中考數(shù)學拉分壓軸題專題05 尺規(guī)作圖與計算（含答案與解析全國通用）

第第頁專題05尺規(guī)作圖與計算大全1．如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若，，則∠ACB的度數(shù)為（

）A．105° B．100° C．95° D．90°【答案】A【分析】根據(jù)作圖，得到DB=DC，根據(jù)CD=AC，∠A=50°，利用三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)計算求解即可．【詳解】∵MN是BC的垂直平分線，∴DB=DC，∴∠B=∠DCB，∵CD=AC，∠A=50°，∴∠CDA=50°=∠B+∠DCB，∠ACD=180°-50°-50°=80°，∴∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=80°+25°=105°，故選：A．【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線，靈活運用三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，，點，分別是圖中所作直線和射線與，的交點，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義和垂直平分線的性質(zhì)判斷A、B，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角定理判斷C、D．【詳解】解：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖可知，的垂直平分線交于平分，∴，；選項A、B正確；∵，∴，∵，，∴，∴，∴選項D錯誤；∴，選項C正確．故選：D．【我思故我在】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知ABCD，小妍同學進行以下尺規(guī)作圖：①以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線AB于點E；②以點E為圓心，小于線段CE的長為半徑作弧，與射線CE交于點M，N；③分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，交于點F，直線EF交CD于點G．若，則的度數(shù)可以用表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由作圖可知：AC=AE，CE⊥CE，所以∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，則∠CGE+∠ECG=90°，所以∠ECG=90°-α，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AEC=∠ECG=90°-α，即可由三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】解：由作圖可知：AC=AE，CE⊥CE，∴∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，∴∠CGE+∠ECG=90°，∴∠ECG=90°-α，∵ABCD，∴∠ACE=∠AEC=∠ECG=90°-α，∴∠A=180°-∠ACE-∠AEC=180°-2∠AEC=180°-2(90°-α)=2α，故D正確．故選：D．【我思故我在】本題考查作線段等于已知線段，經(jīng)過上點作直線的垂線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握尺規(guī)基本作圖和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作，交射線OB于點D，連接CD；（2）分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交于點M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，則∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【分析】由作圖知CM=CD=DN，再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得．【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A選項正確；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等邊三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B選項正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，∴∠OCD=∠OCM=，∴∠MCD=，又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C選項正確；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D選項錯誤；故選D．【我思故我在】本題主要考查作圖-復雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角定理和圓周角定理等知識點．5．如圖，在平行四邊形中，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，再分別以點、為圓心，大于的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，連接．根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，小明得到下列結(jié)論：①平分②是等邊三角形③④，其中，結(jié)論正確的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由作圖可知，AE平分∠BAD，證明四邊形ABCD是菱形，可得結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知，AE平分∠BAD，故①正確，∴∠BAE=∠EAD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CB∥AD，AB=CD，∴∠AEB=∠EAD，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，故④正確，∵AF=AB，∴BE=AF，∵BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴AB=EF，∴EF=CD，故③正確.無法判斷△ABF是等邊三角形，故選：C．【我思故我在】本題考查作圖一復雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．6．如圖，中，若，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】∵，，∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，A．由作圖可知，平分，∴，故選項A正確，不符合題意；B．由作圖可知，MQ是BC的垂直平分線，∴，∵，∴，故選項B正確，不符合題意；C．∵，，∴，∵，∴，故選項C正確，不符合題意；D．∵，，∴；故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息．7．如圖，在平行四邊形上，尺規(guī)作圖：以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，分別以點、為圓心，以大于的長為半徑畫弧交于點，作射線交于點，連接．若，，則線段的長為（

