2021年中考數(shù)學模擬試題51(解析版)

2021年中考數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.下列算式中，運算錯誤的是（）

A.瓜三#>=近B.ex逐=店

C.小+也=弧D.（一回2=3

【答案】C

【解析】

根據(jù)二次根式的加減法則，乘法，除法，乘方法則計算判斷即可.解：0764-73=72,正確,

團A選項不合題意；

回百x6=JB，正確，

0B選項不合題意；

E）J7+G，無法計算，

回C選項符合題意；

團-（一6）2=3,正確，

0D選項不合題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查了二次根式的混合運算，熟記二次根式運算的基本法則是解題的關(guān)鍵.

2.下列算式能用平方差公式計算的是（)

A.(3a+b)(3b-a)

C.(x—y)(—x+y)D.(-a-b)(a+b)

【答案】B

【解析】

平方差公式為：(a+b)(a-b)=aJb2,其特點是等式左邊有兩項完全一樣，有兩項是相反數(shù)關(guān)系，據(jù)此可解.解：

A：沒有兩項完全相同，也沒有兩項屬于相反數(shù)，故不能用平方差公式計算；

B：1和-'是相反數(shù)，-1和-1是相同項，故可以用平方差公式計算；

33

C：x與-x是相反數(shù)，-y與y也是相反數(shù)，故不能用平方差公式計算；

D：-a和a是相反數(shù)，-b和b也是相反數(shù)，故不能用平方差公式計算；

綜上，只有選項B符合題意.

故選：B.

【點睛】

本題考查了平方差公式的形式識別，明確等式左邊的特點，是解題的關(guān)鍵.

3.甲乙兩個超市為了促銷一種定價相等的商品，甲超市連續(xù)兩次降價10%,乙超市一次性降價20%,在哪

家超市購買同樣數(shù)量的這種商品最合算()

A.甲B.乙C.相同D.不能確定

【答案】B

【解析】

此題可設原價為x元，分別計算出兩超市降價后的價錢，再比較即可.解：設原價為x元，則甲超市價格為

xx(1-10%)x(1-10%)=0.81x

乙超市為xx(1-20%)=0.8x,

0.81x>0.8x,所以在乙超市購買合算.

故選：B.

【點睛】

本題考查列代數(shù)式，分別計算降價后的價格是原價的百分之多少是解題關(guān)鍵.滲透了轉(zhuǎn)化思想.

4.如圖，在中，NR4C=9()O,AO_LBC于點。，若30:8=3:2,則tanND4c的值為()

A.2B.旦C.與D.巫

3323

【答案】B

【解析】

先根據(jù)題目已知條件推出△ABOGl,CAD,則可得ND4c=/8,然后根據(jù)8D:CE>=3:2,設E)=3x,

C0=2x,利用對應邊成比例表示出AO的值，進而得出tanNZMC的值，團在RLABC中，NB4C=90°,

0ZB+ZC=9O°,

團AT>，8C于點O，

^ZB+ZBAD=90°,ZC+ZDAC=9Q0

S1NBAD=NC,ZB=ZDAC,

0RtAABDE).-.C4D,

BDADnn7

a——=——，即，AD2^BDCD,

ADCD

團3￡>:CD=3:2,

自設3O=3x,CD=2x,

團AD=\j3x-2x=V6x，

=，r小…ADv6xV6

0tanZ.B=tanZ.DAC=--=----=—>

BD3尤3

故選：B.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、相似比、銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

根據(jù)垂直證明三角形相似，根據(jù)對應邊成比例求邊長.

5.已知x>y,則下列不等式成立的是（）

A.-2.x>~2.yB.x-3>y—2c.5-x〉5-yD.3x-3>3y—3

【答案】D

【解析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐一判斷選項，即可.解：0X>y,^-2x<-2y,故A選項不成立,

Eix>y,ax-2>y-2,故B選項不成立，

回*>丫，E5-x<5-y,故C選項不成立，

回》>>,^3x-3>3y-3,故D選項成立,

故選D.

