第1章 三角形的證明 最值問題 2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)北師版八下三角形的證明最值問題一、單選題1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6，面積是24，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDG周長(zhǎng)的最小值為（）A．11 B．12 C．13 D．142．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，AG是底邊BC上的高，在AG的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，連接CD，作∠CDE=150°，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠CDE的角平分線交AB邊于點(diǎn)F，則在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，線段EF的最小值(

)A．6 B．4 C．3 D．23．如圖，△ABC中AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長(zhǎng)度(

)A．EF B．AB C．AC D．BC4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M、N，再分別以M、N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線AG交BC于點(diǎn)D．已知BD=5，CD=3，P為A．2 B．3 C．5 D．85．如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，P點(diǎn)為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△ABP周長(zhǎng)的最小值是（A．9 B．8 C．7 D．67．如圖，已知OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，PH⊥OB于點(diǎn)H，Q是射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如PH=5，則PQ長(zhǎng)的最小值為（

）A．10 B．5 C．3 D．2.58．如圖，∠ABN=60°，點(diǎn)C為射線BN上一定點(diǎn)，E為線段AB延長(zhǎng)線上一定點(diǎn)，且BE=AB=12，點(diǎn)A關(guān)于射線BN對(duì)稱點(diǎn)為D，連接BD，CD，DE，若P為直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PDE周長(zhǎng)的最小值為（

A．12 B．24 C．36 D．489．如圖，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC于D,AD=3.5cm，點(diǎn)P,Q分別為AB,AD上的兩個(gè)定點(diǎn)，且BP=AQ=2cm，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則A．2cm B．3cm C．4cm10．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段

A．6 B．12 C．8 D．411．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A0,4，直線l：y=kxk>0與x軸相交所成的銳角為75°．若P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，M，N是l上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MP+PN的最小值為（A．22 B．23 C．4 12．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP，在DP的下方作等邊三角形DPE，連接CE，則CE最小值是（

）A．3 B．2 C．1.5 D．113．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值的是（

A．BC B．CD C．CE D．AC14．如圖：在ΔABC中，AB=AC=15，BC=18，ΔABC的中線AD=12，P、E分別是AD、AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BP+EP最小值是（

A．12 B．9 C．8 D．7215．如圖，已知在等邊△ABC中，AD⊥BC，AB=83，若點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)12AP+BP

A．43 B．83 C．10 16．在四邊形ABCD中，∠ABC=60°，∠BCD=45°，BC=23+2，BD平分∠ABC，若P，Q分別是BD，

A．23+2 B．3+3 C．217．如圖，△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D在BC邊上，且將△ABC沿著AD折疊，點(diǎn)B剛好落在AC邊上的點(diǎn)E處，P是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若CE=1，則△PCE的周長(zhǎng)最小值為（

）

A．3+3 B．2+3 C．4+318．如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面積為12，CD⊥AB于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接BP，PD，則△PBD的周長(zhǎng)的最小值是（

）

A．6 B．7 C．10 D．1219．如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則BP的最小值是（

）

A．4.8 B．5 C．5.5 D．620．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，AD=3，若P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，則線段DP的最小值是（

）

A．3 B．2.4 C．4 D．5二、填空題21．如圖，在等邊△ABC中，AB=6，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF、CF，則FB+FD的最小值為．22．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=2，點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上，CE<CB，過點(diǎn)E作BC的垂線交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若EF+ED=2AC，連接BF，CF，則BF+CF的最小值為．23．如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形中，若點(diǎn)M是高AD所在直線上一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊在直線CM的下方畫等邊三角形CMN，連結(jié)接DN，則DN長(zhǎng)度的最小值為．

