高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修三）第04講 6.3.1二項(xiàng)式定理+6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（教師版）

第04講6.3.1二項(xiàng)式定理+6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解二項(xiàng)式定理的概念，會(huì)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開(kāi)式。②掌握二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律。③掌握多項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)及特殊項(xiàng)或系數(shù)。④理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。⑤會(huì)用賦值法求展開(kāi)式系數(shù)的和。1.要求能運(yùn)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開(kāi)式；2.會(huì)求展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，特殊項(xiàng)及特殊項(xiàng)系數(shù)；3.能用待定法求展開(kāi)式中的待定系數(shù).能解決與二項(xiàng)式定理相關(guān)的綜合問(wèn)題；4.能理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；5.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和.知識(shí)點(diǎn)01：知識(shí)鏈接（1）（2）知識(shí)點(diǎn)02：二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念（1）二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于每個(gè)（），的展開(kāi)式中共有個(gè)，將它們合并同類(lèi)項(xiàng)，就可以得到二項(xiàng)展開(kāi)式：（）.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.（2）二項(xiàng)展開(kāi)式公式中：，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式.【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）.（2）.（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(),項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符號(hào)等.【即學(xué)即練2】（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第3項(xiàng)和第4項(xiàng)【答案】B【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第4項(xiàng).故選：B.【即學(xué)即練3】（2023上·天津?yàn)I海新·高三塘沽二中?？茧A段練習(xí)）若的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，則在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是．【答案】【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，所以，則，則展開(kāi)式的通項(xiàng)為（其中且），令，解得，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：．（4）二項(xiàng)式定理的三種常見(jiàn)變形①②③知識(shí)點(diǎn)03：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)二項(xiàng)展開(kāi)式中的()叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),用表示,即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng):.通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開(kāi)式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)04：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①對(duì)稱(chēng)性：二項(xiàng)展開(kāi)式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：②增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.④各二項(xiàng)式系數(shù)和：；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：【即學(xué)即練4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，若，則該展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】，，∴，解得，∴該展開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.故選：D【即學(xué)即練5】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．【答案】15【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，所以，所以二項(xiàng)式為，所以第項(xiàng)展開(kāi)式為，若求常數(shù)項(xiàng)，則令，所以，所以，即常數(shù)項(xiàng)為15.故答案為：15.題型01求型的展開(kāi)式【典例1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項(xiàng)式的展開(kāi)式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】二項(xiàng)式，.故選：B【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）求的二項(xiàng)展開(kāi)式．【答案】【詳解】由二項(xiàng)式定理，得，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式是．【典例3】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由.（2）解：由.【變式1】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）寫(xiě)出的展開(kāi)式．【答案】【詳解】在二項(xiàng)式定理中令，可得．【變式2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）求的展開(kāi)式．【答案】【詳解】題型02二項(xiàng)展開(kāi)式的逆用【典例1】（2023下·黑龍江七臺(tái)河·高二勃利縣高級(jí)中學(xué)?？计谥校?/p>

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【詳解】原式=.故選：C.【典例2】（2023下·上海浦東新·高二校考期中）.【答案】【詳解】原式.故答案為：.【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)．【答案】．【詳解】原式【變式1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：設(shè)，則．【答案】1【詳解】因?yàn)楣蚀鸢笧椋骸咀兪?】（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為．【答案】【詳解】由，可得則，即，解得．故答案為：.【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┑闹凳?【答案】【詳解】由已知可得，.故答案為：.題型03二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題【典例1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B．60 C．210 D．【答案】B【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以，常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）的展開(kāi)式中的系數(shù)是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【詳解】由題意原式中的系數(shù)；故選：B.【典例3】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為（

