三角形的外角的定義及性質(zhì)（壓軸題）-2022-2023學年下學期七年級數(shù)學期中復習練習【蘇科版-江蘇省期中真題】

32三角形的外角的定義及性質(zhì)（壓軸題）-2022-2023學年下

學期七年級數(shù)學期中復習高頻考點專題練習【蘇科版-江蘇省

期中真題】

一、填空題

1.（2022春?江蘇揚州?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD,點尸為CO上一點，NEBA、

NEPC的角平分線于點R已知/尸=40。，則/E=度.

2.（2022春?江蘇鹽城?七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線A8,CO被直線4C所截，E

是平面內(nèi)任意一點（點E不在直線AB,CD,AC上），設NBAE=α,ZDCE=β.下列

各式：①a+尸；②a-β;③β-a;@180°-α-￡；⑤360。-a-β.以上結(jié)果可以作為/AEC

的度數(shù)的是一.（填序號）

3.（2022春?江蘇無錫?七年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCZ）中，/DW的角平分

線與NABC的外角平分線相交于點尸，且∕O+NC=240°,則NP=.

二、解答題

4.（2022春?江蘇泰州?七年級統(tǒng)考期中）如圖，AABC中，NACB=90。，點。、E分別

在邊AC、AB上運動（不與頂點重合），點F在線段CO上（不與點。、C重合），射線

EZ）與射線8尸相交于點G.

(1)如圖1,DE//BC,ZEDB=2ZG,說明：BG平分NDBC.

(2)如圖2,若NEDB=mNADB,ZDBG=nZDBC,ZG=450.

①若n~7,求N。BC的值.

126

②若〃=3，求小的值.

③若3m-n=l且求NOBC的度數(shù).

5.（2022春,江蘇鹽城?七年級統(tǒng)考期中）在AABC中，BO平分乙48。交AC于點。，點

E是射線4C上的動點（不與點力重合），過點E作E尸〃BC交直線8力于點凡NCEF

的角平分線所在直線與射線8。交于點G.

（1）如圖1,點E在線段4。上運動.

①若NABC=40°,NC=60°,則/BGE=°；

②若∕A=70°,則/BGE=；

③探究NBGE與NA之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若點E在射線。C上運動時，NBGE與NA之間的數(shù)量關(guān)系與（1）③中的數(shù)量關(guān)系

是否相同？若不同，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

6.（2022春?江蘇南通?七年級統(tǒng)考期中）已知，直線AB〃CDAE）與Be交于點E.

試卷第2頁，共8頁

(1)如圖1,ZAEC=IOOo,則ZABC+ZAOC=°；

(2)如圖2,ZABC,NAr)C的平分線交于點F,則N尸與NZAEC有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請

說明理由；

(3)如圖3,ZAEC=a,ZABC=β(a>3β),在24)C的平分線上任取一點P,連接PB,

當ZA8P=g/P8C時，請直接寫出-3PD的度數(shù)(用含有。、6的式子表示).

7.(2021春?江蘇無錫?七年級統(tǒng)考期中)在ABC中，ZACfi=90o,BD是ABC的角

平分線，P是射線AC上任意一點(不與A、。、C三點重合)，過點P作尸。工AB,

垂足為Q,交直線8。于E.

(/)說明ZPDE=NPED.

(/7)作NCPQ的角平分線交直線AB于點尸，則尸尸與BO有怎樣的位置關(guān)系？畫出圖

形并說明理由.

(2)當點尸在Ae的延長線上時，作NCPQ的角平分線交直線AB于點尸，此時P尸與

8。的位置關(guān)系為.

8.(2021春?江蘇南通?七年級校考期中)如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC,點

A的坐標是(3,0),點B的坐標是(a,b),且(4-2)2+√^=O點C在X軸的負半

軸上，且AC=5.

(1)宜接寫出點B、C的坐標；

2

(2)在坐標軸上是否存在點P,使SAraB=§SΔABC若存在，求出點P的坐標；若不存在,

請說明理由;

（3）把點C往上平移3個單位得到點H,作射線CH,連接BH,點M在射線CH上

運動（不與點C、H重合），試探究NHBM,ZBMA,NMAC之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

9.（2021春.江蘇無錫?七年級宜興市實驗中學?？计谥校?）已知A8〃CD,E是AB、

CQ間一點，如圖1,給它取名型”；有結(jié)論：ZE=ZA+ZC;如圖2,給它取名“鉛

筆頭型“，有結(jié)論：N4+NE+NC=360°；

①在圖3“M型”中，AF,C尸分別平分NA、ZC,則N尸與NE的關(guān)系是：

②在圖4“鉛筆頭型”中，延長EC到G,AF,CF分別平分/A、ZDCG,則NF與NE

的關(guān)系是;

（2）若直線AB與直線CD不平行，連接EG,且EG同時平分NBEF和/尸GD

①如圖5,請?zhí)骄?1、N2、NF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由;

