2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí) 導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及導(dǎo)

數(shù)的幾何意義

練基礎(chǔ)

1.（2021?浙江高三其他模擬）函數(shù)y=23田在％=0處的導(dǎo)數(shù)是（）

A.61n2B.21n2C.6D.2

2.（2021?黑龍江哈爾濱市?哈師大附中高三月考（文））曲線y=2cosx+sinx在（匹-2）處的切線方程為

（）

A.X—y+71—2=0B.x-y-^+2=0

C.x+y+乃—2=（）D.%+y-萬+2=0

JT

3.（2021?全國高三其他模擬（理））曲線y=e*T-2sin（5X）在點(diǎn)（1,一1）處的切線方程為（）

A.x-y=0B.ex-y—e+l=0

C.ex-y-e-1=0D.x-y-2=0

4.（2021?山西高三三模（理））已知aeE,設(shè)函數(shù)/（x）=ox-lnx+l的圖象在點(diǎn)（1,/（1））處的切線為/,

則/過定點(diǎn)（）

A.（0,2）B.（1,0）C.（1,?+1）D.（e,l）

5.（2021.云南曲靖一中高三其他模擬（理））設(shè)曲線/（x）=a/+A和曲線g（x）=cose+c在它們的公

共點(diǎn)M（0,2）處有相同的切線，則5+c-a的值為（）

A.0B.71

C.-2D.3

6.（2021?重慶高三其他模擬）曲線/（x）=tzx-xlnx在點(diǎn)（1,/。））處的切線與直線x+y=0垂直，則。=

（）

A.-1B.0C.1D.2

7.（2021.重慶八中高三其他模擬）已知定義在（0,+。）上的函數(shù)/（x）滿足/（、G）=lnx—収，若曲線

丁=/（同在點(diǎn)「（1,7（1））處的切線斜率為2,則/（1）=（）

A.1B.-1C.0D.2

8.（2018?全國高考真題（理））設(shè)函數(shù)/（%）=%3+5-1）/+。%.若“行為奇函數(shù)，則曲線y=/（%）在

點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（）

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

9.（202卜河南洛陽市?高三其他模擬（理））設(shè)曲線）；=/5在點(diǎn)（3,3）處的切線與直線依+丁+1=0平行，

則。等于（）

11

A.—B.2C.D.—2

22

10.（2020?河北高三其他模擬（文））已知曲線/（%）=奴+対在點(diǎn)（0"（0））處的切線斜率為2,則。二

練提升

1.（2021?浙江金華市?高三三模）己知點(diǎn)P在曲線曠=孚金上，6為曲線在點(diǎn)尸處的切線的傾斜角，貝朋的

取值范圍是（）

TVn7T242乃

A-°5B.C.7'TD.T,7r

2.（2021.四川成都市?石室中學(xué)高三三模）已知函數(shù)/（x）=“"+x2的圖象在點(diǎn)處的切線方程

是y=（2e+2）x+/?,那么姉=（）

A.2B.1C.-1D.-2

TT

3.（2021?四川成都市成三月考（文））已知直線/為曲線y=sinx+xcosA^x=一處的切線，則在

2

直線/上方的點(diǎn)是（）

A.f-j'jB.（2,0）C.（乃1）D.（1,—7T）

4.（2021.甘肅高三二模（理））已知函數(shù)/（x）=xlnx,g（x）=x2+34ox（ae7?）,若經(jīng)過點(diǎn)A（0,-1）存

在一條直線/與/（x）圖象和g（x）圖象都相切，則。=（)

A.0B.-1C.3D.-1或3

5.（2021?安徽省泗縣第一中學(xué)高三其他模擬（理））若點(diǎn)P是曲線y=f—lnx-1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到

直線y=x-3的最小距離為（）

日

A.1B."C.J2D.2

2

2比一ni

6.（2021.安徽省中學(xué)高三三模（理））若函數(shù)/（“）=111%+%與8（尤）=/一的圖象有一條公共切線，

X—1

且該公共切線與直線y=2x+i平行，則實(shí)數(shù)加=（）

17171717

A.—B.—C.—D.—

8642

7.（2021?全國高三其他模擬）已知直線y=2x與函數(shù)/（x）=-2加:+*<?，+〃?的圖象相切，則機(jī)=.