）A．18 B．17 C．16 D．14【答案】C【分析】證明四邊形ABEF是菱形，得到OA=OE，OB=OF=6，AE⊥BF，再在Rt△AOB中由勾股定理求出OA即可解決問題．【詳解】解：∵以點A為圓心，的長為半徑畫弧交于點，∴AF=AB，∵分別以點、為圓心，以大于的長為半徑畫弧交于點，作射線交于點，∴直線AE是線段BF的垂直平分線，且AP為∠FAB的角平分線，∴EF=EB，∠FAE=∠BAE，∵四邊形為平行四邊形，∴AD∥BC，∠FAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴BA=BE，∴BA=BE=AF=FE，∴四邊形ABEF是菱形；∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中：，∴，故選：C．【我思故我在】本題考查的是菱形的判定、垂直平分線、角平分線的尺規(guī)作圖、勾股定理等相關(guān)知識點，掌握特殊四邊形的判定方法及重要圖形的尺規(guī)作圖是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，用尺規(guī)作圖，作的平分線交于點D，則下列說法中：①若連接，則；②；③點D在的中垂線上；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①連接PM，PN，根據(jù)SSS定理可得△AMP≌△ANP，故可得出結(jié)論；②先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB的度數(shù)，再由AD是∠BAC的平分線得出∠1=∠2=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知∠ADC=60°；③根據(jù)∠1=∠B可知AD=BD，故可得出結(jié)論；④先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】證明：①連接NP，MP，在△AMP與△ANP中，∵，∴△AMP≌△ANP（SSS），則∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分線，故此選項正確；②證明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，∠ADC=60°，故此選項正確；③證明：∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點D在AB的中垂線上，故此選項正確；④證明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD，∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此選項正確；故選：D．【我思故我在】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，作圖-基本作圖，熟知角平分線的作法是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，用尺規(guī)作圖的方法作出射線AD和直線EF，設(shè)AD交EF于點O，連結(jié)BE、OC．下列結(jié)論中，不一定成立的是（）A．AE⊥BE B．EF平分∠AEB C．OA＝OC D．AB＝BE+EC【答案】A【分析】由圖可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的判定與性質(zhì)對各選項進行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴OB＝OC，∵EF垂直平分AB，∴OA＝OB，BE＝AE，∴OA＝OC，故選項C結(jié)論成立；∵BE＝AE，EF垂直平分AB，∴EF平分∠AEB，故選項B結(jié)論成立；∵BE＝AE，AB＝AC，∴AB＝AC＝AE+EC＝BE+EC，故選項D結(jié)論成立；當∠BAC＝45°時，AE⊥BE，故選項A不一定成立．故選：A．【我思故我在】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．10．小明在研究矩形的時候，利用直尺和圓規(guī)作出了如圖的圖形，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可知的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由尺規(guī)作圖可知，EF是AC的垂直平分線，AE是∠DAC的角平分線，即可求出∠AFE和∠EAF的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解.【詳解】解：如圖所示，由尺規(guī)作圖可知，EF是AC的垂直平分線，AE是∠DAC的角平分線，∴∠AFE=90°，∠EAF=∠DAC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°，∴∠EAF=34°，∴∠AEF=180°－∠EAF－∠AFE=56°，∴∠α=∠AEF=56°，故選A.【我思故我在】本題考查了尺規(guī)作圖－作垂直平分線和角平分線，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11．如圖，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小紅按如下步驟作圖：①分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；③過C作CEAB交MN于點E，連接AE、CD．則四邊形ADCE的周長為（）A．10 B．20 C．12 D．24【答案】A【分析】根據(jù)題意得：MN是AC的垂直平分線，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CEAB，可證得CD∥AE，繼而證得四邊形ADCE是菱形，再根據(jù)勾股定理求出AD，進而求出菱形ADCE的周長．【詳解】：∵分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N，∴MN是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CEAB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CDAE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形；∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，∵∠ACB=90°，∴DEBC，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=BC=×3=1.5，∴AD==2.5，∴菱形ADCE的周長=4AD=10．故選A．【我思故我在】本題考查了作圖-復雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線．若，為邊的中點，為射線上一動點，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】由題意得，CG為的角平分線，在CB上截取CA1=CA，可得是等腰直角三角形，繼而得到CG垂直平分AA1，則A1為點A關(guān)于CG的對稱點，連接A1D，交CG于點E，此時最小，即A1D的值，利用勾股定理求解即可．【詳解】由題意得，CG為的角平分線，在CB上截取CA1=CA，，是等腰直角三角形，，即CG垂直平分AA1，A1為點A關(guān)于CG的對稱點，連接A1D，交CG于點E，，此時最小，即A1D的值，，為邊的中點，，，即，故選：B．【我思故我在】本題考查了角平分線的定義、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，以點A為圓心，以適當長度為半徑作弧分別交于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于一半的長度為半徑作弧，兩弧交于一點H，連接并延長交于點G，若，則的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)作圖過程可得AG平分∠DAB，再根據(jù)角平分線的定義和平行四邊形的性質(zhì)可證明∠DAG＝∠DGA，進而得到AD＝DG＝4，即可求出CG．【詳解】解：根據(jù)作圖的方法可得平分，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∴，故選：A．【我思故我在】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的作法、等角對等邊；熟記平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．14．如圖，在矩形ABCD中，連接AC，以點A為圓心，小于AD的長為半徑畫弧，分別交AD，AC于點E，F(xiàn)，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠DAC內(nèi)交于點G，作射線AG，交DC于點H．若AD＝6，AB＝8，則△AHC的面積為（