）A．160 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確.故選：C．【典例4】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）的展開(kāi)式的第3項(xiàng)的系數(shù)為；常數(shù)項(xiàng)為．【答案】【詳解】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可得展開(kāi)式中第3項(xiàng)為，所以第3項(xiàng)的系數(shù)為，令，可得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：；.【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)【答案】60【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由，得，則，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為60.故答案為：60【變式2】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)公式為，令，得，所以其中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式展開(kāi)式中的含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】-40【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則.故答案為：.【變式4】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【詳解】由題意，多項(xiàng)式，根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算，展開(kāi)式中的系數(shù)為，又由.故答案為：.題型04三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題【典例1】（2023下·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．6 B．15 C．20 D．28【答案】C【詳解】因?yàn)椋哉归_(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)即分子展開(kāi)式中的系數(shù)，即.故選：C【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【詳解】由于，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】-160【詳解】變形為，故通項(xiàng)公式得，其中的通項(xiàng)公式為，故通項(xiàng)公式為，其中，，令，解得，故.故答案為：-160【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）在的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，若，則的值為.【答案】【詳解】因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，所以項(xiàng)的系數(shù)，即，由，可得，即，所以.故答案為：.【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】【詳解】，∵的指數(shù)是3，∴得到，∵的指數(shù)是2，得到，∴項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】【詳解】的展開(kāi)式中，構(gòu)成項(xiàng)只能是一個(gè)、一個(gè)、3個(gè)相乘，故此項(xiàng)為．故答案為：.題型05幾個(gè)二項(xiàng)式的和或積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定系數(shù)問(wèn)題【典例1】（2023上·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．7 C．77 D．【答案】B【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，故的展開(kāi)式中的系數(shù)為，故選：B.【典例2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)系數(shù)和為，則的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】【詳解】令可得二項(xiàng)式的所有項(xiàng)系數(shù)和為，所以.二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，1，…，8，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)為.故答案為：【典例3】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】960【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，故令，可得的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為：.故答案為：960.【典例4】（2023·天津·高三專(zhuān)題練習(xí)）若的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為．【答案】【詳解】令，得，解得，進(jìn)而可得的展開(kāi)式為，令，得，令，得，故的系數(shù)為．故答案為：【變式1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)（，1，2，…，8）．當(dāng)時(shí)，其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，其展開(kāi)式中的系數(shù)為，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知，若其展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為81，則．【答案】【詳解】由展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，令，可得，解得.故答案為：.【變式3】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】32【詳解】記令，則，即，則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為.故答案為：32【變式4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則展開(kāi)式中的系數(shù)為．【答案】720【詳解】由偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16，則有，所以展開(kāi)式中的項(xiàng)為：，則展開(kāi)式中的系數(shù)為：720.故答案為：720.題型06二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題【典例1】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【詳解】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級(jí)中學(xué)校考期中）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則.【答案】【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)，可得中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式一共有7項(xiàng)，所以為偶數(shù)且，可得.故答案為：.【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求；（2）的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是多少？【答案】（1）；（2）【詳解】（1）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），所以第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，依題意可得，所以；（2）二項(xiàng)式展開(kāi)式的一共項(xiàng)，則第項(xiàng)和第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等同時(shí)取得最大值，又展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且）所以第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為，即的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是.【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】C【詳解】由二項(xiàng)式定理可得第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的系數(shù)分別為和，即，由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得；因此展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，是第6項(xiàng).故選：C【變式2】（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則第四項(xiàng)為.【答案】/【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即，所以，所以.故答案為：【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）若的展開(kāi)式中，的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值及二項(xiàng)式系數(shù)的最大值．【答案】，最大值為70.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的第項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù)為，的系數(shù)為，因?yàn)榈南禂?shù)等于x的系數(shù)的7倍，所以，解得.所以二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為.題型07系數(shù)最大（?。╉?xiàng)問(wèn)題【典例1】（2023上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由題可知，解得．故選：A【典例2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．【答案】【詳解】設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為，則，解得，因?yàn)榍覟檎麛?shù)，所以，此時(shí)最大的項(xiàng)為.故答案為：【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.【答案】【詳解】設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第或第項(xiàng)，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為：，.故答案為：【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開(kāi)式中，①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)；【答案】（1）；（2）①②第6項(xiàng)和第7項(xiàng)【詳解】解：（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)．所以．②設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則，所以解得故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).【變式1】（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【詳解】該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，由，可得．因?yàn)椋哉归_(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值為．故選：D【變式2】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)?？计谥校┒?xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為．【答案】【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，且為整數(shù).要想系數(shù)最大，則為偶數(shù)，其中，，，，顯然系數(shù)最大項(xiàng)為.故答案為：【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)榈诙?xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，則，即，解得(舍)或，所以n的值為6.（2）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，又，，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，且．【變式4】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）在的展開(kāi)式中，①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【答案】（1）；（2）①；②第6項(xiàng)和第7項(xiàng)【詳解】（1）∵，令，可得，令，可得，∴．（2）①．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)．所以．②設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則所以解得故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng)．題型08賦值法解決系數(shù)和問(wèn)題【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知（），且的二項(xiàng)展開(kāi)式中，____．(1)求的值；(2)①求二項(xiàng)展開(kāi)式的中間項(xiàng)；②求的值．【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)①；②．【詳解】（1）若選擇①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是，則有，化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36，則有，化簡(jiǎn)可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項(xiàng)展開(kāi)式的中間項(xiàng)為．②二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)．在中，令．再令，可得，∴．【典例2】（2023下·山東濟(jì)南·高二?？茧A段練習(xí)）已知，求：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)625【詳解】（1）由，令得，所以．（2）在中，令得①，令得②,所以．【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由，令，得，則；令，得，則，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根據(jù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式知，，為負(fù)，，為正；令，所以．【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，求下列各式的值.(1)；(2)；(3).【答案】(1)1024(2)58024(3)393660【詳解】（1）令，則，所以.，當(dāng)時(shí)，可得.（2）令，得，令，得，所以.（3）因?yàn)?，兩邊?duì)求導(dǎo)得，令，得.【變式1】（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）令，則，①（2）令，則，②令，則，，；（3），即為含項(xiàng)的系數(shù)，為，則.【變式2】（2023上·高二單元測(cè)試）已知.(1)求；(2)求；(3)求.【答案】(1)800；(2)；(3)0.【詳解】（1）在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為，所以.（2）令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（3）.因?yàn)椋?，故【變?】（2023下·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)設(shè)十．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）令，則①（2）令，則②，①②可得：；（3）因?yàn)榈暮蜑槎?xiàng)式的展開(kāi)式的各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)和，所以令，則．【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┮阎?(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)2(2)18【詳解】（1）解：由，令，可得；令，可得，所以，所以.（2）解：因?yàn)?，兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)，可得，令，則.題型09有關(guān)整除或求余問(wèn)題【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)，且，若能被7整除，則（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】C【詳解】，因?yàn)槟鼙?整除，且能被7整除，故能被7整除，又，所以.故選：C.【典例2】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）被8除的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【詳解】其中是8的整數(shù)倍，故被8除的余數(shù)為3.故選：B【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如果今天是星期三，經(jīng)過(guò)7天后還是星期三，那么經(jīng)過(guò)天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【詳解】因?yàn)椋猿?的余數(shù)為1，所以經(jīng)過(guò)天后是星期四，故選：B．【變式1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由，得的整數(shù)部分為4，則，所以，即，故.故選:B【變式2】（2023上·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．【答案】6【詳解】令得，由于，由于，均能被7整除，所以余數(shù)為6，故答案為：6【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）用二項(xiàng)式定理證明能被8整除．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：能被8整除.所以能被8整除.題型10利用二項(xiàng)式定理近似計(jì)算【典例1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）二項(xiàng)式定理，又稱(chēng)牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的前兩項(xiàng)可得：，并且的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù)．用這個(gè)方法計(jì)算的近似值，可以這樣操作：，用這樣的方法，估計(jì)的近似值約為（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【答案】C【詳解】，故選：C.【典例2】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）估算的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【詳解】原式+．故選：A．【變式1】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【詳解】.故選：C【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【詳解】故答案為：A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）的展開(kāi)式中含的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則，得，所以含的項(xiàng)是．故選：C.2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯(lián)考期中）若為一組從小到大排列的數(shù)，，，，，的第六十百分位數(shù)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，可知，所以二項(xiàng)式為，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，即，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選：B.3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B．20 C． D．15【答案】A【詳解】的第項(xiàng)為，令，則，所以的展開(kāi)式中，含項(xiàng)為，系數(shù)為.故選：A4．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）若的展開(kāi)式中的系數(shù)為40，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【詳解】的展開(kāi)式的項(xiàng)為,因?yàn)榈恼归_(kāi)式中的系數(shù)為40，所以，解得.故選:B．5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┤?，則（