8.（2021?黑龍江佳木斯市?佳木斯一中高三三模（理））若兩曲線），=爐+1與y=Hnx+l存在公切線，則正實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

9.（2021.湖南永州市.高三其他模擬）已知函數(shù)/（x）=lnx+d,點(diǎn)p為函數(shù)“X）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則p到

直線y=3x-4距離的最小值為.（注In2a0.69）

10.（2021.湖北荊州市.荊州中學(xué)高三其他模擬）已知《，鳥是曲線C：y=2|lnx|上的兩點(diǎn)，分別以《，

巴為切點(diǎn)作曲線C的切線4，4,且4丄A，切線4交y軸于厶點(diǎn)，切線4交軸于8點(diǎn)，則線段AB的

長度為.

練真題

1■

1.（2021?全國高考真題）若過點(diǎn)（a力）可以作曲線y=e，的兩條切線，則（）

ha

A.e<aB.e<b

C.0<a<e*D.0<h<ea

2.（2020?全國高考真題（理））函數(shù)/@）=d-2d的圖像在點(diǎn)（1,/（I））處的切線方程為（）

A.y=-2x-1B.y=-2x+1

C.y=2x-3D.y=2x4-1

3.(2020?全國高考真題(理))若直線/與曲線片五和*+/=(都相切，則/的方程為()

A.尸2x+lB.尸C.尸g-x+lD.片;廣；

4.(2020?全國高考真題(文))設(shè)函數(shù)/(x)=￡.若/(1)=纟，則疔_________.

x+a4

5.(2019?全國高考真題(文))曲線y=3(/+工爐］在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

6.(2020?全國高考真題(文))曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

.專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義

練基礎(chǔ)

1.(2021?浙江高三其他模擬)函數(shù),=23田在x=0處的導(dǎo)數(shù)是()

A.61n2B.2In2C.6D.2

【答案】A

【解析】

利用符合函數(shù)的求導(dǎo)法則(f(g(x)))'=/'(g(x))-g'(x),求出y=23田的導(dǎo)函數(shù)為

y=23x+1-/?2-3=3//?2-23j+1,代入尸0,即可求出函數(shù)在廣0處的導(dǎo)數(shù).

【詳解】

y=23的的導(dǎo)函數(shù)為y=23x+'-ln2-3=3歷2-2")

故當(dāng)x=0時(shí)，y'=6ln2.

故選：A

2.(2021?黑龍江哈爾濱市?哈師大附中高三月考(文))曲線y=2cosx+sinx在(肛-2)處的切線方程為

()

A.x-y+7T-2-0B.x-y-i+2=0

C.x+y+萬一2=()D.x+y-乃+2=0

【答案】D

【解析】

先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切點(diǎn)求得斜線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可求得方程.

【詳解】

y*=—2sinx+cosx

當(dāng)x=幾時(shí)，左二-2sin萬+cos〃=-l

所以在點(diǎn)(凡一2)處的切線方程，由點(diǎn)斜式可得＞+2=-1x(%-乃)

化簡(jiǎn)可得x+y-4+2=0

故選:D

-TT

3.(2021?全國高三其他模擬(理))曲線y=ei-2sin('X)在點(diǎn)(1,—1)處的切線方程為()

A.x-y=0B.ex—y—e+l=()

C.ex-y-e-1=0D.x-y-2=0

【答案】D

【解析】

根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

【詳解】

因?yàn)閥=e*T-2singx),所以y'=e*T-%cosex),當(dāng)x=l時(shí)，y'=l,所以曲線y=e*T-2sin《x)

在點(diǎn)(L—1)處的切線的斜率&=1,所以所求切線方程為y+l=x-l，即x-y—2=0.

