高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講必備 第6講 函數(shù)的圖像（講義含解析）

第6講函數(shù)的圖像

學(xué)校姓名班級(jí)

一、知識(shí)梳理

點(diǎn)法作函數(shù)的圖像

步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)

性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等)；(4)列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐

標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線.

(1)平移變換

|)三/，)+修

}*(*>0)個(gè)單位

個(gè)單位工個(gè)單位

移4?>0)個(gè)單位

|>=由)/

(2)對(duì)稱(chēng)變換

關(guān)于春由對(duì)稱(chēng)

尸/"(X)的圖像----?y'=—f(x)的圖像;

y=f(x)的圖像關(guān)立幽稱(chēng)y=f(—x)的圖像;

尸f(x)的圖像關(guān)于強(qiáng)息襯稱(chēng)y=—f(—x)的圖像;

關(guān)于直線

y=a”(a>0,且aWl)的圖像-----y=log”x(a〉0,且aWl)的圖像.

y=x對(duì)稱(chēng)

(3)伸縮變換

縱坐標(biāo)不變

尸f(x)-----------------------------------y—/'(ax).

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的丄(a>0)倍

a

橫坐標(biāo)不變

y=f{x)-----------------------?y=Af^x).

各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的火/>0)倍

(4)翻折變換

x軸下方部分翻折到上方

y=f{x)的圖像-----------------------?r=丨f(x)丨的圖像;

*軸及上方部分不變

辟由右側(cè)部分翻折到左側(cè)

y=f(x)的圖像r=f(l*l)的圖像.

原通左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變

二、考點(diǎn)和典型例題

1、函數(shù)的圖像

【典例1-1】(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)〃耳=k2-3x+2|的單調(diào)遞增區(qū)間是

3

A.-,+coB.1,—和［2,yo)

[2丿

「3D.卜°0,5)和［2,+oo)

C.(-oo,l]和—,2

【答案】B

【詳解】

x2-3x+2,x<l

y=|x2-3x+2|=*-%2+3x-2/<x<2

x2-3x+2,x>2

利(2,+oo).

故選：B.

■2心>0卄

【典例1-2](2022?天津?漢沽一中高三階段練習(xí))已知函數(shù)八1)=|x+l|,x<0"

/(%)=/(%)=/(玉)=/(%)(X"2，不，2互不相等)，則斗+々+芻+工4的取值范圍是

B.-丄0

2

C-HJD.(0，；

【答案】D

【詳解】

作出函數(shù)y=f(x)的圖象，如圖所示：

因?yàn)閨log2⑷=|log2X4\,所以-bg2%=log,x4，

/、,1

所以logzW+logaZ=log2(WX4)=0,所以玉占=1，即W=—.

無(wú)4

當(dāng)|隆2乂=1時(shí)，解得x=；或x=2,所以1＜七42.

1

設(shè)"Xj+z=—+X4,

匕

因?yàn)楹瘮?shù)丫=*+丄在(l,y)上單調(diào)遞增，所以;+1〈丄+七4：+2,即2＜七+%42，

X1Z22

所以0＜%+X2+X3+X4

故選：D.

【典例1-3](2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖

案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)A。的

周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱(chēng)為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”，則()

A.函數(shù)/(%)=加+1是圓0：/+(y_l)2=]的一個(gè)太極函數(shù)

B.函數(shù)/(X)=d不是圓0：f+y2=］的太極函數(shù)

C.函數(shù)〃x)=2x不是圓0：f+y2=i的太極函數(shù)

D.函數(shù)八幻=卜；""°)：不是圓0：/+丫2=］的太極函數(shù)

［7-X(X<0)

【答案】A

【詳解】

解：兩曲線的對(duì)稱(chēng)中心均為點(diǎn)(0,1),且兩曲線交于兩點(diǎn)，所以/*)=五+1能把圓

/+⑶-庁=1一分為二，如圖:

故A正確；同理易知B,C不正確;

函數(shù)f(X)=F2為奇函數(shù)，且f(X)極大=f=，

l-x-x(x<0)k2丿4

/(X)極小=/()=-；>7,如圖:

所以函數(shù)/。)=*_；(；<)是圓。/+丁=1的一個(gè)太極函數(shù)，故D不正確，

故選:A.

【典例1-4[(2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的圖象如下圖1,則如下圖2對(duì)應(yīng)的

C.y=x2f(x)D.y=#(x2)

【答案】A

【詳解】

圖1：當(dāng)x<0時(shí)，/?<0,當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0

當(dāng)x<0時(shí)x2/(x)<O,#(x2)<o,于圖2不符合，故排除C、D.

