2008年北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（文史類）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁(yè)。第Ⅱ卷3至9頁(yè)，共150分，考試時(shí)間120分鐘。考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題共40分）注意事項(xiàng)：答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在答題卡上。每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡頗擦干凈后，再選涂其他答案。不能答在試卷上。一、本大題共8小題，第小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）若集合A={x|2≤x≤3}≤3,B={x|x<1或x>4},則集合A∩B等于（A）{x|x≤3或x>4} （B）{x|－1<x≤3}（C）{x|3≤x<4} (D){x|－2≤x<1}（2）若a=log3π,b=log76，c=log20.8,則（A）a>b>c （B）b>a>c（C）c>a>b （D）b>c>a（3）“雙曲線的方程為”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（4）已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于（A）135° (B)90° (C)45° (D)30°（5）函數(shù)f(x)=(x1)2+1(x<1)的反函數(shù)為（A）f1(x)=1+(x>1) （B）f1(x)=1(x>1) （C）f1(x)=1+(x≥1) （D）f1(x)=1(x≥1)xy+1≥0,（6）若實(shí)數(shù)x，y滿足x+y≥0,則z=x+2y的最小值是x≤0,(A)0 (B) (C) 1 (D)2（7）已知等差數(shù)列｛an｝中，a2=6,a5=15.若bn=a2n,則數(shù)列｛bn｝的前5項(xiàng)和等于(A)30 （B）45 (C)90 (D)186（8）如圖，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，過(guò)點(diǎn)P作垂直平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M、N.設(shè)BP=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是 絕密★使用完畢前2008年普通高等學(xué)校校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文史類）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事項(xiàng)：用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫(xiě)在試卷上。答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。題號(hào)二三總分151617181920分?jǐn)?shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。(9)若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),則tan2a的值為.(10)不等式的解集是.(11)已知向量a與b的夾角為120°，且｜a｜=|b|=4,那么a·b的值為.(12)若展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為；各項(xiàng)系數(shù)之和為.（用數(shù)字作答）(13)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f(f(0))=;函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f′（1）=.(14)已知函數(shù)f(x)=x2cosx,對(duì)于［－］上的任意x1,x2,有如下條件：x1>x2;

②x21>x22;③|x1|>x2.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號(hào)是.三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明。演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題共13分）已知函數(shù)的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的取值范圍.（16）（本小題共14分）如圖，在三棱錐PABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求證：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小.（17）（本小題共13分）已知函數(shù)是奇函數(shù).（Ⅰ）求a,c的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.（18）（本小題共13分）甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者.（Ⅰ）求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率。（19）（本小題共14分）已知△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓上，C在直線l:y=x+2上，且AB∥l.（Ⅰ）當(dāng)AB邊通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長(zhǎng)及△ABC的面積；（Ⅱ）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長(zhǎng)最大時(shí)，求AB所在直線的方程.（20）（本小題共13分）數(shù)列{an}滿足（Ⅰ）當(dāng)a2=1時(shí)，求λ及a3的值；（Ⅱ）數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；（Ⅲ）求λ的取值范圍，使得存在正整數(shù)m,當(dāng)n＞m時(shí)總有an＜0.

絕密★考試結(jié)束前2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文史類）（北京卷）參考答案選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）（1）D（2）A（3）A（4）C（5）B（6）A（7）C（8）B二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9）（10）|x|x＜2|（11）8（12）1032（13）22（14）②三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）==因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π,且ω＞0，所以解得ω=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得因?yàn)?≤x≤，所以≤≤所以≤sin≤1.因此0≤≤，即f(x)的取值范圍為[0，]（16）（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC取AP中點(diǎn)E,連接BE,CE∵AB=BP∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角BAPC的平面角.在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，∴sin∠BEC=∴二面角BAPC的大小為aresin解法二：（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.(Ⅱ)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設(shè)P（0，0，t）,∵｜PB｜=｜AB｜＝2，∴t=2,P(0,0,2).取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角BAPC的平面角.∵E(0,1,1),∴cos∠BEC=∴二面角BAPC的大小為arccos（17）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)2為奇函數(shù)，所以，對(duì)任意的x∈R,g(x)=g(x),即f(x)2=f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以x3+ax23bx+c2=x3ax23bxc+2.所以{解得a=0，c＝2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).當(dāng)b＜0時(shí)，由f′(x)=0得x=±x變化時(shí)，f′(x)的變化情況如下表：x(∞,)(,)(,+∞)f′(x)+00+所以，當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f(x)在（∞，）上單調(diào)遞增，在（，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.當(dāng)b＞0時(shí)，f′(x)＞0.所以函數(shù)f(x)在（∞，+∞）上單調(diào)遞增.（18）（共13分）解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)為事件EA，那么P（EA）=即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是（Ⅱ）記甲、乙兩個(gè)同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件E，那么P（E）＝所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P（）=1P(E)=（19）（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)锳B∥l，且AB邊通過(guò)點(diǎn)（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x.設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由得所以又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離，所以（Ⅱ）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m. 由得 因?yàn)锳，B在橢圓上， 所以 設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1,y1），（x2,y2）. 則 所以 又因?yàn)锽C的長(zhǎng)等于點(diǎn)（0,m）到直線l的距離，即 所以 所以當(dāng)m=1時(shí)，AC邊最長(zhǎng).（這時(shí)） 此時(shí)AB所在直線的方程為y=x1.(20)（共13分）解：（Ⅰ）由于且a1=1， 所以當(dāng)a2=1時(shí)，得, 故 從而（Ⅱ）數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列.證明如下： 由a1=1，得 若存在，使｛an｝為等差數(shù)列，則a3a2=a2a1,即 解得=3. 于是這與｛an｝為等差數(shù)列矛盾，所以，對(duì)任意，{an}都不可能是等差數(shù)列.（