【點睛】

本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

6.若一次函數(shù)丫=丘+匕ck,匕都是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則一次函數(shù)y=的圖象

大致是（）

【答案】B

【解析】

根據(jù)一次函數(shù)丫=履+6圖像在坐標平面的位置，可先確定火力的取值范圍，在根據(jù)攵乃的取值范圍確定一

次函數(shù)丁=麻+左圖像在坐標平面的位置，即可求解.根據(jù)一次函數(shù)y=經(jīng)過一、二、四象限，則函

數(shù)值y隨X的增大而減小，可得攵＜0；圖像與y軸的正半軸相交則6＞0,因而一次函數(shù)＞=灰+女的一

次項系數(shù)〃＞o,y隨工的增大而增大，經(jīng)過一三象限，常數(shù)攵＜o,則函數(shù)與y軸的負半軸，因而一定經(jīng)

過一、三、四象限，

故選：B.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知函數(shù)圖像的位置確定左力的取值范圍.

7.為了讓市民享受到更多的優(yōu)惠，相關(guān)部門擬確定一個折扣線，計劃使30%左右的人獲得折扣優(yōu)惠.某市

針對乘坐地鐵的人群進行了調(diào)查.調(diào)查小組在各地鐵站隨機調(diào)查了該市1000人上一年乘坐地鐵的月均花費

（單位：元），繪制了頻數(shù)分布直方圖，如圖所示.下列說法正確的是（）

①每人乘坐地鐵的月均花費最集中的區(qū)域在60-80元范圍內(nèi)；

②每人乘坐地鐵的月均花費的平均數(shù)范圍是40-60元范圍內(nèi)：

③每人乘坐地鐵的月均花費的中位數(shù)在100-120元范圍內(nèi)；

④乘坐地鐵的月均花費達到100元以上的人可以享受折扣.

A.①④B.③④C.①③D.①②

【答案】A

【解析】

根據(jù)頻數(shù)分布直方圖中的數(shù)據(jù)，求得平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，即可得出結(jié)論.①根據(jù)頻數(shù)分布直方圖，可

得眾數(shù)為60-80元范圍，所以每人乘坐地鐵的月均花費最集中的區(qū)域在60-80元范圍內(nèi)，故①正確；

②每人乘坐地鐵的月均花費的總數(shù)為

20x20+80x40+160x60+240x80+200x100+100x120+80x140+50x160+25x180+25x200+15x220

+5x240=87600,則平均數(shù)=------=87.6元，所以每人乘坐地鐵的月均花費的平均數(shù)范圍不在40-60

1000

元范圍內(nèi)，故②錯誤；

③每人乘坐地鐵的月均花費的中位數(shù)約為80,不在100-120元范圍內(nèi)，故③錯誤；

④為了讓市民享受到更多的優(yōu)惠，使30%左右的人獲得折扣優(yōu)惠，則乘坐地鐵的月均花費達到1（）0元以上

的人可以享受折扣，故④正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查了頻數(shù)分布直方圖，平均數(shù)，中位數(shù)以及眾數(shù)的應用，注意求中位數(shù)時需要將數(shù)據(jù)排序是解題的

關(guān)鍵.

8.已知拋物線丁=/+皿+〃與x軸只有一個公共點，且過點—6,與，則b的值為()

A.4B.2C.6D.9

【答案】D

【解析】

根據(jù)拋物線y=x2+mx+n與x軸只有一個公共點，可知即0,從而可以得到m與n的關(guān)系，再根據(jù)拋物線

y=x2+mx+n過點A(a,b),B(a-6,b),可以得到a和m的關(guān)系，從而可以求得b的值.解：切拋物線y=x2+mx+n

與x軸只有一個公共點，

0S=m2-4xlxn=m2-4n=O,

0n=—m2,

4

團拋物線y=x2+mx+n過點A(a,b),B(a-6,b),

0b=a2+ma+n,b=(a-6)2+m(a-6)+n,

0a2+ma+n=(a-6)2+m(a-6)+n,

tn

化簡，得a=3-'，

2

rC加、,c團1,

Sb=a2+ma+n=(3-----)2+mx(3-------)+—m2=9,

224

故選：D.

【點睛】

本題考查拋物線與X軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出b的值.