10.（2021.江蘇鎮(zhèn)江?七年級統(tǒng)考期中）模型規(guī)律：如圖1,延長CO交A8于點。，則

∕80C=Nl+/B=NA+NC+/3.因為凹四邊形ABoC形似箭頭，其四角具有

“/8OC=NA+/8+NC”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形

試卷第4頁，共8頁

A

圖7

模型應用

（1）直接應用:

①如圖2,ZA=60。,NB=20。,NC=30。，則NBoC=

②如圖3,ZA+ZS+ZC+ZD+ZE+ZF=°；

（2）拓展應用:

①如圖4,ZABO,ZACo的2等分線（即角平分線）BO,、Col交于點。一己知

NBOC=I20°,ZBAC=50°,則NBQC=°;

②如圖5,BO,CO分別為NA80、NACO的10等分線《=1,2,3,…,8,9）.它們的交點

o

從上到下依次為a、。2、O3....O9.已知NBoC=I20。，ZS4C=50,則

NBolC=。；

③如圖6,NAB0、NfiAC的角平分線8。、AO交于點。，已知NBOC=120。,NC=44。，

則ZADB=°；

④如圖7,ZBAC./BOC的角平分線AO、0。交于點。，則/8、/C、/￡）之同

的數(shù)量關(guān)系為.

11.（2021春?江蘇宿遷?七年級?？计谥校┮阎喝鐖D①，直線MN，直線PQ,垂足為

0,點4在射線OP上，點B在射線。。上（4、8不與O點重合），點C在射線ON上

且0C=2,過點C作直線〃/P。，點。在點C的左邊且C￡>=3.

(1)直接寫出^BC。的面積.

(2)如圖②,若ACLBC,作NCBA的平分線交OC于E,交AC于F,求證：NCEF=NCFE.

(3)如圖③，若NADC=∕OAC,點8在射線OQ上運動，/AC8的平分線交DA的延

長線于點”，在點B運動過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，

ZABC

求出變化范圍.

12.(2021春?江蘇揚州?七年級統(tǒng)考期中)如圖1,將一副三角板ABC與三角板ADE擺

放在一起；如圖2,固定三角板ABC,將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋

轉(zhuǎn)角NC4f=α(0o<a<180o).

(1)當a=度時，AD1BC；當度時AO//8C；

(2)當VADE的一邊與,,ABC的某一邊平行(不共線)時，直接寫出旋轉(zhuǎn)角ɑ的所有

可能的度數(shù)；

(3)當()。<2<45。，連接3。，利用圖4探究NB￡>E+NC4￡+NZ)5C的度數(shù)是否發(fā)生

變化，并給出你的證明.

13.(2022春?江蘇鹽城,七年級?？计谥?【概念認識】

如圖①，在NABC中，若ZABD=NDBE=NEBC,則8。，BE叫做/ABC的三分線.其

試卷第6頁，共8頁

中，B。是鄰AB三分線，BE是鄰BC三分線.

【問題解決】

（1）如圖②，在.ABC中，/ABC和外角NACO的三分線交于點E、F,若NA=60。，求

N尸的度數(shù).

⑵如圖③，若NAoB=I20°,射線OC在/408內(nèi)部，OM是/40C的鄰OA三分線,

ON是280C的鄰08三分線,若OAf、ON、OA、08中有兩條直線互相垂直時,求ZAOC.

（3）在（2）的條件下，若NAOC<∕BOC時，射線ON以每秒1。的速度順時針轉(zhuǎn)動至

便立刻回轉(zhuǎn)，射線OM以每秒3。的速度順時針轉(zhuǎn)動至OB便立刻回轉(zhuǎn)，然后在280C間

作往返運動，當ON第一次到達。C時，與射線OM同時停止轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動幾秒后，OM,

ON中，有一條射線是OB與另一條射線所成角的鄰OB三分線.（直接寫出答案）

14.（2022春?江蘇淮安?七年級統(tǒng)考期中）直線AB、C。為平面內(nèi)兩條直線，點M、點

N分別在直線AB、CO上，點P（P不在直線AB、CO上）為平面內(nèi)一動點.

(1)如圖1,若4B、CD相交于點O,NMON=40。；

①當點P在△OMN內(nèi)部時，求證：NMPN-NOMP-NONP=40。；

②小芳發(fā)現(xiàn)，當點P在NMoN內(nèi)部運動時，ZMPN,ZOMP,/ONP還存在其它數(shù)量

關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是;

③探究，當點P在/MCW外部時，NMPN、NoMP、/0NP之間的數(shù)量關(guān)系共有_

種；

(2)如圖2,若ABI/CD,請直接寫出NMPN與NAMP、NCN尸之間存在的所有數(shù)量關(guān)

系是?

15.(2022春?江蘇無錫?七年級校聯(lián)考期中)直線A8、8相交于點0,ZA0C=a,點

F在直線AB上且在點。的右側(cè)，點E在直線C。上(點E與點。不重合)，連接EF,

直線EM、FN交于點、G.

