數(shù)學(xué)分析2期末考試題庫

數(shù)學(xué)分析2期末試題庫

《數(shù)學(xué)分析II》考試試題（1）

-、敘述題：（每小題6分，共18分）

1、牛頓-萊不尼茲公式

00

2、收斂的cauchy收斂原理

n-l

3、全微分

二、計(jì)算題：（每小題8分，共32分）

*

smtdt

1、--—

a。x4

2、求由曲線y=/和x=y之圍成的圖形的面積和該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體

積。

8Xn

3、求￡———的收斂半徑和收斂域,并求和

?=1〃（〃+1）

4、已知M=%z，求-----

dxdy

三、（每小題10分，共30分）

1、寫出判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性常用的三種方法并判別級數(shù)

2、討論反常積分「°的斂散性

3、討論函數(shù)列S"（x）=1爐xe（-0。,+8）的一致收斂性

四、證明題（每小題10分，共20分）

X]00

1、設(shè)居,0,—>1---（〃=1,2…），證明發(fā)散

居〃M

孫22

X+y^0

2、證明函數(shù)/（%,'）=《+y2在（0,0）點(diǎn)連續(xù)且可偏導(dǎo),

[0x2+y2=0

但它在該點(diǎn)不可微。，

《數(shù)學(xué)分析II》考試題（2）

一、敘述題：（每小題5分，共10分）

1、敘述反常積分J為奇點(diǎn)收斂的cauchy收斂原理

2、二元函數(shù)/（x,y）在區(qū)域〃上的一致連續(xù)

二、計(jì)算題：（每小題8分，共40分）

1、lim(-------1----------1-----1-----)

n+1n+22n

x=a(t-sint)

2、求擺線〈tG[0,2^-]與x軸圍成的面積

y-a(l-cost)

p+co1+X

3、求(q7v)------dx

J—81+X

8（r—IV

4>求賽級數(shù)~的收斂半徑和收斂域

n=l瞪

5、u=f(xy,-)，求粵-

yoxoy

三、討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分）

x—v2

l、/(x,y)=.......-；lim/(x,y)是否存在？

%+yxf0yf0yf。xf0(%,y)f(0,0)

為什么？

（?4-00arctanx

2、討論反常積分J。dx的斂散性。

oon3(V2+(-1)")"

3、討論E的斂散性。

n=l3"

四、證明題：（每小題10分，共20分）

rb

1、設(shè)/（x）在［a,勿連續(xù)，/（x）20但不恒為0，證明f{x}dx>0

Ja

2、設(shè)函數(shù)0和/可微'證明grad{uv)=ugradv\vgradu

《數(shù)學(xué)分析II》考試題(3)

五、敘述題：(每小題5分，共15分)

1、定積分

2、連通集

3、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致連續(xù)性

六、計(jì)算題：(每小題7分，共35分)

1、(sinQnx)dx

2、求三葉玫瑰線r=asin3，，?[0,不]圍成的面積

3、求犬〃=------cos-------的上下極限

2"+15

L6(X+1)〃

4、求第級數(shù)>--------的和

n=l乙

5、〃=/(x,y)為可微函數(shù)，求(二】產(chǎn)+(丁-在極坐標(biāo)下的表達(dá)式

oxdy

七、討論與驗(yàn)證題：(每小題10分，共30分)

2211

”、(x+y)sin—cos—xwO,"。,「、

1、已知/(%,丁)=(xy，求hm/(x,y)，問

0x=0或y=0

limlim/(x,是否存在？為什么？

xf0y-?0yf0xf0

2、討論反常積分「8p；gdx的斂散性。

YIX

3'討論力(%)=-----xG[0,1]的一致收斂性。

1+n+x

八、證明題：(每小題10分，共20分)

1、設(shè)/(x)在+8)上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，/(0)=0?記它的反函數(shù)f~x(y)，

證明￡/(x)Jx+￡/T(y)dy>ab(a>0,b>。)

0000

2、設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂

n-\n-1

《數(shù)學(xué)分析》（二）測試題（4）

—?判斷題（正確的打“一”，錯誤的打"x"；每小題3分，共15分）：

1.閉區(qū)間［。，”的全體聚點(diǎn)的集合是［。，“本身。

2?函數(shù)In卜+Jx?-1）是

/.在區(qū)間（1,+°o）內(nèi)的原函數(shù)°

vx2-1

3?若/（x）在［。，"上有界'貝U/（x）在［a,"上必可積。

4?若/（X）為連續(xù)的偶函數(shù),則F（x）=￡"亦為偶函數(shù)。

0010"

5?正項(xiàng)級數(shù)Z是收斂的。

（72+1）!