9.如圖，點A,8,。,力在。。上，AC是。的直徑，若NC4O=25"，則NA3D的度數(shù)為(

A.25°B.50°C.65°D.75°

【答案】C

【解析】

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NAZ)C=9O°,利用直角三角形兩銳角互余得到NACP=65°,根據(jù)同

弧所對的圓周角相等即可求解.解：回AC是。的直徑，

0ZADC=9O°,

0ZC4T>=25°,

團NAQ)=90°-NC4D=65°,

^ZABD=ZACD=65°,

故選：c.

【點睛】

本題考查圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到NA￡>C=900是解題的

關(guān)鍵.

10.已知直線x=l是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是實數(shù)，且"0)的圖象的對稱軸，點A(xi,力)和

點8(X2,/2)為其圖象上的兩點，且yi<y2,()

A.若X1<X2,貝X1+X2-2<0B.若X1<X2,貝X1+X2-2>0

C.若xi>X2,貝Ua(X1+X2-2)>0D.若xI>X2,則a(xi+xz-2)<0

【答案】D

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和題目中的條件，可以判斷各個選項中的式子是否正確，從而可以解答本題.解：0-

次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是實數(shù)，且"0)的圖象的對稱軸，點A(xi,yi)和點B(X2,y2)為其圖象

上的兩點，且yi<V2,

回若a>0,玉<1<々，則可能出現(xiàn)玉+々-2>0,故選項A錯誤；

若a<0,x,<x2<l,則XI+X2-2V0,故選項B錯誤；

若a>0,x2<x,<1,則X1+X2-2V0,則a(xi+X2-2)<0,故選項C錯誤；

若a>0,xi>X2,則X1+X2-2V0,則a(xi+xz-2)<0；

若a<0,xi>X2,貝ijX1+X2-2>0,貝Uo(xi+xz-2)<0；

故選項D正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)解答.

二、填空題

f—4

11.當％=時，分式^_^值為零.

x—2

【答案】-2.

【解析】

根據(jù)分式值為零及分式成立的條件求解即可.解：要使分式為零，則分子x2-4=0解得：x=±2,

而x=-2時，分母x-2=-4x0,

x=2時分母x-2=0,分式?jīng)]有意義，

所以x的值為-2.

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查了分式值為零的條件，分母為零分式無意義，分子為零且分母不為零分式的值為零.

12.如圖，直線a〃方，直線C與直線a、b相交.已知Nl=112°,N2=34°,則N3=度.

【答案】34

【解析】

先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N4=N1=112。，再根據(jù)角的和差即可得.如圖，a//b,Z\=U2°,

.?.Z4=Z1=112°,

N2=34°,

...N3=180°—N4—N2=180°—112°—34°=34°，

故答案為：34.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.若多項式2m—〃的值為3.則4加一2〃+2的值是.

【答案】8

【解析】

依據(jù)等式的性質(zhì)求得4m-2n的值，然后代入計算即可.解：02m-n=3,

04m-2n=6.

04m-2〃+2=6+2=8.

故答案為：8.

【點睛】

本題考查了求代數(shù)式的值，利用等式的性質(zhì)得到4m-2n的值是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，A3是：）0的直徑，AB=4，（:為AB的三等分點（更靠近A點），點P是。上一個動點,

取弦AP的中點D,則線段CD的最大值為.

【答案】73+1

【解析】

如圖，連接。D,0C,首先證明點。的運動軌跡為以A。為直徑的回K,連接CK,當點。在CK的延長線上時,

CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題.解：如圖，連接。D,0C

P

附D=OP,

國0DaPA,

團蜘。。=90°,

田點D的運動軌跡為以40為直徑的歌，連接CK,AC,

當點D在CK的延長線上時，CD的值最大，

配為A3的三等分點，

的3=60°,

團M0C是等邊三角形，

國C股］04

在RtOOCK中，aaCOA=60°,OC=2,OK=1,

團CK=Jcc2—CK?=6,

1

回DK=—。4=1,

2

團8=6+1,

國CD的最大值為6+1,

故答案為：-^3+1-

【點睛】

本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點D的運動軌

跡，學會構(gòu)造輔助圓解決問題.

15.在不透明的口袋中有若干個完全一樣的紅色小球，現(xiàn)放入10個僅顏色不同的白色小球，均勻混合后,

有放回的隨機摸取30次，有10次摸到白色小球，據(jù)此估計該口袋中原有紅色小球個數(shù)為.

