變號(hào)，所以系統(tǒng)沒(méi)有在右半S平面的根。實(shí)際上系統(tǒng)有位于虛軸上的純虛根，可由輔助方程求得。

系統(tǒng)的輔助方程為

則有

故系統(tǒng)的純虛根為第18頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202419例：系統(tǒng)特征方程為解：列勞斯表，即試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程：上式對(duì)s求導(dǎo)，得第19頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202420

第一列元素沒(méi)有符號(hào)變化，表明該系統(tǒng)在S右半平面沒(méi)有特征根，但是具有共軛虛根。

解輔助方程可得共軛虛根為：第20頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202421例：已知系統(tǒng)的特征為解：特征方程中s的各次冪的系數(shù)不全為正，則不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。列勞斯表計(jì)算S右半平面的特征根數(shù)：試應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；如不穩(wěn)定，求出系統(tǒng)在S右半平面的特征根數(shù)。第21頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202422勞斯表第一列元素變號(hào)一次，說(shuō)明系統(tǒng)有一個(gè)正根。利用此行構(gòu)造輔助方程求導(dǎo)得改第一列元素0為任意小的正數(shù)，繼續(xù)計(jì)算勞斯表。第22頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202423解輔助方程，得利用輔助方程和多項(xiàng)式除法，特征方程變?yōu)樗蕴卣鞣匠痰昧硪粋€(gè)根為第23頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202424三、穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用1、參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響

利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)可以確定個(gè)別參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。例：設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下，試確定滿足穩(wěn)定要求時(shí)的臨界值和開環(huán)放大倍數(shù)臨界值。第24頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202425解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其特征方程為為使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有（1）特征方程各系數(shù)均大于零，即要求。（2）滿足關(guān)系式，即，則有第25頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202426因此，滿足穩(wěn)定要求時(shí)，的取值范圍是，故的臨界值為6。由于系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)，因此開環(huán)放大倍數(shù)的臨界值

可見，越大，越接近，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性越差，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。第26頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202427例：設(shè)系統(tǒng)特征方程式解：列勞斯表，即試按穩(wěn)定要求確定T的取值范圍。第27頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/2024282、檢驗(yàn)穩(wěn)定裕度

將S平面的虛軸向左移動(dòng)某個(gè)數(shù)值，即令(為正實(shí)數(shù))，并代入特征方程中，得到的多項(xiàng)式。利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)對(duì)新的特征多項(xiàng)式進(jìn)行判別，即可檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，即相對(duì)穩(wěn)定性。若新特征方程式的所有根均在新虛軸之左，則說(shuō)明系統(tǒng)至少具有穩(wěn)定裕量。第28頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202429例：系統(tǒng)的特征方程為，試檢驗(yàn)系統(tǒng)是否具有的穩(wěn)定裕量。解：首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（1）所有系數(shù)均大于零。（2）所以原系統(tǒng)穩(wěn)定。將代入特征方程可得：第29頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202430

可見，第一列數(shù)字元素符號(hào)改變一次，因此有一個(gè)特征根在（即新虛軸）右邊，故穩(wěn)定裕量達(dá)不到1。第30頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202431例：下圖是某控制系統(tǒng)的方塊圖，若系統(tǒng)以的角頻率作等幅振蕩，試確定此時(shí)K和的值。

解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為第31頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天4/7/202432勞斯行列表為：系統(tǒng)作等幅振蕩，所以存在一對(duì)虛根。且，這相當(dāng)于勞斯陣列中有一行全為0，在本例中，要求行為0，而第一列其他元素全大于0，所以有：第32頁(yè),共35頁(yè)，2024年2月25日，星期天