24．如下圖，在等腰△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，BE平分∠DBC,M、N分別為射線BE、BC上的動(dòng)點(diǎn)，若BD=10，則CM+MN的最小值為．25．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD是∠BAC的平分線且AD=8，若P、Q分別是AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．26．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，BD是∠ABC的平分線，若P，Q分別是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是27．在△ABC中，AB=AC=26，BC=20，若點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)，則CP的最小值是28．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，直線AF⊥BC于F，點(diǎn)D是直線AF上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊在BD的右側(cè)作等邊△BDE，連接EF，則EF的最小值為29．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，如果在AB和AC上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)，且在移動(dòng)時(shí)保持AN=BM．若BC=82，則MN最小值為30．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E和點(diǎn)D分別在AB和AC邊上，∠AED=∠ACB，ED=CD，連接BD，點(diǎn)F和點(diǎn)G分別是線段BD和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB=4，△ABC的面積是6，則FG+CF的最小值是．31．如圖，在等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為AB，AD上的點(diǎn)，BP=AQ=3，QD=2，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，則PE+QE的最小值為．32．如圖，∠AOB=30°,OC平分∠AOB，點(diǎn)P為射線OC上一點(diǎn)，OP=6，點(diǎn)M,N分別為OA,OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值為．33．如圖，等腰三角形ABC的面積為12，其中AB=AC，底邊BC=6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接CM、DM．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，△CDM的周長(zhǎng)的最小值為．34．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E、F在射線AC與射線CB上運(yùn)動(dòng)，且滿足AE=CF，則在運(yùn)動(dòng)過程中△DEF面積的最小值為．35．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，M為EF上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+DM的最小值為．36．如圖，在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，若BC=10,BD=6，點(diǎn)E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，DE37．已知，如圖，AB=8，P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PB為邊作等邊三角形PBC，在射線PC上取PD=PA，連接AD，BC，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M，N之間的距離的最小值為．38．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2，則線段EF+CF的最小值為．39．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以BC為邊，在BC上方作等邊△DCB,E,F分別為邊AC,AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．若BC=6，則DE+DF的最小值為

40．如圖，△ABC中，∠A=30°,BC=3，△ABC的面積12．點(diǎn)D、E、F分別是三邊AB,BC,CA上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為．

三、解答題41．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1cm的速度向終點(diǎn)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，線段BP把△ABC的面積平分？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP為等腰三角形？(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，在AB邊上是否存在一點(diǎn)D,使得PD+PB最??？若存在，請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．42．如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB．若AB=7cm，△MBC的周長(zhǎng)是12cm(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P是直線MN上的一點(diǎn)，直接寫出PB+PC的最小值為______cm．43．如圖1，在等邊三角形ABC中，AB=12，點(diǎn)E,F分別在邊AC,BC上，且AE=BF=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)沿射線FC運(yùn)動(dòng)，以EP為邊向右側(cè)作等邊三角形EPM，連接CM．(1)求證：△EFC是等邊三角形；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段FC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求EC與PC,CM之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段FC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)．①∠ACM=__________度；②當(dāng)EP⊥CM時(shí)，求FP的長(zhǎng)；(4)連接BM，直接寫出BM+EM的最小值．44．已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為邊在直線AD右側(cè)作等邊△ADE．(1)如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，連接CE，若AB=4，且CE=1，求線段AD的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，求證：CF=AF+CD；(3)如圖3，若AB=8，點(diǎn)D在射線BC上運(yùn)動(dòng)，取AC中點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)直接寫出EG的最小值．45．某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線l上存在點(diǎn)P，使得PA+PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P請(qǐng)利用上述模型解決下列問題：(1)幾何應(yīng)用：如圖2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為；(2)幾何拓展：如圖3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一點(diǎn)M、N使CM+MN的值最小，畫出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說明理由．46．如圖，△ABC為等邊三角形，AD⊥AB，AD=DC=4，AC，BD相交于點(diǎn)(1)求證：BD垂直平分AC；(2)求BE的長(zhǎng)；(3)若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD上，則PC+PF的最小值為______．（直接寫出結(jié)果）．47．已知△ABC為等邊三角形．(1)如圖1，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE，求證：△ABD≌(2)如圖2，以AC為腰作等腰直角三角形ACD，取斜邊CD的中點(diǎn)E，連接AE，交BD于點(diǎn)F．求證：BF=AF+DF．(3)如圖3，若AB=3，點(diǎn)P是邊AC上一定點(diǎn)且AP=23，若點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DP為邊向右側(cè)作等邊△DPE，連接CE、BE，直接寫出48．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，M是直線EF上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)MD⊥BC時(shí)，①若ME=1，則點(diǎn)M到AB的距離為________；②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周長(zhǎng)；(2)若BC=8，且△ABC的面積為40，求△CDM周長(zhǎng)的最小值．49．已知：等邊△ABC中，AB=7，AD⊥BC于點(diǎn)D，以BE為邊，在BE下方作等邊△BEF．

(1)請(qǐng)直接寫出線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系；(2)若點(diǎn)E在射線AD上，且在△ABC的外部，AE與CF的關(guān)系是否還存在，并說明理