(1)如圖1,若點E在射線OC上，α=60o,EM、尸N分別平分/CEF和NAFE,求NEG尸

的度數(shù)；

(2)如圖2,點E在射線OC上，NMEF=mNCEF,NNFE=(1-2m)ZAFE,若

NEGF的度數(shù)與NAFE的度數(shù)無關(guān)，求機的值及NEGF的度數(shù)(用含有a的代數(shù)式表

示)；

(3)如圖3,若將(2)中的“點E在射線Oe上”改為“點E在射線。力上”，其他條件

試卷第8頁，共8頁

參考答案：

I.80

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得NFMA=NF+/1,ZE+2Z1=2ZFMA,

從而得出∕E=2∕F求解.

【詳解】如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，

可知//MA=；NCPE=NF+N1,NANE=NE+2Nl=NCPE=2NFMA,

.?.NE+2N1=2(ZF+Z1)

ZE=2ZF=2×40o=80o.

故答案為80.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

2.①②③⑤

【分析】根據(jù)點E有6種可能位置，分情況進行討論，由平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)進

行計算即可.

【詳解】解：(1)如圖1,?.?AB"CC

，NAFC=NDCE=β

ZAFC=ZBAE+ZAEC

：.ZAEC=ZAFC-ZBAE=β-a

圖1

(2)如圖2,過點E作EF〃A8

貝IJNAEF=/8AE=α

?,AB∕∕CD

答案第1頁，共32頁

：.EF//CD

.?ZCEF=ZDCE=β

：.ZAEC=ZAEF+ZCEF=a+β

圖2

(3)如圖3,yAB∕∕CD

：.ZAFC=ZBAE=a

,：ZAFC=ZDCE+ZAEC

：.ZAEC=ZAFC-ZDCE=a-β

圖3

(4)如圖4,9CAB//CD

：.NAFE=NDCE=β

???ZBAE=ZAFE+ZAEC

：.ZAEC=ZBAE-ZAFE=a-β

圖4

答案第2頁，共32頁

(5)如圖5,過點E作EF〃A8

則/AE尸=180°-ZBAE=180°-α

,：ABlICD

J.EF//CD

.,.ZCEF=ISOo-ZDCE=180°-β

ΛZAEC=ZAEF+ZCEF^?S0β-a+180°-夕=360°-a-β

圖5

(6)如圖6,,：AB//CD

：.NDFE=NBAE=a

,/ZDCE=ZDFE+ZAEC

：.NAEC=/DCE-NDFE=6-a

綜上所述，正確的序號分別為：①②③⑤.

故答案為：①②③⑤.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，分別有同位角相等，內(nèi)錯角相等或同

旁內(nèi)角互補，平行于同一直線的兩條直線平行，此外，還用到了分類討論思想.

3.30°##30度

【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得NPAB=IND4B,ZPBE=90°ZABC,再根據(jù)四

22

邊形的內(nèi)角和可得ND43+NA8C=120。，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得.

答案第3頁，共32頁

【詳解】解：；/ZMB的角平分線與148C的外角平分線相交于點P,

/.ZPAB=?NDAB,NPBE=；(180。-NABC)=90。-gZABC,

：在四邊形ABCC中，ZD+ZC=240°,

ZDAB+ZABC=360°-240°=120°,

由三角形的外角性質(zhì)得：NP=NPBE-NPAB,

=90o-?ZABC--ZDAB

22

=90。-g(NABC+ZDAB)

=90°-IXI20°

2

=30°.

故答案為：30°.

【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、角平分線的定義等知識點，熟練掌握角平分線的性質(zhì)

及外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.(1)見解析

⑵①30°；②，〃=g；③45°

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)證明NG=Ne6G,再由外角的性質(zhì)證明

AEDB=NG+ZDBG,結(jié)合NEOB=2NG得出NG=∕D8G,進而得出NeBG=/D3G,即

可證明BG平分/O8C；

(2)①利用三角形外角的性質(zhì)得NE0B=NG+NZ)3G,ZADB=NC+NDBC,再利用

NEDB=工NADB,NDBG=-DBC,進行等量代換，將NC=90。，NG=45。代入即可

126

求得NDBC=30。；②同①可推出袱90。+NDBC)=45。+,變形得

^∕n-^(90o+ZDBC)=0,即可求得相=；；③同上可得〃z(90°+NO3C)=45°+"∠Z>BC,

結(jié)合3加〃=1可得(〃?-￡|(90。-2/。8乃=0,由%T可得90。-223。=0,進而求得

NDBC=45。.

(1)

證明：VDE//BC,

：./G=NCBG,

答案第4頁，共32頁

?：ZEDB=ZG÷ZDBG,

又?：/EDB=2∕G,

../G=NDBG,

:"CBG=/DBG,

.MG平分No8C

(2)

解：①?：/EDB=NG+NDBG,

XVAEDB=-AADB,ADBG=-ADBC,

126

????ZADB=ZG+-ZDBC.

