中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)（考試時(shí)間：90分鐘；試卷滿分：100分）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1.了解二次函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，進(jìn)一步鞏固二次函數(shù)概念2.掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；3.掌握二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，并靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)解決問題；4.通過探究進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的一般研究方法及數(shù)形結(jié)合等思想，提高分析問題、解決問題的能力?？键c(diǎn)1:二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．考點(diǎn)2：二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．考點(diǎn)3：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小考點(diǎn)4：拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．考點(diǎn)5：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．【題型1：確定二次函數(shù)解析式】【典例1】（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．1．（2023?上海）一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是．2．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【題型2：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)】【典例2】（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對(duì)稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3） C．函數(shù)的最大值是﹣3 D．函數(shù)的最小值是﹣31．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+12．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或43．（2022?陜西）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y34．（2022?紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，55．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A．B． C．D．6．（2023?營(yíng)口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．下列說法：①abc＜0；②拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1；③當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，ax2+bx+c＞0；④當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實(shí)數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型3：二次函數(shù)的圖像變換】【典例3】（2022?湘西州）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是．1．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣42．（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+13．（2022?玉林）小嘉說：將二次函數(shù)y＝x2的圖象平移或翻折后經(jīng)過點(diǎn)（2，0）有4種方法：①向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度③向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度你認(rèn)為小嘉說的方法中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型4：二次函數(shù)與方程、不等式】【典例4】（2021?賀州）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤31．（2020?梧州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h交于A，B兩點(diǎn)，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4 C．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2 D．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝42．（2020?無錫）二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象與直線y＝kx+b（k＞0）交于點(diǎn)M（﹣2，m）、N（1，n）兩點(diǎn)（mn＜0），則關(guān)于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集為．一．選擇題（共9小題）1．拋物線y＝（x﹣3）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）2．將二次函數(shù)y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+23．下列關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象和性質(zhì)的說法中，正確的是（）A．圖象開口向上 B．對(duì)稱軸是直線x＝1 C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，2） D．（﹣1，0）在此函數(shù)圖象上4．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的函數(shù)解析式為（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+4的圖象上．若x1＞x2＞1，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1≥y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．y1＜y26．關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+1，下列說法正確的是（）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，1） C．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小 D．該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，10）7．在拋物線y＝﹣x2+2x+1的圖象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣18．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列4個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，4），B（1，1），則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解為（）A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝2二．填空題（共6小題）10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為．11．將拋物線y＝（x﹣1）2+2向下平移2個(gè)單位后，得到的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．12．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是．13．已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線是x＝1，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是．14．