故選：D

4.(2021.山西高三三模(理))已知aeH,設(shè)函數(shù)/(x)=ox-lnx+1的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線為/,

則/過定點(diǎn)()

A.(0,2)B.(1,0)C.(l,a+l)D.(e,l)

【答案】A

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，化成斜截式，即可求解

【詳解】

由/(x)=ox—lnx+ln/'(x)=a—B，=/。)=。+1，故過(1，/(D)處的切線方程為：

y=(“-l)(x-l)+a+l=("l)x+2,故/過定點(diǎn)(0,2)

故選:A

5.(2021.云南曲靖一中高三其他模擬(理))設(shè)曲線/(x)=ae'+b和曲線g(x)=cosy+c在它們的公

共點(diǎn)M(0,2)處有相同的切線，則6+c—°的值為()

A.0B.ZT

C.-2D.3

【答案】D

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知/'(o)=g'(o)，可求得“；根據(jù)M(o,2)為兩曲線公共點(diǎn)可構(gòu)造方程求得仇C,

代入可得結(jié)果.

【詳解】

f'[x}=aex,^,(x)=-ysin^,.,./,(0)=a,g<0)=0,;.a=0,

又M(0,2)為〃x)與g(x)公共點(diǎn)，.?./(())=力=2,g(O)=l+c=2,解得：c=\,

/.Z?+c—ci=2+1—0=3.

故選：D.

6.(2021?重慶高三其他模擬)曲線/(x)=ax-xlnx在點(diǎn)處的切線與直線x+y=0垂直，則。=

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

求得了(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得。的方程，解方程可得所求值.

【詳解】

解：/(x)=ax-x/nx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=a-l-/nr,

可得在點(diǎn)處的切線的斜率為左=/'(1)=。-1,

由切線與直線x+y=0垂直，可得a—1=1,

解得Q=2,

故選：D.

7.(2021?重慶八中高三其他模擬)已知定義在(0,+“)上的函數(shù)/(x)滿足/(?)=lnx—ax,若曲線

y=/(x)在點(diǎn)P(L.f(l))處的切線斜率為2,則/(1)=()

A.1B.-1C.0D.2

【答案】C

【解析】

先由換元法求出/(x)的解析式，然后求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求岀。的值，然后可得出/(1)的值.

【詳解】

2

設(shè)t=?,則/?)=2hv—a*,=

由/'(1)=2—2。=2,解得。=。,從而/。)=一〃=。,

故選:C.

8.(2018?全國高考真題(理))設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a—l)/+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=/(x)在

點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()

A.y=—2xB.y=—xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用奇函數(shù)偶此項(xiàng)系數(shù)為零求得a=1,進(jìn)而得到/。)的解析式，再對(duì)/Q)求導(dǎo)得出切線的

斜率k,進(jìn)而求得切線方程.

詳解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是奇函數(shù)，所以a-1=0,解得a=l,

所以/(x)=x3+x,/'(x)=3x2+1,

所以尸(0)=1,/(0)=0,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y-/(0)=f(0)x,

化簡(jiǎn)可得丫=%,故選D.

9.(2021?河南洛陽市?高三其他模擬(理))設(shè)曲線丁=1%在點(diǎn)(3,3)處的切線與直線以+y+1=。平行，

則。等于()

1C1

A.—B.2C.——D.-2

22

【答案】B

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=±在點(diǎn)(3,3)處的切線的斜率，利用兩直線平行可得出實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】

Y,X—2.—X2

對(duì)函數(shù)y=--求導(dǎo)得y=7-導(dǎo)=~(~中，

■x-2(x-2)(x-2)

由已知條件可得一a=y'|*=3=—2,所以，。=2.

故選：B.

10.(2020?河北高三其他模擬(文))已知曲線/(x)=or+x/在點(diǎn)(0,/(0))處的切線斜率為2,則。=

【答案】1

【解析】

求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，解方程即可求解.

