山東省日照市2023屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（解析版）

2020級高三模擬考試

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

L答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題K答案Il后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的K答案Il標號涂黑.

如需改動、用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案』標號.回答非選擇題時，將K答案X寫在

答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

A=(XIX<2,B=(X∣X2-2%-3≤0∣._

1.已知集合?1>,U?,則ADB=()

A.[-1,2)B.(2,3]C.(-1,3]D.(→o,3]

K答案HD

K解析H

K祥解H先求出集合B,再依據(jù)并集的定義求并集.

K詳析Hβ=G∣√-2x-3≤θ}={x∣-l≤%≤3},又A={x∣x<2},

所以AB=(-∞,3]

故選：D

2.已知復(fù)數(shù)Z="包，i為虛數(shù)單位，貝IJM=()

1—i

A.2√2B.2√3C.2√5D.2√6

R答案HC

工解析H

R祥解》利用復(fù)數(shù)除法運算求得z,然后求得∣z∣.

(2÷6i)(l+i)(2+6i)(l+i)/

詳析』z=

R?l?w-?=~~~?~~^=(l+3ι)(l+.)=-2+4ι,

?l~l)?l+l)2

∣z∣=√4+16=2√5.

故選：C

3.在平面直角坐標系XOy中，角。的大小如圖所示，則tan。=()

342

A.—B.一C.1D.一

233

K答案，D

K解析H

K祥解》根據(jù)正切值的定義可以先算出tan[e+g],然后由兩角和的正切公式求出tan。.

過P作PQ_LX軸,垂足為Q,根據(jù)正切值的定義：tan[e+f]=四=5,則tan[e+f]=5=粵空，

I4j?OQ?I4J1-tan

2

解得tan。=一.

3

故選：D

4.紅燈籠，起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營

造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間

是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直徑

被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為心則球冠的面積S=2π∕S.如圖1,

已知該燈籠的高為58cm,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈籠中間球面部分所需

布料的面積為()

14cm

圖1圖2

A.1940πcm2B.2350πcm2C.2400πcm2D.2540πcm2

R答案，C

K解析D

K樣解》由題利用勾股定理求出半徑R,再求出高度人，分別求出兩個球冠的面積，用球體的表面積減去

兩個球冠的面積即可解決問題.

K詳析》由題意得：R2_（生F）=72,

所以R=25cm,

LLIl7CU58—IO

所以Zz=25-----------=1cm,

2

所以兩個球冠的面積為2S=2x2π∕?=2x2xπx25xl=l（X）πcm2,

則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為：

4π∕?2-2S=4×π×252-100π=2400πcm2,

故選：C.

5.已知正六邊形ABCQEF的邊長為2,P是正六邊形ABCQEF邊上任意一點，則PA.PB的最大值為（）

A.13B.12C.8D.2√3

K答案DB

K解析H

工祥解Il以正六邊形A8CE>E/中心。為原點建立平面直角坐標系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標表示研

究最值.

以正六邊形ABCz)EP中心。為原點建立平面直角坐標系如圖所示，AB.OE交y軸于G、H,

則C(2,0)r(-2,0),MT-布)B(1,-布),G(O,-若),4-1,君),D(1,√3),H(Q,6),

722

設(shè)尸(X,y),/A=(-l-Λ,-λ∕3-^j,PB=[l-x,-y∕3-y^,PA-PB=X+y+2y∕3y+2,由正六邊形

對稱性，不妨只研究y軸左半部分，

(1)當(dāng)P在EH上時,則L∈[-l,0],y=+,則麗?而=f+u≤i2;

(2)當(dāng)尸在AG上時，則X∈[-1,O],y=-√3,則PAPS=/-/。；

(3)當(dāng)P在所上時，則4F：γ=√3(x+2),%∈[-2,-1],貝IJ

CɑA223

P4?PB=4χ2+i8x+26=4%+-+—≤12;

I4j4

(4)當(dāng)P在上時，則&?：^=-√3(x+2),%∈[-2,-1],則

PA-PB=4x2+6x+2=4?x+^?--≤6.

I4)4

綜上，所求最大值為12.