126

?：ZADB=NC+/DBC,

：.—(NC+ZDBC)=ZG+-ZDBC

1269

VZC=90o,ZG=45°,

9(90。+ZDBC)=45o+~ZDBC,

126

：?ZDBC=30°.

②YZEDB=NG+ZDBG,

又,.?ZEDB=mZADB,ZDBG=-ZDBC,

2

.mZADB=NG+'ZDBC.

2

,ZADB=NC+/DBC,

.∕7J(ZC+NDBC)=ZG+-ZDBC,

2

βZC=90o,ZG=45o,

.w(90°+ZDBC)=45o+∣ZDBC,

.m(90o+ZDBC)-45o-?ZDBC=O,

.“(90。+NDBC)-?(90°+/DBC)=O,

∕π-∣j(90o+ZDBC)=0.

,90o+ZDBC≠0,

答案第5頁，共32頁

.?.m—=O,

2

；?in=—.

2

③YZEDB=NG+/DBG,

又，：/EDB=mZADB,/DBG=n/DBC,

：,mZADB=ZG+n/DBC.

?：ZADB=NC+NDBC,

，,n(ZC+ZDBC)=ZG÷nZDBC,

?/NC=90。,NG=45。，

???加(90。÷ZDBC)=45o+nZDBC,

???tn(90o+ZDBC)-45o-nZDBC=0.

丁3m-n=1,

.?∕n(90o+ZDBC)-45o-(3m-1)ZDBC=0,

/.90o∕7i+mZDBC-45o-3mZDBC+ZDBC=0,

/.90。m-2mZDBC-45o+ZDBC=0,

.?.7∕ι(90o-2Zr>βC)-^(90o-2ZDBC)=0,

??.(m-g)(900-2ADBC)=0,

??

?ιn≠J-

2f

：.90o-2ZDBC=0,

.,.ZDBC=45°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)(三角形

的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)，并根據(jù)已知條件進行等量代換是解題的關(guān)鍵.

5.(l)φ50o;(2)55°；(3)ZBGE=90o-∣ZA,理由見解析；

(2)不同，當點E在線段CDk,NBGE=；ZA；當點E在Z)C的延長線上，ZBGE=90o+∣ZA,

理由見解析.

【分析】(1)①先求出NFBC=20。，再求出NEFB=NCBF=20。，ZC=ZCEF=60o,進而求

答案第6頁，共32頁

出NFEG=30。，即可求出NBGE=50。；

②如圖，根據(jù)角平分線的定義得到NI=:乙48C,∕2=[∕CE凡結(jié)合平行線的性質(zhì)進一

22

步得到/2=』NC,Z3=-ZABC,即可得到NBGE=N2+N3=1NC+,NA8C=；

22222

(Z180o-ZA)=55°：

③如圖，根據(jù)角平分線的定義得到∕I=JNABC,Z2=∣ZCEF,結(jié)合平行線的性質(zhì)進一

步得至∣JN2=-NC,/3=—/ABC,即可得至IJNBGE=/2+/3=-NC^∣—/IABC—?

22222

(Z180o-ZA)=90°--ZA

2i

(2)當點E在線段CD上，畫出圖形，類比(1)即可求出NBGE=；乙4；當點E在。C的

延長線上，畫出圖形，NBGE=90。+；/A.

【詳解】(1)解：(1)①平分NABC,

ΛNFBC=gNABC=20。，

,JEFHBC,

.?.ZEFB=ZCBF=20o,ZC=ZCE戶=60°,

YEG平分NbEC,

ΛNFEG=W∕FEC=30°,

NBGE=NEFG+NFEG=5。。.

故答案為：50；

②如圖，：8￡)、EG分別平分NABC和NCEF,

ΛZ1=?ZABC,/2=LNCER

22

'JEFHBC

.?.NC=NCEF,N3=N1,

.?.∕2=L∕C,z?=?ZABC,

22

二∕8GE=/2+/3

=-ZC+-ZABC

22

=T(NC+NABC)

答案第7頁，共32頁

??(Z180o-ZA)

=g(Z180o-70o)

=55o.