-02)恒成立，于圖2不符合，故排除B.

故選：A.

【典例1-5](2022?安徽淮南?二模(文))函數(shù)y=(f-廠2卜足工的部分圖象可能是

()

【答案】B

【詳解】

記f(x)=(V-尸卜inx,則/(-力=-(/一/六出工，故f(x)=-/(-x),/(x)是奇函數(shù),故圖

像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).此時(shí)可排除A,C,取x=5,坦)=國(guó)-図>0，排除D.

故選:B

2、圖像的平移和變換

1—Y

【典例2-1](2022?四川綿陽(yáng)?三模(理))已知函數(shù)/(x)=Rp則

()

A.”力在(-1,心)上單調(diào)遞增B.“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(T1)對(duì)稱(chēng)

C.“X)為奇函數(shù)D.“X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)

【答案】D

【詳解】

..F八r1—x—(x+1)+22.

化筒得-=丄一一=-——I,

l+x1+xl+x

2

/(X)的可以看作是函數(shù)g(x)=±先向左平移一個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位得到，

X

2一2

先畫(huà)出g(x)=-的圖象，再進(jìn)行平移畫(huà)出f(x)=----1的圖象，

X1+X

2

明顯可見(jiàn)，對(duì)于原函數(shù)g(x)=—,為奇函數(shù)，關(guān)于點(diǎn)(。,。)對(duì)稱(chēng)，口.在(-8,0)和(0,+oo)上

X

為單調(diào)減函數(shù)，

所以，g(x)經(jīng)過(guò)平移后變成的/(幻在(-1,用)上單調(diào)遞減.，關(guān)于(T，-1)對(duì)稱(chēng)，非奇函數(shù)也

非偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線>=不對(duì)稱(chēng)，所以，D正確；A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D

【典例2-2](2022?浙江紹興?模擬預(yù)測(cè))在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=10g”(-X),

y=?(a>0),且a*的圖象可能是()

【詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log“(-”的圖象與函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

所以函數(shù)y=log〃(-x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(-1,0),故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;

當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù))=log丿在(0,+紇)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=log〃(-x)在(y,o)上單調(diào)

遞減,

又y=T（a>l）在（-8,0）和（0,+8）上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.

故選：C.

【典例2-3】（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）將曲線G：xy=2（x>0）上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不

變，縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的得到曲線C一則C?上到直線x+16y+2=0距離最短的點(diǎn)坐

標(biāo)為（）

A-H）B.（44C.陷D.（4,「

【答案】B

【詳解】

2

將母=2化為y=-，

X

則將曲線G上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的g,

21

得到曲線。2：2>=一,即G：y=Tx>o）,

XX

要使曲線c」的點(diǎn)到直線x+16y+2=0的距離最短，

只需曲線C?上在該點(diǎn)處的切線和直線x+16），+2=0平行，

設(shè)曲線C?上該點(diǎn)為P（a」），

a

因?yàn)閥'=-4,且x+16y+2=0的斜率為-丄，

x216

所以-二=二，解得〃=4或a=Y（舍），

礦16

即該點(diǎn)坐標(biāo)為尸（4,丄）.

4

故選：B.

【典例2-4】（2021?北京四中高三期中）為了得到函數(shù)y=e??川的圖像，只需把函數(shù)

y=e2’的圖像（）

A.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移!個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】C

【詳解】

要得到函數(shù)y=e2N=e'、*>的圖象，則只需要把函數(shù)y=e"的圖象向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)

度，即可.

故選：C.

【典例2-5】（2021?甘肅?靜寧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)

f-2x（-1<x<0）,

〃x）=廠：--則下列圖象錯(cuò)誤的是（）

Vx（O<x<l）,

B.

yHr）的圖紙

g=l加;）啲圖象2/4團(tuán)）的圖象

【答案】D

【詳解】

當(dāng)TWxWO時(shí)，〃x）=-2x,表示一條線段，且線段經(jīng)過(guò)（一1,2）和（0,0）兩點(diǎn).

當(dāng)0<x41時(shí)，f（x）=G,表示一段曲線.函數(shù)的圖象如圖所示.

/（犬-1）的圖象可由/（x）的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A正確；/（-X）的圖象可

由f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后得到，故B正確；由于f(x)的值域?yàn)閇0,2],故

=故|〃x)|的圖象與f(x)的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中/(國(guó))的

圖象不正確.