故選：B.

6.已知x>0,y>0,設(shè)命題P：2Λ`+2v>4.命題4：孫≥1,則，是夕的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

K答案HB

K解析》

K祥解》取特值，χ=g,)

2,滿足2'+2>'≥4,不滿足孫≥1;運用基本不等式得14孫≤

即x+y≥2,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得2">≥22=4,運用基本不等式和充分必要條件的定義判斷可得選項.

I]2

K詳析U解：當(dāng)x=],y=2時，2；+2?>4滿足2，+2、≥4,但孫=§X2=§<1,不滿足孫21,

所以〃不是4的充分條件；

當(dāng)孫≥1,X>O,y>o時，1≤孫≤(等)，即x+y≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號，所以2'+>'≥22=4,

(2v+2vY

即2*?2y>4,又4≤2'?2V<------,當(dāng)且僅當(dāng)X=V時取等號，

一一I2J

解得2"+2>≥4,所以，是夕的必要條件，

因此，，是夕的必要不充分條件.

故選：B

7.已知數(shù)列｛α,,｝的前〃項和為S“，且滿足q=1,ana,l+l=2Sl,,設(shè)a=墨，若存在正整數(shù)PMP<辦

使得白，bp,%成等差數(shù)列，則()

A.P=IB.p=2C.p=3D.p=4

K答案，B

K解析H

K祥解』根據(jù)數(shù)列的遞推公式得出〃=素=/,然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進項求解即可得出結(jié)果.

K詳析H數(shù)列｛%｝滿足q=1,anaπ+1=2S,,,

當(dāng)〃=1時，ata2=2Sl=2?,,解得：?=2；

當(dāng)心2時,Ian=2⑸-S(IT)=aπ(an+l-πn.l),

因為4≠0,所以《川一α,ι=2,所以數(shù)列｛4｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以4=1+5-l)=n,么=率=5,

若存在正整數(shù)p,q(p<q),使得4,bp,分成等差數(shù)列，

則2bp=l>∣+a,所以孕=g+/①

因為數(shù)列｛"｝是單調(diào)遞減數(shù)列，

當(dāng)〃=1時，由]=]+/，解得：9=1，舍去；

當(dāng)24“<q時，則勺?,仁!—女=正口；

33p^,3p^,3p3p

當(dāng)3<〃時，?≥?≥,鼻>0,所以=4<2+三，①式不成立，

33p"'3'393〃33"

41〃

所以p=2,則有一=—I——,解得：q=3,

933,

故選：B.

22

8.已知橢圓C：0+齊=ι(α>∕,>o)的左、右焦點為片，G，點A(-2,2)為橢圓C內(nèi)一點，點。(a,。)

22

在雙曲線E：?--?-≡l?,若橢圓上存在一點P,使得|/科+1尸閭=8,則a的取值范圍是()

A.(√5+l,5]B.[3,5]C.(√5+l,2√5]D.[√3,√5]

R答案HA

K解析，

K祥解D先求出橢圓左焦點G坐標為(-2,0),由題得IIPNTp用I=I8-2a∣≤M6I=2,解不等式得到

44

3≤a≤5,再解不等式)+——<l即得解.

ci4—cir

22

K詳析11點Q(a,h)在雙曲線E：?—A=I上，所以/—/=4.

所以橢圓左焦點G坐標為(-2,0).

因附+附|=8,所以|E4|+2a-|P制=8,Λ∣∣Q4∣TP耳∣R8-助的MI=2,

所以3≤a≤5.

因為小一從=4,所以〃=/一4.

/、4444

點A(—2,2)橢圓C內(nèi)一點，所以0■+"■<1,;.—2——<1>

所以a4-12/+16>0,;.。>逐+1或“<逐一1.

綜上：#>+1<a≤5.

故選：A

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求的.全部選對得5分.選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.已知A耳分別為隨機事件AB的對立事件，P(A)>0,P(B)>0,則下列結(jié)論正確的是()

A.P(A)+P(A)=I

B.P(AlB)+P(A∣B)=l

C.若AB互斥，則P(AB)=P(A)P(B)

D.若AB獨立,則P(AlB)=P(A)

K答案』ABD

K解析》

K祥解Il結(jié)合互斥事件、對立事件的定義，根據(jù)條件概率公式判斷即可.