如圖，一次函數(shù)y1＝kx+n（k≠0）與二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象相交于A（﹣1，4），B（6，2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集為．15．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3a，若當(dāng)1≤x≤4時(shí)，y的最大值是4，則a的值為．三．解答題（共2小題）16．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+3．（1）在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．17．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過A（0，6），且對(duì)稱軸是直線x＝2.5．（1）求該函數(shù)解析式；（2）在拋物線上找點(diǎn)P，使△PBC的面積1，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．1．拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則c的值可能為（）A．﹣1 B．1 C．3 D．42．拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是（﹣2，0），（6，0），則這條拋物線的對(duì)稱軸是直線（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣23．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表，下列結(jié)論正確的是（）x﹣2﹣101y0466A．拋物線的開口向上 B．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0） C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0 D．a(chǎn)＝b4．若點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣3或m＞1 C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜15．已知拋物線（m為整數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB，則m等于（）A． B． C．2 D．﹣26．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點(diǎn)為P（1，m），經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）；有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤7．我們定義兩個(gè)不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個(gè)函數(shù)的“和諧值”．拋物線y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝x﹣7的“和諧值”為．8．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，若新圖象與直線y＝x+m無公共點(diǎn)，則m的取值范圍是．9．如圖，一段拋物線y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點(diǎn)A3；……如此進(jìn)行下去．則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)是．10．已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4，當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為．11．把二次函數(shù)y＝x2+4x﹣10的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（m＞0），如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，那么m應(yīng)滿足條件．12．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M是拋物線上的一點(diǎn)，且到y(tǒng)軸的距離小于3，求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍．1．（2022?哈爾濱）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）2．（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）15．（2022?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣13．（2022?哈爾濱）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）4．（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）5．（2022?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣16．（2021?江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A．B．C．D．7．（2023?臺(tái)灣）坐標(biāo)平面上有兩個(gè)二次函數(shù)的圖形，其頂點(diǎn)P、Q皆在x軸上，且有一水平線與兩圖形相交于A、B、C、D四點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，則PQ的長(zhǎng)度為何（）A．7 B．8 C．9 D．108．（2023?巴中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+1與拋物線y＝x2交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①x1?x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③當(dāng)線段AB長(zhǎng)取最小值時(shí)，則△AOB的面積為2．④若點(diǎn)N（0，﹣1），則AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．49．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或410．（2021?雅安）定義：min{a，b}＝，若函數(shù)y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，則該函數(shù)的最大值為（）A．0 B．2 C．3 D．411.（2021?廣元）將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線y＝x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為（）A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣312．（2023?眉山）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，下列四個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④當(dāng)﹣3＜x＜1時(shí)，ax2+bx+c＜0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2022?徐州）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于m，則m的值為．14．（2023?益陽(yáng)）我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時(shí)知道：將一次函數(shù)y＝2x的圖象向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個(gè)單位，如圖所示，則得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是．15．（2023?廣州）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）16．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m＝．17．（2020?溫州）已知拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且y2＝12﹣y1，求m的值．參考答案與解析1.了解二次函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，進(jìn)一步鞏固二次函數(shù)概念2.掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；3.掌握二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，并靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)解決問題；4.