【詳解】

解：=的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=a+(x+l)e"

可得曲線=以+無在點(diǎn)(0,/(0))處的切線斜率為a+l=2,

解得4=1.

故答案為：1.

練提升

<-----------------)

1.(2021?浙江金華市?高三三模)已知點(diǎn)P在曲線y=上，。為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則。的

ex+\

取值范圍是(

A.[0,1

【答案】D

【解析】

首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率的取值范圍，再根據(jù)傾斜角與斜率之間的關(guān)系求得傾斜角的取值范

圍.

【詳解】

_4A_-45/3

因?yàn)閥=/宀~1~,

(e+1)/+—+2

由于0*+丄+224,

e

所以?€［一6,0）,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知：tan，€|-6,0）,

所以［稱,萬），

故選：D.

2.（2021.四川成都市.石室中學(xué)高三三模）已知函數(shù)/（力=四*+無2的圖象在點(diǎn)處的切線方程

是y=（2e+2）x+/?,那么姉=（）

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定斜率與切點(diǎn)即可求解答案.

【詳解】

因?yàn)椤▁）=ae'+f,所以/'（x）=ae*+2無，因此切線方程的斜率女=八1）=慫+2，

所以有oe+2=2e+2,得a=2,

又切點(diǎn)在切線上，可得切點(diǎn)坐標(biāo)為（l,2e+2+b）,

將切點(diǎn)代入/（x）中，有/（D=2e+l=2e+2+8,得6=—1,

所以必=-2.

故選：D.

3.（2021.四川成都市.成三月考（文））已知直線/為曲線y=sinx+xcosj^x=工處的切線，則在

2

直線/上方的點(diǎn)是（）

A.B.（2,0）C.（肛一1）D.（1,—乃）

【答案】C

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，進(jìn)而判定點(diǎn)與切線的位置關(guān)系即可.

【詳解】

y'=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,

7T

又當(dāng)X=|■時(shí)，y=\,

7F(JT)

所以切線的方程為，=一,卜一萬J+1,

對(duì)于A,當(dāng)x=g時(shí)，y=i,故點(diǎn)在切線上；

2I，丿

對(duì)于B,當(dāng)x=2時(shí)，丫=一、(2—T)+l=-兀+￡；+1>一萬+'+1=325-萬>0,故點(diǎn)(2,0)在切線下

方；

冗(jrA兀2Q

對(duì)于C,當(dāng)x=〃時(shí)，y=————1+1=--屋+1<-1+1=-1,25<-1,故點(diǎn)(匹—1)在切線上方；

對(duì)于D,當(dāng)x=1時(shí)，>=一3(1-5]+1=-3+3~+1>-?>一)，故點(diǎn)(1,一%)在切線下方.

故選：C.

4.(2021?甘肅高三二模(理))已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=犬+辦3@R),若經(jīng)過點(diǎn)A(0,-l)存

在一條直線/與〃x)圖象和g(x)圖象都相切，則。=()

A.0B.-1C.3D.-1或3

【答案】D

【解析】

先求得過厶(0,-1)且于“X)相切的切線方程，然后與g(x)=f+"(aeR)聯(lián)立，由△=()求解.

【詳解】

設(shè)直線/與/(%)=xlnx相切的切點(diǎn)為(m/zilnin),

由/(x)=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=l+lnx,

可得切線的斜率為1+In帆，

則切線的方程為y—m=，

將A（0,-1）代入切線的方程可得一1—mlnm=（1+In根）（0—,

解得m=1,則切線/的方程為y=x-1,

y=x-l）/、八

聯(lián)立v2,可得x+（a—l）x+l=0,

y=x+ax

由A=（a—I,—4=0,解得。=一1或3,

故選：D.