【答案】20

【解析】

利用頻率估計概率，設原來紅球個數(shù)為x個，根據(jù)摸取30次，有10次摸到白色小球結(jié)合概率公式可得關(guān)

于x的方程，解方程即可得.設原來紅球個數(shù)為x個,

則E-有---1-0--=—10)

x+1030

解得，x=20,

經(jīng)檢驗x=20是原方程的根.

故答案為20.

【點睛】

本題考查了利用頻率估計概率和概率公式的應用，熟練掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解

題的關(guān)鍵.

16..ABC。中，CD=2,BC=4,80=26，對角線AC,8D交于點。，將一CDO繞點。順時針旋

轉(zhuǎn)，使點。落在上。'處，點C落在C'處，交AD于點P,則的面積是.

【答案】立

3

【解析】

過點。作OE_L4），作D'GYOC,E，G，尸為垂足，根據(jù)CD=2,BC=4,8。=2百，

可證A3CD是直角三角形，ZE>BC=30°,可求回C'D'O各邊長，以及G。'的長，由OE//CF可求OP的

長，即可求AOPD的面積.解：過點。作。作CAO,D'GrOC',E,G,尸為垂足，

8=2,BC=4,80=25

CD2+BD2=4+12=16，

BC?=16,

：.CD2+BD2=BC2-

...NBDC=90°,

.fCD1

sinZ.DBC==—,

BC2

:.ZDBC=30°,

-A88是平行四邊形，

DO=y/i=BO<CO^AO,AD//BC,

:.ZADB=ZDCB=30P,

在RtADCO中，CO=y/CD2+DO2=y/l,

■■旋轉(zhuǎn)，

：.DO=D'O=6C'D'^2,400=90°,C'O=CO=y[l

ZDDTO=ADDO=30°,OEVAD,

:.ZCDfD=60°,OE=-DO=—,

22

CFA.AD,NC7)'O=60°,

:.ZD'Cf^30P,

：.DF=^C'D'=\,C'F=6DF=g，

SCD.O=5xC'D'xOD'=-xC'OxGD',

7

OE1AD,C'F±AD,

:.OEHC'F,

G

OEOPT__1,

~CF~~CP^^/3~2

且OP+C'P=OC'=S，

:.0P=-,

3

11V72向百

..S.=—xOnpPxGD=—x——x----=——，

AOPD22373

故答案為正..

3

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解

決問題.

三、解答題

Xr—1

17.對于方程---------=1,某同學解法如下：

23

解：方程兩邊同乘6,得3x-2(x-1)=1①

去括號，得3x-2x-2=l②

合并同類項，得X-2=1③

解得x=3④

團原方程的解為x=3⑤

(1)上述解答過程中的錯誤步驟有(填序號)；

(2)請寫出正確的解答過程.

【答案】(1)錯誤步驟在第①②步.(2)x=4.

【解析】

(1)第①步在去分母的時候，兩邊同乘以6,但是方程右邊沒有乘，另外在去括號時沒有注意到符號的變

化，所以出現(xiàn)錯誤；

(2)注重改正錯誤，按以上步驟進行即可.解：(1)方程兩邊同乘6,得3x-2(x-1)=6①

去括號，得3x-2x+2=6②

團錯誤步驟在第①②步.

(2)方程兩邊同乘6,得3x-2(x-1)=6

去括號，得3x-2x+2=6

合并同類項，得x+2=6

解得x=4

回原方程的解為x=4

【點睛】

本題考查的解一元一次方程，注意去分母與去括號中常見錯誤，符號也經(jīng)常是出現(xiàn)錯誤的原因.

18.某校九(1)班同學在街頭隨機調(diào)查了一些騎共享單車出行的市民，并將他們對各種品牌單車的選擇情

況繪制成如下兩個不完整的統(tǒng)計圖(4摩拜單車；8：。加單車；C：HelloBike).請根據(jù)圖中提供的信息，

解答下列問題：

(1)求出本次參與調(diào)查的市民人數(shù);

(2)將上面的條形圖補充完整;

（3）若某區(qū)有10000名市民騎共享單車出行，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)估計該區(qū)有多少名市民選擇騎摩拜單車出行？

【答案】（1）200人；（2）答案見解析；（3）3000名.