K詳析11選項A中：由對立事件定義可知P(A)+P(Z)=I,選項A正確;

選項B中：P(M+緇=1,選項B正確；

選項C中：A,B互斥,P(AB)=O,P(A)>O,P(B)>0,P(AB)≠P(A)P(B),故選項C錯誤;

選項D中：A,8獨立，則P(AB)=P(A)P(B),則P(A⑻==P(A),故選項D正確.

故選：ABD.

10.已知正方體ABCZ)-AB￡2過對角線8,作平面α交棱AA于點E，交棱CG于點F,則()

A.平面α分正方體所得兩部分的體積相等

B.四邊形BFAE一定是菱形

C.四邊形B∕7D∣E的面積有最大值也有最小值

D.平面a與平面DBBl始終垂直

K答案》AC

K解析H

R祥解R利用正方體的對稱性即可判斷A正確；由平行平面的性質(zhì)和BE,RE的大小可判斷B錯誤；結(jié)

合異面直線距離說明四邊形BEQE的面積最小值和最大值取法,判斷C正確；只有當(dāng)ERl平面BgO時，

才有平面BFDfEl.平面BBQ,判斷D錯誤.

K詳析11對于A：由正方體的對稱性可知，平面α分正方體所得兩部分的體積相等，故A正確；

對于B：因為平面ABBtAlIiCCQQ,平面BFDiE\平面ABBA=BE,

平面BFD∣E∣平面CCaD=AFBE//。/.

同理可證：DiE∕/BF,故四邊形E是平行四邊形，當(dāng)E不是A4的中點時，8E≠2E,此時四邊形

BEAE不是菱形，故B錯誤；

對于C：由B得四邊形BPRE一定是平行四邊形，所以四邊形BFRE的面積等于三角形BQE面積的兩

倍，而BA為定值，所以當(dāng)E到直線8。距離最大時，三角形8RE面積取最大值，因為E為棱AA中點

時，E到直線8,距離恰為異面直線A4,、BR距離,即為最小值，此時三角形BQE面積取最小值，即四

邊形BFDlE的面積取最小值.因此當(dāng)E與A重合或A重合時,三角形面積取最大值,即四邊形BFDiE

的面積即取最大值，故C正確；

對于D：因為平面ACGAj?平面Q,又平面ACCd、平面BFDlE=EF,所以只有當(dāng)砂工平面

BBQ時，才有平面平面88Q,故D錯誤.

故選：AC

11.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x)-l是奇函數(shù)，當(dāng)0Wx≤2時，/(X)=√4X-X2+1；當(dāng)x〉2時，

/(x)=2i+L當(dāng)攵變化時，函數(shù)g(x)=∕(x)-履一1的所有零點從小到大記為和々，,當(dāng)，則

f(xl)+f(x2)++/(XJ的值可以為()

A.3B.5C.7D.9

K答案XABC

K解析H

K祥解D將方程/(x)-"一1=0的根轉(zhuǎn)化為/(x)與直線y=去+1的交點，并可知/(x)與y=去+1均

關(guān)于(0,1)對稱，作出/(χ)的圖像，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定上不同取值時交點的個數(shù)，結(jié)合對稱性可

求得結(jié)果.

K詳析D?.?∕(x)-l為奇函數(shù)，?/(χ)圖像關(guān)于點((U)對稱,

由/(x)-履一1=()得：/(X)=履+1,則方程的根即為/(x)與直線y=Ax+l的交點,

作出“X)圖像如圖所示，

y?！搿娄蒚^

5

y=k3x+?

3

2

y=k4x+?