5.（2021?安徽省泗縣第一中學(xué)高三其他模擬（理））若點(diǎn)戶是曲線y=f一Ex-1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到

直線y=x-3的最小距離為（）

萬

A.1B.2L±C.V2D.2

2

【答案】C

【解析】

由已知可知曲線y=f—inx-1在點(diǎn)尸處的切線與直線y=x-3平行，利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)p的坐標(biāo)，利用點(diǎn)

到直線的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線y=/-lnx—1任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P處的切線和直線y=x-3平行時(shí)，點(diǎn)。到直線的

y=彳-3的距離最小，

因?yàn)橹本€y=x-3的斜率等于1，曲線y=/-lnx-1的導(dǎo)數(shù)y'=2x—丄，

X

令y'=l,可得％=1或%=-；（舍去），所以在曲線,=/一1!1無一1與直線y=x-3平行的切線經(jīng)過的切

點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,

11-31廠

所以點(diǎn)P到直線y=X-3的最小距離為d==V2.

故選：C.

2Y—m

6.（2021.安徽省中學(xué)髙三三模（理））若函數(shù)/（“）=111%+》與8（無）=------的圖象有一條公共切線，

%—1

且該公共切線與直線y=2x+l平行，則實(shí)數(shù)加=（）

1717

B.—c.1ZD.—

642

【答案】A

【解析】

設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+x圖象上切點(diǎn)為(%,%)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)/'(無。)=2求出切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方

程，設(shè)函數(shù)g(x)=2=的圖象上的切點(diǎn)為(百,％)&*1),根據(jù)g'(xj=2,得到m=2%：-4七+4,

x—\

c,2x,-m

再由2x「l=,即可求出占，從而得解；

罰-1

【詳解】

解：設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+x圖象上切點(diǎn)為(為,%),因?yàn)?'(幻=丄+1,所以/'(/)=丄+1=2,得為=1,

X玉)

所以%=/(/)=/⑴=1，所以切線方程為y-l=2(x-l),即y=2x-l,設(shè)函數(shù)g(x)=&W的圖象上

X—1

/、/.、，/、2(x-l)-(2x-m)m-2，/、m-2.

的切點(diǎn)為(X[,y)(%N1),因?yàn)間(x)=--------------------=-~K，所以g(%)=7------不=2，即

(x-l)2(x-1)2(玉T)

2工一m

機(jī)=26-4玉+4,又x=2.-]=g(xJ=?,即機(jī)=—2x；+5x「l,所以

?X]A

—4%j+4=—2元：+5%j—1,即4玉2—9玉+5=0,解得王二^＞或石=1(舍)，所以

T”3+4=g

(4丿48

故選：A

7.(2021?全國高三其他模擬)已知直線y=2x與函數(shù)/(x)=-的圖象相切，則機(jī)=.

【答案】—2+ln4

【解析】

x(t

-2Inx0+xoe+m=2x0

設(shè)出切點(diǎn)-21nx0+xe^'+m),x>0,根據(jù)切線方程的幾何意義，得到，

o0r

—+(x0+l)e"=2

.尤0

解方程組即可.

【詳解】

因?yàn)?(x)=-21nx+靖+m,所以/'(x)=二+(x+l)e"

x

設(shè)切點(diǎn)為(毛，-21n/+x0e&+m),%0>0,所以切線的斜率為A=/'(%)=三+(%+1)e%

X。

-2Inx0+/e"+m=2x0

又因?yàn)榍芯€方程為y=2x,因此《一2/八％c，

-一+(%+1)1=2

.”0

,2(9

由——+(x()+l)e"=2,得(%+1)ex0------=0,

/Ixo丿

v2

因?yàn)?+1#0,所以e°=—，又/=ln2-lnxo，

xo

2/、

所以—2広/+/?丁+加=2(1112-111與)，得加=—2+ln4.

故答案為：-2+ln4.