【解析】

（1）根據(jù)B品牌人數(shù)與所對應的百分比，計算可得總?cè)藬?shù).

（2）總?cè)藬?shù)分別乘A、D所占百分比，求出其人數(shù)，補全圖形.

（3）總?cè)藬?shù)乘樣本中A的百分比即可得.解：（1）本次參與調(diào)查的市民人數(shù)80+40%=200（人）；

（2）A品牌人數(shù)為200x30%=60（人），。品牌人數(shù)為200x15%=30（人），

補全圖形如下：

（3）10000x30%=3000（人），

團估計該區(qū)有3000名市民選擇騎摩拜單車出行.

【點睛】

本題考查條形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解題關(guān)鍵.

19.己知：如圖，在,ABC的中，是角平分線，E是A。上一點，且A3:=AO.

求證：（1）AABE^AACD.

（2）友見是等腰三角形.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用兩邊對應成比例、夾角相等的兩個三角形相似證明回ABE甌ACD,即可證明：

（2）利用得出N3=N4,再根據(jù)平角的定義得出N3ED="DE,進而得出結(jié)論.證

明：（1）0AO是角平分線，

回N1=N2，

又回A3:AC=AE:A￡）,

0/\ABE^Z^ACD,

（2）0AABE^AACD.

回N3=N4,

0180°-03=180°-134,

即NBED=NBDE,

田BE=BD.

即團BDE是等腰三角形.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

20.函數(shù)學習中，自變量取值范圍及相應的函數(shù)值范圍問題是大家關(guān)注的重點之一，請解決下面的問題.

(1)分別求出當2Wx<4時，兩個函數(shù)：y=2x+l,y=2(x—1『+1的最大值和最小值；

2

(2)若丁=一的值不大于2,求符合條件的x的范圍；

X

(3)若y=X(%H0),當，2(X0())時既無最大值，又無最小值，求a的取值范圍.

X

【答案】(1)y=2x+l的y最小=5,y最大=9,y=2(x-l)?+l的y最小=3,y最大=19；(2)x<0或xNl；

(3)a<0.

【解析】

(1)結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出：當2次“時，y=2x+l的最大值和最小值；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

得出：當2Wx"時，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值；

2

(2)令y=—?2,解之即可得出x的取值范圍；

X

(3)分別從以下兩種情況分類討論：①當k>o時，如圖得當o<xc時，得到y(tǒng)=2無最大值，有最小值

X

—,同理當a<0時，且a4x<0時，得到y(tǒng)V"有最大值“，無最小值，②當k<0時，如圖得當0<xS2時，

2aa

y=&無最小值，有最大值K,同理當a<0時，且a<x<0時，然K有最小值與，無最大值，于是得到結(jié)論.解:

22aa

(1)Ely=2x+l中左=2>0,

如隨x的增大而增大，

回當尤=2時，y城小=5；

當x=4時，yst大=9.

田y=2(%一1)2+1中。=2>0,且拋物線的對稱軸為尤=1,

回當x=2時，y城小=3；

當x=4時，丫最大=19.

2

（2）令y=一<2,

x

解得：了<0或121,

團符合條件的x的范圍為％<0或xNl.

（3）如圖所示，從下面兩種情況進行討論:

2kk

①當k>0時，如左圖得當0Vx?2時，y=一無最大值，有最小值一，同理當aV0時，且aWxVO時，yW—

x2a

有最大值公,無最小值；

a

2kk

②當kVO時，如右圖得當0Vx42時，y=—無最小值，有最大值一，同理當a<0時，且aVxVO時，y《一

x2a

有最小值無最大值，

a

k

回當kVO,aV0時，此時，y=—（女工0）既無最大值，又無最小值，

x

綜上所述，a的取值范圍是aVO.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次（二次）函數(shù)的性質(zhì)

解決最值問題，根據(jù)題意找出相關(guān)數(shù)量關(guān)系列出不等式進行求解.

2L如圖，在工ABC中，ZABC=90°,BA=BC.將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段A￡）,E是

邊上的一動點，連接DE交AC于點F,連接BE.