通過探究進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的一般研究方法及數(shù)形結(jié)合等思想，提高分析問題、解決問題的能力?？键c(diǎn)1:二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．考點(diǎn)2：二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．考點(diǎn)3：二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小考點(diǎn)4：拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．考點(diǎn)5：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．【題型1：確定二次函數(shù)解析式】【典例1】（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）（2，7）；（2）﹣2≤y≤7；（3）y＝﹣x2+2x+2．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3時(shí)∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有頂點(diǎn)（2，7）∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值7∵2﹣（﹣1）＞3﹣2∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最小值為：﹣2∴當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0時(shí)，y的最大值為2；x＞0時(shí)，y的最大值為3∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)∴b＞0∵拋物線開口向下，x≤0時(shí)，y的最大值為2∴c＝2又∵∴b＝±2∵b＞0∴b＝2．∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+2．1．（2023?上海）一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：由題意得：b＝0，a＜0，c＞0∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是：y＝﹣x2+1故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一） 2．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，x的范圍是﹣3≤x≤1．【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：解得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)C（﹣3，﹣2）∴當(dāng)y≤﹣2時(shí)，x的范圍是﹣3≤x≤1．【題型2：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)】【典例2】（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對(duì)稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3） C．函數(shù)的最大值是﹣3 D．函數(shù)的最小值是﹣3【答案】C【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的圖象的開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）x＝2時(shí)，y有最大值為y＝﹣3故選：C1．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1【答案】D【解答】解：選項(xiàng)A中，函數(shù)y＝x2+1，x＜0時(shí)，y隨x的增大而減??；故A不符合題意；選項(xiàng)B中，函數(shù)y＝﹣x2+1，x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小；故B不符合題意；選項(xiàng)C中，函數(shù)y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；選項(xiàng)D中，函數(shù)y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減?。蔇符合題意；故選：D．2．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4【答案】D【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的對(duì)稱軸為直線x＝1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣a）當(dāng)a＞0時(shí)，在﹣1≤x≤4，函數(shù)有最小值﹣a∵y的最小值為﹣4∴﹣a＝﹣4∴a＝4；當(dāng)a＜0時(shí)，在﹣1≤x≤4，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)有最小值∴9a﹣a＝﹣4解得a＝﹣；綜上所述：a的值為4或﹣故選：D．3．（2022?陜西）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x1，x2，x3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3．當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】D【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4∴對(duì)稱軸x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）當(dāng)y＝0時(shí)，（x﹣1）2﹣4＝0解得x＝﹣1或x＝3∴拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，0），（3，0）∴當(dāng)﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3時(shí)，y2＜y1＜y3故選：D．4．（2022?紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5【答案】D【解答】解：∵拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2∴﹣＝2解得m＝﹣4∴方程x2+mx＝5可以寫成x2﹣4x＝5∴x2﹣4x﹣5＝0∴（x﹣5）（x+1）＝0解得x1＝5，x2＝﹣1故選：D．5．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，則該函數(shù)的圖象可能為（）A．B． C．D．【答案】C【解答】解：∵c＞0∴﹣c＜0故A，D選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)∵b＞0∴對(duì)稱軸x＝＜0故B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，b＞0∴對(duì)稱軸x＝＞0故C選項(xiàng)符合題意故選：C．6．（2023?營(yíng)口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．下列說法：①abc＜0；②拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1；③當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，ax2+bx+c＞0；④當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實(shí)數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：∵拋物線開口向下∴a＜0∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）∴對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣1，故②正確；∴﹣＝﹣1∴b＝2a＜0∵與y軸的交點(diǎn)在正半軸上∴c＞0∴abc＞0，故①錯(cuò)誤；由圖象可知，當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，y＞0∴當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，ax2+bx+c＞0，故③正確；由圖象可知，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，故④錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值a﹣b+c∴當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，am2+bm+c≤a﹣b+c∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正確；綜上所述，結(jié)論正確的是②③⑤共3個(gè)．