二原+1

7X浜、產(chǎn)編+1X

?√∕-l

**yYi/

λ-3

①當(dāng)女N9≡L即攵≥2時，如圖中y=^χ+l所示時，/(χ)與直線y=履+1有5個交點公尤2,…，&，

2—0

“X)與y=依+1均關(guān)于((U)對稱，.：/^)+/(^)+3+/($)=5/(0)=5;

②當(dāng)≤k<W即1≤%<2時，如圖中y=?2χ+l所示時，/(x)與直線y=依+1有7個交點

%9X1,,,,,X1，

/(%)與y=.+l均關(guān)于(0,1)對稱，；?/&)+/(W)+…+/(X7)=7∕(O)=7;

③當(dāng)即;<Z<1時，如圖中y=^χ+ι所示時，/(X)與直線y="+ι有5個交點

?j,%2，,,,，X5,

/(%)與y=?+l均關(guān)于(0,1)對稱，."&)+/(%)+…+/(Λ?)=5∕(0)=5;

④當(dāng)Z=晨飛=W時，如圖中y=%χ+ι所示時，/(χ)與直線y="+ι有3個交點芯,工2，工，

/(%)與y=?+ι均關(guān)于(0,1)對稱，..?/1)+/(%)+/(XJ)=3∕(0)=3；

2_11

⑤當(dāng)％<——，即％<—時，如圖中y=%χ+ι和y=&χ+ι所示時，/(χ)與直線y="+ι有且僅有-

個交點(0,1),??"α)=ι.

綜上所述：〃玉)+/伍)+…+/(Z)取值的集合為{1,3,5,7}.

故選：ABC.

H點石成金D關(guān)鍵點『點石成金J：本題考查利用函數(shù)對稱性、函數(shù)圖像求解方程根的個數(shù)問題；解題關(guān)

鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題，進而通過數(shù)形結(jié)合的方式確定交點個

數(shù).

ab

12.已知α>8,c>d,------=-----=1.01,(1—=(1—d)e”=0.99,則()

A.a+b>0B.c+d>0

C.a+d>0D.h+c>0

K答案】AD

K解析D

K樣解HA?先構(gòu)造函數(shù)/(x),通過函數(shù)的單調(diào)性確定”,/2的大致范圍，再構(gòu)造

〃(x)=In/(x)-ln/(-x),通過函數(shù)〃(X)的單調(diào)性確定d與-C的大小關(guān)系，進而得到A選項.

B.先構(gòu)造函數(shù)g(x),通過函數(shù)的單調(diào)性確定c,d的大致范圍，再構(gòu)造

〃(X)=Ing(X)-Ing(-x),通過函數(shù)〃(X)的單調(diào)性確定"與-C的大小關(guān)系，進而可知B選項錯誤.

C通過/(x)=[M,得至(|g(—α)>g(d),進而可得一。與d大小關(guān)系，進而可知C選項錯誤.

D.與C選項同樣的方法即可判斷.

abx

ee/、P

『詳析UA.?：-----=------=1.01>0(2>—1,/?>-1令f(χ}=-----(zx>-1)

。+1/7+1')l+xv7

所以/(Λ)在(-1,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

且/(0)=0,故α>0,-l<b<O.

令〃(X)=In/(x)-In∕(-x)=2x-ln(x+l)+In(-x+l),x∈(-l,l)

1_12

則〃'(x)=2-------+--------=2--------<0,

`,x+1-x+ll-x27

所以∕z(x)在(―1,1)上單調(diào)遞減，且Zz(O)=O

h∈(-1,0).?.l∏∕(^)-l∏∕(-^)>0.?f(a)>f[-b)

/.a>-h即。+。>0故選項A正確

B.(I-C)e，=(1一d)e"=0.99>0.?c<?,d<1令g(x)=(l-x)e*(x<l)

則g'(x)=-旄",所以g(無)在(—8,0)單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減，

且g(0)=l,故0<c<l,d<0.

令加(X)=Ing(X)-Ing(-x)=2x-ln(x+1)+ln(-x+l)=∕z(X),XG

所以m(x)在(TI)上單調(diào)遞減,且MO)=O

?c∈(0,l).?.lng(c)-lng(-c)>O.?.g(c)>g(-c).?.g(d)>g(-c)

.,.d<-c即c+d<0故選項B錯誤

C〃X)=-τ―Tg(~a)---——>0.99,α∈(-1,0)

、)g(-x)、7/(ɑ)101v,

.?.g(-α)>g(d)又g(x)在(-。。,0)單調(diào)遞增ι-a>d.?a+d<0

故選項C錯誤

D.由C可知，g(-Z?)>^(c),-/?e(O,l)又g(x)在(0,1)單調(diào)遞減.?.-h>c

故選項D正確

故選：AD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在(l-x)5的展開式中,尤2的系數(shù)為.