D

（1）求證：FB=FD;

（2）點H在邊破上（不含端點），且BH=CE,連接A4交BE于點N.請在答卷上將圖形補充完整并

解答：

①判斷A”與B/的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若一和尸的面積分別為a和b,求四邊形的面積（用含a和b的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）證明見解析；（2）?AH±BF，證明見解析；②a-2b.

【解析】

（1）證明回FAD雷FAB（SAS）即可解決問題；

（2）①首先證明四邊形ABCD是正方形，再證明EIBAHWCBF即可解決問題；

②設設S8HN=X，S四邊形，再根據(jù)回ABHI33DCE,0BCF00DCF,得出S如尸=S,尸=x+y+人，

進而求解.（1）證明：如圖1中，

圖1

BBA=BC,ZABC=90°,

31ZBAC=ZACB=45°,

團線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段A￡＞，

回NBM>=90°,84=AD,

E)NRW=NE4B=45。.

回AF=AF，

aFAD^,FAB(SAS),

國BF=DF.

(2)①解：結(jié)論：AH±BF.

理由：如圖2中，連接CO.

BHE°

圖2

^ZABC+ZBAD=1SO°,

^AD//BC.

EAD=AB=BC,

回四邊形ABC。是平行四邊形.

回NABC=90°,

回四邊形ABC。是矩形.

回AB=BC，

回四邊形ABC。是正方形.

回84=CD,ZABH=ZDCE,BH=CE,

?ABHaDCE(SAS),

叱BAH=NCDE,

0NFCD=NFCB=45°,CF=CF,CD=CB,

0CF哈.CFB(SAS),?NCDF=NCBF,

aABAH=NCBF,

ZCBF+ZABF=90°,

SZBAH+ZABF^9Q°，

回NAA?=90°,

&AHA.BF.

②如圖2,EIABHEBDCE,回BCF03DCF,

設SBHN~X，S四邊形EFNH=y>

則SBCF=SDQP=x+y+〃，

回S℃E=(x+y+b)+b=x+y+2b,

SABH=SABN+SBHN=a+X=S,nCE,

即a+x=x+y+2b,0y=a-2b.

【點睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解

決問題.

22.如圖，已知拋物線y=ar2+6x+c經(jīng)過A（0,4）,8（4,0）,。（一1,0）三點.過點A作垂直于V軸的

直線/.在拋物線上有一動點p,過點p作直線P。平行于y軸交直線/于點Q.連結(jié)從尸.

(1)求拋物線y=o?+為:+c的解析式；

(2)是否存在點P,使得以AAQ三點構(gòu)成的三角形與△AOC相似.如果存在，請求出點尸的坐標，

若不存在，請說明理由

(3)當點尸位于拋物線丁="2+法+。的對稱軸的右側(cè).若將APQ沿AP對折，點Q的對應點為點

M.求當點〃落在坐標軸上時直線AP的解析式.

【答案】(1)y=-x2+3x+4；(2)存在,(丁，—).(7,-24),(—1,0),(一,—；(3)y=x+4,

416416

y=-x+4,y=-2x+4

【解析】

(1)將A(0,4),5(4,0),C(—1,0)分別代入拋物線yuaf+H+c,列出方程組，即可求出函數(shù)解析式.

(2)當P在/下方時，令AAOCSAAQP,MOC^APQA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列比例式，求出點的

坐標；當P在y軸左側(cè)和/上方時，令AAOCSMQP,AAOCSAPQA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列比例式，

求出點的坐標；

(3)畫出函數(shù)圖形，利用三角形相似，求出P點坐標，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.解：(1)將40,4),

B(4,0),C(-l,0)分別代入拋物線y=ax2+bx+c^,

c=4

<16。+4b+c=0,解得〈。=3,

a-h+c=Oc=4

函數(shù)解析式為y=+3x+4.

(2)尸在/下方時，令①AAOCSAAQP,

AOCO41

而=而，即丁口，

由于y=-x2+3x+4,

41

則有提―4-（-V+3x+4），

解得x=0（舍去）或》=上，此時，＞=之，尸點坐標為（:，耳）.

416416

②AAOCsAPQA,AQ^PQ

~CO~~AO

畔W，

由于y=-x+3x+4t

4-(-x2+3x+4)

則有

14

解得，x=0（舍去）或x=7,P點坐標為（7,—24）.