故選：C．【題型3：二次函數(shù)的圖像變換】【典例3】（2022?湘西州）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是﹣＜b＜﹣1．【答案】﹣＜b＜﹣1．【解答】解：如圖，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，則A（﹣1，0），B（5，0）將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y＝（x+1）（x﹣5）即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）當(dāng)直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）時(shí)，1+b＝0，解得b＝﹣1；當(dāng)直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共點(diǎn)時(shí)，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的實(shí)數(shù)解，解得b＝﹣所以當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為﹣＜b＜﹣1．故答案為：﹣＜b＜﹣1．1．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4【答案】A【解答】解：將拋物線y＝x2先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是y＝（x﹣3）2+4．故選：A．2．（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1【答案】D【解答】解：∵將拋物線y＝﹣x2+x+1經(jīng)過平移后開口方向不變，開口大小也不變∴拋物線y＝﹣x2+x+1經(jīng)過平移后不可能得到的拋物線是y＝﹣x2+x+1．故選：D．3．（2022?玉林）小嘉說：將二次函數(shù)y＝x2的圖象平移或翻折后經(jīng)過點(diǎn)（2，0）有4種方法：①向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度③向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度你認(rèn)為小嘉說的方法中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解答】解：①向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的解析式為y＝（x﹣2）2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，所以平移后的拋物線過點(diǎn)（2，0），故①符合題意；②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的解析式為y＝（x﹣1）2﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，所以平移后的拋物線過點(diǎn)（2，0），故②符合題意；③向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的解析式為y＝x2﹣4，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，所以平移后的拋物線過點(diǎn)（2，0），故③符合題意；④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的解析式為y＝﹣x2+4，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，所以平移后的拋物線過點(diǎn)（2，0），故④符合題意；故選：D．【題型4：二次函數(shù)與方程、不等式】【典例4】（2021?賀州）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【答案】D【解答】解：∵y＝kx+m與y＝﹣kx+m的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱∴直線y＝﹣kx+m與拋物線y＝ax2+c的交點(diǎn)A′、B′與點(diǎn)A、B也關(guān)于y軸對(duì)稱如圖所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2）∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2）根據(jù)函數(shù)圖象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3故選：D．1．（2020?梧州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h交于A，B兩點(diǎn)，下列是關(guān)于x的不等式或方程，結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4 B．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4 C．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2 D．a(chǎn)x2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【答案】D【解答】解：聯(lián)立y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0由函數(shù)圖象知，上述方程的解為x＝2或4而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示拋物線的值大于直線的值，此時(shí)，x＜2或x＞4故選：D．2．（2020?無錫）二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象與直線y＝kx+b（k＞0）交于點(diǎn)M（﹣2，m）、N（1，n）兩點(diǎn)（mn＜0），則關(guān)于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集為﹣1＜x＜2．【答案】﹣1＜x＜2．【解答】解：由題意，可大致畫出函數(shù)圖象如下則直線y＝kx+b關(guān)于y軸對(duì)稱的直線為y＝﹣kx+b根據(jù)圖形的對(duì)稱性，設(shè)點(diǎn)M、N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D則點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為﹣1，2觀察函數(shù)圖象ax2+c＞﹣kx+b的解集為﹣1＜x＜2即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集為﹣1＜x＜2故答案為：﹣1＜x＜2．一．選擇題（共9小題）1．拋物線y＝（x﹣3）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）【答案】C【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4）故選：C．2．將二次函數(shù)y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式為（）A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣7 C．y＝（x+3）2﹣7 D．y＝（x﹣6）2+2【答案】B【解答】解：y＝x2﹣6x+2＝x2﹣6x+9﹣9+2＝（x﹣3）2﹣7故選：B．3．下列關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2的圖象和性質(zhì)的說法中，正確的是（）A．圖象開口向上 B．對(duì)稱軸是直線x＝1 C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，2） D．（﹣1，0）在此函數(shù)圖象上【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得：A、a＝﹣1＜0，圖象開口向下，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、，對(duì)稱軸是直線，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，（﹣1，0）在此函數(shù)圖象上，正確，故符合題意．故選：D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的函數(shù)解析式為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：先將拋物線先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的函數(shù)解析式為：；再將拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新拋物線的函數(shù)解析式為：故選：C．