傳熱學第二章 穩(wěn)態(tài)導熱

2024/4/51第二章穩(wěn)態(tài)導熱§2-1根本概念2024/4/52分析傳熱問題根本上是遵循經(jīng)典力學的研究方法，即針對物理現(xiàn)象建立物理模型，而后從根本定律導出其數(shù)學描述(常以微分方程的形式表達，故稱數(shù)學模型)，接下來考慮求解的理論分析方法。導熱問題是傳熱學中最易于采用此方法處理的傳熱方式。2024/4/53§2-1根本概念1溫度場(TemperatureField)①定義某一瞬間，空間(或物體內(nèi))所有各點溫度分布的總稱。溫度場是個數(shù)量場，可以用一個數(shù)量函數(shù)來表示。溫度場是空間坐標和時間的函數(shù)，在直角坐標系中，溫度場可表示為：t—為溫度;x,y,z—為空間坐標;

-時間坐標

2024/4/542024/4/552等溫面與等溫線①定義等溫面：溫度場中同一瞬間同溫度各點連成的面。等溫線：在二維情況下等溫面為一等溫曲線。tt-Δtt+Δt2024/4/56②特點a)溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交b)在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中止，它們或者是物體中完全封閉的曲面〔曲線〕，或者就終止與物體的邊界上c)物體中等溫線較密集的地方說明溫度的變化率較大，導熱熱流也較大。tt-Δtt+Δt2024/4/573溫度梯度〔Temperaturegradient〕溫度的變化率沿不同的方向一般是不同的。溫度沿某一方向x的變化率在數(shù)學上可以用該方向上溫度對坐標的偏導數(shù)來表示，即溫度梯度是用以反映溫度場在空間的變化特征的物理量。2024/4/58

系統(tǒng)中某一點所在的等溫面與相鄰等溫面之間的溫差與其法線間的距離之比的極限為該點的溫度梯度，記為gradt。

注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向2024/4/594付里葉定律(Fourier’sLaw)第一章中給出了穩(wěn)態(tài)條件下的付里葉定律，這里可推廣為更一般情況。熱流密度在x,y,z方向的投影的大小分別為：

t1

t20x

δndtdntt+dt2024/4/510關(guān)于傅立葉定律的幾點說明〔1〕"－"的意義:熱量傳遞指向溫度降低的方向〔2〕n:通過該點的等溫線上的法向單位矢量,指向溫度升高的方向〔3〕熱流方向總是與等溫線(面)垂直〔4〕引起物體內(nèi)部及物體間熱量傳遞的根本原因:溫度梯度〔5〕一旦物體內(nèi)部溫度分布，由傅立葉定律可求熱流量或熱流密度。因而,求解導熱問題的關(guān)鍵在于求解獲得物體中的溫度分布〔6〕傅立葉定理是實驗定律,是普遍適用的。不管是否變物性；不管是否有內(nèi)熱源；不管物體幾何形狀；不管是否穩(wěn)態(tài)；不管物質(zhì)的形態(tài)〔固，液,氣〕2024/4/5115導熱系數(shù)①定義傅利葉定律給出了導熱系數(shù)的定義:W/（m·℃

）單位溫度梯度下物體內(nèi)所產(chǎn)生的熱流密度。它表示物體導熱本領(lǐng)的大小。2024/4/512只要任意知道三個就可以求出第四個。由此可設(shè)計穩(wěn)態(tài)法測量導熱系數(shù)實驗。

2024/4/513②導熱系數(shù)的影響因素導熱系數(shù)是物性參數(shù)，它與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密切相關(guān)，例如物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等，與物質(zhì)幾何形狀無關(guān)。它反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。不同物質(zhì)的導熱性能不同：2024/4/514溫度低于350度時熱導率小于0.12W/(mK)的材料稱為保溫材料〔絕熱材料〕同一種物質(zhì)的導熱系數(shù)也會因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變。

一般把導熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關(guān)系來描述。2024/4/515

記住常用物質(zhì)的值:

2024/4/5165導熱微分方程〔HeatDiffusionEquation〕①一般形式付里葉定律：確定導熱體內(nèi)的溫度分布是導熱理論的首要任務(wù)。建立導熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標和時間變化的內(nèi)在聯(lián)系。