〃=1

二-填空題（每小題3分，共15分）：

1?數(shù)列1（一1）〃’一］的上極限為,下極限為

3n+l-----------------------

12n

222+22+......H------......—

-lim|n+ln+22.2

n—>oon+n

d”anx

3,—Icdt='

dx）。

8Xn

4?能級數(shù)Z——-的收斂半徑H=

n=l〃,3

5.將函數(shù)f（x）=x（-7r<x<7T）展開成傅里葉級數(shù),則a0

a”

b”

三?計(jì)算題（每小題7分，共28分）：

].fdx?e

2?xinxdx；

J/"+/o

廣+X2xdx

3?f0°—^dx；7

4

J。1+xx-l

四-解答題（每小題10分，共30分）：

1,求由拋物線y2=2x與直線y=x—4所圍圖形的面積。

00]

2?判斷級數(shù)Z（一1）"tan一是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？

n-1〃

oo^2n-\

3■確定賽級數(shù)y--的收斂域,并求其和函數(shù)。

,2/7-1

五-證明題（12分）：

05jnJ/IJC

證明：函數(shù)/（x）=Z—r~在J/，+8）上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù),并求/"（x）。

n-1曜

《數(shù)學(xué)分析》（二）測試題（5）

二?判斷題（正確的打“一”，錯誤的打“x”；每小題3分，共15分）：

1?設(shè)。為點(diǎn)集E的聚點(diǎn)，則awE。

是人在（一

2?函數(shù)In(x+J無2+1oo,+Q0）內(nèi)的原函數(shù)。

3?有界是函數(shù)可積的必要條件。

4-若/（X）為連續(xù)的奇函數(shù),則F（x）=亦為奇函數(shù)。

oo2

5?正項(xiàng)級數(shù)Z—是收斂的。

n=i2

二-填空題（每小題3分，共15分）：

1-數(shù)列{2+（-1）"}的上極限為,下極限為

222

n->oo\幾+nn+2nn+n

oo4〃

4?能級數(shù)y-5—xn的收斂半徑R=_____________。

n=\+1

5,將函數(shù)/（x）=（一乃<%<〃）展開成傅里葉級數(shù),則a0-

%

b.

三?計(jì)算題（每小題7分，共28分）：

3

x，2.爐dx；

1-f-----,dx；

J9+x2

3.rdx

2

」2%+X-2

四-解答題（每小題10分，共30分）：

1,求由兩拋物線y=x2與y=2-x2所圍圖形的面積。

00_|_J

2?判斷級數(shù)2（-1）1--是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？

n-l〃

3?確定能級數(shù)￡的收斂域，并求其和函數(shù)。

n=l

五?證明題（12分）：

仔、］__

證明：函數(shù)，（x）=Z—e1,2在［o,+oo）上連續(xù)。

n=l〃

《數(shù)學(xué)分析》(二)測試題(6)

一?判斷(2米7=14分)

()1.設(shè)/為/(%)在用上的極值點(diǎn)，則/'(/)=。

()2.若在司內(nèi):(x)之g'(x),/S)=gS),則對Vxe［a,勿，有y(x)Wg(x)

()3.若x為點(diǎn)集A的聚點(diǎn)，則必有XGA

()4.若產(chǎn)(%)連續(xù),則(J戶(%)dx)=戶(%)+C

，

(%2\

()5.若/(%)在［a,b］上連續(xù)，則f于(t)dt-f(x2)

va)

()6.若WX收斂，WA發(fā)散，則2(氏十勿)必發(fā)散

()7.若［a：收斂，則Za：必收斂

二?填空(3*7=21分)

1.已知(y(Inx))=2—%，貝曠(%)=

2-fsinA：ln(x2+V)dx=__________

J—〃

3.的(工)=卜R,貝”"(x—l)dx=_______

ex(x>0)J0

4.求limJj；sin/口=

5.求y=x3-x2+1的拐點(diǎn)坐標(biāo)（）

、.（111>

6.用定積分求lim------1--------1--,?H---------=__________

+1n+2n+nj

7.幕級數(shù)X—^—xn的收斂半徑R=

nx2n

三.計(jì)算（4*7=28分）（要有必要的計(jì)算過程）

1.[xexdx2.[—,dx

JJx4x^l

r1

3.arcsin^z/x

Jo

4-求曲線y=2-f與>=x所圍成的圖形的面積

四?判別級數(shù)的斂散性（2米9=18分）（要有必要的過程）

1弋2”"!