③P在y軸左側(cè)時，令MOC^APQA,

絲二絲，即“I,

COAO14

y=-x2+3x+4,

.x-x2+3x+4-4

?.一=,

14

解得，x=0(舍去)或％=一1,P點坐標為(—1,0).

④P在/上方時，MOC^MQP,

AOCO41

---=---即—=-----

AQPQ99xy-4

4_1

??一=,

x-x+3x+4-4

解得，x=0(舍去)或》=口，尸點坐標為(U,§).

4416

(3)①如圖(1),若對稱點〃在y軸，則ZR4Q=45°,

設AP解析式為y=則％=1或一1,

當左=1時，把A(0,4)代入得y=x+4,

當人=一1時，把40,4)代入得y=-x+4,

此時P在對稱軸右側(cè)，符合題意，

「.y=%+4,或y=-x+4；

②如圖(2),若對稱點M在X軸,

設點。0,4),P(X,-X2+3X+4),則PQ="-3X=PM,

MEMs/\MFP.

,^AMMP

則n有——=——

MEPF

ME=OA=4,AM=AQ=x,PM=PQ=xi-3x,

.Xx1-?)x

"4"PF'

解得：PE=4x-12,

OM=(4x-12)-x=3x-12,

RtAAOM中，由勾股定理得。M2+QA2=,

222

.-.(3X-12)+4=X,解得％=4,X2=5,均在拋物線對稱軸的右側(cè),

故點P的坐標為(4,0)或(5,-6).

設一次函數(shù)解析式為丫=履+"

把(0,4)(4,0)分別代入解析式得

b=4b=4

43=。,解得

k=-i9

函數(shù)解析式為y=-x+4.

把(0,4)(5,-6)分別代入解析式得

b=4b=4

5k=-^解得

+bk=-2

函數(shù)解析式為y=-2x+4.

綜上所述，函數(shù)解析式為y=x+4,y=-x+4,y=-2x+4.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)、翻折變換、待定系數(shù)法求一次

函數(shù)解析式等，題目錯綜復雜，涉及知識面廣，旨在考查邏輯思維能力.

23.我們規(guī)定：對角互補的四邊形，若其中一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們就把這個四邊

形成為奇特四邊形.這條對角線稱之為奇特線.

(1)如圖1,四邊形A8CD是奇特四邊形，ADUBC(AD^BC),奇特線AC恰好平分EI8CD,求她的度數(shù).

(2)如圖2,四邊形A8C。內(nèi)接于回。，。?；谺C,AB=AD'求證：四邊形ABC。為奇特四邊形.

(3)在(2)的條件下，連接8D,AC,若AB=a,BD=b,請用含a,b的代數(shù)式表示AC.

EF

(4)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)8。并延長交CD于點E,交回。于點F,連結(jié)FC,設tan!3Fa?=x,——

=V，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】(1)08=72"；(2)見解析；(3)AC="J(4)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=工(1-x2).

a2

【解析】

(1)由奇特四邊形的定義得自BAD+EIBCD=180。，0B+fflD=18O°,由平行線的性質(zhì)得I3D+E]BCD=18O。，則EIB=E1BCD,

證出回ADC和團ABC為等腰三角形，ijE0DAC=0ACB=0ACD,則AD=CD,分三種情況，①當AB=AC時，②當AB=BC

時，③當AC=BC時，分別求解即可；

(2)連接BD,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得EIA+(3C=I3ABC+EIADC=：18O°,證出AB=AD,0D所在的直線垂直平分

BC,則BD=CD,進而得出結(jié)論；

(3)作DM?AB于點M,DN回AC于點N,證I3BMDEEICND(AAS),得BM=CN,由角平分線的性質(zhì)得AN=AM,

由三角函數(shù)得BM=CN=",進而得出答案；

2a

(4)連接BD,延長D。交BC于P、交團。于M,連接BM,由圓周角定理得團BCF=90。，證OP是團BCF的中

OEODBEDP

位線，HODC=0DCF,0DOF=0OFC,貝ljCF=2OP,0ODEEBFCE,得——=——，證——=——，由垂徑定理得

EFCFEF0P

0BDO=0CDO=I3FCD,貝|BP=DP?tan回FCD=DP?x,PM=BP?tan0FCD=DP*x2,