故選：D.

3、圖像的綜合應(yīng)用

【典例37】(2022?福建寧德?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則/"(X)的

解析式可能是()

A./(x)=2-2xB./(x)=log,(x+2)

C./(x)=>/x+2D./(X)=1-(X-2)2

【答案】B

【詳解】

A函數(shù)為遞減的，錯(cuò)誤；C函數(shù)的值域大于等于0,錯(cuò)誤；D函數(shù)為二次函數(shù)，錯(cuò)誤，只有

B符合.

故選：B.

【典例3-2](2022?天津南開(kāi)?一模)函數(shù)y=(/T)e'的圖象可能是

()

【答案】c

【詳解】

由題意，函數(shù)“x)=(d-l)e，,

因?yàn)?1)=0,即函數(shù)“X)的圖象過(guò)點(diǎn)(L0)，可排除A、B項(xiàng);

乂因?yàn)?(-2)=3e<>0,可排除D項(xiàng),

故選：C.

【典例3-3](2022?浙江嘉興?二模)已知函數(shù)〃x)的圖象如圖所示，則〃x)的解析式

可能是()(八,2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

\j\hy

er-e-x,.ex+e-x

1W+2B.fW=

\x\-2

~丫八一X—X.-X

C.f(x)二,D./(x)=,

八X2-2WX2-2M

【答案】B

【詳解】

解：對(duì)于A,函數(shù)/(8)=號(hào)吉的定義域?yàn)?—，―2)_.(_2,2)一(2,鐘)，

|x|-2

由/(T)=,=-/(力，

:|X個(gè)|一，

所以函數(shù)/(幻==為奇函數(shù)，不符合題意；

\x\-2

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=魯;的定義域?yàn)?9,-2)匚(一2,2)_(2,田)，

丨劉一2

山〃-x)==

|X|一2

ex+-r

所以函數(shù)為e偶函數(shù)，符合題意；

l-vl-2

對(duì)于C,函數(shù)八》)=:二黑，

則萬(wàn)2-2兇力0，得XH±2且x#±4,

故函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)閧*卜*±2且XK±4},

X~—z.

結(jié)合函數(shù)圖像可知，不符題意；

對(duì)于D,函數(shù)/。)=岸名的定義域?yàn)閧x|xx±2且XH±4},

x~—2

結(jié)合函數(shù)圖像可知，不符題意.

故選：B.

【典例3-4】(2022?安徽?安慶一中模擬預(yù)測(cè)(文))己知函數(shù)/(x)在［-肛句上的圖象如

圖所示，則函數(shù)/(x)的解析式可能為()

y

-iro'vx

A.f(x)=ersinxB.f(x)=exsinxC./(x)=-eAsinxD./(x)=-e-Asinx

【答案】D

【詳解】

當(dāng)x?0,4)時(shí),sinx>0,則eXsinX>0,ersinx>0,故排除AB.

當(dāng)f(工)=一，sinx時(shí),則fXx)=一"(cosx+sinx),

令((x)=o,得X=_￡或1=與，

44

當(dāng)-乃<x<-生或也<x<萬(wàn)時(shí)，r(x)<0,當(dāng)一二<x<四時(shí)，f'(x)>0,

4444

所以*=-￡是函數(shù)的極小值點(diǎn)，x=￥是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故c錯(cuò)誤；

44

當(dāng)fW=一6一、sinx時(shí)，則f\x)=-e~x(cosx-sinx),

令ra)=o,得一當(dāng)或4=￡,

44

當(dāng)紅或f<xv萬(wàn)時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)一網(wǎng)<x<工時(shí)，r(x)<0,

4444

所以x=-3T4是函數(shù)的極大值點(diǎn)，X=971是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故D正確

故選：D.

【典例3-5】(2022?江西上饒?二模(理))函數(shù)f(x)="7T的大致圖像為

2+2f

【詳解】

當(dāng)“幻二^^，f（—x）=T^7=-/（可，函數(shù)為奇函數(shù)，排除C；

2+22+2

。<〃2）=詰*尹會(huì)排除AD；

故選：B.

【典例3-6】（2022?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））雙曲函數(shù)在實(shí)際生活中有著

非常重要的應(yīng)用，比如懸鏈橋.在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是一類(lèi)與三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，最基

礎(chǔ)的是雙曲正弦函數(shù)sinhx=二二，和雙曲余弦函數(shù)coshx=《H.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（