5．已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+4的圖象上．若x1＞x2＞1，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1≥y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．y1＜y2【答案】D【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5的對(duì)稱軸為直線x＝1∵a＝﹣1＜0∴x＜1時(shí)y隨x的增大而減小∵x1＞x2＞1∴y1＜y2．故選：D．6．關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+1，下列說法正確的是（）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，1） C．當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而減小 D．該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，10）【答案】D【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+1中a＝1＞0∴二次函數(shù)的圖象開口向上∴對(duì)稱軸是直線x＝3，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，1）∴函數(shù)有最低點(diǎn)（3，1），當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大．令y＝（x﹣3）2+1中的x＝0解得：y＝10∴A、B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D選項(xiàng)說法正確，符合題意．故選：D．7．在拋物線y＝﹣x2+2x+1的圖象中，若y隨x的增大而增大，則x的取值范圍是（）A．x≤1 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞﹣1【答案】A【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+1∴拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1∴x≤1時(shí)，y隨x增大而增大．故選：A．8．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列4個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解答】解：①∵拋物線開口向下∴a＜0．∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣＝1∴b＝﹣2a＞0．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c＞0∴abc＜0，①錯(cuò)誤；②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0∴a﹣b+c＜0∴b＞a+c，②錯(cuò)誤；③∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1∴當(dāng)x＝2時(shí)與x＝0時(shí)，y值相等∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c＞0∴4a+2b+c＝c＞0，③正確；④∵拋物線與x軸有兩個(gè)不相同的交點(diǎn)∴一元二次方程ax2+bx+c＝0∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正確．綜上可知：成立的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．9．如圖，拋物線y＝ax2與直線y＝bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣2，4），B（1，1），則關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解為（）A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝﹣5，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝1 D．x1＝﹣3，x2＝2【答案】C【解答】解：把B（1，1）代入y＝ax2得a＝1把A（﹣2，4），B（1，1）代入y＝bx+c得解得：關(guān)于x的方程化為x2+x﹣2＝0（x+2）（x﹣1）＝0x1＝﹣2，x2＝1故選：C．二．填空題（共6小題）10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為x＝1或x＝3．【答案】x＝1或x＝3．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0）∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解為x＝1或x＝3故答案為：x＝1或x＝3．11．將拋物線y＝（x﹣1）2+2向下平移2個(gè)單位后，得到的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x﹣1）2．【答案】y＝（x﹣1）2．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+2向下平移2個(gè)單位后，得到的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝（x﹣1）2+2﹣2，即y＝（x﹣1）2故答案為：y＝（x﹣1）2．12．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是﹣1＜x＜3．【答案】﹣1＜x＜3．【解答】解：由題意得：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝1，經(jīng)過（﹣1，0）∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）．∵拋物線在x軸的下方部分y＜0∴當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍是﹣1＜x＜3．故答案為：﹣1＜x＜3．13．已知拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線是x＝1，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣1，0）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（x，0）∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等∴＝1解得：x＝﹣1∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．14．如圖，一次函數(shù)y1＝kx+n（k≠0）與二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象相交于A（﹣1，4），B（6，2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集為﹣1＜x＜6．【答案】﹣1＜x＜6．【解答】解：∵一次函數(shù)y1＝kx+n（k≠0）與二次函數(shù)y2＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象相交于A（﹣1，4），B（6，2）兩點(diǎn)根據(jù)圖象可得關(guān)于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集是：﹣1＜x＜6．故答案為：﹣1＜x＜6．15．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3a，若當(dāng)1≤x≤4時(shí)，y的最大值是4，則a的值為或﹣4．【答案】或﹣4．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2∵1≤x≤4∴當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸直線x＝2右側(cè)y隨x的增大而增大當(dāng)x＝4時(shí)y有最大值a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a＝當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，x＝2時(shí)y有最大值a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．故答案為：或﹣4．三．解答題（共2小題）16．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+3．（1）在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，并求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍．【答案】（1）作圖見解析，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）；（2）﹣2≤y≤7．