R答案X10

K解析H

R祥解H

根據(jù)二項展開式的通項，賦值即可求出.

K詳析H(1—x)5的展開式通項為7；M=G'(—X)',令X=2,所以χ2的系數(shù)為或(—1)2=10.

故R答案H為：10.

H點石成金JII本題主要考查二項展開式某特定項的系數(shù)求法，解題關(guān)鍵是準確求出展開式的通項，屬于

基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)/,(力=25皿3+“0>0,|同<9的最小正周期為萬，其圖象關(guān)于直線X=看對稱，則

K答案』√3

R解析』

R祥解D根據(jù)函數(shù)最小正周期得到口=2,利用對稱軸得到。，然后代入計算即可求解.

K詳析H因為函數(shù)/(無)=25始(8+。)卜＞0,網(wǎng)＜5)的最小正周期為萬，

所以。=§=2,又因為直線尤=凡是函數(shù)的一條對稱軸，所以2χ四+°=Aι+二#∈Z,解得:

Γ662

φ=kπ+-,keZ,因為兩＜乙，所以Q=乙，

626

則函數(shù)/(X)=2sin(2x+—),所以/(—)=2sin(2×-+—)=2cos—??/?,

64466

故K答案U為：√3.

15.對任意正實數(shù)“，記函數(shù)/(x)=∣IgM在［α,+∞)上的最小值為m〃，函數(shù)g(x)=sin∕?在［0,α］上的

最大值為〃“，若M“-也=；,則。的所有可能值.

K答案n3或加

K解析D

K祥解D根據(jù)/(X)和g(x)函數(shù)圖像，對4分類討論求解即可.

K詳析Hf(x)和g(x)的圖像如圖:

.,,z?.-WO...?1

當(dāng)xzr時，,

0<αvima-(),Mn-sin——,..Mn-mn-sin——=—；

0222a~3

當(dāng)a≥l時，帆,=∣lgα∣=lgα,M,,=1,；.M“一”=I-Iga=g,α=7iU；

故K答案》為：?或JiU.

16.設(shè)棱錐ABCD的底面為正方形，且M4=MD,MA±AB,如果，AAQ的面積為1,則能夠放

入這個棱錐的最大球的半徑為.

M

K答案』√2-l?*-l+√2

K解析!

K祥解D設(shè)球。是與平面MAZXABCD,MBC都相切的球，求出與三個面MA。，ABCD,MBC都相切的

球的半徑為r=a-1，再證明。到平面MAB的距離大于球0的半徑r,O到面MCD的距離也大于球。

的半徑r,即得解.

R詳析11如圖，因為AB_L4。，ABLMA,AT>C例A=AAD,M4u平面MAD,所以，AB垂直于平面

MAD,由此知平面MAD垂直平面ABCD.

設(shè)E是Ao的中點，F(xiàn)是BC的中點，W∣JMEVAD,所以，ME垂直平面ABe￡?,MELEF.

設(shè)球。是與平面MA。，ABCD,MBC都相切的球.

不失一般性，可設(shè)。在平面MEF上.于是。為AMEF的內(nèi)心.

2V

設(shè)球。的半徑為r,則r=-------乙皿——

EF+EM+MF

?

設(shè)4。=E尸=α,因為S""o=l,所以Λ∕E=±,MF=

a

r=-----

2

a+—

a

2

且當(dāng)。=一，即Q=應(yīng)時，上式取等號，所以，當(dāng)AD=ME=0時,

a

所以與三個面MA。，ABCD,MBC都相切的球的半徑為血一1.

作OG_LME于G,易證OG//平面MAB,G到平面MAB的距離就是O到平面MAB的距離.