）A．1 B．513 C．512 D．511【答案】D【詳解】令，得，令，得，所以，故選：D6．（2023下·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第5，6項(xiàng) B．第6，7項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】D【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，，所以展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有，第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.7．（2024上·遼寧·高二遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末），則（

）A．31 B．1023 C．1024 D．32【答案】B【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以，當(dāng)時(shí)，可得為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得為負(fù)數(shù)，令，可得，令，可得，所以.故選：B.8．（2023上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由題可知，解得．故選：A二、多選題9．（2023上·甘肅慶陽(yáng)·高二?？计谀┫铝姓f(shuō)法正確的是（

）A．已知，則可能取值為6B．已知，則可能取值為7C．在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是84D．在的二項(xiàng)式展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是【答案】BC【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A和選項(xiàng)B，因?yàn)?，故，或，得，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，解得，∴，故C正確、D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2023上·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）若，其中為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】令可得，A正確.，其展開(kāi)式的第三項(xiàng)是，所以，B不正確.令可得，所以，D不正確.令可得，與相減可得，C正確.故選：AC三、填空題11．（2024上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為．【答案】【詳解】，令得，∴，依題意，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．∴的最小值為．故答案為：12．（2024上·甘肅武威·高三民勤縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）干支紀(jì)年是中國(guó)古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲

乙

丙

丁

戊

己

庚

辛

壬

癸地支：子

丑

寅

卯

辰

巳

午

未

申

酉

戌

亥把天干與地支按以下方法依次配對(duì)：把第一個(gè)天干“甲”與第一個(gè)地支“子”配出“甲子”，把第二個(gè)天干“乙”與第二個(gè)地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再?gòu)牡谝粋€(gè)天干開(kāi)始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是年.【答案】丙午【詳解】因?yàn)椋阅暌院蟮刂椤拔纭?因?yàn)?，又因?yàn)槌?0余數(shù)為3