）A．24 B．30 C．15 D．9【答案】C【分析】過H點作HM⊥AC，如圖，利用基本作圖得到AH平分∠DAC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=MH，再利用勾股定理計算出AC=10，接著證明Rt△ADH≌Rt△AMH得AM=AD=6，所以CM=4，設(shè)CH=x，則DH=HM=8-x，在Rt△CHM中利用勾股定理得到（8-x）2+42=x2，解得x=5，然后利用三角形面積公式計算△AHC的面積．【詳解】解：過H點作HM⊥AC，如圖，由作法得AH平分∠DAC，∴DH=MH，∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=8，在Rt△ADC中，AC==10，在Rt△ADH和Rt△AMH中，，∴Rt△ADH≌Rt△AMH（HL），∴AM=AD=6，∴CM=AC-AM=10-6=4，設(shè)CH=x，則DH=HM=8-x，在Rt△CHM中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，∴△AHC的面積=．故選：C．【我思故我在】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以頂點B為圓心，適當長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點D、E為圓心，大于為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點F；作射線BF交AC于點G．若CG=4，P為邊AB上一動點，則GP的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及垂線段最短解決問題即可．【詳解】解：過點G作⊥AB于點，由尺規(guī)作圖步驟可得，BG平分∠ABC，∵∠C=90°，⊥AB，CG=4，∴GC==4，∵P為邊AB上一動點，∴，∴GP的最小值為4．故選：B．【我思故我在】本題考查了垂線段最短，角平分線的性質(zhì)定理等知識，熟記垂線段最短是解題的關(guān)鍵．16．如圖，小明在以∠A為頂角的等腰三角形ABC中用圓規(guī)和直尺作圖，作出過點A的射線交BC于點D，然后又作出一條直線與AB交于點E，連接DE，若△BED的面積為4，則△ABC的面積為（

）A．1 B．4 C．12 D．16【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積解答即可．【詳解】解：由作圖可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB∴AE=BE∴S△BED=S△ABD=4，即S△ABD=8∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴S△ABD=S△ABC=8，即S△ABC=16．故選D．【我思故我在】本題主要考查復雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中線等知識點，解題的關(guān)鍵是理解三角形的中線平分三角形的面積．17．如圖，在中，，按以下步驟作圖：（1）以點A為圓心，AB的長為半徑作弧，交AD于點E；（2）分別以點B、E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在∠BAD的內(nèi)部交于點G，連接AG并延長交BC于點F．若AB＝5，BE＝6，則AF的長是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】設(shè)AF交BE于H，證明四邊形AEFB是菱形，利用勾股定理求出AH即可．【詳解】解：設(shè)AF交BE于H，由題意得AB=AE，AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠EAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∴BF=AE，∵AE∠BF，∴四邊形AEFB是平行四邊形，∴AB=EF，∴AB=AE=EF=BF，∴四邊形AEFB是菱形，∴AH=FH，BH=HE=3，AF⊥BE，∴AH=，∴AF=2AH=8，故選：C．【我思故我在】此題考查了角平分線的作圖，菱形的判定定理及性質(zhì)定理，勾股定理，正確理解角平分線的作圖是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在?ABCD中，以點C為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交CD、BC于點F、G，再分別以點F、G為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點H，作射線CH交AD于點E，連接BE，若DE＝5，AE＝3，BE＝4，則CE的長為（

）A．