過G作MHlMA于H,則GH是G到平面MAB的距離.

GHMG

MHG-MEA,

~AE~~MA

又MG=0—(0—1)=1,AE=絲

2

√2

1

,H-AE?MGT-,^√5

MA..Ll—

MA√10~5

F

??T>G,

故O到平面MAB的距離大于球O的半徑r,同樣。到面MCo的距離也大于球。的半徑r,故球O在棱錐

M-ABCf）內(nèi)，并且不可能再大.

據(jù)此可得所求的最大球的半徑為√2-l?

故K答案』為：、歷一1

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.在數(shù)列｛α,,｝中,幺+&+色+…+-?-="2+".

234H+1

(1)求｛4｝的通項公式;

12n1

(2)證明：+++------;---<-

3^^Γ("+2)%4-

K答案Il(I)all=2"("+l)

(2)證明見K解析》

K解

2

R祥解Il(I)令〃=1可求得為的值，令〃≥2,由&+&+%?++-^-=n+n可得

234n+?

%+生+色++4」=“2一〃，兩式作差可得出/的表達式，再驗證外的值是否滿足風(fēng)（〃≥2）的表達

234n

式，綜合可得出數(shù)列｛α,,｝的通項公式;

n?1n

（2）計算得出,利用裂項相消法求出數(shù)列〈上的前〃項和，即可證

H+2)an2[〃+1〃+2〃+2)%

得結(jié)論成立.

K小問1詳析D

解：因為巴+&+色++-^—-tv+n,①

234n+?

則當(dāng)〃=1時，?=2,即q=4,

當(dāng)〃22時，—+-^-+―++^-=n12-n,②

234n

①一②得上-=2〃，所以=2〃(〃+1),

n+1

4=4也滿足q=2〃(〃+1),故對任意的〃eN*,α,,=2n(π+l).

R小問2詳析》

證明：/〃=」—=—?=ifj___n

(n+2)?2n(π+l)(n+2)2(n+l)(n+2)2(〃+1〃+2,

11+--=」『」+」++」----

所以——+——+

3〃]4g{n+i)an2(2334n+1n+2

__?_

2?2n+2)42(n+2)

〃”,?赤%>。,

111

?二一許<“即結(jié)論成立.

A+C

18.已知二ABC'中，a,b,C是角A,B,C所對的邊，αsin------=OsinA,且α=l.

2

(2)若AC=BC,在JIBC的邊48,AC上分別取O,E兩點,使VAr)E沿線段DE折疊到平面BCE后,

頂點A正好落在邊BC(設(shè)為點P)上，求AD的最小值.

TT

K答案H(1)-

3

⑵2百-3

R解析』

K祥解2(1)由正弦定理邊角互化得SinASinA±C=SinBsinA,又A+C=兀一B,可得CoSO=SinB,

22

結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果；

(2)由題意可知.√WC為等邊三角形，設(shè)Ar>=加，則BD="fn,PD=m,由余弦定理得

3

BP2+(I-2m)=BP?(l-m),設(shè)BP=X,0<x≤l,所以/“=2—x+--------3,利用基本不等式可求得

2-x

K答案》.

K小問1詳析』

A+CA+C

因為。sin--=OSinA,所以由正弦定理邊角互化得sinAsin--=sinBSinA,

22

因為A∈(0,7i),sinAWo,A+C=π—8,所以sin('-=sin6,即CoS?∣?=sinB,所以

cos^=2sin^cos^,

222

R1

因為Be(O,π),所以二■J0,二］,cos^ξ?H0

所以sin—=—,

2I2J222

所以”即吟?

K小問2詳析』

TT

因為AC=BC,8=—,所以一ASC為等邊三角形，即AC=BC=AB=1,

3

設(shè)AD=m,則BD=l-m,PD=m,

BP2+BD2-PD2BP2+(1-?//)2-/M2_1

所以在Z?8PD中，由余弦定理得COSB=整理得

2BPBD2BP(l-m)-^2

BP2+(1-2m)=JSP-(1-/??),

，nC—/I..Ix~—x+?(2—Λ)^—3(2—x)+33_

設(shè)Bonp=X,0<x≤1,所ce以m=--------=?------------------------=2-x+-------3,

2—X2—X2—X

由于0≤x≤I,故l≤2-x≤2,

所以根=2-x+—3―-3>2√3-3,當(dāng)且僅當(dāng)2-x=」一=百時等號成立，此時χ=2-G，

2—X2—X

所以AD的最小值為26-3.