8.(2021?黑龍江佳木斯市?佳木斯一中高三三模(理))若兩曲線)，=/+1與)，=41必+1存在公切線，則正實(shí)

數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】(0,2e]

【解析】

設(shè)公切線與曲線>=/+1和y=alnx+l的交點(diǎn)分別為(x"%i2+l),(及，?lnx2+l),其中X2>0,然后分別求

2%=幺a2

出切線方程，對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，可以得到<4，然后轉(zhuǎn)化為-丁丁=alnx2-，然后參變

12114/

1-x；=14-alnx2-a

分離得到a=4x2-4Nlnx,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)求值域即可.

【詳解】

解：設(shè)公切線與曲線》=12+1和y=〃lnx+l的交點(diǎn)分別為(即，X|2+l),(X2,41HT2+1),其中X2>o,

對(duì)于y=/+Ly=2x,所以與曲線產(chǎn)N+1相切的切線方程為：y-(xi2+l)=2xi(x-?),即y=2xix-xi2+l,

_LT61

對(duì)于y=alnx+l,y'=——，

x

aa

所以與曲線y=〃lii￥+l相切的切線方程為y-(Hg+l)=—(x-X2),即y=-x-a+l+alg,

——Q-

所以<X?,即有---=a\nx2-a,

4廠

I-%,=1+a\nx2-a

由〃>0,可得a=4x2-4x2lnx,

記沢幻=4/-4x2\nx(x>0),f(x)=Sx-4x-Sx\nx=4x(1-21ar),

當(dāng)x<及時(shí)，/(x)>0,即於)在(0,4e)上單調(diào)遞增，當(dāng)X>厶時(shí)，/(x)<0,即貝X)在(&,+oo)±

單調(diào)遞減，

所以,/(x)max=/(")=2e,又X—0時(shí)，式X)-0,X-+8時(shí)，，危)一>-8,

所以0VaW2e.

故答案為：(0,2e].

9.(2021.湖南永州市.高三其他模擬)已知函數(shù)/(x)=lnx+d,點(diǎn)p為函數(shù)“X)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則p到

直線y=3x-4距離的最小值為.(注In2a0.69)

【答案】叵

5

【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線與已知直線平行時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離即

可求解.

【詳解】

解：=—+2x,(x>0),

與直線y=3x-4平行的切線斜率上=3=丄+2%，解得％=1或%=丄，

x2

當(dāng)x=l時(shí)，/⑴=1,即切點(diǎn)為(1,1),

此時(shí)點(diǎn)P到直線y=3x-4的距離為d=[4]=—；

7105

當(dāng)％=丄時(shí)，f\L]=L-\n2,即切點(diǎn)為（g，!_ln2

212丿4124

此時(shí)點(diǎn)P到直線y=3x_4的距離為/2-4+117J-ln2（11—4出2）屈回,

V10V10405

故答案為：咽.

5

10.（2021?湖北荊州市?荊州中學(xué)高三其他模擬）已知《，鳥是曲線C：y=2|lnx|上的兩點(diǎn)，分別以《，

外為切點(diǎn)作曲線C的切線4，12,且4丄4,切線4交y軸于A點(diǎn)，切線4交y軸于8點(diǎn)，則線段A8的

長度為.

【答案】4-41n2

【解析】

由兩切線垂直可知，4，￡兩點(diǎn)必分別位于該函數(shù)的兩段上，故可設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)［（3,%）,鳥。2，%），表

示出兩條切線方程，根據(jù)兩切線垂直，可得%々=4,又兩切線分別與y軸交于A（0,2-21n芯）,

8(0,-2+21nx2),則可求出|AB|=4-41n2.

【詳解】

——,0<x<1

-21nx,0<x<l

曲線C:y=<則戶；

21nx,x>1

-,x>l

.X

設(shè)6（m，X）,鳥區(qū),七），兩切線斜率分別為占，42,

由4丄厶得k*2=-1,則不妨設(shè)0<%!<1,X2?1,

22

\［（3,-21njq）,h=-一,4:y+21nxi=--（X-玉）,

令x=0,得A(0,2-21nx,)

22

8(尤,,2ln%2)，k,二一，l,:y-21nx2=一(x-x2),

x2x2

令X=O,得5(0,-2+21nx2)

22

由%#2=-1,即--?--1,得玉Z=4,

貝ij|AB|=|4-21n(西為2)|=4-41n2.