故答案為：55°；

③∕BGE=90-N4

2

理由：；BD、EG分別平分/ABC和/CEF,

.,.Zl=-ZABC,Z2=-ZCEF,

22

'：EFHBC

INC=NCEF,N3=∕l,

.?.N2=L∕C,/3」NABC,

22

ΛZBGE=Z2+Z3

=-ZC+-ZABC

22

=J(ZC+ZAfiO

=y(Z180o-ZA)

=90?！?A；

2

(2)解：①當點E在線段CD上，如圖，若GE交BC于點H,

由(1)知：Nl=L/ABC,N2=LNCEF,

22

答案第8頁，共32頁

TEFHBC

???NCM=180。-NC

ΛZ2=Z3=^-(180o-ZC)

VZl+ZA+ZBDA=180o

N3+NBGE+NEDG=180°

且NBDA=NEDG

ΛZ3+ZθGE=Zl+ZA

ZBGE=Z1+ZA-Z3

即N8GE=-ZABC+ZA-j-(Z180o-ZC)

=LZABC+ZA-90。+'ZC

22

=L(ZABC+ZC)+ZA-90o

2

=I(180。-NA)+NA-90。

=90o-ZΛ+ZA-90o

2

②當點石在OC的延長線上，如圖，若GE交BC于點H,

9：EFHBC

：.N3=N2=gNCEF=3ZACB

22

VZl+Z3+ZBGE=180o

ΛZBGE=180o-(Z1+Z3)

=180o-；(ZABC+ZACB)

=180o-I(180o-ZA)

答案第9頁，共32頁

=180。-90。+‘NA

2

=90°+-ZA.

2

【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形的外角定理等知識，熟知相關(guān)

知識并根據(jù)題意靈活應用是解題關(guān)鍵，解第(2)步時要注意分類討論.

6.(1)100；

(2)NF=g∕AEC,理由見解析；

(3)ZBPD=^-?,證明見解析.

26

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出/BA。=/AZ)C,結(jié)合圖象及三角形外角的性質(zhì)即可得

出結(jié)果；

(2)設AQ與BF的交點為G,BC與。尸的交點為4,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及對頂角相

等得出NBA。+/ABF=NF+/AORD,ZBCD+ZCDF=ZF+ZCBF?,結(jié)合角平分線可得

NBAo+NBCD=2∕F,找準圖中各角之間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果；

(3)利用三角形外角的性質(zhì)得出NADC=α-NBCD,由平行線的性質(zhì)可得NABC=NBCD=A,

結(jié)合角平分線及各角之間的數(shù)量關(guān)系進行等量代換求解即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：?.?AB"C。，

.?.ABAD=ΛADC,

'：ΛAEC是ΔΛBE的一個外角，

.?.ZAEC^ZABC+ZBAD,

.?.ZAEC=ZABC+ZADC,

VZAEC=IOOo,

.?.ZABC+ZADC=100°,

故答案為：100;

答案第10頁，共32頁

(2)解：ZAEC,理由如下:

設AO與8廠的交點為G,BC與DF的交點、為H,

VZBAD+ZABF+ZAGB=180o,NAGB=NDGF,ZF+ZADF+ZDGF=180°,

二ZBAD+ZABF=ZF+ZADF?,

VZBCD+ZCDF+ZCHD=↑W°,/F+∕CBF+NBHF=180°,NBHF=乙CHD,

：.ZBCD+ZCDF=ZF+ZCBF?,

①+②得：ZBAD+ZABF+ZBCD+ZCDF=2ZF+ZCBF+ZADF,

「BF平分NA8C,平分/ACD

二/ABF=ZCBF,ZCDF=ZADF,

：.ZBAD+ZBCD=2ZF,

:ZBAD=ZAEC-ZABC,ZBCD=ZAEC-ZADC,

：.ZBAD+ZBCD=2ZAEC-ZAEC=ZAEC,

：.2ZF=ZAEC,

：.NF=；NAEC；

(3)解：NBPD=La,理由如下：

26

如圖所示，。尸平分NADC,RZABP=^ZPBC,連接力P,

,/ZAEC是AECD的一個外角，NAEC=a,

：.NAEC=NBCD+NADC=a,

答案第Il頁，共32頁

ΛNADC=a-∕BCD,

9：AB//CD,4ABC=B,

：.∕ABC=∕BCD=β,

：.ZADC=ZDAB=a-βf

???。尸是NAOC的角平分線，

NADP=Q/ADC=/(α—?),

VZABP=-NPBC,

2

：.NPBC=2NABP,

VZABP+ZPBC=ZABC=β,

：.NABP+2NABP=β,

即3/ABP=B,

在ΔAOP中，

ZAPD+ZDAP+ZADP=180°,

即ZBPD+ZAPB+ZDAP+ZADP=180°,

在ΔA8P中,

ΛBAP+ZAPB+ZABP=180°,

即ZDAP+ZDAB+ZAPB+ZABP=180°,

二ZBPD+ZAPB+ZDAP+NADP=ZDAP+ZDAB+NAPB+ZABP,

ΛZBPD+ZADP=ZDAB+ZABP,

NBPD+—(^cc—β)=a—β+-β,

NBPD=—ɑ—.