n=l〃

00n

2.判別X（—1）”二一y在（—8,+8）上是否一致收斂，為什么

n=i?+xz

五?證明：（9+10=19分）

1?設(shè)級數(shù)與都收斂，證明：￡見及絕對收斂

2?設(shè)/（%）在㈤上二階可導(dǎo)，f（a）=f'（b）=0-證明：存在一點(diǎn)力），使得

「（打27rl溜""一⑷

（b-a）

《數(shù)學(xué)分析》(二)測試題(7)

一?判斷(2米7=14分)

()1.設(shè)/'(/)=0，則同必為了(X)的極值點(diǎn)

()2.若在瓦|內(nèi)尸(無)》g'(x),/3)=g3),則對Vxe[a,句，有/(x)2g(x)

()3.若x為點(diǎn)集A的聚點(diǎn)，則x可能不屬于A

()4.若b(x)連續(xù)，則。F'(x)dx)=F(x)+C

，

()5.若/(x)在上連續(xù)，xe[-瓦一詞,則了⑺山)

=/J)

()6.若lim皿=/<1,則級數(shù)Z%,收斂

Un'

()7.幕級數(shù)至少存在一個收斂點(diǎn)

二-填空(3*7=21分)

1.已知(〃x+l)j=/—2,貝獷(x)=

,rlCOSX7/COSX7

2,已矢口I-1dx—A,貝!JI-,dx—

、門z、fx+1(%<0)

3.設(shè)/1(x)=|2z八、，貝—1"=________

x(x>0)Jo

,4r1「xl-COSf,

4.求lim—|----------dt=

%->o%J°t

三.計(jì)算（4*7=28分）（要有必要的計(jì)算過程）

1.xtaxdx2.一,dx3.fxarctanAz/x

JJx4x^lJo

4,求曲線y=J?從x=0至?。輝=l的弧長

四?判別級數(shù)的斂散性（2構(gòu)=18分）（要有必要的過程）

1寸1e+1丫?

8n

2.判別X（—1）”二一y在（一8,+8）上是否一致收斂，為什么

n=l/+/

五?證明：（9+10=19分）

1?設(shè)級數(shù)與都收斂>證明：￡（即+2）2收斂

2-若/(x)在［a,Z?］上連續(xù)，/(%)W0,『/(珠&=0,證明：/'(九)三0,e［a,b］

*a_

《數(shù)學(xué)分析》(二)測試題(8)