19.如圖，已知圓錐P-ABC,AB是底面圓。的直徑，且長為4,C是圓。上異于A,B的一點，∕>A=2√3?

設(shè)二面角P—AC—3與二面角P—3C—A的大小分別為α與β.

(1)求百寸由的值;

(2)若tan∕?=J^tana,求二面角A-PC-3的余弦值.

K答案』(1)?

K解析D

11

K祥解D⑴作出從而求得----------O1-------------9的值.

tan^atan^β

(2)建立空間直角坐標系，利用平面PAC和平面PBC的法向量，計算出二面角A-PC-B的余弦值.

K小問1詳析》

連結(jié)PO.

因為點P為圓錐的頂點，所以POl平面ABC.

分別取AC,BC的中點M,N,

連接PM，OM,PN,ON,則在圓。中，OMIAC.

由PoI平面ABC,得PO,AC.

又PoOM=O,故AC_L平面PMO,

所以

所以NPMo=α.

同理，ZPNO=β.

于是?+?J竺丫+(竺丫/空Y=OeJ

tan2?tan2β?OP)?0P)[θp)AP2-OA22

K小問2詳析』

因為tan^=gtanα，即%=6黑,所以O(shè)M=/ON,即BC=Ji4C,

-AC2+BC2=AB2,:.BC=2√3,AC=2.

在圓。中，CAlCB,以點C為坐標原點，C4所在直線為X軸，CB所在直線為N軸，過。且垂直于平

面ABC的直線為Z軸建立空間直角坐標系C-孫Z.

則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2√3,0).

又因為POl平面A8C,所以。P∕?軸，從而P(l,ji,2j5).

則C4=(2,(),()),CB=(0,2君,0),CP=(1,√3,2√2).

設(shè)平面PAC的法向量為m=(x,y,Z)，

m?CA=02x=0

則《,即

mCP=0x+6y+20z=O

不妨取y=2?∕∑,則X=O,z=-?/?,此時機=(0,2JΣ,-行).

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(m,n,Z),

n?CB=02√3n=0

則《，即《

n-CP-0m+?∣3n+2λ∕∑/=O

不妨取機=2血，則〃=0,/=-1,此時n=(2j5,0,-l)?

所以8S<i>-^=￡=叵.

ImI?IHI√∏×333

又二面角A-PC-JB為鈍二面角,

所以二面角A-PC-B的余弦值為—返

33

ZP

Kr點石成金』》方法L點石成金」：

幾何法求解二面角，要根據(jù)二面角的定義來求解；向量法求解二面角，關(guān)鍵是求得二面角的兩個半平面的

法向量，并且要注意二面角是銳角還是鈍角.

20.已知拋物線C：f=2py(p>0)的焦點為為C上的動點，EQ垂直于動直線y=[∕<0),垂足

為Q,當(dāng)AEQE為等邊三角形時，其面積為46.

(1)求C的方程；

22

(2)設(shè)。為原點，過點E的直線/與C相切，且與橢圓三+匕=1交于A,B兩點，直線OQ與AB交于

42

點、M,試問：是否存在/,使得IAMI=IBMI?若存在，求/的值；若不存在，請說明理由.

2

K答案』(1)X=Ayi

(2)f=-1.