【點睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，理

解題意，找準圖中各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

7.(1)(/)見解析；(/7)PFHBD,理由見解析；(2)PFLBD

【分析】(1)(i)根據(jù)30平分ZABC可以得到ABD=NQBE,再根據(jù)NDBC+NCDB=90"，

ZQBE+ZQEB=90",NQEB=NPED即可得到答案；

(/7)設NCPZ7=NQPP=X,根據(jù)NCGP=∕3GF,AF+ZFPQ=W',

/F+/FGB=/CBA=2NCBD即可求解；

答案第12頁，共32頁

(2)ffii?ZPDO=ZA+ZDBA,ZA+ZABC=90o,/ABC=/CPG,利用角平分線的性質(zhì),

即可得到PDO÷ZAPF=ZA÷ZABC=W-

【詳解】解：(1)(Z):BQ平分NABC,

.??ZCBD=ZQBEf

丁NAC8=90°，

???NDBC+NCDB=90°,

?：PQLAB,

：.NPQB=90°,

JNQBE+ZQEB=驕，

：.ZQEB=ZCDB,

?.?/QEB=/PED,

：?ZPDE=ZPED.

圖①

(π)PFHBD.

設4CPF=4QPF=x,

???NCGP=90°—X.

?：/CGP=/BGF,ZF+ZFPQ=90o

?ZBGF=90o-x,ZF=90o-%

又???ZF+ZFGB=ZCBA=2ZCBD

：。一

.NCBD=g(NBGF+NF)=90X

：./CGP=/CBD,

：.PF//BD.

答案第13頁，共32頁

C

?.?NACB=90°

ΛZPCB=90o,ZA+ZABC=Wo

'：PQVAB

：.NPQB=NPCB=90°

又,：NCGP=NBGQ

：.NABC=NCPG

'：APDO=AA+ADBA,8。是/A8C的角平分線

，ZPDO=ZA+-ZABC

2

,：PF是ZAPQ的角平分線

ZAPF-?ZAPQ=?ZABC

：.ZPDO+ZAPF=ZA+-ZABC+?ZABC=ZA+ZABC=90o

22

.?.ZPOD=90o

備用圖

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，平行線的

判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

8.(1)B(2,3)、C(-2,0)；(2)存在；P(—,0),(-?^,θ),(θ,?),(0,-5)；(3)ZBMA

OJ

=ZMAC+ZHBM或/BMA=/MAC-NHBM,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)線段AC的長可求點C的坐標，根據(jù)平方和絕對值的非負性可求得點B

答案第14頁，共32頁

的坐標；

（2）分情況，當點P在X軸上時，設P為（x,0）,當點P在y軸上時，設P為（0,y）,

根據(jù)面積關(guān)系，構(gòu)建方程即可解決問題；

（3）分兩種情形：當點M在線段CH上時，NBMA=NMAC+NHBM；當點M在線段

CH延長線上時，ZBMA=ZMAC-ZHBMi理由平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)即

可解決問題.

【詳解】解：（1）由（4-2y+√^K=0得：a=2,b=3,

ΛB（2,3）,

：點A的坐標是（3,0）,AC=5,

ΛC（一2,0）；

（2）①當點P在X軸上時，設P為（x,0）

2?21

SPOB=ABC，即：?×∣x∣×3=-×-×5×3,

解得：Λ=±y,

，點。（τ0）｛'τ4

②當點P在y軸上時，設P為（O,y）

2121

SPOB=Aβc,即：-×∣y∣×2=-×-×5×3

解得：y=±5,

.?.點P（0,5）,（0,-5）,

綜上所述，點P的坐標為：（￥，0）、（弓,0?0,5）、（0,-5）；

（3）

①如圖1：當點M在線段CH上時，NBMA=/MAC+NHBM

理由：過點M作MN〃BH

答案第15頁，共32頁

ΛZBMN=ZHBM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

VB.H兩點的縱坐標相等

；.BH〃AC

，MN〃AC（平行公理的推論）

.?.∕AMN=NMAC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

ΛZAMN+ZBMN=ZMAC+ZHBM（等式的性質(zhì)）

即/BMA=NMAC+ZHBM；

②當點M在線段CH延長線上時，ZBMA=ZMAC-ZHBM

理由：過點M作MN〃BH

ΛZBMN=ZHBM（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

：B、H兩點的縱坐標相等

.?.BHaAC

ΛMNAC（平行公理的推論）

,/AMN=NMAC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

ΛZAMN-ZBMN=ZMAC-ZHBM（等式的性質(zhì)）

即/BMA=NMAC-NHBM.

【點睛】本題考查作圖-平移變換，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

9.（1）@ZE=2ZF；②∕F=90°-3NE;（2）①/F=（（∕1+N2）；②NF=27°

【分析】（1）①由題意易得∕84F=（N84E,NOCF=!ZOCE,然后根據(jù)“"型”角的關(guān)系

22

a

可直接進行求解；②如圖，由“鉛筆頭型”，可得結(jié)論：ZBAE+ZE+ZECD=3ω,則由題意

得NBAF=LNBAE,NDCF=工NDCG,進而可得NBAF=/OHF=然后根據(jù)三角

222

答案第16頁，共32頁

形外角的性質(zhì)可得NF=ZDHF-ZDCF=?ZBAE-^(180o-NDCE),最后問題可求解；

(2)①由題意易得NBEF=180o-Zl,ZDGF=180o-Z2,

ZGEF=-ZBEF=90。-1Zl,ZFGE=-NDGF=90。-工/2,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可求

2222

2

解；②λ由題意易得/1=3/2+18。,N2=]∕F,則有Nl=2ZF+18。，進而根據(jù)三角形外角的

性質(zhì)可得/3=N4=/F+AFEG=ZF+∣(180o-Zl),由三角形內(nèi)角和可得

/F+NFEG+NEG/=180。，最后根據(jù)角的和差關(guān)系可進行求解.