三?判斷題(正確的打“一”，錯誤的打“x”；每小題3分，共15分)：

1?開區(qū)間(。,6)的全體聚點(diǎn)的集合是(。,6)本身。

2-函數(shù)1111+J九2_1）是

1.在區(qū)間(1,+8)內(nèi)的原函數(shù)°

Vx2-1

3?若/(%)在［。，司上有界,則/(x)在［。，"上必可積。

4?若/(x)為［。，可上的連續(xù)函數(shù),則f(x)=/(/)(!/在［。，目上可導(dǎo)。

CO1

5?正項(xiàng)級數(shù)Z一是收斂的。

n=lR

二?填空題(每小題4分，共16分)：

一?r12n}

1.1叫」……+^wj=--------------

8Xn

3?第級數(shù)E——-的收斂半徑A二

n=l〃，3

4.將函數(shù)/（%）=x（一乃＜x＜乃）展開成傅里葉級數(shù),則a0=

三?計(jì)算題（每小題10分，共30分）：

nX/?+00X

1?f---y；2?fflnxdx；3?[-----dx；

J1-x2J1J。1+x4

四-解答題（每小題10分，共30分）：

1?求由拋物線y2=2x與直線y=x—4所圍圖形的面積。

00］

2?判斷級數(shù)Z（-1）'=是否收斂,若收斂,是絕對收斂還是條件收斂？

n=\n

3?確定賽級數(shù)Z的收斂域，并求其和函數(shù)。

n-\

五?證明題（9分）：

仔、］--

證明：函數(shù)y（x）=Z—e，在［0,+oo）上連續(xù)。

n=l〃

參考答案（1）

一、1、設(shè)/（x）在［a,b］連續(xù)>F（x）是/（%）在［a,b］上的一個原函數(shù)，貝,］成立

rb

［f（x）dx=F（Z?）-F（a）

Ja

2、X/e>03N>0,使得\/m>n>N>成立,用+an+2H+am\<e

3、設(shè)Ou&為開集，z=/（x,y）,（x,y）wZ）是定義在Z）上的二元函數(shù)，

玲（/，比）為。中的一定點(diǎn)，若存在只與點(diǎn)有關(guān)而與Ay無關(guān)的常數(shù)A和B，使得

Az=AAx+BAy+o（\?+八產(chǎn)）則稱函數(shù)/在點(diǎn)痣（%,%）處是可微的，并稱

AAx+BAy為在點(diǎn)々，（/，兒）處的全微分

二、1、分子和分母同時(shí)求導(dǎo)

2

[smtdt4

「2xsinx

Jo=g（8分）

lim二lim------——

x->0X6%-。6x5

2、、兩曲線的交點(diǎn)為（0,0），（1，1）（2分）

所求的面積為：-x2）dx=^（3分）

所求的體積為：7i\（%-%5）dx=—（3分）

Jo10

]

。/V5+1)(〃+2)1,

3、解：設(shè)/(x)=X-------‘lim-——今------二1，收斂半徑為1，收斂域

〃=in(n+1)…]

n(n+1)

[-11](2分)

8

/(x)=V--------------------ln(l-%),(0<|x|<1),

￡s+i)

XX

/(x)=\Xf\t)dt=1+---ln(l-x),(0<|x|<1)(3分)

Jox

產(chǎn)0級數(shù)為0,右1，級數(shù)為1，產(chǎn)T，級數(shù)為l-21n2(3分)

4、解：包二噂（3分）也=一心》+/，（5分）

dyzdxdyzx

三、1、解、有比較判別法，Cauchy,D,Alembert,Raabe判別法等（應(yīng)寫出具體的內(nèi)容4分）

5+1)!

lim(〃+?——=lim(l----)H=e~x(4分)由D'Alembert判別法知級數(shù)收斂(1分)

n—>oo〃！n—>00〃+]

nn

2、解：￡"x^e^dx=￡xp-le-xdx+pxp-lexdx(2分)，對，刀片7一工辦；，由于

JP/Te-xfI。f+0)故p>0時(shí),/表一7》收斂(4分)；Cxp~xe~xdx，由于

JOJI

x2xp~xe~xf0（%f+oo）（4分）故對一切的夕，九，一7一”辦:收斂，綜上所述0>0，積分

收斂

3、解：S〃（x）=Jx+）?收斂于x（4分）limsup|S八(％)-聞=0所以函數(shù)列

8M(9,欣)11

一致收斂性（6分）

四、證明題（每小題10分，共20分）

1、「13%4XnXnI2n-2II/i/、

I、證明：——----=—>——---7=---7%>----x2,(n>2)(6分)

%2%3%-I1223n-1n-1n—1

CO]

V--------發(fā)散,由比較判別法知級數(shù)發(fā)散（4分）

及=2〃—1

2、證明：0/y=區(qū)y/\xy|（4分）lim所以函數(shù)在（°,0）

J/x7+y2v（%,y）f（0,0）W+y

點(diǎn)連續(xù)，（3分）又lim工=0，/x（0,0）,/v（0,0）存在切等于0，（4分）但

-Ax

lim--_J不存在，故函數(shù)在（0，0）點(diǎn)不可微（3分）

（Ar,Aj）->（0,0）及2.2

參考答案（2）

1、VE>0.3>0,使得V0<d<&<b,成立ff（x）dx<￡

Ja-3X

2、設(shè)Du/??為點(diǎn)集，R機(jī)為映射，\/e>033>0,使得

V|xj-x2\<S,x1x2eD,成立<￡

二、1、由于一1一在［0，1］可積，由定積分的定義知（2分）

1+x

lim（----1-----------------1---------1-------）=lim—（----H----------—H------------------）=-----公=In2（6

co"+1n+22n?^°°n+￡1+―1+—」°1+%

nnn

分）

4、、所求的面積為：「,〃（1-COS%）2<&=3%/（8分）

JO

?+oo1+YrA1+Y

-----dx=limf-----dx=7i（3分）

M-l+X2A-MJ-A]+X2

4、解：lim1,r=l（4分）

n—>oo

由于產(chǎn)0，x=2時(shí)，級數(shù)均收斂,所以收斂域?yàn)椋?，2］（4分）

5、解:三小一*（3分）施（5分）

三、1、解、

limlim———=lim—=1,limlim———=lim—=0（5分）由于沿y=左元趨于（0，0）

%―。y->o%+y%-oxy-。x+yy-。y.