故答案為：4-41n2.

練真題

1.(2021?全國高考真題)若過點(diǎn)(。,方)可以作曲線y=e'的兩條切線，則()

A.eh<aB.ea<b

C.0<?<e6D.0<Z?<e°

【答案】D

【解析】

解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；

解法二：畫出曲線,="的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a,匕)在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.

【詳解】

在曲線y=e*上任取一點(diǎn)P(t,e'),對(duì)函數(shù)y=/求導(dǎo)得y'=e"

所以，曲線y=e”在點(diǎn)P處的切線方程為y-d=e'(x-。，即y=dx+(l-f)e’，

由題意可知，點(diǎn)(a,b)在直線y=e'x+(l-r)e’上，可得b=ad+(l-r)e'=(a+l-7)d,

令/(r)=(a+]_，)e'，則/'(r)=(a-r)e'.

當(dāng)r<a時(shí)，/,(r)>0,此時(shí)函數(shù)/(f)單調(diào)遞增，

當(dāng)t>a時(shí)，/(f)<0,此時(shí)函數(shù)/?)單調(diào)遞減，

所以，/(<L=〃a)=e"，

由題意可知，直線y=b與曲線>=/")的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則。</(“山=6”，

當(dāng)/<a+l時(shí)，f(r)>0,當(dāng)r>a+l時(shí)，/(r)<0,作出函數(shù)了(。的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0<〃<e〃時(shí)，直線丁=力與曲線y=/。）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)（。力）在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以

作出兩條切線.由此可知0<。<

P(aJ))

X

故選：D.

2.（2020?全國高考真題（理））函數(shù)/（x）=d-2d的圖像在點(diǎn)（1,/（I））處的切線方程為（）

A.y——2x—1B.y=-2x+\

C.y=2x-3D.y=2x+l

【答案】B

【解析】

/(X)=X4-2X3,.?./(x)=4x3-6爐,A/(1)=-1,/,(l)=-2,

因此，所求切線的方程為>+1=-2（X-1）,即y=-2x+l.

故選：B.

3.（2020?全國高考真題（理））若直線/與曲線產(chǎn)石和都相切，則1的方程為（）

A.尸2x+lB.尸C.尸g-x+1D.片;戶；

【答案】D

【解析】

設(shè)直線/在曲線y=G上的切點(diǎn)為（七,互），則%>0,

L，1/1

函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)為丁=而，則直線/的斜率％=公歷

設(shè)直線/的方程為丁一広=二后（X—/）,即x—2爲(wèi)丁+%=0,

由于直線/與圓/=—相切，則-厶彳,=~7貝

5Jl+4/V5

兩邊平方并整理得5%—4%—1=0,解得%=1,%=-1（舍），

則直線/的方程為x—2y+l=0,即y=』x+L

22

故選：D.

4.（2020?全國高考真題（文））設(shè)函數(shù)/（x）=￡_.若/'（1）=；,則牛________

X+Q4

【答案】1

【解析】

0工(X+Q—1)

由函數(shù)的解析式可得:

(X+Q)(x+aY

dx(l+〃-l)aeaee

則:據(jù)此可得：西=1,

(l+a)2(Q+1)

整理可得：〃2_2〃+1=0,解得：a=\.

故答案為：1.

5.(2019?全國高考真題(文))曲線y=3(/+外？(?在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為一

【答案】3x_y=0.

【解析】

=3(2x+l)e*+3(x?+x)ex=3(x2+3x+l)e*,

所以，k=y'|v=0=3

所以，曲線y=3(x2+x)e'在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x—y=0.

6.(2020?全國高考真題(文))曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

【答案】y=2x

【解析】

設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(X。，%),y=Inx+x+1,V=丄+1，

X

=丄+1=2,x°=1,>0=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

所求的切線方程為丁一2=2(》一1),即y=2x.