理論根底：傅里葉定律+能量守恒方程2024/4/517假設(shè)：(1)所研究物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；(2)熱導率、比熱容和密度均為(3)物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強度[W/m3];表示單位體積的導熱體在單位時間內(nèi)放出的熱量xyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz導入微元體的總熱流量+內(nèi)熱源的生成熱=導出微元體的總熱流量+內(nèi)能的增量2024/4/518xyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz導入微元體的總熱流量為導出微元體的總熱流量為根據(jù)付里葉定律2024/4/519xyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz單位時間內(nèi)能增量2024/4/520微元體內(nèi)熱源的生成熱為：最后得到：

xyzd

xdx+dxdydy+dydz+dzdz單位時間內(nèi)微元體的內(nèi)能增量〔非穩(wěn)態(tài)項〕擴散項〔導熱引起〕源項2024/4/521②導熱微分方程的簡化形式(a)導熱系數(shù)為常數(shù)時a稱為熱擴散率，又叫導溫系數(shù)。

(thermaldiffusivity)

2024/4/522熱擴散率a反映了導熱過程中材料的導熱能力〔〕與沿途物質(zhì)儲熱能力〔c〕之間的關(guān)系.a值大，即值大或c值小，說明物體的某一局部一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各局部溫度趨于均勻一致的能力，所以a反響導熱過程動態(tài)特性，是研究非穩(wěn)態(tài)導熱的重要物理量2024/4/523在同樣加熱條件下，物體的熱擴散率越大，物體內(nèi)部各處的溫度差異越小。2024/4/524(b)無內(nèi)熱源，導熱系數(shù)為常數(shù)時(c)常物性、穩(wěn)態(tài)泊?！睵oisson〕方程(d)常物性、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源拉普拉斯〔Laplace〕方程2024/4/525(e)

園柱坐標系和球坐標系的方程2024/4/5262024/4/5276定解條件導熱微分方程式的理論根底：傅里葉定律+能量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關(guān)系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界完整數(shù)學描述：導熱微分方程+單值性條件2024/4/528①幾何條件：說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等；②物理條件：說明導熱體的物理特征如：物性參數(shù)

、c和

的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；③初始條件：又稱時間條件，反映導熱系統(tǒng)的初始狀態(tài)④邊界條件:反映導熱系統(tǒng)在界面上的特征，也可理解為系統(tǒng)與外界環(huán)境之間的關(guān)系。2024/4/529〔Boundaryconditions〕邊界條件常見有三類(a)第一類邊界條件:給定系統(tǒng)邊界上的溫度值，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值一般形式：

tw=f(x,y,z,τ)

t=f(y,z,τ)

0x1x

穩(wěn)態(tài)導熱：tw=const；非穩(wěn)態(tài)導熱：tw=f(

)2024/4/530(b)第二類邊界條件:該條件是給定系統(tǒng)邊界上的溫度梯度，即相當于給定邊界上的熱流密度，它可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值一般形式：qw=f(x,y,z,τ)0x1x

特例：絕熱邊界面2024/4/531(c)

第三類邊界條件:該條件是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統(tǒng)邊界面與流體間的換熱系數(shù)和流體的溫度，這兩個量可以是時間和空間的函數(shù)，也可以為給定不變的常數(shù)值0x1x

其中n指向物體外法線方向，不管物體被加熱還是被冷卻，該式均適用2024/4/532導熱微分方程＋單值性條件＋求解方法

溫度場導熱問題求解方法：分析解法，試驗解法，數(shù)值解法.2024/4/533穩(wěn)態(tài)導熱直角坐標系:1通過平壁的導熱2024/4/534從平板的結(jié)構(gòu)可分為單層壁，多層壁和復(fù)合壁等類型。a.單層壁導熱b.多層壁導熱c.復(fù)合壁導熱2024/4/535①通過單層平壁的導熱o

xt1tt2直接積分，得：無內(nèi)熱源，λ為常數(shù)，并平壁的壁厚為，兩個外表溫度分別維持均勻而恒定的溫度t1和t22024/4/536帶入邊界條件：o

xt1tt2代入Fourier定律線性分布導熱熱阻2024/4/537假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認為接合面上各處的溫度相等②通過多層平壁的導熱多層平壁：由幾層不同材料組成例：房屋的墻壁—白灰內(nèi)層、水泥沙漿層、紅磚〔青磚〕主體層等組成t2t3t4t1qt1r1t2r2t3r3t4q2024/4/538總熱阻為：

t2t3t4t1q由和分比關(guān)系

t1r1t2r2t3r3t4推廣到n層壁的情況:

2024/4/539問：現(xiàn)在已經(jīng)知道了q，如何計算其中第i層的右側(cè)壁溫？第一層：

第二層：第i層：t2t3t4t1q2024/4/540③無內(nèi)熱源，λ不為常數(shù)(是溫度的線性函數(shù))λ0、b為常數(shù)最后可求得其溫度分布