極限為」一所以重極限不存在（5分）

1+k

1

+ooarctanx,parctan%,c+^arctanx,“、、rarctanx,,

2、解：r--------dx=-------dx+-------dx（2分），對--------dx，由于

JoXPJoXPJlXPJoXP

+Q0

?iarctanx“八、「，「arctan%,,，、、rarctanx,.

xp--------->l（xf+0）故夕<2時(shí)--------dx收斂（4分）；--------dx，由于

xpxpJ】xp

?arctan%冗，、，，、、一「+00arctan%,,

xp------------>-（x-+8）（4分）故0>1---------辦:收斂，綜上所述1<小2，積分收

xp2力xp

斂

3、解：HmJn[V2+（-l）]=V2+1<1所以級數(shù)收斂（10分）

—Ko'3"3

四、證明題（每小題10分，共20分）

1、證明：由/（%）20但不恒為0，至少有一點(diǎn)/e[a,b]f（x）在[a,勿連續(xù)（2分），存

在包含友的區(qū)間[c,d]u[a,b]，有/(x)>0(4分)，Jf(x)dx>jf(x)dx>0(4分)

2、證明：以二元函數(shù)為例

grad(uv')-(uxv+vxu,uyv+vyii)-(uxv,uyv)+(vxu,vyu}-v(ux,uy)+u(vx,vy)-vgradu+ugradv

(10分)

參考答案(3)

一、1、設(shè)有定數(shù)/，\/￡>03J>0,使得對任意的分法

。=演）<西<…<x“=6和任意的點(diǎn)名e[x,T，x/，只要>1=111芯（加：]）<3，成立

l<i<n

f/CJAX]-/<￡

Z=1

2>S的任意兩點(diǎn)x，y之間，都存在S中的一條道路r，則稱S為連通集

3'V￡>O.mN（￡）>O,使得X/加>〃>N'成立|a〃+i+區(qū)任2H■■…+?,?|<s

二、1、/sin(lnx)dx=%sinIn%一1cos(lnx)Jx=esinl-ecosl+1-JsinQnx)dx

re1

(5分)Jjsin(lnx)Jx=—(esinl-^cosl+1)(2分)

2￡2

6、由對稱性知，所求的面積為：6x—I*2sin23OdO------(7分)

2J。4

__147r

7、解：上極限為0.59下極限為一cos—（7分）

25

收斂域?yàn)榧墧?shù)的和為一--(4分)，

1-x

5、解：設(shè)極坐標(biāo)方程為

x=rcos^,y-rsin0=urcos6+〃、，sin。=-rsin0uv+rcos0uy,

右kxydexy

(5分)(第，+(當(dāng)*約+」(2)2(2分)

oxoyorrot)

11

三、1、解、由于sin—cos—有界，％9+y?為無窮小，lim/(x,y)=0(5分)

xy(羽y)f(O,O)

limlim(x2+^2)sin—cos—=lim(limx2sin—cos—+limy1sin-cos而

-0y—0xyxf'0yf0yfs0X

211?ii

limxsin—cos—極限不存在limy-sin—cos一極限存在，故整體極限不存在,同理

yf。xyy-oxy

limlim/(x,y)不存在(5分)

y—>0x—>0

葉81fl1[,+81rl1

2----ax=-------dx+dx(2分)，對--------dx，

(oxp+xq-------Joxp+xq1xp+xqJ。xp+xq

由于xmin(/?,^)一-->1(%f+0)故min(p,q)v1時(shí)J一-dx收斂(4分)；

r—^—dx，由于+8)(4分)故

“X1xl+xq

p+co1

max(p,q)>l-------辦:收斂，綜上所述min(p,q)<1，max(p,q)>1時(shí)，積分收

力xp+xq

斂(2分)

2

X+X

3、解：limfn(x)=x=/(x)(3分)，limsud(x)-/(x)|=limsup二0

n—><x)n—>con—>oo1+n+x

所以函數(shù)列一致收斂(7分)

四、證明題(每小題10分，共20分)

1證明：當(dāng)Z?=/(〃)時(shí)，//(%)d九+1/T(y)辦=(<2>0,Z?>0)(4分)