故答案為：y=2x.

專題4.2應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

練基礎(chǔ)

1.（浙江高考真題）函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖像如圖所示，則函數(shù)y=/（x）的圖像可能是

()

2.（2020?重慶市校高三期中）設(shè)函數(shù)/（x）=gx2-91nx在區(qū)間[a—1,a+1]上單調(diào)遞減，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

A.(1,2]B.(4,+何C.[-00,2)D,(0,3]

QX0?X<1

3.（2021?廣東高三其他模擬）已知函數(shù)f（x）=<5一，若"玉）=〃w）a<々），則

x-l,x>1

（9一%）/（可）的取值范圍是（）

A.[l,e2]B.[l,e2]C.[e,e2）D.[2,e2）

4.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)〃x）=2x2-InX，若在區(qū)間（2人加+1）上單調(diào)遞增,

則加的取值范圍是（）

1)

B.—,+oo

4丿

D.[0,1)

5.（2021?福建高三三模）已知函數(shù)/（x）=，T—e"x+；sin乃x,實(shí)數(shù)4，b滿足不等式

/（34+3+/（。-1）〉0,則下列不等式成立的是（）

A.4。+方>3B.4a+b<3

C,—1D.2〃+/?<-1

6.【多選題】（2021?全國高三其他模擬）如圖是函數(shù)/（x）=g（，：：x的部分圖像,則g（x）的解析式可

能是（）

A.%B.x2C.ID.-x3

7.【多選題】（2021.全國高三專題練習(xí)）函數(shù)/（幻=以3_灰2+”的圖象如圖所示，且/（x）在x=—l與

C./（-1）+/（1）>0D.函數(shù)/'（x）在（一8,0）上是減函數(shù)

8.（2021?山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高三月考）已知〃"（%）=》一<71”在［2,+00）上單調(diào)遞增，q：a<m.

若夕是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

9.（2019年高考北京理）設(shè)函數(shù)/（》）=/+優(yōu)7（4為常數(shù)）.若/⑺為奇函數(shù)，則斫；若/（無）

是R上的增函數(shù)，則。的取值范圍是.

10.(2020?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三月考)已知aeR,函數(shù)/(x)=^x3+-(a-2)x2+b,g(x)=2a1nx.

62

(i)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(i,c)處的切線互相垂直，求小〃的值；

(2)設(shè)G(x)=/'(x)-g(x)-ar,若G(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，求”的取值范圍.

練提升

1.(2021?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬)已知實(shí)數(shù)X,y,z滿足"Inx=y/且，ln'=z",若y>l,

x

則()

A.x>y>zB.x>z>y

c.y>z>xD.y>x>z

21多選題】(2021.山東濟(jì)南市.高三其他模擬)數(shù)列｛斯｝滿足m=1,a“=a“+i+ln(1+斯+i)(neN*)，則()

A.存在”使如40B.任意〃使%>0

C?Cln<?！?1D.4〃>1

3.(2021?遼寧高三其他模擬)若函數(shù)/(x)=x+asin2x在0,?上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

4.(2021.陜西寶雞市.高三月考(文))若函數(shù)/(x)=cos2x+asinx在區(qū)間則。的取

值范圍是.

5.(2021.福建省福州第一中學(xué)高三其他模擬)已知函數(shù)/(x)=2sinx+ef；/,則不等式

a+i)+/(—2+1)>0的解集為.

6.(2020?重慶市云陽江口中學(xué)校高三月考)已知函數(shù)/(x)=f+?sinx-2,b&R,R(x)=/(x)+2,

且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x-5)=F(5-x).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)己知函數(shù)g(x)=/(x)+2(x+l)+alnx在區(qū)間(0,1)上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.(2021?全國高三專題練習(xí)(理))設(shè)函數(shù)/'(x)=alnx+丄，aeR.

x

(I)設(shè)/是y=/(x)圖象的一條切線，求證：當(dāng)a=0時(shí)，/