K解析D

K祥解II(I)根據(jù)正三角形得三角形的邊長，再根據(jù)拋物線的定義進行求解；

(2)設(shè)E/，號-1，則。(%,。，可得心°=:，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得勺=g/，設(shè)Aa,X),5(%,%)，

中點土芋,汽衛(wèi)],由點差法可得仁?后M=—4，kοM=一上,從而可以求出J

K小問1詳析』

?.?AEQF為等邊三角形時，其面積為4百，

Λ→∣Eβ∣2sin∣=4√3,解得|囤=4,

根據(jù)I砂I=IEg和拋物線的定義可知，。落在準線上，即丁=.=一5,

%

(E

?HQ

設(shè)準線和y軸交點為“，易證NHFQ=1，于是忻QleOSm=2=IbHI=p，

??.C的方程為χ2=4y;

K小問2詳析］

假設(shè)存在，，使得IAM=忸M,則M線為段AB的中點,

≠0),依題意得Q(AJ),則自Q=L

設(shè)E?,0

?

y2χ1

由y=一可得y=—,所以切線/的斜率為％=—%,

422

設(shè)A(Xl,y),B(Λ2,%),線段AB的中點工上昔

由42,可得工?+支二立=o,

?√+%242

I42

所以(3+々)(內(nèi)一/)+(.%+%)()「*)=0

42'

V-VV.+y?111

整理可得：:1L〒2.士：2=一5，即M=_彳，所以JX。.生M二

2

X1-X2XI+X2Z22

.1,,t

可得上OM=-----，又因為自2=%λW=—,

??

,,1

所以當(dāng)f=-l時，k°Q=koM=——,此時O,M,Q三點共線，滿足M為AB的中點，

?

綜上，存在f,使得點〃為AB的中點恒成立，r?-l.

21.第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法

國隊獲得冠軍.

FIFAWORLDCUP

QZW

（1）撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門

2

將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有1的可能性

撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開

始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不

停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn,易知p∣=I,'?=0.

①試證明：為等比數(shù)列；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為g，比較00與切0的大小.

K答案2（1）分布列見K解析見期望為:

（2）①證明見K解析』；②Ro<Io

K解析H

R祥解Il（I）方法一：先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學(xué)期望；

方法二：判斷結(jié)合二項分布的分布列和期望公式確定結(jié)論；

（2）①記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為幺，則當(dāng)〃≥2時，第n—1次傳球之前球在甲腳下的概率為

P,-,由條件確定P“，P,-的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義完成證明；

②由①求出Pio,io，比較其大小即可.

R小問1詳析）

方法一：X的所有可能取值為0,1,2,3,

在一次撲球中，撲到點球的概率P=LXIXIX3=?L

3339

1Z8A21

XC1z

所以P(X=O)=C*)=翡,X=n-=92一

/39-l9-7-

k√29

尸(X=2)=C這"嗯J(X=3)=喘)=蔻

所以X的分布列如下:

X0123

512192241

P

729729729729

八

E(X)=-1-9--2×1,H----2-4-X23H-----1--XC3-2--4-3--?

''7297297297293

方法二：依題意可得，門將每次可以撲到點球的概率為P=gx；=g

門將在前三次撲到點球的個數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,易知X

所以P(X=Z)=C：x|JXIJ,Z=O,1,2,3,

故X的分布列為:

X0123

5126481

P

729243243729

所以X的期望E(X)=3xj=；.

K小問2詳析』

①第?次傳球之前球在甲腳下的概率為P11,

則當(dāng)“≥2時，第n—1次傳球之前球在甲腳下的概率為Pz，

第n—1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-P,f,

則Pn=Pn-?×0+(l-Λ,-∣)×∣=-?pll-i+?，

1If∩12

所以｛〃.一；｝是以I為首項，公比為-；的等比數(shù)列.

②由①可知Pn

所以50=g(l

故Plo<410?

22.已知函數(shù)/(x)=e"",g(x)=lnx+α(α∈R).

(1)若直線V=X是y=g(x)的切線，函數(shù)F(X)=<總存在罰<々，使得/(石)+F(∕)=2,

求玉+b(w)的取值范圍；

⑵設(shè)G(X)=〃x)—g(x),若IG(X)I=b恰有三個不等實根，證明：a-^-<b<2a-2.

K答案Il(I)(-∞,2)

(2)證明見K解析R

K解析D

R祥解2(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義算出口然后分析出為,占的范圍，最后將玉+F(%)化成只含有々的

表達式，構(gòu)造函數(shù)進行求解；