2024/4/541二次曲線方程λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1

t20δx2024/4/542其拋物線的凹向取決于系數(shù)b的正負。當b>0，λ=λ0(1+bt)，隨著t增大，λ增大，即高溫區(qū)的導熱系數(shù)大于低溫區(qū)。Q=-λA(dt/dx)，所以高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較小，而形成上凸的溫度分布。λ=λ0(1+bt)b>0b<0t1

t20δx當b<0，λ=λ0(1+bt)，隨著t增大，λ減小，高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較大。2024/4/543采用另一種方法，即付利葉定律直接求解法：付利葉定律別離變量并積分得：將代入上式經(jīng)整理得到其中t1與t2平均溫度下的導熱系數(shù)2024/4/544④接觸熱阻在推導多層壁導熱的公式時，假定了兩層壁面之間是保持了良好的接觸，要求層間保持同一溫度。而在工程實際中這個假定并不存在。因為任何固體外表之間的接觸都不可能是緊密的。t1t2Δtxt此時，兩壁面之間只有接觸的地方才直接導熱，在不接觸處存在空隙。熱量是通過充滿空隙的流體的導熱、對流和輻射的方式傳遞的，因而存在傳熱阻力，稱為接觸熱阻。

2024/4/545由于接觸熱阻的存在，使導熱過程中兩個接觸外表之間出現(xiàn)溫差t。接觸熱阻是普遍存在的，而目前對其研究又不充分，往往采用一些實際測定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。通常，對于導熱系數(shù)較小的多層壁導熱問題接觸熱阻多不予考慮；但是對于金屬材料之間的接觸熱阻就是不容無視的問題。t1t2Δtxt2024/4/546接觸熱阻的主要影響因素物體外表的粗糙度物體外表的硬度物體外表之間的壓力工程上減小熱阻的方法增大外表光滑度增大接觸壓力接觸外表之間加一層熱導率較大、硬度較小的材料，如純銅箔、銀箔，或涂一層導熱油2024/4/547例：一鍋爐爐墻采用密度為300kg/m3的水泥珍珠巖制作，壁厚=100mm，內(nèi)壁溫度t1=500℃，外壁溫度t2=50℃，求爐墻單位面積、單位時間的熱損失。解：材料的平均溫度為：t=(t1+t2)/2=(500+50)/2=275℃由p275附錄D查得：2024/4/548假設(shè)是多層壁，t2、t3的溫度未知：可先假定它們的溫度，從而計算出平均溫度并查出導熱系數(shù)值，再計算熱流密度及t2、t3的值。假設(shè)計算值與假設(shè)值相差較大，需要用計算結(jié)果修正假設(shè)值，逐步逼近，這就是迭代法。2024/4/549例：一雙層玻璃窗,高2m,寬1m,玻璃厚0.3mm，玻璃的導熱系數(shù)為1.05W/(mK)，雙層玻璃間的空氣夾層厚度為5mm，夾層中的空氣完全靜止，空氣的導熱系數(shù)為0.025W/(mK)。如果測得冬季室內(nèi)外玻璃外表溫度分別為15℃和5℃，試求玻璃窗的散熱損失，并比較玻璃與空氣夾層的導熱熱阻。[解]這是一個三層平壁的穩(wěn)態(tài)導熱問題。根據(jù)式(2-43)散熱損失為：2024/4/550如果采用單層玻璃窗，那么散熱損失為是雙層玻璃窗散熱損失的35倍，可見采用雙層玻璃窗可以大大減少散熱損失，節(jié)約能源。可見，單層玻璃的導熱熱阻為0.003K/W，而空氣夾層的導熱熱阻為0.1K/W，是玻璃的33.3倍。2024/4/5512通過圓筒壁的導熱穩(wěn)態(tài)導熱柱坐標系：圓筒壁就是圓管的壁面。當管子的壁面相對于管長而言非常小，且管子的內(nèi)外壁面又保持均勻的溫度時，通過管壁的導熱就是圓柱坐標系上的一維導熱問題。①通過單層圓筒壁的導熱

2024/4/552采用圓柱坐標系，設(shè)導熱系數(shù)為常數(shù)，這是沿半徑方向的一維導熱，微分方程為：邊界條件為：積分得：應(yīng)用邊界條件對數(shù)曲線分布2024/4/553

長度為l

的圓筒壁的導熱熱阻雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！2024/4/554對數(shù)曲線凹向判斷：

由半徑r越大，面積A越大，要保持Φ=常數(shù)，那么|dt/dr|越小，即曲線的斜率在半徑越大的地方越小，故應(yīng)為圖中實線a注：這種分析曲線凹向的方法在以后章節(jié)中還會用到，應(yīng)掌握這種方法。