【詳解】解：(1)①由型”角的關(guān)系可得：ZF=ZBAF+ZDCF,NE=ZA+NC,

VAF,CF分別平分/4、ZC,

.?.NBAF=?ZBAE,ZDCF=-NDCE,

22

/.NF=ZBAF+ZDCF=?(NBAE+ZDCE)=ZE,

.?.NF與NE的關(guān)系是NE=2N∕;

故答案為N￡=2NF；

②如圖，

由“鉛筆頭型”，可得結(jié)論：ZBAE+ZE+ZECD=360°,

,：AF,C尸分別平分NBAE、ZDCG,

：.NBAF=-ZBAE,ZDCF=-ZDCG,

22

,JAB∕∕CD,

ZBAF=ZDHF=-ZBAE,

2

,/NDCG=I80。-NDCE,

由三角形外角的性質(zhì)可得：NF=NDHF-NDCF=?NBAE-i(180o-ZDCE),

答案第17頁，共32頁

.?.NF=g(NBAE+NoCE)-90。=g(360。一NE)-90。=90o-|z￡；

故答案為∕F=90O-[NE;

2

(2)①ZF=g(∕l+∕2),理由如下：

由鄰補角可得：NBEF=180o-Zl,ZDGF=180o-Z2,

?/EG同時平分NBEF和ZFGD,

：.NFEG=?NBEF=^(180o-Zl),ZFGE=?NFGD=g(180°-N2),

VZF+ZFEG+ZFGE=180°,

.,.ZF+90°-?Zl+90o--!-Z2=180°,

22

二ZF=∣(Z1+Z2);

②如圖，

7

?.?∕1比N2的3倍多18。，/2是/尸的耳，

.?.Zl=3Z2+18o,Z2=-ZF,

3

.?.Zl=2ZF+18o,

VEG同時平分/BEF和NFG。，ZBEF=I80o-Z1,

.?.NFEG=?NBEF=∣(180o-Zl),Z3=Z4=g∕DGF,

由三角形外角的性質(zhì)可得：Z3=Z4=ZF+ZFEG=ZF+i(180o-Zl),

二NFGC=N4=Nb+；(180°-N1),

；ZF+NFEG+ZFGE=180°,

.?.ZF+90o-?Zl+Z2+ZF+90o-!-Zl=180o,

22

答案第18頁，共32頁

22

把Nl=2ZF+18o,Z2=-NF代入化簡得：—NF=18。，

33

ΛZF=Tlo.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟練

掌握三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

10.(1)①110；②260；(2)①85；②99；③142；④NB-NC+2/0=0

【分析】(1)①根據(jù)題干中的等式直接計算即可；

②同理可得N4+NB+NC+ND+∕E+N尸=NBOC+NDOE,代入計算即可；

(2)①同理可得N80∕C=∕B0C-N0B0∕-N0C0∕,代入計算可得；

②同理可得NB07C=NB0C-}(ZBOC-ZA),代入計算即可；

③利用NAOB=180"{AABD+ABAD}=180。-；(ZBOC-ZC)計算可得；

④根據(jù)兩個凹四邊形ABO。和ABOC得到兩個等式，聯(lián)立可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)①/80C=NA+NB+/C=60°+20°+30°=110°；

(2)ZA+Zβ+ZC+ZD+Zf+ZF=ZBOC+NDOE=2x?30°=260°；

(2)①NBoIC=NBoC-NoBCh-NOeol

=NBOCq(ZABO+ZACO)

=NBOC-W(/8。C-NA)

=NBoCT(120o-50o)

=120o-35o

=85°；

3

@ZBO7C=ZBOC--(NBOC-NA)

3

=120°--(120o-50o)

10

=120o-21o

答案第19頁，共32頁

=99°；

③/408=180。-(NABD+/BAD)

3

=180°--(ZBOC-ZC)

10

=180°-g(120o-44o)

=142°；

?ZBOD=INBOC=NB+ND+gZBAC,

ZBOC=ZB+ZC+ZBAC,

聯(lián)立得：ZB-ZC+2ZD=0.

【點睛】本題主要考查了新定義一箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分

線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質(zhì).