當(dāng)Z?>/(〃)時(shí)，)/T(y)dy>(a>0,b>0)(3分)

當(dāng)b</(a)時(shí)，，(f(x)dx+^f~\y)dy>ab(a>0,/?>0)(3分)

00

2、證明：由于收斂，故limx”=0(2分)，于是,總存在三〃。使得“2々)時(shí)，

n-l00

0000

有0<x“<1，從而，當(dāng)〃2%時(shí)，有0<X；<X"(5分)，由于級數(shù)ZX”收斂‘當(dāng)然X%"

n-l〃=徇

0000

收斂,故級數(shù)Zx；收斂,從而2/也收斂(3分)

n=n0?=1

標(biāo)準(zhǔn)答案(4)

四?判斷題（正確的打“一”，錯誤的打“x”；每小題3分，共15分）：

1?/2?/3?x4-x5v

二?填空題（每小題3分，共15分）：

1-->--；2--ln2；3"e^'sec2x；4-3

J_」2_______________

5-a0=0，an=0.，么=（--

n

三?計(jì)算題（每小題7分，共28分）：

1-f———=f=arctan（e*）+C;

J尸+/Jl+-eI2x'）

（4分）（3分）

c「ere[12I12iIe1「e7lol2心

2?x\n.xdx=Inxd\—x=—%Inxl----xdx=—e--------x=

JiJi12J2112J12411

（4分）（3分）

b

3?dx=lim。占公=|limL4x2

1+x=TlimMCtan0

?1T人>4-00丁九乙/?-^+oo,丁人乙Z?-?+oo

n.

4

（2分）（2分）（2分）（1

分）

r2xdx產(chǎn)xdx0

4lim自I）'+2（xT）J=1

?fi+2兒3

（2分）（3分）（2分）

四?解答題（每小題10分，共30分）：

1,求由拋物線y2—2x與直線y=x—4所圍圖形的面積。

解：兩交點(diǎn)為（2,-2）,（8,4），則（3分）

（2\/2

S=Jy+4———dy———F4-y—―18

-2l）I26兒2

（3分）（3分）（1分）

8]

2?判斷級數(shù)Z（一1）"tan-是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？

n-1〃

解：設(shè)an=tan—>an>Q>貝an>an+l,4-0（"fco），（3

n

分）

00]

由Leibniz判別法知,級數(shù)Z（-1）"tan一收斂。（3

n-l〃

分）

1

tan-a,]

而由lim一廠"=1知，級數(shù)Ztan一發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂。（4

ms_n-\〃

n

分）

oo^2n-\

3?確定賽級數(shù)y--的收斂域，并求其和函數(shù)。

■2/7-1

lf+1

解：因?yàn)閘im四獸邛『‘所以（2

8\X

2n-l

分）

當(dāng)W<1時(shí)第級數(shù)絕對收斂，當(dāng)W>1第級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑H=1。（2

分）

又當(dāng)x=±l時(shí)氟級數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)椋èD1,1）。（2

分）

002?—1001

設(shè)S（x）=￡-----,貝U=fx?”—2=------,從而（2

〃=12〃-1念1-x

分）

S（x）ToVJdx=；ln產(chǎn)，xe（-l,1）=（2

Jol-x-21-x

分）

五?證明題（12分）：

證明：函數(shù)/（x）=X——在（-00,+00）上有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù),并求/"（X）。

n-l〃

證明：因?yàn)閄/X￡（—8,+8）,有

(sin〃%)(COS幾V)

sinnxcosnxsinnx<1

"41〃3-1,1n3J

分）

x-'111sinnxcossinnx

而級數(shù)Z/，Z/，Z/都收斂,故級二丁，自丁YIX，?丁

都在

（-8,+00）上一致收斂。（3

分）

又級數(shù)的每一項(xiàng)都是連續(xù)的，故由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的連續(xù)性和可微性知，

/(X),尸(x"(x)

都在（—00,+co）上連續(xù)，且（3

分）

/（x）=￡噌，〃（》）=一￡sinnx—/、

——--，VXG(-00,+00)。(2

n=l〃n-1n

分）

標(biāo)準(zhǔn)答案（5）

五?判斷題（正確的打“一”，錯誤的打“x”；每小題3分，共15分）：

1-x2v3?/4-x5v

二?填空題(每小題3分，共15分)：

1-3>1；2-1-ln2；3?esinxcosx；

4

5?許=萬，*=《―1)〃