2024/4/555②通過多層圓筒壁的導熱

由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結(jié)垢、積灰的輸送管道等2024/4/556單位管長的熱流量

2024/4/5573通過球壁的導熱溫度分布：熱流量：熱阻：r1r2t1t2熱流密度：2024/4/558例2-3溫度為120℃的空氣從導熱系數(shù)為1=18W/(mK)的不銹鋼管內(nèi)流過，外表傳熱系數(shù)為h1=65W/(m2K),管內(nèi)徑為d1=25mm，厚度為4mm。管子外外表處于溫度為15℃的環(huán)境中，外外表自然對流的外表傳熱系數(shù)為h2=6.5W/(m2K)。(1)求每米長管道的熱損失；(2)為了將熱損失降低80%，在管道外壁覆蓋導熱系數(shù)為0.04W/(mK)的保溫材料，求保溫層厚度；(3)假設(shè)要將熱損失降低90%，求保溫層厚度。解：這是一個含有圓管導熱的傳熱過程，光管時的總熱阻為：

2024/4/559(1)每米長管道的熱損失為：(2)設(shè)覆蓋保溫材料后的半徑為r3，由所給條件和熱阻的概念有

2024/4/560由以上超越方程解得r3=0.123m故保溫層厚度為123

16.5=106.5mm。2024/4/561(3)假設(shè)要將熱損失降低90%，按上面方法可得r3=1.07m這時所需的保溫層厚度為1.070.0165=1.05m由此可見，熱損失將低到一定程度后，假設(shè)要再提高保溫效果，將會使保溫層厚度大大增加。2024/4/562對于穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此方法對一維變物性、變傳熱面積非常有效。由付里葉定律：絕熱絕熱xt1t24變截面或變導熱系數(shù)問題求解導熱問題的主要途徑分兩步：求解導熱微分方程，獲得溫度場；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場計算熱流量；2024/4/563別離變量：〔由于是穩(wěn)態(tài)問題，與x無關(guān)〕絕熱絕熱xt1t2

當隨溫度呈線性分布時，即＝0＋bt時2024/4/5642024/4/565

xh,tfh,tfo邊界條件為：對微分方程積分:代邊界條件(1)得c1=0如果平壁內(nèi)有均勻的內(nèi)熱源，且認為導熱系數(shù)λ為常數(shù)，平壁的兩側(cè)均為第三類邊界條件，由于對稱性，只考慮平板一半：微分方程：2024/4/566

xh,tfh,tfo微分方程變?yōu)椋涸俜e分:求出c2后可得溫度分布為：任一位置處的熱流密度為：

注意： ①溫度分布為拋物線分布； ②熱流密度與x成正比， ③當h

時，應(yīng)有tw

tf2024/4/567故定壁溫時溫度分布為：例：核反響堆燃料元件模型。三層平板，中間為1=14mm的燃料層，兩側(cè)均為2=6mm的鋁板。燃料層發(fā)熱量為1.5×107W/m3，1=35W/(m·K),鋁板無內(nèi)熱源,2=100W/(m·K),tf=150℃水冷，h=3500W/(m2·K),求各壁面溫度及燃料最高溫度。2024/4/568解：因?qū)ΨQ性只研究半個模型。從燃料元件進入鋁板的熱量為

1/2

2xh,tfh,tfot0t1t2qtft1t2

2/(A

2)1/(Ah)代入數(shù)據(jù):而根據(jù)牛頓冷卻公式有:對鋁板:2024/4/569由內(nèi)熱源導熱公式：

注意：熱阻分析從t1開始，而不是從t0開始。這是因為有內(nèi)熱源，不同x處的q不相等。2024/4/570②有內(nèi)熱源的圓柱體采用圓柱坐標系，設(shè)導熱系數(shù)為常數(shù)，微分方程為：邊界條件為：

積分得：通解為：twR2024/4/571代入邊界條件得：

故溫度分布為拋物線：twR2024/4/572例：一直徑為3mm、長度為1m的不銹鋼導線通有200A的電流。不銹鋼的導熱系數(shù)為=19W/(mK)，電阻率為=710-7m。導線周圍與溫度為110℃的流體進行對流換熱，外表傳熱系數(shù)為4000W/(m2K).求導線中心的溫度。[解]這里所給的是第三類邊界條件，而前面的分析解是第一類邊界條件，因此需先確定導線外表的溫度。由熱平衡，導線發(fā)出的所有熱量都必須通過對流傳熱散出，有：2024/4/573電阻R的計算如下：

故熱平衡為： 由此解得： tw=215