【解答】解：（1）由題意，列表格如下：x01234y36763描點(diǎn)、連線，作圖象如下：∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）；（2）由題意知，對(duì)稱軸為直線x＝2∵﹣1≤x≤3∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，當(dāng)x＝2時(shí)，ymax＝7∴當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，y的取值范圍為﹣2≤y≤7．17．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經(jīng)過A（0，6），且對(duì)稱軸是直線x＝2.5．（1）求該函數(shù)解析式；（2）在拋物線上找點(diǎn)P，使△PBC的面積1，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣5x+6；（2）（1，2）和（4，2）．【解答】解：（1）由題意得解得∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣5x+6；（2）令y＝0則x2﹣5x+6＝0解得x1＝2，x2＝3∴B（2，0），C（3，0）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m∵△PBC的面積1∴解得m＝±2當(dāng)m＝2時(shí)，x2﹣5x+6＝2解得x1＝1，x2＝4；當(dāng)m＝﹣2時(shí)，x2﹣5x+6＝﹣2，即x2﹣5x+8＝0Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝25﹣32＝﹣7＜0∴此方程無實(shí)數(shù)根故舍去m＝﹣2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，2）和（4，2）．1．拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則c的值可能為（）A．﹣1 B．1 C．3 D．4【答案】A【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0解得c＜1∴選項(xiàng)A符合題意．故選：A．2．拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是（﹣2，0），（6，0），則這條拋物線的對(duì)稱軸是直線（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【答案】C【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是（﹣2，0），（6，0）∴兩交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則此拋物線的對(duì)稱軸是直線．故選：C．3．拋物線y＝ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表，下列結(jié)論正確的是（）x﹣2﹣101y0466A．拋物線的開口向上 B．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0） C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0 D．a(chǎn)＝b【答案】C【解答】解：把（﹣2，0），（﹣1，4），（0，6）分別代入y＝ax2+bx+c得解得∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+6．∵a＝﹣1∴拋物線開口向下，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+x+6＝0解得x1＝﹣2，x2＝3∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），（3，0），所以B錯(cuò)誤，不符合題意．又當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝4；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＝4∴（a﹣b+c）（4a+2b+c）＝16＞0，故C正確，符合題意．∵y＝﹣x2+x+6∴a＝﹣1≠b＝1．∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．4．若點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，則m的取值范圍是（）A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣3或m＞1 C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【答案】C【解答】解：拋物線y＝ax2﹣2ax+c的對(duì)稱軸為直線∵A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax+c上∴根據(jù)拋物線對(duì)稱性可知：點(diǎn)A（﹣1，y1）與點(diǎn)A'（3，y1）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱點(diǎn)B（5，y2）與點(diǎn)B'（﹣3，y2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1對(duì)稱∵y2＜y1，﹣3＜﹣1，3＜5∴當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而減?。弧鄴佄锞€y＝ax2﹣2ax+c的圖象開口向下作圖如下：由圖可知：要滿足y2＜y3＜y1，則m的取值范圍為：3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1故選：C．5．已知拋物線（m為整數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA＝OB，則m等于（）A． B． C．2 D．﹣2【答案】D【解答】解：∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝m2﹣1∴拋物線與y軸的交點(diǎn)B為（0，m2﹣1）∵OA＝OB∴拋物線與x軸的交點(diǎn)A為（m2﹣1，0）或（m2+1，0）∴（m2﹣1）2+（m+1）（m2﹣1）m2﹣1＝0或（m2+1）2+（m+1）（m2+1）﹣m2﹣1＝0∴m2﹣1＝0或m2﹣1+m+1+1＝0或m2+1＝0或m2+1+m+1﹣1＝0∵m為整數(shù)∴m＝﹣2．故選：D．6．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點(diǎn)為P（1，m），經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）；有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1時(shí)，y隨x的增大而減?。虎輰?duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①④⑤【答案】D【解答】解：①由拋物線的開口方向向下則a＜0，故①正確；②∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m）∴﹣＝1，b＝﹣2a∵a＜0∴b＞0∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸∴c＞0∴abc＜0，故②錯(cuò)誤；③∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）∴1＝a?22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③錯(cuò)誤；④∵拋物線的頂點(diǎn)為P（1，m），且開口方向向下∴x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，即④正確；⑤∵a＜0∴at2+bt﹣（a+b）＝at2﹣2at﹣a+2a＝at2﹣2at+a＝a（t2﹣2t+1）＝a（t﹣1）2≤0∴at2+bt≤a+b，則⑤正確故選：D．7．我們定義兩個(gè)不相交的函數(shù)圖象在豎直方向上的最短距離為這兩個(gè)函數(shù)的“和諧值”．拋物線y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝x﹣7的“和諧值”為．【答案】．【解答】解：∵拋物線開口向上∴拋物線在直線上方設(shè)“和諧值”為h∵x2﹣2x+3﹣（x﹣7）＝（x﹣）2+∴該函數(shù)最小值為故答案為：．8．已知二次函數(shù)y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象，若新圖象與直線y＝x+m無公共點(diǎn)，則m的取值范圍是m＜﹣3．【答案】m＜﹣3．【解答】解：∵函數(shù)和x軸有2個(gè)交點(diǎn)則△═（﹣2k﹣2）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＞0解得：k＞﹣1當(dāng)k取最小整數(shù)時(shí)，則k＝0則二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3令y＝x2﹣2x﹣3＝0則x＝﹣1或3即點(diǎn)A（3，0），如下圖：當(dāng)直線y＝x+m過點(diǎn)A時(shí)則0＝3+m解得：m＝﹣3故新圖象與直線y＝x+m無公共點(diǎn)，則m的取值范圍：m＜﹣3故答案為：m＜﹣3．