H.(1)3；(2)見解析；(3)不變，值為

【分析】(1)根據(jù)平行線間的距離處處相等，得到ABCO底邊CD上的高為2,從而求得

△8C￡＞的面積；

(2)利用NcRE+/CB尸=90。，NoBE+NOEB=90。,求出NcEF=NC尸￡；

(3)由ZABC+ZACB=2ZZMC,ZH+ZHCA^ZDAC,ZAeB=2ZHC4,求出

AABC=IAH,即可得答案.

【詳解】解：(1)根據(jù)平行線間的距離處處相等，得到48CD底邊CQ上的高為2,

*'?SΛBCD=^CD×OC=~×3×2=3.

,：AClBC,：.NBCF=90

，NCFE+NCBF=90°

：直線MNL直線PQ

ZBOC=ZOBE+NoEB=90°

答案第20頁，共32頁

?.?ZCEF=ZOEB

：?ZCFE+/CBF=ZCEF+ZOBE

?.β所是NC84的平分線，

：?ACBF=AOBE

...ZCEF=ZCFE↑

（3）不變，值為T

如圖③

：?ZADC=ZPAD9

?：ZADC=ZDAC

：.ZCAP=2ZDAC9

?.?ZABC+ZACB=NC4尸，

：■ZABC+ZACB=2ZDAC,

?：ZH+/HCA=/DAC,

：?ZABC+ZACB=2ZH+2ZHCA

TC”是NACB的平分線，

：?ZACB="HCA,

：.ZABC=2ZHf

?/H_1

?"ZABC~2,

【點睛】本題考查垂線，角平分線，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是角之間的關(guān)系.

12.(1)105,15；(2)旋轉(zhuǎn)角，的所有可能的度數(shù)是：15。,45°,105°,135°,150°；(3)

NBDE+NCAE+NDBC=105。,保持不變；見解析

【分析】(1)三角板AQE順時針旋轉(zhuǎn)后的三角板為47E,當A時，

ZrXAD=ZDrAE+ZEW,則可求得旋轉(zhuǎn)角度；當AD〃BC時，ZDfAD=ZDAE-ZACB,

答案第21頁，共32頁

則可求得旋轉(zhuǎn)角度；

(2)分五種情況考慮：AD//BC,DE//AB,DE//BC,DE//AC,AE//BC,即可分別求出

旋轉(zhuǎn)角；

(3)設BQ分別交AC、AE于點M、N,利用三角形的內(nèi)外角的相等關(guān)系分別得出：

ZANM=AE+ABDE&ZAMN=ZC+ZDBC,由一AMV的內(nèi)角和為180。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)三角板AOE順時針旋轉(zhuǎn)后的三角板為4/E,當4T?LBC時，如圖，

?/ZD'AE=90°-ZACB=60o,NEA￡)=45°

.,.ZD'AD=ZDfAE+ZEAD=60o+45o=l05o

即旋轉(zhuǎn)角々=105。

當A￡>'//BC時，如圖，則NrME=NAC8=30。

.?.ZiyAD=ZDAE-ZACB=45o-30°=15°

即旋轉(zhuǎn)角α=∣5°

故答案為：105,15

(2)當VADE的一邊與,.AfiC的某一邊平行(不共線)時，有五種情況

當A力〃BC時，由(1)知旋轉(zhuǎn)角為15。；

如圖(1),當QE〃AB時，旋轉(zhuǎn)角為45。；

當￡>E〃BC時，由4Z)_L￡>E,則有Aoj_8C,此時由(1)知，旋轉(zhuǎn)角為105。；

如圖(2),當QE〃AC時，則旋轉(zhuǎn)角為135。；

如圖(3),當AE〃BC時，則旋轉(zhuǎn)角為150。；

所以旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù)是：15。，45°,105°,135°,150°

答案第22頁，共32頁

圖⑶

(3)當()。<0<45。，ZBDE+ZCAE+ZDBC=105°,保持不變;

理由如下：

設8。分別交AC、AE于點例、N,如圖

在」AMN中，ZAMN+ZCAE+ZANM=180

ZANM=NE+NBDE,ZAMN=NC+NDBC

:.ZE+ZBDE+ZCAE+ZC+ADBC=180°

/C=30。，NE=45°

.?.ZBDE+ΛCAE+ADBC=105°

【點睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角與不相鄰的兩個內(nèi)

角的相等關(guān)系等知識，注意旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.

13.(1)40°；

(2)30°或90°；

⑶*9秒或36秒或1秒或90秒或105秒

【分析】(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得NA=NACz)-NA3C=60。，然后根據(jù)三分線的定

答案第23頁，共32頁

義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)求解即可；

(2)由題意可知，共有三種情況：①當。N時，即N4ON=9(Γ,②當OM_L08時，

即/MOB=90。，③當。例，Cw時，即NMON=90。，分別根據(jù)角的和差及三分線的定義計

算即可；

(3)由(2)可知，當NAoC<N3OC時，NAOC=30。，NBON=30。,可求得N