9．如圖，一段拋物線y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），記為C1，它與x軸交于點(diǎn)O，A1；將C1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點(diǎn)A2；將C2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點(diǎn)A3；……如此進(jìn)行下去．則點(diǎn)A2023的坐標(biāo)是（4046，0）．【答案】（4046，0）．【解答】解：令y＝0，則﹣x（x﹣2）＝0解得x1＝0，x2＝2，即A1（2，0）由旋轉(zhuǎn)得：OA1＝A1A2＝A2A3＝?＝AnAn+1＝2∴An的坐標(biāo)為（2n，0）∴A2023（4046，0）故答案為：（4046，0）．10．已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4，當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為0或﹣3．【答案】﹣3或0．【解答】解：令y＝1，則﹣x2﹣2x+4＝1解得：x1＝﹣2，x2＝1．∵a≤x≤a+1時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1∴a+1＝﹣2或a+1＝1∴a＝﹣3或a＝0．故答案為：﹣3或0．11．把二次函數(shù)y＝x2+4x﹣10的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（m＞0），如果平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)，那么m應(yīng)滿足條件0＜m＜14且m≠5．．【答案】0＜m＜14且m≠5．【解答】解：由題意可得平移后函數(shù)解析式為：y＝（x+1）2+4（x+1）﹣10+m＝x2+6x﹣5+m∵平移后所得拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)公共點(diǎn)∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即：方程x2+6x﹣5+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴Δ＝62﹣4×1×（m﹣5）＞0解得：m＜14當(dāng)m＝5時(shí)，函數(shù)y＝x2+6x，過坐標(biāo)原點(diǎn)，不符合題意∴0＜m＜14且m≠5．故答案為：0＜m＜14且m≠5．12．如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2，且經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M是拋物線上的一點(diǎn)，且到y(tǒng)軸的距離小于3，求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍是﹣9≤yM＜16．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝2∴對(duì)稱軸∴b＝﹣4．將點(diǎn)A（﹣1，0）代入拋物線y＝x2﹣4x+c，得0＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+c∴c＝﹣5∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）由題意得﹣3＜xM＜3∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝（﹣3）2﹣4×（﹣3）﹣5＝16當(dāng)x＝3時(shí)，y＝32﹣4×3﹣5＝﹣8．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2∴當(dāng)x＝2時(shí)，拋物線y＝x2﹣4x﹣5取得最小值，最小值為﹣9．∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM的取值范圍是﹣9≤yM＜16．1．（2022?哈爾濱）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）【答案】B【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣9，﹣3）故選：B．2．（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）【答案】A【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2的對(duì)稱軸為y軸∴若圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4）則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2，4）．故選：A．15．（2022?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1【答案】D【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．故選：D．3．（2022?哈爾濱）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）【答案】B【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣9，﹣3）故選：B．4．（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）【答案】A【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2的對(duì)稱軸為y軸∴若圖象經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，4）則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)（2，4）．故選：A．5．（2022?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1【答案】D【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．故選：D．6．（2021?江西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx+c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：a＞0，b＞0，c＜0∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，對(duì)稱軸x＝﹣＜0，與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸．故選：D．7．（2023?臺(tái)灣）坐標(biāo)平面上有兩個(gè)二次函數(shù)的圖形，其頂點(diǎn)P、Q皆在x軸上，且有一水平線與兩圖形相交于A、B、C、D四點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，則PQ的長(zhǎng)度為何（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解答】解：∵AB＝10，BC＝5∴AC＝AB+BC＝15∴xC﹣xP＝∵BC＝5，CD＝6∴BD＝BC+CD＝11∴xQ﹣xB＝∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）＝+﹣5＝8故選：B．8．（2023?巴中）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx+1與拋物線y＝x2交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①x1?x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③當(dāng)線段AB長(zhǎng)取最小值時(shí)，則△AOB的面積為2．④若點(diǎn)N（0，﹣1），則AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：由題意，聯(lián)列方程組∴可得得x1，x2滿足方程x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2滿足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2＝4k，x1?x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1?y2＝1∴①、②正確．由兩點(diǎn)間距離公式得，AB＝＝＝4（k2+1）．∴當(dāng)k＝0時(shí)，AB最小值為4．∴S△AOB＝×1×AB＝2．∴③正確．由題意，kAN＝，kBN＝∴kAN?kBN＝?＝＝＝﹣k2﹣1．∴當(dāng)k＝0時(shí)，AN⊥BN；當(dāng)